1、第第2 2章章 測量誤差及數(shù)據(jù)處理測量誤差及數(shù)據(jù)處理 1 1 誤差的基本概念誤差的基本概念Axx1.2 1.2 誤差的來源誤差的來源 1.3 1.3 誤差的表示方法誤差的表示方法0AxxxxA（2 2）修正值）修正值xAxC2.2.相對誤差相對誤差100%mmmxx 0100%xA 100%AxA 100%xxx 一個量程范圍內(nèi)的最大絕對誤差與該量程一個量程范圍內(nèi)的最大絕對誤差與該量程值（上限值下限值）之比值（上限值下限值）之比mmmxx滿度相對誤差應用滿度相對誤差應用%mxxSx2100%1.5% 1.5%100mxxSx用用1.51.5級量程為級量程為0 0100mA100mA電流表測量電

2、流表測量100mA100mA時的最大相對時的最大相對誤差為誤差為1400%0.5%2%100mxxsx 解：用解：用0.50.5級量程為級量程為0 0400mA400mA電流表測電流表測100mA100mA時，最大相時，最大相對誤差為對誤差為分貝誤差分貝誤差相對誤差的對數(shù)表示相對誤差的對數(shù)表示oxiVAV 20lg()xxGA dB 020lg(1)dBxAAGGAAAx絕對誤差？相對誤差？絕對誤差？相對誤差？隨機誤差隨機誤差（續(xù)）（續(xù)）1211nniixxxxxnn u 隨機誤差大?。簻y量結果與在重復性條件下，對同一被隨機誤差大小：測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結

3、果的平均值之差測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差iixx()n 2.2.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差0 xAu 系差和隨差之間在一定條件下可以相互轉化系差和隨差之間在一定條件下可以相互轉化3.3.粗大誤差粗大誤差1.5 1.5 測量結果的表征測量結果的表征射擊誤差射擊誤差示意圖示意圖 1.6 1.6 有效數(shù)字的處理有效數(shù)字的處理（自學）（自學）2 2 有效數(shù)字有效數(shù)字3.3.近似運算法則近似運算法則近似運算法則（續(xù)）近似運算法則（續(xù)）5 .3508.48804.14408.428.043.517 365 .3551.351 . 428. 052008. 428. 043.517 2 2 誤差的估計和

4、處理誤差的估計和處理 1.隨機誤差的性質(zhì)和特點隨機誤差的性質(zhì)和特點隨機誤差的性質(zhì)和特點隨機誤差的性質(zhì)和特點正態(tài)分布正態(tài)分布( (a a) )隨隨 機機 誤誤 差差( (b b) ) 測測 量量 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù)0 )( p x xp p( (x x) )0 0圖圖 3 3 1 1 隨隨 機機 誤誤 差差 和和 測測 量量 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 的的 正正 態(tài)態(tài) 分分 布布 曲曲 線線)2exp(21)(22 p2)(exp21)(22 xxp2.隨機誤差的數(shù)字特征隨機誤差的數(shù)字特征 1iipixE(X) dxxxpXE)()( 以正態(tài)分布為例以正態(tài)分布為例2)(exp21)(22 xxpdxxxxE2)(ex

5、p21)(22數(shù)學期望描述隨機變量在數(shù)軸上的位置數(shù)學期望描述隨機變量在數(shù)軸上的位置。隨機變量的所有。隨機變量的所有可能值都圍繞數(shù)學期望擺動，當需要用一個數(shù)值來表征隨可能值都圍繞數(shù)學期望擺動，當需要用一個數(shù)值來表征隨機變量大小時，該值就是數(shù)學期望！機變量大小時，該值就是數(shù)學期望！方差和標準偏差方差和標準偏差與隨機變量有相同量綱。與隨機變量有相同量綱。)( XD q方差是最小的二階矩方差是最小的二階矩 二階矩：隨機變量與任一二階矩：隨機變量與任一 常數(shù)常數(shù)A A的偏離程度。的偏離程度。iiipAx22)(隨機變量關于其數(shù)學期望的偏離程度比其它任何值都小。隨機變量關于其數(shù)學期望的偏離程度比其它任何值

6、都小。這說明數(shù)學期望是被測量的最可信賴的值（概然值）。這說明數(shù)學期望是被測量的最可信賴的值（概然值）。q 標準偏差的物理意義標準偏差的物理意義 0)(p1 2 3 222222)2exp(21)() 0()(ddpED以正態(tài)分布為例：以正態(tài)分布為例：3. 數(shù)學期望和標準偏差的估計數(shù)學期望和標準偏差的估計用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當 則則nnxpxXEimiimiii 11)(令令n n個不相同的測試數(shù)據(jù)個不相同的測試數(shù)據(jù)x xi i(i=1.2,n)(i=1.2,n) 次數(shù)都計為次數(shù)都計為1 ,1 ,當當 時，則時，則 niiniixnnxXE1

7、111)( n n（1 1）數(shù)學期望的估計）數(shù)學期望的估計算術平均值算術平均值被測量被測量X X的數(shù)學期望，的數(shù)學期望，就是當測量次數(shù)就是當測量次數(shù) 時，各次測量值的算時，各次測量值的算術平均值術平均值 n算術平均值算術平均值( (續(xù)）續(xù)）（）（iniixExExnx11（2 2）算術平均值的標準偏差）算術平均值的標準偏差*)()()(1)(1)1()(222122122122nniiniixxxnxnxnx )(1)(1222XnXnn nXx)()( n用算術平均值作為估用算術平均值作為估計值的精度問題計值的精度問題!221()( )exp22xxxp x（3 3）標準偏差的估計）標準偏差

8、的估計q實驗標準偏差實驗標準偏差（標準偏差的估計值），貝塞爾公式：標準偏差的估計值），貝塞爾公式：q實驗方差是標準方差的無偏估計！實驗方差是標準方差的無偏估計！ 但實驗標準偏差是標準偏差的有偏估計，其無偏估計要但實驗標準偏差是標準偏差的有偏估計，其無偏估計要帶一個修偏系數(shù)。帶一個修偏系數(shù)。q算術平均值標準偏差的估計值算術平均值標準偏差的估計值 ： niiniixxnnxs1212)(1111)( nxsxs)()( 標準偏差是以標準偏差是以“真誤差真誤差”來計算的。來計算的。有限次測量只能得到有限次測量只能得到“殘差殘差”,如何根據(jù)如何根據(jù)“殘差殘差”估計標準估計標準偏差偏差? 22( )E

9、sx平均值平均值 殘差殘差 用公式用公式 計算列于上表中計算列于上表中實驗偏差實驗偏差 標準偏差標準偏差)( 1 .530)531530532530529533531527529531528(11111Cxnxonii xxii )(767.111)(12Cnxsonii )(53.011767.1)()(Cnxsxso 數(shù)學期望和標準偏差計算舉例數(shù)學期望和標準偏差計算舉例用溫度計重復測量某個不變的溫度，得用溫度計重復測量某個不變的溫度，得1111個測量值的序列個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。x4. 測量結果的置信度測量結果的置

10、信度 k kxEx )(置信概率置信概率（2 2）正態(tài)分布的置信概率）正態(tài)分布的置信概率 kkdpkPkxExP)()(997. 0)2exp(21)()3(223333 ddpP 的意義：我們可以的意義：我們可以有有68.27%的把握認為的把握認為測量誤差不超出測量誤差不超出（3 3） t t分布的置信概率分布的置信概率- -( (+ +1 1) )2 2m m- -1 1- -t t2 20 0+ +1 1( () )t t2 2y y = = f f( (t t, , ) )= =( (1 1+ +) ) ( (m m) )= =t te e d dt t ( (m m 0 0) ) 伽

11、伽瑪函函數(shù)數(shù) ( () )2 2 2 22 2x xx x1 1( (x x - - ) )p p( (x x) ) = =e ex xp p - - 2 22 2u t t分布分布: :學生分布學生分布x x - -t t = = t t( (n n - - 1 1) )s s / /n nu 算術平均值的分布算術平均值的分布測量次數(shù)較小時測量次數(shù)較小時（4 4）非正態(tài)分布及其置信因子）非正態(tài)分布及其置信因子236k k a 3a 3akka 3 k- -a aa aP P( (x x) )x x0 0 c a 0 t 圖3 7 多 種 系 統(tǒng) 誤 差 的 特 征 其 中 ： a - - -

12、 - 不 變 系 差 b - - - - - 線 性 變 化 系 差 c - - - - - 周 期 性 系 差 d - - - - - 復 雜 規(guī) 律 變 化 系 差 d b 1. 1. 系統(tǒng)誤差的特征系統(tǒng)誤差的特征在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。 多次測量求平均不能減少系差。多次測量求平均不能減少系差。 2. 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法 ii0ii0 存在線性變化的系統(tǒng)誤差存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差無

13、明顯系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法 （續(xù)）（續(xù)）1121112111: (1 ()nnniiiiniiininnn ss 基本思想 通過的符號變化判定阿貝判據(jù)對于累進性誤差，是一個很大的負值，失效問題：1到n個測量值不是周期的整數(shù)倍時，也可能是一個很大的負值阿貝赫梅特判據(jù) 2/112/ninniiiD 2/)1(12/)1(ninniiiD 排除累進性系差的前提下使用排除累進性系差的前提下使用3. 系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法系差忽略不計的準則：系差或殘差代數(shù)和的絕對值不超過測量系差忽略不計的準則：系差或殘差代數(shù)和的絕對值不超過測量結果擴展不確定度的最后一位有

14、效數(shù)字的一半。結果擴展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。減少系差的減少系差的測量方法（復合式比較）測量方法（復合式比較）微差法進行測量時，測量誤差公式：微差法進行測量時，測量誤差公式：測量儀器的誤差測量儀器的誤差 對測量的對測量的影響被大大地削弱影響被大大地削弱優(yōu)點：測量速度快和測量準確度高。優(yōu)點：測量速度快和測量準確度高。 xSxSx/ 0-v+vxs(2)(2)替代法替代法 替代法的測量原理 替代法的測量原理xs0 0-v-v+v+v2 2K KK K1 1（b) 零示法（b) 零示法(a) 偏轉法(a) 偏轉法xs0 0-v-v+v+v2 2K KK K1 1r r(3)(3)交換法交換

15、法12121()2xWW WWW11 2xW lW l 22 1xW lW l ( (a a) ) 天天 平平 稱稱 重重xWW1l1l2xWW2l1l212121()2xssssRRRRR消除不等臂誤差！消除不等臂誤差！消除消除R1，R2不準確帶來的誤差！不準確帶來的誤差！2. 粗大誤差的判別準則粗大誤差的判別準則統(tǒng)計學方法的基本思想：給定置信概率，確定相應的置信區(qū)統(tǒng)計學方法的基本思想：給定置信概率，確定相應的置信區(qū)間，超過置信區(qū)間的誤差就認為是粗大誤差，間，超過置信區(qū)間的誤差就認為是粗大誤差，逐個逐個予以剔除。予以剔除。萊特準則：萊特準則：si3 萊特準則基于測量次數(shù)無窮大，測量測數(shù)較小時

16、不可靠。萊特準則基于測量次數(shù)無窮大，測量測數(shù)較小時不可靠。格拉布斯準則格拉布斯準則sG max 解：解： 計算得計算得 s=0.033s=0.033計算殘差填入表計算殘差填入表3 37 7， 最大，最大， 是可疑數(shù)據(jù)。是可疑數(shù)據(jù)。 用萊特檢驗法用萊特檢驗法 3 s=33 s=30.033=0.0990.033=0.099 故可判斷故可判斷 是粗大誤差，應予剔除。是粗大誤差，應予剔除。再 對 剔 除 后 的 數(shù) 據(jù) 計 算 得 ：再 對 剔 除 后 的 數(shù) 據(jù) 計 算 得 ： s = 0 . 0 1 6 s = 0 . 0 1 6 3s= 0.0483s= 0.048各測量值的殘差各測量值的殘差

17、V V填入表填入表3 37 7，殘差均小于，殘差均小于3 s3 s故故1414個數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)。個數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)。404.20 x104. 08 8x411.20 x【例】【例】 對某電爐的溫度進行多次重復測量，所得結果列于表37，試檢查測量數(shù)據(jù)中有無粗大誤差。 niixnx11xxii 01 nii niins1211 nssx xskxA 1205.300.090.099205.710.410.410.50.52204.94-0.4-0.4-0.27-0.2710204.7-0.6-0.6-0.51-0.513205.630.330.330.420.4211204.86-0.44-0.

18、44 -0.35-0.354205.24-0.1-0.10.030.0312205.350.050.050.140.145206.651.351.3513205.21-0.09-0.09 06204.97-0.3-0.3-0.24-0.2414205.19-0.11-0.11 -0.02-0.027205.360.060.060.150.1515205.21-0.09-0.09 08205.16-0.1-0.1-0.05-0.0516205.320.020.020.110.11殘殘 差差殘殘 差差測量值測量值序號序號殘殘 差差 殘殘 差差序號序號測量值測量值-0 .8-0 .6-0 .4-0

19、.200 .20 .40 .6圖 3 9 殘 差 圖51 01 5ni2. 2. 非非等精度測量等精度測量數(shù)據(jù)的處理（不作要求）數(shù)據(jù)的處理（不作要求）iiW2 miimiiimiimiiiWxWxx1112121加權平均值：加權平均值：精度高的儀器測得的數(shù)據(jù)作為測量結果最佳么？精度高的儀器測得的數(shù)據(jù)作為測量結果最佳么？以多組重復測量為例說明以多組重復測量為例說明加權平均值的標準偏差：加權平均值的標準偏差：miimiixW112211miimiimiixiiiiixx112122122111221P222222P1)()()()(證明思路證明思路:誤差合成原理誤差合成原理nix22等精度測量為特

20、例等精度測量為特例3 3 測量不確定度測量不確定度 不確定度的分類不確定度的分類 測量不確定度不確定度擴展不確定度B 類類標標準準不不確確定定度度Bu標準不確定度A 類類標標準準不不確確定定度度Au合合成成標標準準不不確確定定度度CuU99U95U()3kU()2k相對不確定度不確定度與誤差的關系不確定度與誤差的關系3.2 3.2 不確定度的評定方法不確定度的評定方法niixnx11 1)()(12nxxXSniinXSxSuA)()( 自由度：數(shù)值越大，說明自由度：數(shù)值越大，說明測量不確定度越可信測量不確定度越可信。1n2. B2. B類評定（非統(tǒng)計方法）類評定（非統(tǒng)計方法）u 主要信息來源

21、是以前測量的數(shù)據(jù)、生產(chǎn)廠的技術證明書、主要信息來源是以前測量的數(shù)據(jù)、生產(chǎn)廠的技術證明書、儀器的鑒定證書或校準證書等。儀器的鑒定證書或校準證書等。u 確定測量值的誤差區(qū)間（確定測量值的誤差區(qū)間（,-,-），并假設被測量的值的），并假設被測量的值的概率分布，由要求的置信水平估計包含因子概率分布，由要求的置信水平估計包含因子k k（），則，則B B類標準不確定度類標準不確定度u uB B為為kuB 分布分布三角三角梯形梯形均勻均勻反正弦反正弦 k (p=1)概率概率P%5068.27909595.459999.73置信因子置信因子0.67611.6451.96022.5763621/632表表3 3

22、1010幾種非正態(tài)分布的置信因子幾種非正態(tài)分布的置信因子k k 3.3 合成標準不確定度合成標準不確定度111212(,)nnnyf x xxfffdydxdxdxxxx, ,12121212lnlnlnnnnnfffyxxxxxxyfffxxxyxxx ix 較小時忽略高次項測量函數(shù)為和、差關系時，求絕對誤差較方便測量函數(shù)為和、差關系時，求絕對誤差較方便測量函數(shù)為積、商、開方、乘方關系時，求相對誤差較方便測量函數(shù)為積、商、開方、乘方關系時，求相對誤差較方便（2）標準偏差的合成）標準偏差的合成2221cov(,)()(2) )(iiijjijijiijjijNyxijxxxxxxiijiijx

23、 xExfffxxE xxxE x 相關系數(shù)、協(xié)方差相關系數(shù)、協(xié)方差221() iNyxiifx 各各隨隨機機誤誤差差相相互互獨獨立立時時均均方方根根合合成成2、標準不確定度的合成、標準不確定度的合成1/2212111( )()2(,) () ()NNNCiijijiijiiijfffuyuxr xxu x u xxxx 21NCiiuu各不確定度分量不相關，不能寫出函數(shù)關系的：各不確定度分量不相關，不能寫出函數(shù)關系的：不確定度傳播律公式的幾種簡化公式不確定度傳播律公式的幾種簡化公式1()()NCiiifuyuxx 1 / 2221()()NCiiiuyAuy 1212NpppNYXXX Ni

24、iiiCxxuPYyu12/)()(22()()VPIuuuPIV 22222222()()PIVIVPPuuuV uI uIV 3.4 3.4 擴展不確定度擴展不確定度u 包含因子包含因子k k選取方法選取方法: :(A)(A)無法得到合成標準不確定度的自無法得到合成標準不確定度的自由度，且測量值接近正態(tài)分布時，由度，且測量值接近正態(tài)分布時，則一般取則一般取的典型值為的典型值為2 2或或3 3。(B)(B)根據(jù)測量值分布規(guī)律和所要求的根據(jù)測量值分布規(guī)律和所要求的置信水平選取值。例如，假設置信水平選取值。例如，假設為均勻分布時，置信水平為均勻分布時，置信水平P P0.950.95，查表得，查表

25、得 k k1.651.65。Pk57.741951.65991.711001.73均勻分布時置信概率均勻分布時置信概率與置信因子與置信因子k k的關系的關系自由度：自由度：測量不確定度的不確定度測量不確定度的不確定度1 ni 薩特思韋特公式韋爾奇 - , )()(1444NiiiiCeffvxuCyuv度標準不確定度的不可信)()( , )()(212iiiiBxuxuxuxuCi靈敏度系數(shù)CiU(xi) =Ui (y)3.53.5應用實例應用實例【例】【例】RVP2 電壓的電壓的B類類不確定度不確定度電阻的電阻的B類類不確定度不確定度電壓的電壓的A類類不確定度不確定度RVP2 VVnVVni

26、i32. 255 . 22 . 24 . 23 . 22 . 2/1 WWRVP027. 099.199)32. 2()(22 （3 3）標準不確定度分量的評定）標準不確定度分量的評定電壓測量引入的標準不確定度電壓測量引入的標準不確定度電壓表不準引入的標準不確定度分量電壓表不準引入的標準不確定度分量u u1 1（V V），），B B類評定類評定 a a1 1=2.32V=2.32V1%=0.023V 1%=0.023V (a)(a)(b)(b)電壓測量重復性引入的標準不確定度分量電壓測量重復性引入的標準不確定度分量u u2 2（V V），），A A類類評定評定VkaVu013. 03023.

27、0)(111 VVxxSii13.0418.012.008.002.012.015)(22222512 VVnSxSVu058. 0513. 0)()(2 VVVuVuVu059. 0058. 0013. 0)()()(222221 3.44058.010013.00594.0)()()(4442421414)( vVuvVuVuvCVeff 01. 0202. 0)(22kUkaRu（5 5）計算合成標準不確定度）計算合成標準不確定度u uC C(P)(P)：V和R不相關)()()(222221RucVucPuC /023. 099.19932. 222VRVVP2222222(2.32)0.00013/(199.99)PVcVRR WPuC0014. 0)01. 0()00013. 0()059. 0()023. 0()(2