1、.習(xí)題6-2 1. 求圖6-21 中各畫斜線部分的面積: (1) 解 畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為0, 1. 所求的面積為 . (2) 解法一 畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為0, 1. 所求的面積為 , 解法二 畫斜線部分在y軸上的投影區(qū)間為1, e. 所求的面積為 . (3) 解 畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為-3, 1. 所求的面積為 . (4) 解 畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為-1, 3. 所求的面積為 . 2. 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積: (1) 與x2+y2=8(兩部分都要計算); 解: . . (2)與直線y=x及x=2; 解: 所求的面積為 . (3) y=ex, y

2、=e-x與直線x=1; 解: 所求的面積為 . (4)y=ln x, y軸與直線y=ln a, y=ln b (ba0). 解 所求的面積為 3. 求拋物線y=-x2+4x-3及其在點(0, -3)和(3, 0)處的切線所圍成的圖形的面積. 解: y=-2 x+4. 過點(0, -3)處的切線的斜率為4, 切線方程為y=4(x-3). 過點(3, 0)處的切線的斜率為-2, 切線方程為y=-2x+6. 兩切線的交點為, 所求的面積為 . 4. 求拋物線y2=2px及其在點處的法線所圍成的圖形的面積. 解 2yy=2p . 在點處, , 法線的斜率k=-1, 法線的方程為, 即. 求得法線與拋物

3、線的兩個交點為和. 法線與拋物線所圍成的圖形的面積為 . 5. 求由下列各曲線 所圍成的圖形的面積;(1)r=2acosq ; 解: 所求的面積為 =pa2. (2)x=acos3t, y=asin3t; 解 所求的面積為 . (3)r=2a(2+cosq ) 解 所求的面積為 . 6. 求由擺線x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱(0t2p)與橫軸 所圍成的圖形的面積. 解: 所求的面積為 . 7. 求對數(shù)螺線r=aeq(-pqp)及射線q=p所圍成的圖形面積. 解 所求的面積為 . 8. 求下列各曲線所圍成圖形的公共部分的面積. (1)r=3cosq 及r=1+cos

4、q 解 曲線r=3cosq 與r=1+cosq 交點的極坐標(biāo)為, . 由對稱性, 所求的面積為 . (2)及. 解 曲線與的交點M的極坐標(biāo)為M. 所求的面積為 . 9. 求位于曲線y=ex下方, 該曲線過原點的切線的左方以及x軸上方之間的圖形的面積. 解 設(shè)直線y=kx與曲線y=ex相切于A(x0, y0)點, 則有 , 求得x0=1, y0=e, k=e . 所求面積為 . 10. 求由拋物線y2=4ax與過焦點的弦所圍成的圖形的面積的最小值. 解 設(shè)弦的傾角為a. 由圖可以看出, 拋物線與過焦點的弦所圍成的圖形的面積為 . 顯然當(dāng)時, A1=0; 當(dāng)時, A10. 因此, 拋物線與過焦點的

5、弦所圍成的圖形的面積的最小值為 . 11. 把拋物線y2=4ax及直線x=x0(x00)所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn), 計算所得旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 . 12. 由y=x3, x=2, y=0所圍成的圖形, 分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn), 計算所得兩個旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 . 繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 . 13. 把星形線所圍成的圖形, 繞x軸旋轉(zhuǎn), 計算所得旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 由對稱性, 所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 . 14. 用積分方法證明圖中球缺的體積為. 證明 . 15. 求下列已知曲線所圍成的圖形, 按指定的軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積: (1), , 繞y

6、軸; 解 . (2), x=0, x=a, y=0, 繞x軸; 解 . (3), 繞x 軸. 解 . (4)擺線x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱, y=0, 繞直線y=2a. 解 . 16. 求圓盤繞x=-b(ba0)旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 . 17. 設(shè)有一截錐體, 其高為h, 上、下底均為橢圓, 橢圓的軸長分別為2a、2b和2A、2B, 求這截錐體的體積. 解 建立坐標(biāo)系如圖. 過y軸上y點作垂直于y軸的平面, 則平面與截錐體的截面為橢圓, 易得其長短半軸分別為 , . 截面的面積為. 于是截錐體的體積為 . 18. 計算底面是半徑為R的圓, 而垂直于底面上一

7、條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積. 解 設(shè)過點x且垂直于x軸的截面面積為A(x), 由已知條件知, 它是邊長為的等邊三角形的面積, 其值為 , 所以 . 19. 證明 由平面圖形0axb, 0yf(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 . 證明 如圖, 在x處取一寬為dx的小曲邊梯形, 小曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積近似為2pxf(x)dx, 這就是體積元素, 即 dV=2pxf(x)dx, 于是平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 . 20. 利用題19和結(jié)論, 計算曲線y=sin x(0xp)和x軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 . 21. 計算曲線y=l

8、n x上相應(yīng)于的一段弧的長度. 解 , 令, 即, 則 . 22. 計算曲線上相應(yīng)于1x3的一段弧的長度. 解 , , , , 所求弧長為 . 23. 計算半立方拋物線被拋物線截得的一段弧的長度. 解 由得兩曲線的交點的坐標(biāo)為, . 所求弧長為. 因為 , , . 所以 . 24. 計算拋物線y2=2px 從頂點到這曲線上的一點M(x, y)的弧長. 解 . 25. 計算星形線, 的全長. 解 用參數(shù)方程的弧長公式. . 26. 將繞在圓(半徑為a)上的細(xì)線放開拉直, 使細(xì)線與圓周始終相切, 細(xì)線端點畫出的軌跡叫做圓的漸伸線, 它的方程為 , . 計算這曲線上相應(yīng)于t從0變到p的一段弧的長度. 解 由參數(shù)方程弧長公式 . 27. 在擺線x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)上求分?jǐn)[線第一拱成1: 3的點的坐標(biāo). 解 設(shè)t從0變化到t0時擺線第一拱上對應(yīng)的弧長為s(t0), 則 . 當(dāng)t0=2p時, 得第一拱弧長s(2p)=8a. 為求分?jǐn)[線第一拱為1: 3的點為A(x, y), 令 , 解得, 因而分點的坐標(biāo)為: 橫坐標(biāo), 縱坐標(biāo), 故