1、2022-3-231協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2EX-E(X)Y-E(Y)定義：定義： 若若EX-E(X)Y-E(Y)存在，稱存在，稱cov( X,Y )=EX-E(X)Y-E(Y)為隨機變量為隨機變量X,Y的的協(xié)方差協(xié)方差。注注: D(X)= cov(X,X )D(X士士Y)=D(X)+D(Y)士士2cov(X,Y )2022-3-232協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩 協(xié)方差的協(xié)方差的性質(zhì)性質(zhì)：cov( X,Y ) cov( Y,X )cov( aX,bY ) ab co

2、v( X,Y )cov( X1+X2,Y ) cov( X1,Y )+cov( X2,Y )常用常用計算公式計算公式：cov( X,Y )E(XY) E(X)E(Y)2022-3-233協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩 定義定義：設設n維隨機變量維隨機變量(X1,X2,Xn)的協(xié)方差的協(xié)方差 Cij = cov( Xi,Xj )均存在均存在.稱矩陣稱矩陣 nnnnnnc.cc.c.ccc.ccC212222111211為為(X1,X2,Xn)的的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣.2022-3-234協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩 三、協(xié)方差矩陣的性質(zhì)三、協(xié)方差矩陣的性質(zhì);,.,2 , 1

3、),(1niXDciii ）協(xié)方差例協(xié)方差例題題 ;,.,2 , 1,2njiccjiij ）對稱陣對稱陣2022-3-235協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩 定義定義： 設二維隨機變量設二維隨機變量X,Y的的D(X)0,D(Y)0 稱稱 YDXDY,XcovXY 為隨機變量為隨機變量X與與Y的的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)。注注：1）XY是一無量綱的量是一無量綱的量。 2） *cov,XYXE XYE YED XD YE X YXY 2022-3-236協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩 性質(zhì)性質(zhì)：設隨機變量：設隨機變量X,Y的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)存在，則存在，則 1） | 1 2） |1

4、X與與Y依概率為依概率為1線性相關(guān)。即線性相關(guān)。即 10 XYPt .s,證證 明明 證證 明明 3）若）若 a 1X+b1 , = a 2Y+b2 則則 XYaaaa 2121 證證 明明 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是衡量兩個隨機變量之間是衡量兩個隨機變量之間線性相關(guān)程度線性相關(guān)程度的數(shù)字特征的數(shù)字特征.2022-3-237協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩 定理定理：設隨機變量設隨機變量X,Y的相關(guān)系數(shù)存在的相關(guān)系數(shù)存在 2）XY1 稱稱 X,Y負相關(guān)負相關(guān). 1）XY1 稱稱 X,Y正相關(guān)正相關(guān). 3）XY0 稱稱 X,Y不相關(guān)不相關(guān). 注注：XY0僅說明僅說明X,Y之間之間沒有線性關(guān)系沒有

5、線性關(guān)系，但可以，但可以有其他有其他非線性關(guān)系非線性關(guān)系. 參見書上參見書上P116 例例4.4.4.定義定義：若隨機變量若隨機變量X與與Y相互獨立，則相互獨立，則X與與Y不相關(guān)不相關(guān).即即 XY0 注注：1）此定理的）此定理的逆定理不成立逆定理不成立.例例4.3.1 2）(X,Y)N(1,21; 2,22; )則則 X,Y相互獨立相互獨立 0 參見參見P117 例例4.4.6.例例4.3.2 例例4.3.3 2022-3-238協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩 定義定義： 設設X為隨機變量，若為隨機變量，若E(|X|k) +,則稱則稱k= E(Xk) k=1,2,3.為為X的的k階原

6、點矩階原點矩.稱稱k =E(|X|k) k=1,2,3.為為X的的k階絕對原點矩階絕對原點矩.設設X為隨機變量，若為隨機變量，若E|X-E(X)|k +,則稱則稱k= EX-E(X)kk=1,2,3.為為X的的k階中心矩階中心矩.定義定義：稱稱 k =E|X-E(X)|k k=1,2,3.為為X 的的k階絕對中心矩階絕對中心矩.2022-3-239協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩 XDXE 21221210 的關(guān)系：的關(guān)系：與與kk kkkkXEXEXEXEXE11 kiikiikkiikiikCXEC001 kikikikikkC011 2022-3-2310協(xié)協(xié) 方方 差差 . 相

7、相 關(guān)關(guān) 系系 數(shù)數(shù) 與與 矩矩1） | 1 Y,XcovYDXDYXD20證證明明：XY 22 XY 112 011 XY 1 XY 2022-3-2311 10 XYPt .s,必必要要性性證證明明： 011 YXD）有有由由時時 0 YXE 1014 YXPYXEYXP即即）得得由由方方差差的的性性質(zhì)質(zhì) 1 YEXEXDYDXXDYDYP同同理理可可得得。對對1 協(xié)協(xié) 方方 差差 . 相相 關(guān)關(guān) 系系 數(shù)數(shù) 與與 矩矩 2） |1 X與與Y依概率為依概率為1線性相關(guān)。即線性相關(guān)。即2022-3-2312充充分分性性 1 XYP XEYE XEYD2 YEYXEXEY,Xcov XEXXE

8、XE XD 12 YDXDY,XcovXY協(xié)協(xié) 方方 差差 . 相相 關(guān)關(guān) 系系 數(shù)數(shù) 與與 矩矩2022-3-2313 3）若）若 a 1X+b1 , = a 2Y+b2 則則 XYaaaa 2121 YDaDXDaD2221 證證明明： EEE,cov YEaYaXEaXaE2211 Y,XcovaaYEYXEXEaa2121 XYXYaaaaaaaaDD,cov 212122121 協(xié)協(xié) 方方 差差 . 相相 關(guān)關(guān) 系系 數(shù)數(shù) 與與 矩矩2022-3-2314例例4.3.1：(X,Y)在以原點為圓心的單位圓內(nèi)服從均勻在以原點為圓心的單位圓內(nèi)服從均勻 分布。分布。 其其它它01221yxy

9、,xf 1012121122 xxdyxfxxX 1012121122 yydxyfyyY 012112 dxxxdxxfxXEX 0 YE同同理理：協(xié)協(xié) 方方 差差 . 相相 關(guān)關(guān) 系系 數(shù)數(shù) 與與 矩矩2022-3-2315 0110203122 drdcossinrdxdyxyYEYXEXEyx例：例：(X,Y)在以原點為圓心的單位圓內(nèi)服從均勻分布。在以原點為圓心的單位圓內(nèi)服從均勻分布。 其其它它01221yxy,xf 000 XYYD,XD 從從而而可可以以驗驗證證 1010YXff,f 但但不相關(guān)不一定相互獨立不相關(guān)不一定相互獨立!協(xié)協(xié) 方方 差差 . 相相 關(guān)關(guān) 系系 數(shù)數(shù) 與與

10、矩矩2022-3-2316協(xié)協(xié) 方方 差差 . 相相 關(guān)關(guān) 系系 數(shù)數(shù) 與與 矩矩例例4.3.2 假設二維隨機變量（假設二維隨機變量（X，Y）在矩形在矩形 G=（x，y）|0 x2,0y1上服從均勻分布上服從均勻分布記記 YXYXVYXYXU212010求求UV VDUDVEUEUVEVDUDV,UcovUV 分分析析：關(guān)鍵是求關(guān)鍵是求E(UV)求出求出UV分布律分布律GXYO2022-3-2317例例4.3.2 設二維隨機變量（設二維隨機變量（X，Y）在矩形在矩形 G=（x，y）|0 x2，0y1上服從均勻分布上服從均勻分布記記 YXYXVYXYXU212010求求UV協(xié)協(xié) 方方 差差 .

11、相相 關(guān)關(guān) 系系 數(shù)數(shù) 與與 矩矩解：解：由已知可得由已知可得 4310102/dydxy,xfYXPYXPUEy G 其其它它021Gy,x/y,xfXYO 16322/UEUEUD 4121/VD/VE 同同理理2022-3-2318協(xié)協(xié) 方方 差差 . 相相 關(guān)關(guān) 系系 數(shù)數(shù) 與與 矩矩的的分分布布律律為為：UVVYXYXUV 2120 21/VEUVE 故故 3341163214321 VDUDVEUEUVEVDUDV,UcovUV 從從而而2022-3-2319協(xié)協(xié) 方方 差差 . 相相 關(guān)關(guān) 系系 數(shù)數(shù) 與與 矩矩例例4.3.3 某集裝箱中放有某集裝箱中放有100件產(chǎn)品，其中一二三

12、等件產(chǎn)品，其中一二三等 品分別為品分別為80,10,10件?，F(xiàn)從中任取件。現(xiàn)從中任取一件一件，記，記2132101XXi,iiX 求求其其它它等等品品抽抽到到 212121212121XDXDXEXEXXEXDXDX,XcovXX 分分析析：關(guān)鍵是求關(guān)鍵是求E(X1X2)求出求出X1X2分布律分布律2022-3-2320協(xié)協(xié) 方方 差差 . 相相 關(guān)關(guān) 系系 數(shù)數(shù) 與與 矩矩例例4.3.3 某集裝箱中放有某集裝箱中放有100件產(chǎn)品，其中一二三等件產(chǎn)品，其中一二三等 品分別為品分別為80,10,10件。現(xiàn)從中任取件?，F(xiàn)從中任取一件一件，記，記2132101XXi,iiX 求求其其它它等等品品抽抽

13、到到 解：解：由已知可得由已知可得 160801801.XD 80101.PPXE 抽抽到到一一等等品品抽抽到到非非一一等等品品 0901022.XD.XE 同同理理的的分分布布律律為為：21XX00121 其它其它等品等品抽到的為一等品且為二抽到的為一等品且為二XX2022-3-2321協(xié)協(xié) 方方 差差 . 相相 關(guān)關(guān) 系系 數(shù)數(shù) 與與 矩矩 32212121212121 XDXDXEXEXXEXDXDX,XcovXX 從從而而2022-3-2322 例例4.3.1 設二維隨機變量設二維隨機變量 (X, Y ) 的聯(lián)合概的聯(lián)合概率密度為率密度為求求: (X, Y )的協(xié)方差矩陣。的協(xié)方差矩陣

14、。 分析分析：計算：計算(X, Y )的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣, 本質(zhì)上就本質(zhì)上就是計算是計算X、Y 的方差和協(xié)方差的方差和協(xié)方差. ., 0);1 (20, 10,6),(其它其它xyxxyyxf2022-3-2323解解. 先計算先計算 E(X), E(Y) dxdyyxxfXE),()( )(xydyxdx1202106521121022 dxxx)( dxdyyxyfYE),()( )(xdyxydx120210654116103 dxxx)(2022-3-2324為計算方差為計算方差, 再計算再計算 E(X 2), E(Y 2) dxdyyxfxXE),()(22 )1 ( 203106xydyxdx51)1 (121023 dxxx dxdyyxfyYE),()(22 )1 ( 203106xdyxydx54)1 (24104 dxxx