1、第三章連續(xù)型隨機(jī)變量一、分布函數(shù)的概念定義：定義在樣本空間 上，取值于實(shí)數(shù)域的函數(shù)() ，稱為是樣本空間 上的（實(shí)值）隨機(jī)變量，并稱F (x)P( ()x),x(,)是隨機(jī)變量() 的概率分布函數(shù) ，簡(jiǎn)稱為 分布函數(shù)或分布 。分布函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是事件(x) 的概率。二、分布函數(shù)的性質(zhì)由概率的性質(zhì)可知：1） 非負(fù)性：x(,),0F ( x)12） 單調(diào)性：若 x1x2 則 F（x1） F（x2）3） 若 x1x2 ,則P（x1x2）F（ x2） F（ x1）P(x2 )P(x1 )(x2 )(x1 )進(jìn)一步P(x1x2 )F ( x2 )F ( x1 )4） 極限性： lim F（ x） F（）0

2、， lim F ( x)F ()1xx證：因?yàn)?0F ( x)1且F（x）單調(diào) ，所以limF ( x)limF (m)xmlimF ( x)limF (n)xn都存在，又由概率的完全可加性有1 P( ) P U (n(w) n 1)P(n( ) n 1)nnnlimP(i()i1)lim F (n)lim F (m)nimnmm所以必有l(wèi)im F ( n)1, lim F (m)0nm即lim F ( x)1, lim F ( x)0xx5） 左連續(xù)性： F( x0)F ( x)證：因?yàn)?F ( x) 是單調(diào)有界函數(shù)， 其任一點(diǎn)的左極限F ( x0) 必存在，為證明其左連續(xù)性，只要對(duì)某一列單

3、調(diào)上升的數(shù)列x1x2xn, xnx(n)證明lim F ( xn )F ( x)n成立即可。這時(shí)，有F ( x) F (x1 ) P( x1( ) x) P U ( xn( ) xn 1 )P( xn( ) xn 1 )n 1n 1F (xn 1 )F (xn )n 1由此可得 F ( x). lim F (xn 1 )nlim F (xn 1 ) F (x1 )lim F (xn 1 ) F ( x1 )nnF (x 0)2）、4）、 5）是分布函數(shù)的三個(gè)基本性質(zhì)，反過(guò)來(lái)還可以證明，任一個(gè)滿足這三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)，一定可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。因此，滿足這三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)通常都稱為分布函數(shù)。

4、知道了隨機(jī)變量() 的分布函數(shù) F (x) ，不僅掌握了 ( ()x) 的概率，而且還可以計(jì)算下述概率：P(x)1P(x)1F ( x)P(x)F ( x0)P(x)1 F ( x0)P(x)F (x0)F ( x)P(x1x2 )F ( x20)F ( x1 )P( x1x2 ) F (x2 ) F ( x1 0)P( x1x2 )F ( x20)F ( x10)由此可以看出，上述這些事件的概率都可以由 F ( x) 算出來(lái)，因此 F ( x) 全面地描述了隨機(jī)變量 ( ) 的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。既然分布函數(shù)能夠全面地描述一般的隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律， 因而分布函數(shù)這個(gè)概念比分布列更重要。 不過(guò)，對(duì)離散型

5、隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)， 用的教多的還是分布列， 那是因?yàn)樗容^方便的緣故。三、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)() 為一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它的分布列為a1a2akpip1p2pk則 的分布函數(shù)為 F ( x)P()x)P( ( )ai )ai x對(duì)離散型隨機(jī)變量，用得較多的還是分布列。例1、若服從退化分布，即有P(a)1則的分布函數(shù)為1, xaF ( x)0, xa例2、若服從兩點(diǎn)分布10piPq求的分布函數(shù) F（x）。解： 當(dāng) x0時(shí)， F（ x） P（x） 0當(dāng) 0x 1 時(shí)， F（ x） P（x） P（0） q當(dāng) x1時(shí)， F ( x) P(x) P(0) P(1) 1例3、設(shè)的分布列為012pi0.

6、30.40.3求的分布函數(shù) F (x) 。解： 當(dāng) x0時(shí)， F（ x） P（x） 0當(dāng) 0x 1 時(shí)， F（ x） P（x） P（0） 0.3當(dāng)1x 2 時(shí)， F（ x） P（x） P（0） P（1） 0.3 0.4 0.7當(dāng) x2, F (x) P(x)P(0)P(1)P(2)1于是0,x0F ( x)0.3, 0x10.7,1x21,x2可以看到， F ( x) 是一階梯狀的左連續(xù)函數(shù)， 在 xak (k0,1,2) 處有跳躍，其躍度為在 ak 處的概率。例 4、設(shè) 是參數(shù)為的普哇松分布的隨機(jī)變量，即kP(k )e , k0,1,2,k!求 的分布函數(shù)。k解： F ( x)P(x)P(k

7、 )ekxk xk!由此， F ( x) 是一階梯狀的左連續(xù)函數(shù)，在xk (k 0,1,2) 處有跳躍，其躍度為 在 k 處的概率。kF (k0)F (k) P(k )k!e , k0,1,2,例 5、等可能的向區(qū)間 a, b 上投擲質(zhì)點(diǎn)，求質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的分布函數(shù)。解：設(shè) x 為任一實(shí)數(shù)，當(dāng) xa 時(shí)，顯然有 F ( x) P(x)P( )0當(dāng) a x b 時(shí)，由幾何概型可知F (x) P(x) P(a) P(ax) 0xaxababa當(dāng) xb時(shí)，有 F ( x)P(x)P()1從而0,xaF ( x)xa , axbba1,xb例 6、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 F ( x)ABarctan x,x

8、求 1）常數(shù) A, B ；2） P(01) 。AB11F ()1A解： 1）由極限性得2從而解2F ()0AB012B于是F (x)11 arctan x,x22） P(01)F (1)F (0)11 arctan111 arctan 012240,x0例 6設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 F ( x)Ax 2 ,0x 1 ，1,x1求： 1）常數(shù) A ；2） 落在1, 1上的概率。2解： 1）F (x)在 x1處 左連續(xù)F（10） limF ( x)limAx 2AF(1)，11故 A 1于是0, x0F ( x)x 2 ,0x11, x12）P( 11) F(1) F( 1)1224由例 5，例

9、6 可知求分布函數(shù)中的待定常數(shù)，主要是利用分布函數(shù)的極限性及左連續(xù)性。§3.2 連續(xù)型隨機(jī)變量一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念1、定義定義：設(shè)() 是隨機(jī)變量， F ( x) 是它的分布函數(shù)，如果存在函數(shù)p( x) ，使對(duì)任意的 x ，有xF ( x)p( y)dy則稱() 為連續(xù)型隨機(jī)變量，相應(yīng)的F (x) 為連續(xù)型分布函數(shù)，同時(shí)稱p(x) 是F ( x) 的概率密度函數(shù)或稱為密度。2、密度函數(shù)的性質(zhì)由分布函數(shù)的性質(zhì)， 可驗(yàn)證任一連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)p( x) 必具備下列性質(zhì)：1）非負(fù)性：2）規(guī)范性：x(,), p(x)0p( x)dx1反過(guò)來(lái)，任意一個(gè)定義在R 上的函數(shù)p( x) ，

10、如果具有上述兩個(gè)性質(zhì)，即可定義一個(gè)分布函數(shù)F ( x) 。密度函數(shù)除了具有上述兩條特征性質(zhì)外，還有如下一些重要性質(zhì)：3）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F ( x) 在 R 上連續(xù)，且在p( x) 的連續(xù)點(diǎn)處，有F ' (x)p( x) 。對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，分布函數(shù)和密度函數(shù)可以相互確定，因此密度函數(shù)也完全刻畫了連續(xù)型隨機(jī)變量的分布規(guī)律。4）設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x ，有 P(x)F ( x0)F ( x)0這表明連續(xù)型隨機(jī)變量取單點(diǎn)值的概率為0，這與離散型隨機(jī)變量有本質(zhì)的區(qū)別，順便指出P(x)0 并不意味著（x）是不可能事件。5）對(duì)任意 x1x2 ，則P（x1x2） P（x1x2）

11、 P（x1x2） P（ x1x2）x2F（ x2） F（ x1）p( x)dxx1這一個(gè)結(jié)果從幾何上來(lái)講，落在區(qū)間 ( x1 , x2 ) 中的概率恰好等于在區(qū)間( x1 , x2 ) 上曲線 yp( x) 形成的曲邊梯形的面積。同時(shí)也可以發(fā)現(xiàn)，整個(gè)曲線yp( x) 與 x 軸所圍成的圖形面積為1。例1、設(shè)隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為p(x)c,x1 x2試求 1）常數(shù) c ；2)的分布函數(shù)； 3） P(01) 。解： 1）由密度函數(shù)的性質(zhì)可知 c0,p( x)dx1即c12 dx1,c1x于是密度函數(shù)為 p(x)1x,(1 x2 )2）3）xp(t )dtx1dt1 arctan tx1 arct

12、an x1F (x)(1t 2 )2P(01) F (1)F (0)1 arctan114例2、設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為p(x)0,x0cex , x. 00試求 1）常數(shù) c ；2）分布函數(shù) F ( x) ；3） P(1) 。解： 1）由密度函數(shù)的性質(zhì) c 0p(x)dx 1,ce x dx 1, c1e x1c00ex , x0于是 p( x)0, x02）當(dāng) x0, F ( x)x0P(t )dt當(dāng) x 0, F ( x)xP(t )dt0xe t dt1 ex0dx0于是 F ( x)0,x01ex , x03） P(1)1p(1)1 F(1)e0,xa例3、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為

13、F (x)xa , ax b ，ba1,xb求它的密度函數(shù)p(x) 。解：因?yàn)?F ' (x)p(x)1 , a x b所以 p( x)b a0,其它二、幾種常用分布1、均勻分布設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為1, xa,bp( x) ba0,xa,b則稱 服從區(qū)間 a,b 上的均勻分布，記作 U a, b 。向區(qū)間 a,b上均勻投點(diǎn)，則隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)服從 a,b 上的均勻分布。在實(shí)際問(wèn)題中，還有很多均勻分布的例子， 例如乘客在公共汽車站的候車時(shí)間，近似計(jì)算中的舍入誤差等。設(shè)隨機(jī)變量 U a,b，則對(duì)任意滿足 c, da,b ，則有 P(cd1 dxdc 這表明，落在 a, b 內(nèi)任一小區(qū)間 c,

14、 dd )c baba上取值的概率與該小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與小區(qū)間c, d 在 a, b 的位置無(wú)關(guān)，這就是均勻分布的概率意義，實(shí)際上均勻分布描述了幾何概型的隨機(jī)試驗(yàn)。2、指數(shù)分布我們下面以“母雞下蛋”問(wèn)題為例來(lái)說(shuō)明許多“等待時(shí)間”是服從指數(shù)分布的。在單位時(shí)間內(nèi)母雞下蛋數(shù)可以用普哇松分布來(lái)描述，即kP()k)e, k0,1,2,k!并且還知道其中的參數(shù)為單位時(shí)間內(nèi)下蛋數(shù)的平均值。如果現(xiàn)在考察的不是單位時(shí)間，而是 0,t ，那么這個(gè)平均值應(yīng)該與時(shí)間t 成正比，也就是t ，又因?yàn)槠胀鬯煞植季哂锌杉有裕栽?0, t 這段時(shí)間內(nèi)，下蛋數(shù)應(yīng)該服從( t) ktP( t ( ) k )e ,k 0,

15、1,2,k!這是一個(gè)參數(shù)為t 的普哇松分布。例4、設(shè)母雞在任意的t0 , t0t的時(shí)間間隔內(nèi)下蛋個(gè)數(shù)服從P(t ()k )(t) ket ,k0,1,2,k!問(wèn)兩次下蛋之間的“等待時(shí)間”服從怎樣的分布函數(shù)？解：設(shè)前一次下蛋時(shí)刻為0，因?yàn)椴豢赡転樨?fù)，所以當(dāng)t0 時(shí)，顯然有P(t )0而當(dāng) t0 時(shí)，因?yàn)樵诘却龝r(shí)間內(nèi)不下蛋(t )( t ( )0)所以有P(t)P( t ()0)et還因?yàn)?t)(t1)n 1n由概率的下連續(xù)性即得P(t ) P (t1) lim P(t(t1 )1 ) lim 1 en 1 e tn 1nnnn從而描述的分布函數(shù)為1 e tt0F (t) P( t )t00若隨機(jī)

16、變量的密度函數(shù) p(x) 為ex , x 00)p( x)( .0, x0則稱 服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記作 E() 。指數(shù)分布是一種應(yīng)用廣泛的連續(xù)型分布。我們已經(jīng)看到， 許多“等待時(shí)間”是服從這個(gè)分布的，一些沒(méi)有明顯“衰老”機(jī)理的元器件（如半導(dǎo)體元件）的壽命也可以用指數(shù)分布來(lái)描述，所以指數(shù)分布在排隊(duì)論和可靠性理論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。電話問(wèn)題中的通話時(shí)間可以認(rèn)為服從指數(shù)分布。1例 5、假定打一次電話所用的時(shí)間（單位：分）服從參數(shù)的指數(shù)分布，10試求在排隊(duì)打電話的人中， 后一個(gè)人等待前一個(gè)人的時(shí)間 （1）超過(guò) 10 分鐘；（2）10 分鐘到 20 分鐘之間的概率。解：由題設(shè)知 E( 1 ) ，故

17、所求概率為10x1） P( 10)1 e 10 dxe 10.36810102） P(1020 11x dxe 120)e 10e 20.23310 103、正態(tài)分布若隨機(jī)變量的密度函數(shù)為1_ ( x)2p( x)e 22,02,x稱 服從參數(shù)為, 2 的正態(tài)分布，記為N( ,2 ) 。正態(tài)分布是概率論中最重要的一個(gè)分布， 高斯在研究誤差理論時(shí)曾用它來(lái)刻劃誤差，所以在很多著作中也稱為高斯分布。 經(jīng)驗(yàn)表明許多實(shí)際問(wèn)題中的變量，如測(cè)量誤差、 射擊時(shí)彈著點(diǎn)與靶心間的距離、 熱力學(xué)中理想氣體的分子速度、某地區(qū)成年男子的身高等都可以認(rèn)為服從正態(tài)分布。 進(jìn)一步的理論研究表明， 一個(gè)變量如果受到大量微小的、

18、獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響， 那么這個(gè)變量一般是一個(gè)正態(tài)變量，其理論依據(jù)是下一章中的定理4.11( 第 217頁(yè)) 。正態(tài)分布的密度曲線呈倒鐘形，稱為位置參數(shù)，稱為形狀參數(shù)。2由數(shù)學(xué)分析知識(shí)可知e 2d201(x) 2x1t 2從而22e 2 dt1edxt22當(dāng)0,1時(shí)，正態(tài)分布 N (0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)為1x2( )e 2 ,x2分布函數(shù)x1t 2( x)e 2 dt,x2()0,() 1,( 0)1 , (x) 1 (x)2對(duì)于() 可以查正態(tài)分布表。設(shè) N (0,1)即 P(x1x2 )(x2 ) ( x1 ) 。一般地設(shè)N( ,2 )，則 N(0,1) 。從而，若 N (

19、,2 ) ，則 P(ab)(b)( a)例 6、設(shè) N(0,1) 求 1） P(1) ；2） P(2) ；3） P(3)解：P(1)P(11)(1)(1)2(1)10.6826P(2)P(22)(2)( 2)2(2)10.9545P(3)2(3) 10.9973例 7、設(shè) N (,2 )，求 P(), P(2), P(3 ) 。解：P()P( 11)2 (1)10.6826P(2)P(22)2(2)10.9545P(3)P(33)2(3)10.9973一般地P(k ) P( kk) 2 (k) 1這個(gè)概率與無(wú)關(guān)。4、 分布設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 p( x)( ) x 1 e x , x0 ,0

20、,0 為兩個(gè)常0,x0數(shù)，其中 ( )x1e x dx ，0 ，稱 服從參數(shù)為 ( ,) 的 分布。0特別的當(dāng)n ,1 時(shí)，22隨機(jī)變量的密度函數(shù)為1n1xx 2e 2 , x0n( n )p( )220,2x0稱服從自由度為 n 的 2 分布，記作2 ( n) 。這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要分布。特別地，當(dāng)1時(shí)， (1,) 就為參數(shù)為的指數(shù)分布。在概率論中引入隨機(jī)變量和分布函數(shù)這兩個(gè)概念， 就好象在隨機(jī)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)分析之間架起了一座橋梁， 數(shù)學(xué)分析這個(gè)強(qiáng)有力的工具才有可能進(jìn)入隨機(jī)現(xiàn)象的研究領(lǐng)域中來(lái)。 由此可以體會(huì)到隨機(jī)變量和分布函數(shù)這兩個(gè)概念的地位及作用。§ 3.3 多維隨機(jī)變量及其分布

21、一、多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)1、定義定義1、設(shè)1 ,2 , n 是定義在同一個(gè)樣本空間上的隨機(jī)變量，則n 維隨機(jī)向量(1 ,2 ,n ) 是樣本空間上的n 維隨機(jī)變量或n 維隨機(jī)向量，并稱 n 元函數(shù)F (x1 , x2 ,xn )P(1x1 ,2x2 ,nxn )是 n 維隨機(jī)變量 1 , 2 , , n 的聯(lián)合分布函數(shù) ，也簡(jiǎn)稱為 聯(lián)合分布或分布 。聯(lián)合分布函數(shù)描述了多維隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。下面著重討論二維隨機(jī)變量，若 ( , ) 表示笛卡兒平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)，那么 F ( x, y)P(x,y)為 ( ,) 的聯(lián)合分布函數(shù)。2、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)顯然 0F ( x, y) 11）對(duì) x

22、或 y 都是單調(diào)不減的；2）對(duì) x 或 y 都是左連續(xù)的，即 F ( x, y) F (x 0, y), F ( x, y) F (x, y 0)3）對(duì)任意 x 和 y，有F (, y)lim F ( x, y)0xF ( x,)limF (x, y)0yF (,)lim F (x, y)0xyF (,)lim F (x, y)1xy4）對(duì)任意 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) （其中 x1x2 , y1y2 ），有F ( x2 , y2 )F ( x1 , y2 )F ( x2 , y1 )F (x1 , y1 )0反過(guò)來(lái)還可以證明，任意一個(gè)具有上述四個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)必定可

23、以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)， 因而滿足這四個(gè)條件的二元函數(shù)通常稱為二元聯(lián)合分布函數(shù)。3、邊緣（邊際）分布函數(shù)設(shè) ( , ) 為二維隨機(jī)變量，那么它的分量的分布函數(shù)稱為邊際分布函數(shù)，記為 F (x), F ( y) 。設(shè)二維隨機(jī)變量 ( , ) 的聯(lián)合分布函數(shù)為 F (x, y) ，那么它的兩個(gè)分量 , 的分布函數(shù)可由 F ( x, y) 求得F ( x)P(x)P(x,)limP(x,y)limF ( x, y)F (x,)yy同理F ( y)F (, y) 。由此可知，由聯(lián)合分布可以唯一確定邊際分布函數(shù)，反之，不一定成立。例1、設(shè) ( , ) 的聯(lián)合分布函數(shù)為 F ( x, y)A(

24、Barctan x)(Carctan y)23求： 1）常數(shù) A, B, C ；2）邊際分布函數(shù) F ( x), F ( y) 。解： 1）由F ( ,) 1, F ( x,)F (, y) 0A( B)(C)122A(arctan xB)(C)022A( B)(Carctan y )0231,于是 F ( x, y)1(x)(y)解得A2,B C2arctanarctan222232）F ( x)F ( x,)1 arctan x122F ( y)F (, y)1 arctan y132二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)1、定義定義 2 ：設(shè) ( , ) 為一個(gè)二維隨機(jī)變量，F(xiàn) ( x, y

25、) 為其聯(lián)合分布函數(shù)，若存在函數(shù) p( x, y) ，使對(duì)任意的 ( x, y) ，有xyF (x, y)p(u, v)dudv則稱 ( ,) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn) (x, y) 為一個(gè)連續(xù)型的聯(lián)合分布函數(shù)，p( x, y) 為 F (x, y) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)或簡(jiǎn)稱為密度。2、聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)由聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)，有1）非負(fù)性： p( x, y)0 ；2）規(guī)范性：p(x, y) dxdy1 ；反過(guò)來(lái)，具有上述兩個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)必定可以作為某個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。3）若 p(x, y) 在點(diǎn) ( x, y) 連續(xù)， F (x, y) 是相應(yīng)的分布函數(shù)，則有2 F ( x,

26、y)p( x, y)x y4) 若 G 是平面上的某一區(qū)域，則P( , )G )p(x, y)dxdyG這表明 ( ,) 取值落在平面上任一區(qū)域G 內(nèi)的概率，可以通過(guò)密度函數(shù)p( x, y)在 G 上的二重積分求得。3、邊緣密度函數(shù)設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量( ,) 的聯(lián)合密度函數(shù)為p( x, y) ，則的邊際分布函數(shù)為 F ( x) F ( x, )xxp(u, y)dudyp(u, y) dy du 。這表明也是連續(xù)型隨機(jī)變量，其邊際密度函數(shù)為p (x)p( x, y)dy類似地p ( y)p( x, y)dx由此可以看出，邊際密度由聯(lián)合密度唯一確定。例2、設(shè) ( , ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為ce

27、(2 x 2 y ) , x0, y0p( x, y)0,其它求： 1）常數(shù) c ；2 ）分布函數(shù) F (x, y) ；3 ）邊際密度函數(shù) F ( x), F ( y) 及相應(yīng)的邊際密度；4） P( , )G), 其中 Gx, y xy1, x0, y0 。解： 1）由聯(lián)合密度的性質(zhì)c0p( x, y)dxdy 1,ce ( 2x 2 y) dxdxy 100解得 c =4，于是2）3）p( x, y)4e ( 2 x 2 y ) , x 0, y 00,其它xyp( x, y)dxdyF（x, y)xy( 2u 2 v) dudv(1 e2x )(1 e 2 y ), x0, y004e00

28、,其它F (x)F ( x, y)1 e 2 x , x 01 e 2 y , y 00, x, F ( y)0, y00p (x)2e 2 x , x 02e 2 y , y 00, p( y)y0x 00,4）P(,) G)11y(2 x 2 y) dx12 y (1 e 2 (1 y) dy1 3e 2p(x, y)dxdydy4e2e000G三、兩種常用分布1、均勻分布設(shè) G 是平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為A ，令1,( x, y) Gp(x, y)A0,其它則 p( x, y) 是一個(gè)密度函數(shù)，以p( x, y) 為密度函數(shù)的二維聯(lián)合分布稱為區(qū)域G上的均勻分布。若( ,) 服從區(qū)域

29、 G 上的均勻分布，則G 中的任一（有面積）的子區(qū)域 D ，有 p( , ) D )1SDp( x, y)dxdydxdyDD AA其中 SD 是 D的面積。上式表明二維隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)域D 內(nèi)的概率與D 的面積成正比，而與其在G中的位置與形狀無(wú)關(guān)，這正是第一章中提過(guò)的在平面區(qū)域 G 中等可能投點(diǎn)試驗(yàn)，由此可知“均勻”分布的含義就是“等可能”的意思。特別的若G(x, y) axb, cyd , 則( , ) 服從 G 上的均勻分布，其聯(lián)合密度函數(shù)為1x b, c y dp( x, y), a(b a)(d c)0,其它相應(yīng)的邊際密度1, xa, b1, yc, dp ( x)b a, p ( y

30、)d c0,xa, b0,yc,d由此說(shuō)明，矩形區(qū)域上的均勻分布其邊際密度是一維的均勻分布。2、二維正態(tài)分布設(shè)二維隨機(jī)變量( ,) 的聯(lián)合密度函數(shù)為1( x1 )2( x1 )( y2 ) ( y 2 ) 21e 2 (12)222p( x, y)11 2221212則稱 ( , ) 服從二維正態(tài)分布，記為 ( ,) N(1,2 ,12 ,22, )，其中1 ,2,1 0,20,1為參數(shù)。習(xí)慣上稱 (,) 為二維正態(tài)變量，由 ( ,) 的聯(lián)合分布可以求得邊際密度函數(shù)分別為1( x1 )2p ( x)e2 12,x211( y2 )2p ( y)e2 22,y22由此說(shuō)明二維正態(tài)分布N( 1,2

31、 , 12 , 22 , ) 的兩個(gè)邊際分布都是一維正態(tài)分布，分別為N( 1,12), N(2 ,22 ) ，如果12 ，則這兩個(gè)二維正態(tài)分布N( 1, 2, 12,22 ,1),N(1, 2,12 ,22 ,2 ) 是不相同的。但由上面可以知道它們有完全相同的邊際分布，由此例也說(shuō)明了邊際分布不能唯一地確定它們的聯(lián)合分布， 此外即使兩個(gè)邊際分布都是正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量，它們的聯(lián)合分布還可以不是二維正態(tài)分布。例 3、設(shè) ( , ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為1x2y2p( x, y)e2 (1sin xsin y),x,y，2求邊際密度函數(shù)。解：1x2y 2p ( x)p( x, y) dy2 e2 (

32、1 sin x sin y) dye2x 2y2x2y 21 e 2 e2 dye 2 e2 sin x sin ydy1e22x22同理1y2p ( y)2e2即 , 都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，但( , ) 卻不是二維正態(tài)變量。四、隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義 3、設(shè) ( , ) 的聯(lián)合分布函數(shù)為 F (x, y), , 的邊際分布函數(shù)為F ( x), F ( y) ，若對(duì)任意的 (x, y) 有F ( x, y)F (x) F ( y)成立，則稱隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的。如果 ( ,) 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則,都是連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的密 度 函 數(shù) 分 別 為 p (x), p ( y) ， 這

33、 時(shí) 容 易 驗(yàn) 證 ：與相 互 獨(dú) 立p(x, y)p (x) p ( y) 。由此可知，要判斷連續(xù)型隨機(jī)變量是否獨(dú)立，只需要驗(yàn)證p ( x), p ( y) 是否為 ( ,) 的聯(lián)合密度函數(shù)。例 4、設(shè) ( , ) 服從 G(x, y) x2y 21 上的均勻分布。試問(wèn)它們是否相互獨(dú)立？若 G 為矩形區(qū)域a,bc, d 呢？解：,的聯(lián)合密度函數(shù)為1 , x2y21p(x, y)0, x2y2p (x)p(x, y)dy21y2 , yp ( y)0,yp (x).p ( y)p( x, y)11x212 1 x21,112dx,xx0,x1,11,11,1所以 與不相互獨(dú)立。例5、若 (

34、, ) N( 1, 2, 12, 22, )，則,相互獨(dú)立0。例6、隨機(jī)變量的獨(dú)立性還可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形。定義 4、設(shè) n 維隨機(jī)變量 ( 1 , 2n ) 的聯(lián)合分布函數(shù)為 F ( x1 , x2 ,xn ) ，F(xiàn) (x1 ), F( x2 ),F(xn ) 為它們的邊際分布函數(shù)，若xiR,i1,2,n ，有12nF ( x1 , x2xn )F ( x1 )1F(xn )n則稱是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。若( 1, 2,n ) 為 n 維連續(xù)型隨機(jī)變量，則1 ,2n 相互獨(dú)立的充要條件為 px1,x2xn)p 1x1)p nxn其中 p( x1 , x2xn )(1,2n )的聯(lián)合密度函數(shù)，()為p ( xi )i (i 1,2, n) 的邊際密度函數(shù)。為i§ 3.4 隨