1、1運(yùn)籌學(xué) 靈敏度分析與線性規(guī)劃的對(duì)偶理論2l圖解法下的靈敏度分析定義：研究LP問(wèn)題中目標(biāo)函數(shù)系數(shù)C與約束條件中系數(shù)矩陣A與常數(shù)向量b的變化（局部或全部變動(dòng)）對(duì)LP的最優(yōu)解 與最優(yōu)值 的影響程度分析的問(wèn)題稱(chēng)為L(zhǎng)P的靈敏度分析。由于C，b，A通常表述產(chǎn)品需求，原材料價(jià)格，未來(lái)的商品售價(jià)及企業(yè)的加工能力、資源消耗，故在數(shù)學(xué)建模時(shí)的估計(jì)有可能出現(xiàn)誤差，且未來(lái)的環(huán)境亦是不確定的，有可能出現(xiàn)變化，因此有必要對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的解作靈敏度分析。x)(xz3l圖解法下的靈敏度分析靈敏度分析通常討論如下內(nèi)容：C，b，A變動(dòng)（局部或全部）后LP最優(yōu)解是否仍存在？若存在的話，最優(yōu)解有多大程度的變化？C，b，A在什么范圍內(nèi)變

2、動(dòng)時(shí)能保證LP的原最優(yōu)解不變？若C，b，A的變動(dòng)超出上述范圍后，如何利用LP的原最優(yōu)解 來(lái)求解變動(dòng)后的 最優(yōu)解。這些C，b，A的變動(dòng)，在出現(xiàn)情況下對(duì)決策者有利？在什么情況下對(duì)決策者不利？此稱(chēng)為對(duì)偶價(jià)格研究對(duì)象（C的變動(dòng)對(duì)目標(biāo)最優(yōu)解的影響）。xLP4l各種問(wèn)題求解 問(wèn)題建模 求解算法（理論、算法步驟、計(jì)算復(fù)雜性） 解的存在性、唯一性、可靠性（誤差分析、靈敏度分析）50maxxbAxCxz,AbC未來(lái)的真實(shí)值0maxxbxAxCz求解)(,*xzx)(,*xzx)(,xzxAbC,估計(jì)0maxxbAxCxz求解估計(jì)有誤差未來(lái)環(huán)境變動(dòng)數(shù)值解精確解靈敏度分析誤差分析數(shù)值解估計(jì)正確60,25040023

3、00.2122121xxxxxxxtsmax z=50 x1+100 x20100200300200100300400 x1+x2=3002x1+x2=400 x2=250B(50,250)C(100,200)Dz=50 x1+100 x270,2504002300.2122121xxxxxxxtsmax z=60 x1+50 x20100200300200100300400 x1+x2=3002x1+x2=400 x2=250B(50,250)C(100,200)Dz=60 x1+50 x280,250400210300.2122121xxxxxxxtsmax z=50 x1+100 x20

4、1002003002001003004002x1+x2=400 x2=250Dx1+x2=300 x1+x2=310(50,250) B(100,200) CB(60,250)z=50 x1+100 x290,250104002300.2122121xxxxxxxtsmax z=50 x1+100 x20100200300200100300400 x1+x2=3002x1+x2=400 x2=250B(50,250)CDCGz=50 x1+100 x210l命題：在例1的優(yōu)化模型中，A，b不變，討論C變動(dòng)的如下問(wèn)題： 欲使LP的最優(yōu)解不變，仍為 ，C1與C2應(yīng)滿足什么條件？ 當(dāng)C2=100 不

5、變，欲使LP 的最優(yōu)解不變，仍為 ，C1應(yīng)滿足什么條件？ 當(dāng)C1=50 不變，欲使LP 的最優(yōu)解仍為 ,C2應(yīng)滿足什么條件？ 當(dāng)C1，C2均變動(dòng)，例如C1=60，C2=50時(shí)，最優(yōu)解是否變動(dòng)？ 欲使最優(yōu)解變動(dòng)為 ，求C1，C2應(yīng)滿足的條件？0,2504002300.max21221212211xxxxxxxtsxCxCz)250,50(x)200,100(x)250,50(x)250,50(x11l解： 由圖(a)，原最優(yōu)解 對(duì)應(yīng)B點(diǎn)，設(shè)LE，LF，LG直線之斜率分別為kE，kF，kG，則由對(duì)應(yīng)直線方程可得kE= -1，kF=0，kG= -2，kz= - G1/G2，此中kz為等值線z=50

6、x1+100 x2之斜率。由圖(a)中知，欲使最優(yōu)點(diǎn)仍為B，則應(yīng)有 當(dāng)C2=100時(shí)，由*式知，需要 方使最優(yōu)點(diǎn)不變。 當(dāng)C1=50時(shí)，由*式知，需要 方使最優(yōu)點(diǎn)不變。 )250,50(x00101122121CCkkkCCFCCzE01000111001CC50012502CC12l解： 當(dāng)C1=60，C2=50時(shí)，由圖(b)知最優(yōu)點(diǎn)為C (100，200）,故最優(yōu)解 且由*式知：此時(shí)顯然不滿足條件 欲使最優(yōu)解變動(dòng)為 即最優(yōu)點(diǎn)為C時(shí)，由圖(b)知應(yīng)有 此時(shí)有最優(yōu)值 z(100,200)=100C1+200C2。)200,100(x)01(0121215060CCCC即12122121CCEC

7、CzGkkk)200,100(x13：的變動(dòng)問(wèn)題見(jiàn)下問(wèn)題，有關(guān)，即有的對(duì)偶價(jià)格資源約束條件得到改進(jìn)的數(shù)量稱(chēng)為該值一個(gè)單位而使目標(biāo)函數(shù)增加中稱(chēng)常數(shù)在IIbmibxzbbxzxzPPxzbxbbbaAbAxtsxxxCCCCxzLPiibbiTmnmijTnniii2 , 1)()()()(0),(,)(. .),(),(max11114l問(wèn)題：在例1的優(yōu)化模型中，C不變，討論b與A分別變動(dòng)時(shí)的如下問(wèn)題： b1=300310，b2，b3，A不變時(shí)，求設(shè)備(臺(tái)時(shí)）的對(duì)偶價(jià)格Pb1。 b2=400410，b1，b3，A不變時(shí)，求原料(克）的對(duì)偶價(jià)格Pb2。15l解： 。 。含義。價(jià)格經(jīng)濟(jì)元，此即為設(shè)備

8、的對(duì)偶，總利潤(rùn)提高即每增加一個(gè)設(shè)備臺(tái)時(shí)。，故元，增加利潤(rùn)，從而有或不變時(shí)，最優(yōu)點(diǎn)由，知，當(dāng)由圖505010500103003105002750028000280002501006050)()250,60(),250,60(310)(1321bzPbzxzxBBAbbbcibT而庫(kù)存。千克，顯然因無(wú)用加供應(yīng)千克），故若即使再增千克都用不完（還剩連總供應(yīng)量的千克，故此中生產(chǎn)方案量?jī)H為的消耗時(shí)，原料述理由：實(shí)際上，當(dāng)潤(rùn)無(wú)提高。這是由于下千克時(shí)，總利千克增加到總供應(yīng)量由，即原料有變動(dòng)。從而，與原目標(biāo)值相等，無(wú)從而有，或不變時(shí)，最優(yōu)點(diǎn)仍為，知，當(dāng)由圖10504003502505022)250,50(41

9、04000100275002501005050)()250,50(,410)(212312xxAxAbzPxzxBAbbbdTbi160|min0|max)(2)(1)(),()(0max:0max:1)()()()()()()()()()()(1121lkjlkjljkjklkjlkjljkjllkjljkkklklkkkkkkkjnkkknaaCaajkALPaxLPLPCCxlLPLPxLPLPCCxlLPCCCkjCbALPLPCCCCCCCCCCxbAxxCzLPxxbAxCxzLP列元素。行第中第與終單純形表中的檢驗(yàn)數(shù)最為與，此中有相同最優(yōu)解與滿足下述關(guān)系時(shí)，時(shí)，則當(dāng)為基變量對(duì)應(yīng)次

10、迭代）中，的最終單純形表（設(shè)經(jīng)）在（。終單純形表中之檢驗(yàn)數(shù)最為，此中有相同最優(yōu)解與時(shí)，時(shí)，則當(dāng)為非基變量對(duì)應(yīng)次迭代中），的最終單純形表（設(shè)經(jīng)）在（不變，只有，時(shí)，即由，此中，。作有最優(yōu)解：該命題17)()(2)(1)()()(2)(1)()()()(2)(1)(2121)(11lnlllllnlllBBllnllBBinknkBBxzzzzzCxbPPPCxbCCCCxxxxCxmlmlji)()(2)(1)()()(2)(1)()()()(2)(1)(2121)(11lnlllllnlllBBllnllBBinknkBBxzzzzzCxbPPPCxbCCCCxxxxCxmlmlji列上。不在

11、列亦不變，與時(shí)，非基變量，故而不變，又因與時(shí)，故由，不變，而llllBkBBkiBllllllxxCxLPLPxbBxbALPLPbBbABAbA1)()(1)(1)(,。，則只要為使，時(shí)，當(dāng)時(shí)注意到時(shí)，此可能有變化，當(dāng)，故但由于klkkkklkkkkkklklkBkljljjjjjljjBjllCCzCCzCzPCzkjzCzCzPCzkjCCll0, 0, 0,)(LP：LP 18)()(2)(1)()()(2)(1)()()()(2)(1)(2121)(11lnlllllnlllBBllnllBBinknkBBxzzzzzCxbPPPCxbCCCCxxxxCxmlmlji0)() 1()

12、()(,)()()()()()()()()()()()()()()()()(1)()()()(1)()()(1lkklkkkkkklkklkkklklkjklklkBklkjkljlkjkljjjjjlkjkljlkjkljBlkjkmilijBlmjBlkjkkljBljBjlBkllkCzCCzCaPxCzaCzPCzkjaCaCzCzCaCzaCPCaCaCaCaCCaCPCzkjCCCLPLPxbALPLPbAxLPllilmllll為單位向量且為基變量，時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)亦有變化。故（見(jiàn)右表），且由于列要發(fā)生改變時(shí)，為基變量，故在不變。但由于，時(shí)，不變，故由為基變量時(shí)，因?yàn)樽罱K單純形表中，

13、若與上同理（見(jiàn)上表）LP190|min0|max00000)()()()()()()()()()()()()()()()(lkjlkjljkjklkjlkjljkjlkjljklkjlkjljklkjlkjkljlkjkljjkkjaaCaaaCaaCaaCaCkjjLPLP故只須時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有當(dāng)此即有，有對(duì)已滿足，故只須，此時(shí)由于有相同最優(yōu)解，應(yīng)有與綜上上述可知，欲使20）。之?dāng)?shù)值），詳見(jiàn)下注（，中這取決與能不同，也可能相同（可與。故此即，時(shí)有同樣的最優(yōu)可行基單純形表，而此上作替換）才得到最終點(diǎn)次迭代（在凸多邊形頂可能經(jīng)但，即及最優(yōu)可行基，次迭代得最終單純形表經(jīng)中命題3121010bCALP

14、rlBBBBBrLPBBBBlLPllll21。有，故在最終單純形表中無(wú)變化（次迭代中次迭代到從，而以后，或，從而有，即出基（最后一次進(jìn)基）進(jìn)基，然后，主元為基礎(chǔ)進(jìn)行，即使以后的基變換應(yīng)以為主元時(shí)，則確定最優(yōu)性檢驗(yàn)及進(jìn)出基準(zhǔn)為非基變量時(shí)，此時(shí)經(jīng)迭代過(guò)程中，當(dāng)其理由為：在前述，但為什么有必為單位列向量，即為基變量時(shí)，當(dāng)最終單純形表中，次迭代設(shè)經(jīng)，這是由于在時(shí)有）證明中，當(dāng)（命題1)1011)(01?100100)(121)()0()1()1()1()1()1()()()()()(rkkkikkikkilkkllkijkilkirkirkklkklkklkkariPriaaaxxklxxkjaaa

15、axaPxrLPakj010)(11mlmlllllBBrkkkkkBBkkkBBCxaCCxCxCCxCxLP最終單純形表。替換以基變換后最后一次經(jīng)原為lklxxx22l設(shè)G為R3中的凸集，它有8個(gè)頂點(diǎn),每一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)基本可行解，當(dāng)采用單純形表迭代時(shí)，其基本原則是以一個(gè)初始頂點(diǎn)開(kāi)始，然后沿相鄰頂點(diǎn)行進(jìn)(迭代)，直到終點(diǎn)(最優(yōu)解)為止。l注意到在R3中的凸集D的每一個(gè)頂點(diǎn)的相鄰頂點(diǎn)有三個(gè)（也可有五個(gè)如（b)等）凸集D中，每一頂點(diǎn)或基本可行解對(duì)應(yīng)一個(gè)基矩陣，則相鄰頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的基矩陣只有一列不同），因此從一個(gè)起點(diǎn)B0(對(duì)應(yīng)一個(gè)初始基本可行解或初始基)開(kāi)始，沿相鄰頂點(diǎn)行進(jìn)（迭代），直到終點(diǎn)（對(duì)應(yīng)最

16、優(yōu)解）B2的迭代或運(yùn)行路徑可以有多條，如B0B1B2，B0B5B4B3B2等，這多條路徑盡管有相同的起點(diǎn)（初始可行解），相同的終點(diǎn)（最優(yōu)解），但迭代步數(shù)可以不等。23B0B1B5B4B2B3B0B1B2B3B4B5B6B7D(a)(b)24kBbkBBkBkkklkklBBklTmkklBlBBBlllTNBnmijmllTmkkkkTmDCPbxCxCDCbxzxzbDbBbDbxxxPLbxxxLPBbbbbbbLPbCbBCxCxzbBbbxxxdDDDBmABlLPbbbbbbbbbbbxbAxCxzLPxxbAxCxzLPlklllllllllll的對(duì)偶價(jià)格還有關(guān)于，：有最優(yōu)解與最優(yōu)

17、值如下滿足上述不等式時(shí)，當(dāng)）（不同與此應(yīng)的最優(yōu)解的最優(yōu)可行基，并有相亦為滿足如下條件時(shí)的約束方程常數(shù)列向量）當(dāng)（則。，此中，最優(yōu)解且階子陣），的某非奇，（次迭代后有最優(yōu)可行基經(jīng)設(shè)，此中，作有最優(yōu)解：設(shè)命題)()()0 ,(2)(),(1)(),0 ,(),()(),(,),(),(0max:0max:21)(21)(11)()(2111112125)()(2)(1)()()(2)(1)()()()(2)(1)(2121)(11lnlllllnlllBBllnllBBinknkBBxzzzzzCxbPPPCxbCCCCxxxxCxmlmlji)()(2)(1)()()(2)(1)()()()(2

18、)(1)(2121)(11lnllllnlllBBllnllBBinknkBBxzzzzzCxbPPPCxbCCCCxxxxCxmlmlji不變。時(shí)，故知在，不變，而)()()()()()()()(1,lllBBlBllBlllzACxLPLPACCACzAABbAll。并可能破壞可行性，即故最優(yōu)解會(huì)變化，而由于0)(1)(llBlBllxbxbBbbbLP：L次迭代LP r次迭代26lillmlllllllBikkikkBmkkkBBBBBmkkkkBkkBkmlTklTmklTmkkkkllBBlxdbmidbxddbxxxxxxdddbxDbxbDDDbBbBbbbBbbbbbbBbBx

19、xxBPL2 , 100)0 ,(00)()0, 0 , 0, 0()(),()0 ,(1212111111111121，或有為基本可行解，應(yīng)有，為使，的基本解為對(duì)應(yīng)于設(shè)27kBkkBkbkkBkkBkBBkkBBBBkkBBBlljlljikikBikikikBiikikBkikikBkDCbDCbbbxzxzPbDCbxzDCbxCDbxCxCxCxzDbxxxxPLPLBPLxPLjLPxxddxbddxmiddxbddxbllklllllllllllilililil)()()()()()()0 ,(0000|min0|max100)()()(的對(duì)偶價(jià)格從而有。上面已證，有最優(yōu)解此時(shí)最優(yōu)

20、可行基。為最優(yōu)解，為。由此知故仍有不變，中成立，而在對(duì)中有又由于在為基本可行解，從而，有則當(dāng)上述不等式滿足時(shí)，為此作，當(dāng)，當(dāng)從而有280,2504002300.10050max212212121xxxxxxxtsLPxxz1.對(duì)上述LP的C1(又稱(chēng)價(jià)值系數(shù))作靈敏度分析ixBiCBix1x2s1s2s3b(i)50100 0002x1501010-150s2000-21150 x2100 01001250z(2)50100 5005027500(2)00-50 0-5029l解1有相同最優(yōu)解。與時(shí)，或知有從而由命題）此中利用了（有相同最優(yōu)解。與時(shí)）題應(yīng)滿足下述不等式（命時(shí)，基變量，因此當(dāng)在最終

21、單純形表中為，注意到此中可僅有一項(xiàng)僅有一項(xiàng)PLLPCCCCCCaaaaaaaaaaklPLLPCCCCCCxxklllkjlkjljjlkjlkjljkjlllkjlkjljjlkjlkjljkjk)50(100050501501500min0min501500max0max1, 25050150111111)(15)(5)()()(1)()()()(13)(3)()()(1)()()(111111130l解2ixBiCBix1x2s1s2s3b(i)100000rx11010-150s2000-21150 x2100 01001250z(2)1000(2)000112111111)2()2(

22、)2(5025000)(27500)(,)250,50(),(10001000010000,CxzPLxzLPCCxxxPLLPCCPLCCCjPLzBrPLbALPTTjl最優(yōu)解有，有最優(yōu)值發(fā)生變化），目標(biāo)函數(shù)之則不同（但最優(yōu)值有相同最優(yōu)解與條件時(shí)，滿足中之果相同。綜合有當(dāng)，此結(jié)論與上述計(jì)算結(jié)此即，或有，應(yīng)有經(jīng)二次迭代后有最優(yōu)解如右表，為使與）繼續(xù)計(jì)算一次可得次變換得最優(yōu)可行基單純形表，故經(jīng)不變，動(dòng)如下表（的最終單純形表略作變本問(wèn)題也可直接利用1C1C1C1C1C1001C1001C15025000C31l對(duì)上述LP的b1作靈敏度分析l解122111111111111)(3213332312

23、322211312111)( , 1, 2252500|min501500|max5050) 1(2)250,50,50(),(),(10011210121321BdkldxddxdxddxbPLLPbbbbjbCAPLLPPLBbxxxxDDDdddddddddBLPijBiiBiBiiBijlTlTBBBBlllillil，此中利用。有相同最優(yōu)可行基。與需滿足下述條件時(shí)，時(shí)，不變，時(shí)，此中知，當(dāng)題之最優(yōu)可行基，故由命仍為，為使此有最優(yōu)可行基由上單純形表知32元。利潤(rùn)均將增加每增加一個(gè)設(shè)備臺(tái)時(shí)，取值），但于最優(yōu)值雖有不同（取決時(shí)，（設(shè)備臺(tái)時(shí)供應(yīng)量）當(dāng)。其經(jīng)濟(jì)含義為：的對(duì)偶價(jià)格，有關(guān)于，有新的

24、最優(yōu)值，此中，但有不同的最優(yōu)解且行基知兩者有相同的最優(yōu)可命題滿足上述關(guān)系式時(shí)，由之當(dāng)，時(shí)，當(dāng)5032525050021)100, 0 ,50()()(5027500021)100, 0 ,50(27500)()(0212505050)0 ,(10011210123252502550255030011111111111111)(111111111bbPLbDCbbxzxzPbbbDCbxzxzbbDbxxxBBbPLbbbbbbbllllBbBlBTBll33 max z=50 x1+100 x2LP: s.t x1+x2300 2x1+x2400 x2250 x1,x20 max z= x1+

25、100 x2LP: s.t x1+x2300 2x1+x2400 x2250 x1,x201C34ixBiCBix1x2s1s2s3b(i)比比值值501000000s1011100300300s2021010400400s3001001250250z(0)000000(0)501000001s101010-15050s202001-115075x210001001250-z(1)01000010025000(1)50000-1002x1501010-150s2000-21150 x210001001250z(2)501005005027500(2)00-500-5035ixBiCBix1x2

26、s1s2s3b(i)比值比值最優(yōu)解不變最優(yōu)解不變條件條件1000000s1011100300300s2021010400400s3001001250250z(0)000000(0)1000001s101010-15050s202001-115075x210001001250-z(1)010000100(1)000-1002x11010-150s2000-21150 x210001001250z(2)1000(2)0001C 1C 1C 1C 1C 1C 1001 C1001C1001C10C100011CC36l結(jié)論：當(dāng) 時(shí)，不僅LP與LP有相同最優(yōu)解，見(jiàn)迭代過(guò)程亦相同。一般迭代過(guò)程可不同，但

27、最終單純形表結(jié)果相同，由于迭代過(guò)程為初等行變換，故變換后之方程與原方程同解，故不影響最終結(jié)果，此二數(shù)應(yīng)在0點(diǎn)的兩側(cè)。10001 C0)0(0)0(0)0()0(00)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(lkjlkjljlkjlkjljljlkjlkjljlkjlkjljlkjljlkjlkjljlkjaaaajlLPaaaaaaaa，而故知有，有次迭代已得最優(yōu)解，故經(jīng)這是由于比較有的當(dāng)?shù)漠?dāng)37iblklklklklklklnllllknlklkllkjljklkjlkjljklkjbxzxzPaaaaaaaaaAaCaaCakji)()(0000)(1)(

28、5)(3)(6)(2)(4)()(2)(1)()()(2)(1)()()()()()()(，此中，時(shí)，；時(shí)，時(shí)，當(dāng)0|min0|max)()()()()()(lkjlkjljkjKlkjlkjljkjaaCaa由上圖可知應(yīng)有0)(4)(4lkla)(2)(2lkla)(6)(6lkla)(3)(3lkla)(5)(5lkla)(1)(1lkla38符號(hào)要求經(jīng)濟(jì)含義PBi0 對(duì)決策者有利對(duì)決策者不利PBi0對(duì)決策者有利對(duì)決策者不利同號(hào)與ibxzxz)()()()(0 xzxzbi時(shí)，同號(hào)與ibxzxz)()()()(0 xzxzbi時(shí)，)()(0 xzxzbi時(shí)，)()(0 xzxzbi時(shí)，39

29、計(jì)算。改初始單純形表并重新為基變量，此時(shí)則需修最終單純形表中，若在解。上繼續(xù)迭代，以求最優(yōu)則可在原單純形表基礎(chǔ)；若上述關(guān)系不滿足，優(yōu)值與最有相同最優(yōu)解與，則足關(guān)系式為非基變量，且滿）中若在最終單純形表（則，次迭代后有最優(yōu)可行基經(jīng)，若，亦不變，但不變，時(shí)有亦即由，其中，作有最優(yōu)解：設(shè)命題kklBkkNBlkkkkjjnknknknkxLPxzxPLLPPBCCxLPCCCBlLPCCPPkjPCbPLLPCCCCPPPACCCCPPPAxbxACxzPLxxbAxCxzLPlll)2()() 1 (),()()()()()(0max:0max:31111140)()()(2)(1)()()()(

30、2)(1)()()()()(2)(1)(2121)(11lnlklllllnlklllBBllnlkllBBinknkBBxzzzzzzCxbPPPPCxbCCCCxxxxCxmlmlllji)()()(1)()()()(1)()()()()(1)(2121)(11lnlkllllnlkllBBllnlklBBinknkBBxzzzzzCxbPPPCxbCCCCxxxxCxmlmlllji列亦不變中變，故不，而兩列不變，又與中，故在不含，不含變量，故為非基最終單純形表中在)()(1lllBBkBkBkbLPLPbbbBCxLPLPCCxxxLPllll有可能變化從而使僅有一個(gè)列向量變化，故量變

31、，即僅有一個(gè)列向，時(shí)而，注意到kllkklnlllAAPPAPLLPPPAAB)()()()(1)(1)(LP：LP 證：1. 141題設(shè)）但，時(shí)，當(dāng)次迭代有最優(yōu)解經(jīng)，時(shí)，此時(shí)有當(dāng)時(shí)有，而，而即由于(0)(0)()(1)()(1)()()(1)()()()()()()(1)()()()()()(1)()()(1)(11)(1)()()(1)(11klBklkklklkklBlkBlkljljjljjljljjlBljBljBljljljljjllnlklllnkljjllnlklllnkPBCCzCzPBCPCzkjlLPzCzCzPBCPCPCzkjPPkjPPBPPPAABPPPAnjPP

32、BPPPAABPPPAllllll42下去。續(xù)迭代），故可在此基礎(chǔ)上繼有滿足最優(yōu)性條件（即）未改變，但仍未性條件（），雖然基變量與非負(fù)有相同或不同的基矩陣經(jīng)多次迭代（與雖然不等式條件不滿足，則有相同最優(yōu)值，若上述與或，故未改變雖變，但中注意到有相同最優(yōu)解，與與最優(yōu)性條件）。且改變基變量負(fù)性條件，不最優(yōu)可行基（不改變非仍為綜上可知00)()(,)(210)(rjllBBBljbBBBIBLPPLPLLPxzbCxzCCPLLPPLLPxPLBl2.若在LP最終單純形表中，xk為基變量，此時(shí)原最優(yōu)解的可行性與最優(yōu)性都可能遭到破壞，故需修改初始單純形表并重新計(jì)算。433.在原例1中，該廠除生產(chǎn)，產(chǎn)品

33、外，現(xiàn)又試制成一種新產(chǎn)品，并知生產(chǎn)單位產(chǎn)品需設(shè)備2臺(tái)時(shí)，消耗原料A需0.5Kg，原料B需1.5Kg，此時(shí)可獲利150元，試問(wèn)該廠是否應(yīng)該生產(chǎn)產(chǎn)品，或此時(shí)保持原方案是否合適？4.若該廠對(duì)產(chǎn)品的工藝結(jié)構(gòu)又有了改進(jìn)，此時(shí)生產(chǎn)單位產(chǎn)品需使用1.5設(shè)備臺(tái)時(shí)，消耗原料A需2Kg，消耗原料B需1Kg，而同時(shí)經(jīng)計(jì)算每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為160元，問(wèn)此時(shí)該廠對(duì)原生產(chǎn)計(jì)劃是否要改變？如何改變？44l解3.設(shè)xj生產(chǎn)j產(chǎn)品的數(shù)量，j=1，2，3，則上述問(wèn)題可看作原LP1的擴(kuò)充或修改。 max z=50 x1+100 x2LP1: s.t x1+x2+s1=300 2x1+x2+s2=400 x2+s3=250 x1,x2

34、,s1,s2,s30 max z=50 x1+100 x2+150 x3LP2: s.t x1+x2+2x3+s1=300 2x1+x2+0.5x3+s2=400 x2+1.5x3+s3=250 xj, sj0, j=1,2,345)(3100112101)100, 0,50(61500)150, 0, 0, 0,100,50()()0, 0, 0, 0,100,50()(5 . 1100105 . 001012200111)(010010001012000111)(61211666666216543216543216543216543212中為非基變量最終單純形表在之不等式，驗(yàn)證命題有，并由

35、前知取，注意到此中有僅與，僅與時(shí)，由此可知由取LPxxBBCCLPkPPCCCCPPAALPLPCCCCCCCCCCCCCCPPPPPPAPPPPPPAklBBl46萬(wàn)元元及相同的最優(yōu)值，有相同最優(yōu)解與條件，故知，滿足命題，75. 227500)()0 ,50, 0 , 0 ,250,50()(30251751505 . 125 . 0)100, 0 ,50(1505 . 15 . 02100112101)100, 0 ,50(15032132121616616xzsssxxxxLPLPPBCCPBCCTTlBlBll故該廠仍應(yīng)保持原生產(chǎn)方案，即生產(chǎn)產(chǎn)品50件，產(chǎn)品250件，不生產(chǎn)產(chǎn)品可得最大

36、利潤(rùn)2.75萬(wàn)元。47l解4.當(dāng)該廠對(duì)產(chǎn)品工藝結(jié)構(gòu)改進(jìn)后，該生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題可看作原問(wèn)題LP1LP3 (本例得到退化的最優(yōu)解) max z=50 x1+100 x2LP1: s.t x1+x2+s1=300 2x1+x2+s2=400 x2+s3=250 x1,x2,s1,s2,s30 max z=50 x1+100 x2+160 x3LP2: s.t x1+x2+1.5x3+s1=300 2x1+x2+2x3+s2=400 x2+x3+s3=250 xj, sj0, j=1,2,348故需繼續(xù)迭代下去。，因不滿足不等式，變量，但有最終單純形表中為非基在不等式有，此時(shí)之，與前同理驗(yàn)證命題此中035

37、125160105 . 0)100, 0 ,50(160125 . 1100112101)100, 0 ,50(1603)160, 0, 0, 0,100,50()()0, 0, 0, 0,100,50()(1100102010125 . 100111)(:010010001012000111)(:616665432165432165432136543211 PBCCLPxxCCCCCCCCCCCCCCPPPPPPALPPPPPPPALPlBkl49TTjjljljllsssxxxxLPjPPBPBPPBPBPLP)50, 0 , 0 ,200, 0 , 0()(6,105 . 0125 .

38、1100112101:3213213)2(11)2(61)2(6)2(63 有最優(yōu)解由此可知基可由下式算出有相同的經(jīng)多次迭代后之即此時(shí)該廠不生產(chǎn)產(chǎn)品與，單獨(dú)生產(chǎn)產(chǎn)品200件可獲得最大利潤(rùn)32000元=3.2萬(wàn)元50ixBiCBix1x2s1s2s3x3b(i)比值比值501000001602x1501010-10.55050/0.5s2000-211050-x2100010011250250/1z(2)501005005012527500(2)00-500-50353x31602020-21100-s2000-21105050/1x2100-21-2030150150/3z(3)1201001

39、200-2016031000(3)-700-12002004x316020-2201200s3000-211050 x2100-214-3000z(4)1201008020016032000(4)-700-80-200051性條件而非必要條件）證略。（本命題為充分價(jià)格。的對(duì)偶有相同的關(guān)于與，則百分比減少允許增加量有中對(duì)所有變動(dòng)的常數(shù)分，多個(gè)變動(dòng)，若在，其中，作有最優(yōu)解設(shè)。有相同最優(yōu)解與，則百分比減少允許增加數(shù)有：中對(duì)所有變動(dòng)的價(jià)值系若在，多個(gè)變動(dòng)，其中，作有最優(yōu)解設(shè)：命題)1(%100)()()(0max:0max:)2(%100)()()(0max:0max:) 1 (4111111mibL

40、PPLbPLLPbbbbbbbbxbAxCxzPLxxbAxCxzLPxLPPLCPLLPCCCCCCCCxbAxxCzPLxxbAxCxzLPimiiTmkTmknjjnknk 52l上述命題4中的有關(guān)概念定義于下：Cj的允許增加值=Cj上界Cj當(dāng)前值Cj的允許減少值=Cj當(dāng)前值 Cj下界bi的允許增加值=bi上界bi當(dāng)前值bi的允許減少值=bi當(dāng)前值 bi下界Cj允許增加百分比= Cj實(shí)際增加值/ Cj允許增加值(%)Cj允許減少百分比= Cj實(shí)際減少值/ Cj允許減少值(%)bi允許增加百分比= bi實(shí)際增加值/ bi允許增加值(%)bi允許減少百分比= bi實(shí)際減少值/ bi允許減少值

41、(%)53)()()()()()()()(iiiiiiiiiijjjjjjjjjjiiiiiiiiiiriiijjjjjjjjjjrjjjbbbbbbbbbbCCCCCCCCCCbPLbbLPbbbbbLPPLbbirbCAPLLPbbbCPLCCLPCCCCCLPPLCCjrCbAPLLPCCC 實(shí)際減少值，實(shí)際增加值實(shí)際減少值，實(shí)際增加值值。的中實(shí)際值是指值，中的當(dāng)前值是指，條件應(yīng)滿足的有相同最優(yōu)解時(shí)，與時(shí)，為使不變，僅，時(shí)，是指在或下界的上界值。的中實(shí)際值是指值，中之當(dāng)前值是指，條件應(yīng)滿足的有相同最優(yōu)解時(shí)，與時(shí)，為使不變，僅，時(shí)，是指在或下界的上界其中54比。的允許增加或減少百分，求，比

42、。的允許增加或減少百分，求，中：在原例例321332211212211240250390400315300)2(781007450) 1 (110bbbbbbbbbCCCCCC55參參數(shù)數(shù)下下界界當(dāng)當(dāng)前前值值變變動(dòng)動(dòng)值值上上界界實(shí)際實(shí)際增加增加值值實(shí)際實(shí)際減少減少值值允許允許增加增加值值允許允許減少減少值值允許增加百允許增加百分比分比允許減少允許減少百分比百分比1C105074100 74-50100-50(74-50)/(100-50)=48%C25010078100-78100-50(100-78)/(100-50)=44%2b1250300315325 315-300320-300(31

43、5-300)/(325-300)=60%b2350400390400-390400-350(400-390)/(400-350)=20%b3200250240300250-240250-200(250-240)/(250-200)=20%解：56l例11：在例10中1.對(duì)于CC，LP與LP是否有相同最優(yōu)解？2.對(duì)于bb， LP與LP是否有相同的關(guān)于bi 的對(duì)偶價(jià)格？l解元的變化而使最大利潤(rùn)由，由于元，故由量，據(jù)此可算出利潤(rùn)增加，即相同的對(duì)偶價(jià)格。有關(guān)于與知由命題，故百分比減少的允許增加有相同最優(yōu)解。與知故由命題百分比減少的允許增加2775025027500)(27500)(2501050155

44、0500504%1002%20%60)()2(4%,100%92%44%48)() 1 (313121321 xzxzbPLLPbPEPPPbLPPLbLPPLCiiibbbbiiijji57l注1.若允許增加量（減少量）為（）時(shí)，允許增加（減少）百分比=2.命題4（百分之百法則）僅適用于C或b中僅有一個(gè)變動(dòng)時(shí)之判斷，當(dāng)C，b同時(shí)變化時(shí)應(yīng)另行尋找求解方法。0)(量減少實(shí)際增加58l定義與問(wèn)題u問(wèn)題：某甲廠在計(jì)劃期內(nèi)安排、兩種產(chǎn)品。已知生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品（或）所需的設(shè)備A、B、C的臺(tái)時(shí)和相應(yīng)利潤(rùn)如下表。 試問(wèn)該廠擬生產(chǎn)多少產(chǎn)品和，方可使其獲利最大（產(chǎn)品和為市場(chǎng)緊俏產(chǎn)品，均可賣(mài)出）？ 設(shè)備 產(chǎn)品資源限量

45、A(臺(tái)時(shí)耗)11300B(臺(tái)時(shí)耗)21400C(臺(tái)時(shí)耗)01250單位產(chǎn)品利潤(rùn)（元）50100-59l解：設(shè)x1和x2為生產(chǎn)產(chǎn)品和的計(jì)劃數(shù)量（件），則有max z=50 x1+100 x2s.t x1+x2300 2x1+x2400 x2250 x1,x2050100 x113002140001250CxAB60l問(wèn)題（新的資本運(yùn)作思想）：某廠（乙廠）根據(jù)市場(chǎng)需要與資金狀況決定停止生產(chǎn)原產(chǎn)品和，而將設(shè)備A、B、C出租已獲利，目前已有某工廠與甲廠洽談，擬租用甲廠設(shè)備A、B、C生產(chǎn)產(chǎn)品和。l考慮到租賃市場(chǎng)上還有多家企業(yè)可供設(shè)備A、B、C出租，為使在此租賃市場(chǎng)的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)中處于有利地位，試問(wèn)甲廠應(yīng)如何

46、確定其設(shè)備A、B、C的合理租金？（資源供應(yīng)量，設(shè)備臺(tái)時(shí)消耗與單位產(chǎn)品利潤(rùn)仍然同上表）61l解：設(shè)y1、y2、y3為設(shè)備A、B、C的每臺(tái)時(shí)租金（元），為使市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)有利，應(yīng)使總設(shè)備臺(tái)時(shí)租金盡可能少，為使有利可圖，該廠獲得的租金應(yīng)不低于原生產(chǎn)利潤(rùn)。min f=300y1+400y2+250y3s.t y1+2y250 y1+y2+y3100 y1,y2,y30300400250y12050111100bTyATCT6250100 x113002140001250CxAB300400250y12050111100bTyATCT63lDef19：設(shè)C=(C1,C2,C3)，x=(x1,x2,xn)T，b

47、=(b1,b2,bm)T，y=(y1,y2,ym)T，則稱(chēng)LP1： 為原規(guī)劃，LP2： 為L(zhǎng)P1的對(duì)偶規(guī)劃。由上定義容易推得若原規(guī)劃LP1： 則LP1有對(duì)偶規(guī)劃LP2：max z=Cxs.T Axb x0 min f=bTy s.T ATyCT y0max z =Cxs.T Ax =b x0 min f=bTy s.T ATyCT Y無(wú)限制64l這是由于max z =Cxs.T Ax =b x0max z =Cxs.T Axb Axb x0max z =Cxs.T Axb Axb x00maxxbxACxzbbbAAA,設(shè)0minyCyAybfTTTy=(y1,y2)T對(duì)偶0,),(),(mi

48、n212121yyCyyAAyybbfTTTTTmin f=bTy1-bTy2ATy1-ATy2CTy1,y20min f=bTYATYCTY無(wú)限制Y=y1-y265miimimiiimmmmmTmmmTTmmTmybybyyyybbbbybyyyyyyyyyyyyyyy1121111211212121211),(),(),(),(故，此中66lTh10：若LP1的對(duì)偶規(guī)劃是LP2，則LP2的對(duì)偶規(guī)劃為L(zhǎng)P1，即原規(guī)劃與對(duì)偶規(guī)劃互為對(duì)偶。lTh11：若LP1與LP2互為對(duì)偶，且兩個(gè)線性規(guī)劃且可行（均有可行解或可行域非空），則LP1與LP2均有最優(yōu)解（分別為 與 ），且有相同的最優(yōu)值，即有l(wèi)Th

49、12：（最優(yōu)性原理）若LP1與LP2互為對(duì)偶，x*與y*分別為L(zhǎng)P1與LP2的可行解，且對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值相等Cx*=bTy*，則x*與y*亦分別為L(zhǎng)P1與LP2的最優(yōu)解。xyybyfxCxzT)()(67lTh13：設(shè)LP1與LP互為對(duì)偶，B是LP1的最優(yōu)可行基，CB為L(zhǎng)P1目標(biāo)函數(shù)中基變量對(duì)應(yīng)的價(jià)值系數(shù)，取 則 為L(zhǎng)P2的最優(yōu)解。lTh14：設(shè)LP1與LP2互為對(duì)偶，若LP1有最優(yōu)解，則LP2亦存在最優(yōu)解，且兩最優(yōu)值相等，反之亦然，即LP2有最優(yōu)解，則LP1亦有最優(yōu)解，且兩最優(yōu)值相等。1BCYBTY68l例12（P115）求解例1之LP1其對(duì)偶規(guī)劃LP2之最優(yōu)解。l解1：min f=300y

50、1+400y2+250y3s.t y1+2y250 2y1+y2+y3100 y1,y2,y30max z=50 x1+100 x2s.t x1+x2300 2x1+x2400 x2250 x1,x20LP1:LP2:互為對(duì)偶27500)()50,0 ,50(),()50,0 ,50(100112101)100,0 ,50(13)100,0 ,50(100112101,27500)(,)250,50(),()(32112121211YfYyyyBCYLPThCBBLPxzxxxLPTlBTBlTl，最優(yōu)值，或有最優(yōu)解結(jié)論知，則由基變量對(duì)應(yīng)的價(jià)值系數(shù)，目標(biāo)函數(shù)之逆陣之最優(yōu)可行基前已求得最優(yōu)解69

51、l解2：對(duì)LP2運(yùn)用單純形法求解，為此需將LP2化成標(biāo)準(zhǔn)形LP2，并采用大M法求解。相同。，顯然此求解結(jié)果與解，或，最優(yōu)值有最優(yōu)解，故，次迭代有由下單純形表知經(jīng)127500)()(27500)()50, 0 ,50(),(023212)2(yfyfyfyyyyLPjTTjmax (f)=300y1400y2250y3Ma1s.t y1+2y2 s1+a1=50 y1+y2+y3 s2=100 y1,y2,y3,s1,s2,a10LP2:=f 70ixBiCBiy1y2y3s1s2a1b(i)比值比值-300-400-25000-M0a1-M120-1015050/2y3-2501110-101

52、00100/1z(0)-M-250-2M-250-250M250-M0(0)M-502M-1500-M-25001y2-4001/210-1/201/25050y3-2501/2011/2-1-1/215075z(1)-325-400-25075250-75-28750(1)2500-75-250-M+752y1-300120-10150y3-2500-111-1-150z(2)-300-350-25050250-50-27500(2)0-500-50-250-M+5071l對(duì)偶單純形法是利用對(duì)偶原理而設(shè)計(jì)的一種單純形法變種算法，與單純形法一樣，它是通過(guò)對(duì)原規(guī)劃問(wèn)題直接求解的一種方法，而并非是

53、通過(guò)對(duì)對(duì)偶規(guī)劃求解來(lái)獲得原規(guī)劃最優(yōu)解。72l算法原理可行解是時(shí)，成立時(shí)，對(duì)可行解不是時(shí)，不成立時(shí)，對(duì)在迭代過(guò)程中有注意到值。最優(yōu)解，且有相同最優(yōu)與分別為與知由且由于可行解為有則對(duì)無(wú)限制最優(yōu)解有最優(yōu)可行基：設(shè)（標(biāo)準(zhǔn)型）數(shù)？對(duì)偶2)(212, 1)(2111121)()(1210)2(0) 1 (112)()()()()(00min0max11LPYlijiLPYlijiLPLPLPYxThxzxCxCbBCBCbBCbYbYbyfLPYYACAYCABCCzCLPyCyAybfLPxxbAxBCxzLPiliBCYliilBBlBTTlBTTlBTTTlTlTlllTTlBCYlBllTTTlx

54、liBTilllllllBTll73z(x(0) z(x(1) z(x(2) )()(lxzx(0)基本 可行x(1)基本 可行x(2)基本 可行基本可行xxl)(B0 B1 B2lBbBxiBi11iBiBCYiY0不可行Y1不可行Y2不可行可行YYlf(Y0) f(Y1) f(Y2) )(lYfLP1LP274z(x(0) z(x(1) z(x(2) )()(lxzx(0)基本 不可行x(1)基本 不可行x(2)基本不可行基本可行xxl)(B0 B1 B2lBY0可行Y1可行Y2可行可行YYlLP1LP275單純形法思想： 保持x(i)基本可行性直到 可行 （ 可行 滿足最優(yōu)性條件）對(duì)偶單

55、純形法思想：*直到 基本可行保持Yi可行i=1 ，保持x(i)最優(yōu)性條件l)(lxlYlY)(lx對(duì)稱(chēng)思想76lTh15：采用下述如圖的算法可以實(shí)現(xiàn)如*所示的LP求解思路，并可求得LP最優(yōu)解或無(wú)可行解。l上述思路與算法由PaPadimitriou C. H& Steiglitz . K在下述專(zhuān)著證明。Combinational Optimization Algorithms and Complexity，NewJersey PrenticeHall，198277建立初始單純形表，以使其具有原規(guī)劃建立初始單純形表，以使其具有原規(guī)劃(LP1)的一個(gè)基本解和對(duì)偶規(guī)劃的一個(gè)基本解和對(duì)偶規(guī)劃(L

56、P2)的一個(gè)的一個(gè)可行解（即原問(wèn)題可行解（即原問(wèn)題 ），），r=00)0(b(r)0為出基變量，lrmrrirlxbbbbmin)()(2)(1)(為入基變量krlkrkrljrljrjjxaaa,0|min)()()()()(為主元作基變換以)( rlkar2存在有限解存在有限解解是否合理解是否合理是否需修改模型是否需修改模型END靈敏度分析靈敏度分析修改模型修改模型圖解法圖解法采用采用NLP，DP等等其它有關(guān)算法其它有關(guān)算法單純形法，大單純形法，大M法，法，LIP法對(duì)偶單純形法等法對(duì)偶單純形法等FFYYYYYNNNNNLP求解步驟91l說(shuō)明1.根據(jù)實(shí)際需要，確定決策變量與目標(biāo)函數(shù)。2.約束

57、條件通常為資源約束（廣義）一般有時(shí)間，費(fèi)用（效益）、人力、設(shè)備資源、技術(shù)性能要求等要素，詳見(jiàn)下表。約束方程（或不等式）應(yīng)是決策變量的函數(shù)。屬性管理約束工程約束經(jīng)濟(jì)約束時(shí)間工時(shí)，工期工期年度、季度、月度費(fèi)用成本、收益、投資成本、收益、投資固定資產(chǎn)投資等GDP,GNP國(guó)民收入資源人力、設(shè)備、能源人力、設(shè)備、(水、電)能源自然資源(礦產(chǎn)、國(guó)土)技術(shù)性能 質(zhì)量可靠性，可控性，可測(cè)性，存貯空間等GDP發(fā)展速度失業(yè)率、通貨膨脹率等92l說(shuō)明3.NLP有簡(jiǎn)約剃度法、投影剃度法、懲罰函數(shù)法、近似線性化法、共軛方向法、隨機(jī)逼迫法等。4.依據(jù)LP的具體建立形式確定采用何種算法（如單純形法、修正單純形法，大M法等）

58、5.解的合理性主要指經(jīng)濟(jì)合理性、工程技術(shù)合理性，而靈敏度分析是指LP的可靠性。93l軟件包操作與說(shuō)明（P28P34，P406） 該軟件包可在Windows及UCDOS中文平臺(tái)下運(yùn)行 * * * * * 主 菜 單* * * * *1.線性規(guī)劃 7.最小費(fèi)用最大流 2.運(yùn)輸問(wèn)題 8.關(guān)鍵路線3.整數(shù)規(guī)劃 9.存貯論4.最短路法 10.排隊(duì)論5.最小生成樹(shù) 11.決策分析6.最大流量 12.預(yù)測(cè)問(wèn)題請(qǐng)輸入你的選擇(112)：1LP簡(jiǎn)介*選擇繼續(xù)返回ESC94l輸入注意要點(diǎn)：P29l輸入注意要點(diǎn)：P29P34 * * *問(wèn)題選擇菜單 * * *1.建立一個(gè)新問(wèn)題2.恢復(fù)已解決的問(wèn)題3.繼續(xù)現(xiàn)在的問(wèn)題

59、4.刪除已解決的問(wèn)題5.返回主菜單請(qǐng)輸入你的選擇(15)：1目標(biāo)函數(shù)：max50 x1+100 x2變量個(gè)數(shù)：2輸入第一個(gè)約束：x1+x2300輸入第二個(gè)約束：2x1+x2400輸入第三個(gè)約束：x2250輸入第四個(gè)約束：END*問(wèn)題處理菜單*1.解決這個(gè)問(wèn)題2.保存這個(gè)問(wèn)題3.顯示編輯這個(gè)問(wèn)題4.返回上級(jí)菜單輸入選擇(1,2,3,4)：195l模型的建立u例15（生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題P44）u例16（投資問(wèn)題P54）l模型的標(biāo)準(zhǔn)化與初始基構(gòu)造2022-3-2596l例15：明興公司面臨一個(gè)是外包協(xié)作還是自行生產(chǎn)的問(wèn)題。該公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，這三種產(chǎn)品都要經(jīng)過(guò)鑄造、機(jī)加工和裝配三個(gè)車(chē)間。甲、乙兩

60、種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠鑄造才能保證質(zhì)量。有關(guān)生產(chǎn)工時(shí)及其約束、成本、價(jià)格情況見(jiàn)表41；公司中可利用的總工時(shí)為：鑄造8000小時(shí)，機(jī)加工12000小時(shí)和裝配10000小時(shí)。公司為了獲得最大利潤(rùn)，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄造應(yīng)多少由公司鑄造？應(yīng)多少由外包協(xié)作？2022-3-2597l產(chǎn)品單位利潤(rùn)=單位產(chǎn)品售價(jià) (自行鑄造、外包鑄造成本+機(jī)加工成本+裝配成本）lx1三道工序均由本公司生產(chǎn)的甲產(chǎn)品數(shù)量（件）lx2三道工序均由本公司生產(chǎn)的乙產(chǎn)品數(shù)量（件）lx3三道工序均由本公司生產(chǎn)的丙產(chǎn)品數(shù)量（件）lx4鑄造外包，機(jī)加工，裝配本公司生產(chǎn)的甲產(chǎn)品數(shù)量lx