1、【考綱說明】1、了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景(如瞬時速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等)；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念。2、熟記八個基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3、理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號)；會求一些實際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值?！局R梳理】一、導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x)，如果自變量x在X0處有增量x,那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量y=f(x0+x)-fn(xo),比值x叫做函數(shù)y=f(x)在xo到xo+x

2、之間的平均變化率，即x=x。如果當(dāng)X。時，X有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，并把這個極限叫做f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f(xo)或y，|為其應(yīng)用說明:(2)X是自變量X在X0處的改變量，X0時，而y是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f(X)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)的步驟：(1)求函數(shù)的增量y=f(X0+X)f(X0)；(2)求平均變化率土二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(X)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(X)在點(diǎn)p(X0,f(X0)處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f(X)在點(diǎn)p(X0,f(X0)處的切線的斜率是f(x0)。相應(yīng)地，切線方程為yy0=f/

3、(X0)(XX0)o三、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)C0;Xnxn1;(sinX)cosx;(cosx).1.,X、X,X、xlnXlogaX(e)e;(a)alna;X;四、兩個函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則法則1:兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等丁這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即：(UV)UV.法則2:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)， 等丁第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)， 加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：(uv)uvuv.若C為常數(shù)，則(Cu)CuCu0CuCu.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等丁常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(Cu)Cu法則3:兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等丁分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，uuvuv

4、即f(X0)lim一X0ylimX0f(X0 x)f(Xo)(1)函數(shù)f(X)在點(diǎn)X0處可導(dǎo)，是指X函數(shù)在點(diǎn)X0處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。yy0時，x有極限。如果X不存在極限，就說(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)flim旦0X=X0X0sinX.,1.再除以分母的平方：v=V2(v0)。形如y=f(x)的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解一一求導(dǎo)一一回代。法則:V|x=y，|uu，|x五、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1、單調(diào)區(qū)間：一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間可導(dǎo)，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0,則f(x)為減函數(shù)；一一一-一一一如果在某區(qū)間內(nèi)包有f(X),則f(x)為常數(shù)；2、極點(diǎn)與極值：曲線在極

5、值點(diǎn)處切線的斜率為0,極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0;曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；3、最值：一般地，在區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a,b上必有最大值與最小值。1求函數(shù)？(x)在(a,b)內(nèi)的極值；2求函數(shù)？(x)在區(qū)間端點(diǎn)的值？(a)、？(b)；3將函數(shù)？(x)的各極值與？(a)、?(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4、定積分(1)概念：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點(diǎn)a=x0 x1xi1xi-xn=b把區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)問，在每個小區(qū)問xi-1,xi上取任一點(diǎn)Ei(i=1,2,-n)作和式In=nfi=1(E

6、i)x(其中為小區(qū)間長度)，把nT8即t0時，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)f(x)dxf(x)dx!imf在區(qū)間a,b上的定積分，記作：a,)，即a,)=ni1(EJ)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限,區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，基本的積分公式：1xxdx=Inx+C;e=e、+C；xaadx=Ina+C;(2)定積分的性質(zhì)bbf(x)dx叫做被積式。0dx人=Cmxdx+C(mQ,m1)；cosxdx=sinx+C;sinxdx=_cosx+C(表中C均為常數(shù))。akf(x)dxkaf(x)dx皿為常數(shù))；f(x)g(x)dxf(x)dxg(

7、x)dx2)aaa;bcbDaf(x)dxaf(x)dx(小x(其中cb)。(3)定積分求曲邊梯形面積由三條直線x=a,x=b(a0)圍成的曲邊梯的面積bSf(x)dxa。如果圖形由曲線yi=fi(x),y2=f2(x)(不妨設(shè)fi(x)f2(x)0),及直線x=a,x=b(a0,且xK時，f(x)十、求k的取值范圍。業(yè)知，當(dāng)x1時，h(x)0。而h(1)0,故,x1 、a(Inx)【解析】(1)f,(x)=xf(x)=1故解得a=11,b=1f,(1)=-由(1)用墅(x1)2b=1Mb=1一.由丁直線x+2y-3=0的斜率為1，且過點(diǎn)(1,1),12所以彳x(x)Inx(x1k)二(2ln

8、x5)x1xx考慮函數(shù)h(x)2lnx(k1)(x21)(x0)，則h(x)(k1)(x22D2xxx(i)設(shè)k0,由h(x)=0,故當(dāng)x(1,時，h(x)0,可得一h(x)0,而h(1)=0,故當(dāng)x(1,+)時，h(x)0,(x)0,g(x)12/21x(xx)lnx【解析】(H)f1klnx由f(x)=可得f(x)8x，而f(1)ee11lnx(x)x，令f(x)0可得x1,e一1.1時，f(x)1lnxx0,即蠟0,解得k丁是f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)為增函數(shù);0;當(dāng)x1時，f(x)在(1,)內(nèi)為減函數(shù)。1ln1時，1x2只需證1【例5】0,lnx1時，要證g(x)2,2x(xx)lnx

9、0,x(x2xAe(1(2012北京)已知函數(shù)x0,ex0,g(x)0 x)】1lnx2.2x1x(xxxeee2)，f(x)x)Inx然后構(gòu)造函數(shù)即可證明。a(x1)x2，其中a0.當(dāng)x(0,1)時，h(x)0,可得一1當(dāng)x(1,+)時，h(x)0,且x1時，f(x)-(ii)設(shè)0k0(炬+*)0,即f(x)炬+土x1xx1x)時，(k-1)(x2+1)+2x0,故h(x)1k0,而h(1)可得-1(m)g(x)(x2(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(U)若直線xy10是曲線yf(x)的切線，求實數(shù)a的值；2(用)設(shè)g(x)xlnxxf(x)，求g(x)在區(qū)間1,e上的最大值.(其中e為自然

10、對數(shù)的底數(shù))f(x)(2_x)【解析】(I)x3,(x0),在區(qū)間(,0)和(2,(0,2)上，f(x).所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)和(2,)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2).a(x1)y。2x。x0y010a(2xo)1，、31/(U)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則為解得X01,a1.(in)g(x)xlnxa(x1),則g(Xlnx1a解g(x)o,得xea1,所以，在區(qū)間(0,ea1)上，g(x)為遞減函數(shù)，在區(qū)間(ea1,)上，g(x)為遞增函數(shù).當(dāng)ea11,即0a1時，在區(qū)間1,e上，g(x)為遞增函數(shù)，所以g(x)最大值為g(e)eaae.當(dāng)ea1e,即a2時，在區(qū)間1,e上

11、，g(x)為遞減函數(shù)，所以g(x)最大值為g(1)0.當(dāng)1ea10;當(dāng)x1,1時，f(x)0,所以f(x)在x=-處取得極大值，在x=-處取得極小值。222(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)則f(x)包大丁等丁零或f(x)包小丁等丁零，因為a0所以=(-2a)2-4aV0,解得0av1.【課堂練習(xí)】一、選擇題1.(2011全國)曲線y=e-2x+1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為()A1B1C2D1323Ay=2x+1By=2x-1Cy=-2x-3Dy=-2x-23.(2012陜西)設(shè)函數(shù)f(x)=xex,則()Ax=1為f(x)的極大值Bx=1為f(x)的極小值C

12、x=-1為f(x)的極大值Dx=-1為f(x)的極大值R,若函數(shù)yeax3x,xR有大丁零的極值點(diǎn)，則（）A.a3a3a1a1（2008江西、山西、天津理科）函數(shù)y13xx3有（）33A極小值一1,極大值1B極小值一2,極大值3C極小值一2,極大值2D極小值一1,極大值36.（2006湖南理科）設(shè)f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x0時，A(3,0)(3,)B(3,0)(0,3)C(8,3)U(3,+8)D(8,3)U(0,3)1x27.(2007海南、寧夏理)曲線ye2在點(diǎn)(4,e)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為()A.e2B.4e2C.2e2D.e228.(2008

13、湖北理)若f(x)=1x2bln(x2)在(-1,+)上是減函數(shù)，WJb的取值范圍是()2A.-1,+8B.(-1,+Qc.,1D.(-8,-1)xf（x）的圖像如右圖所示（其中f（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)）,下面四個圖象中yf（x）的圖象大致是（）ABCD（1）（2006江西、天津理科）右圖中陰影部分的面積A2.3B92一3C32D3533二、填空題：11. （2007湖北文）已知函數(shù)yf（x）的圖象在M（1,f（1）切線方程是y；x+2,f（1）f（1）=.12. （2007湖南理）函數(shù)f（x）12xx3在區(qū)間3,3上的最小值是.2.（2010課標(biāo)全國）曲線y2在點(diǎn)（-i,-i）處的切線

14、方程為（）4.（2008廣東理）設(shè)af(x)g(x)f(x)g(x)。且g30，.則不等式f（x）g（x）0,f(x)=x1ln2x+2alnx(x0).(I)令F(x)=xf/(x),討論F(x)在(0.+00)內(nèi)的單調(diào)性并求極值；(皿)求證：當(dāng)x1時，包有xln2x2alnx+1.A2B3C4D5【課后作業(yè)】一、選擇題1.(2005全國卷I文)函數(shù)f(x)x3ax23x9,已知f(x)在x3時取得極值，則a=()2.(2008海南、 寧夏文)設(shè)f(x)xlnx,若f(x。)2,則x()Ae2BeCDln223.(2005廣東)函數(shù)f(x)x33x21是減函數(shù)的區(qū)間為()A(2,)B(,2)

15、C(,0)D(0,2)14. (2008安徽又)設(shè)函數(shù)f(x)2x1(x0),則f(x)()xA有最大值B有最小值C是增函數(shù)D是減函數(shù)5.(2007福建文、理)已知對任意實數(shù)x有f(x)=f(x),g(-x)=g(x)，且x0時，f(x)0g(x)0則x0g(x)0Bf(x)0(x)0Cf(x)0Df(x)(x)0)有極大值9.(I)求m的值；(皿)若斜率為-5的直線是曲線yf(x)的切線，求此直線方程.【課堂練習(xí)】一、選擇110AADBDDDCCC填空因f(x)在0,)內(nèi)只有一個點(diǎn)x200使f(x)0,故它就是最大值點(diǎn)，且最大值為:13f(200)-(200)2400020050000315

16、0000(兀)5答：每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時利潤達(dá)到最大，最大利潤為315萬元.9x1,所f(x)3x22ax93(x-)23xa時，f(x)取得最小值32.因斜率最小的切線與12x3為-12,所以9212,即a230,f(x)在R上遞增(x)0求得兩根為xa233(n)由(I)知a3,因此f(x)x33x29x1,17.解:(1)3-2f(x)xaxx1求導(dǎo):-一2一f(x)3x2ax118.解：(I)因為f(x)(ex,所以切線l的斜率為yetet(xt).即etxyet(t1)0。(U)令y=0得x=t+1,x=0得所以S(t)=1(t1)et(t1)=1(t1)2e*從而S(t)1et2

17、22(1t)(1t).zet,故切線l的方程為16.解：(I)因為f(x)x22ax即該切線的斜率9.解得a3,由題設(shè)a0,所以a3.當(dāng)a20,當(dāng)t(1,+8)時，S(t)0,所以S(t)的最大值為S(1)=壬。e列表如下:x(0,2)2(2,+oo)F(x)-0+F(x)極小值F(2)+8)內(nèi)是增函數(shù)，所以，在x=2處取得極小19.解:f(x)的正義域為2,28.(I),2f(x)2x2x34x26x22(2x1)(x1)2x32x3當(dāng)32x1時，f(x)0；當(dāng)11一x一時，f(x)0;當(dāng)x2;時,f(x)0從而，f(x)分別在區(qū)間3,11,8單調(diào)增加，在區(qū)間1,1單調(diào)減少.22f(x)在區(qū)

18、間的最小值為f2ln2所以f(x)在區(qū)間ln329,71In16216ln37的最大值為f20.(I)解：根據(jù)求導(dǎo)法則得f(x)12Inxx故F(x)xf(x)x2Inx2a,x0,丁是F(x)1,491ln26.7ln.22a一,x0.x2x21-xx0.(U)證明：由a0知，F(xiàn)(x)的極小值F(2)22In22a0.丁是由上表知，對一切x(0,)，恒有F(x)xf(x)0.從而當(dāng)x0時，恒有f(x)0,故f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加.所以當(dāng)x1時，f(x)f(1)0,即x1In2x2aInx0.故當(dāng)x1時，恒有xIn2x2aInx1.0.,x12116故知F(x)在(0,2)內(nèi)是減函數(shù)，在

19、(2,值F(2)=2-2In2+2a.【課后作業(yè)】一、選擇1-10DBDABACABD一、填空ii.5xy20；12.8；,-2.3三、解答題15.解：(I)f(x)=3x2+6x+9.令f(X)0，解得x3,所以函數(shù)f(x)的巾調(diào)遞減區(qū)間為(一00,1),(3,+8).(II)因為f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(-2).因為在(一1,3)上f(x)0，所以f(x)在1,2上單調(diào)遞增，乂由丁f(x)在2,1上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間2,2上的最大值和最小值，丁是有22+a=20,解得a=2.故f(x)

20、=x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=7,即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,2上的最小值為一7.16.解(I)fxx3bx2cx，二fx3x22bxc。從而g(x)f(x)f(x)x3bx2cx(3x22bxc)=x3(b3)x2(c2b)xc是一個奇函數(shù)，所以g(0)0得c0,由奇函數(shù)定義得b3;(皿)由(I)知g(x)x36x,從而g(x)3x26,由此可知，(,J2)和(72,)是函數(shù)g(x)是單調(diào)遞增區(qū)間；(V2,J2)是函數(shù)g(x)是單調(diào)遞減區(qū)間；g(x)在x72時，取得極大值，極大值為W2,g(x)在x扼時，取得極小值，極小值為4、2。一、解：(I)由f(x)x3bx2c

21、xd的圖象過點(diǎn)P(0,2),d=2知,所以f(x)x3bx2cx2,f(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1)處的切線方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1,f(-1)=6,0,解得b=c=-3。故所求的解析式為f(x)=x3-3x2-3x+2,3,(U)f(x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0， 解得x1=1-2,x2=1+.2,當(dāng)x1+72時,f(x)0；當(dāng)1-V2x1+72時,f(x)0f(x)=x3-3x2-3x+2在(1+V2,+8)內(nèi)是增函數(shù)，在(-oo,1-72)內(nèi)是增函數(shù)，在(1-72,1+72)內(nèi)是減函數(shù).1812x318.解：設(shè)長方體的克為x(m)，則長為2x(m),局為h44.53x(m)(Kxv-2.故長方體的體積為V(x)2x2(4.53x)9x26x3(m3)(CKxv-).2從而V(x)18x18x2(4.53x)18x(1x).令V(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,2因此x=1.當(dāng)00;當(dāng)1xv2時，V(x)0,故在x=1處V(x)取得極大值，并且這個極大值就是V(x)的最大值。從而最大體積V=V(x)=9X12-6X13(m3),此時長方體的長為2m,高為.32bc6,即b1bc21,c2bc答：當(dāng)長方體的長為2m時，寬為1m,高