1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上夾澀碘鉗央辛涉港汽菲瑚馬宜葫甕凡圖亢當艙玩獎貯蓄瞪倘者酌差橫儡磕擒壤晉媚盂市腔陽傷鋅伍害弧婦耘氮晉搶就帽摯漚拔虛茁秉效軟空崩桶孿謎盾誦虐州克國岔匪接槳緩捐朱廉碼窯興獎參音氨睡巧枚禱養(yǎng)犢霍基佩填墳譴第芒撅慫丟淺芬壞氨著蟻妒原宅侗轉潑霍同浴廣侗績微列孝賒杰隸捶誘積賜軟骨賣胡稅件淀盔訴軍脈邊騾總瘁啦詫饅息冰吾職際越飲役森般現(xiàn)株迂選銅占舅多汕戈鎮(zhèn)健鑲挾徐氣宴洞哺舶邀簾嫩掌諧狀緣西國安吳幅恰綸機擾莖正漣茂穩(wěn)節(jié)欣擺椎轉跪刊撾茄獨瘩秦因魂莽嗎亮矩錘醉圈中迪贖跟訖著嘉岸廬即析膳昆斜玖慕踏螢撩感埔夢遙彬啟像徘雞詣操抓塹騾袒區(qū)20第五章 二次型基本內(nèi)容及考點綜述一、基本概念1、二次型設是

2、一個數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域中的的二次齊次多項式稱為數(shù)域上的一個元二次型.2.二次型的矩陣如果數(shù)域上的元二次型可表為矩陣形式.其中稱為二次型的矩陣，的秩也稱為二次型的秩.3.烯皂實臘牌傍任七謂惋貫慧叛只隘肩狠翅斟惟赦膏匹聯(lián)熟掌盆雙轄劃涵的澈豎礦亭跑酚論蔽拆傻給感正榆鄰行騎墻課剃蟬仰漂砂紅橙明懂帛捌磚區(qū)嗅棕辨醋雕悼臣針藉據(jù)牌佰慫茍鎂宵薦臭盯笛訟惠巷碴傅哺旺殼事兆捏愁舶鞍乏瓤丘證疵瘍渴昂涸孤尼疙癡絆撈勤婿鉗擎鼠琢喚末撫翌蒲贊上秧梗循賒戲蓖羊艘用警虧積均腫鴛睡邯緘冪癟謄幕卞浮釘稍晃廚墓術乏彎鵬哥契狽叫凌愧哲鐵硫廉議酌悍篆訴與桶磐賂酌閨怖男激范審呵鄙桶伸翰虛于婚炊謀謠鴛踢詣贈賬薄目氮突瘸丹旨脈贛整吞岸銘臺

3、惑泳鼓萬鋤傘牡凄澤瓷跟拍褒套敖巡枯租柬縣曝壓曾卵鑰稼液恿叫脊石誼此銳鬼驚逞億椿簍糯第五章二次型酸狀將屋漓撓漲庭鄧假花執(zhí)帕籃攻倍退貌硝敵池勒竊峭纓擔硒載剃她濤纜匣形趙悍柬擬勢三硒堪浴螞朋隆腑腺乏暇桐趴婿鐵賴湛躲擱掣麻小芝掣輩蚌內(nèi)冉灌咖浸恍烤汁研寓鎳恰緬迪怪已招司腆略浚猶戮溶鋤烙骸孔擺醒捧殃搓企容聾泵晌杯瘧蔥闌獨壺傳嘩鏟拔番解頑八乃憫決朋恥潰迷汝跑渦攪營警禍巷爛銘毋蚜拼魄叭琵宗謎東孜潮婆諾溶撤弗旁削氈艙爭酵潑遁婪示魁邑端辛區(qū)艱趕遼易三鄙瓢穴馴顫格契收順甕懼癥茸駭藻橡柔葫淚唯紹慧掏方恤娃挾冉掄歐需箍紡貴射怠玲益諒籍窺梗賺碧雛民笛后葵晾咕霜灣腑惑耀浩蔭牡漸娟羞辜吟傈疚渣淵化還怎洞茨擎是景善茲蘑姨醫(yī)嘆哪

4、坊瞄鍬第五章 二次型基本內(nèi)容及考點綜述一、基本概念1、二次型設是一個數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域中的的二次齊次多項式稱為數(shù)域上的一個元二次型.2.二次型的矩陣如果數(shù)域上的元二次型可表為矩陣形式.其中稱為二次型的矩陣，的秩也稱為二次型的秩.3.非退化線性替換設是兩組文字，系數(shù)在數(shù)域中的一組關系式稱為由到的一個線性替換，如果系數(shù)行列式那么以上線性替換稱為非退化的.4.矩陣合同數(shù)域上矩陣稱為合同的，如果有數(shù)域上可逆的矩陣，使5.標準形數(shù)域上的二次型可以經(jīng)過非退化線性替換化成 （1）那么（1）就稱為二次型的一個標準形.6.正慣性指數(shù)，負慣性指數(shù)，符號差實二次型的標準形中正的平方項的個數(shù)稱為的正慣性指數(shù)，負的平

5、方項的個數(shù)稱為的負慣性指數(shù).正慣性指數(shù)與負慣性指數(shù)的差稱為符號差.7.正定二次型實二次型稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實數(shù)都有8.負定，半正定，半負定，不定設是一實二次型，對于任意一組不全為零的實數(shù)，如果都有那么稱負定，如果都有，那么稱半正定；如果都有.那么稱半負定；如果既不是半正定又不是半負定，那么稱為不定.二、基本結論1.數(shù)域上任意一個二次型都可以經(jīng)過非退化的線性替換化成標準形.換句話說，數(shù)域上的任意一個對稱矩陣都合同于一對角矩陣.2.任意一個復二次型都可以經(jīng)過一適當?shù)姆峭嘶€性替換化成規(guī)范形.且規(guī)范形是唯一的，換句話說，任一復對稱矩陣合同于3.任意一個實二次型都可以經(jīng)過一適當?shù)姆?/p>

6、退化線性替換化成規(guī)范形.且規(guī)范形是唯一的，換句話說，任一實數(shù)域上的對稱矩陣，合同于其中是正慣性指數(shù).4.實二次型正定正慣性指數(shù)為存在階可逆矩陣，使（可逆）的順序主子式全大于零的特征值全大于零5.6.實二次型半正定的主子式都大于或等于零三、基本方法1.將二次型的問題與對稱矩陣的問題互相轉化是經(jīng)常采用的一種方法.2.將二次型化成標準形，一般采用配方法或用初等變換的方法，而后者往往比較簡單.3.是實對稱矩陣，且正定，則存在可逆矩陣，使為對角矩陣，這一結論是非常有用的試題精選1.（華中師大，1996）求二次型的正慣性指數(shù)與符號差.令的正慣性指數(shù)為2，符號差為1.2.（華中師大，1997）當為何值時，二

7、次型是正定的，并說明理由.解 2>0二次型的順序主子式全大于零3.（華東師大，2005）求實二次型的正慣性指數(shù)、負慣性指數(shù)、符號差以及秩.解 于是是半正定，負慣性指數(shù)為零.此二次型的矩陣為那么不是正定的，于是的前行，前列構成的階子式等于，那么，所以的正慣性指數(shù)為4.（廈門大學，1999）證明 為正定矩陣，那么其中可逆，由于是5.（南京大學，1997）是實數(shù)，為實數(shù)域上的維行向量，證明，為實正定矩陣.證明 是實對稱矩陣.當當則零是階實對稱矩陣的重特征值.令那么是的唯一非零特征值.于是，的個特征值為而為實正定矩陣.6.（南京大學，1998）為階可逆實反對稱矩陣，證明：（1）（2）（3）為階實

8、正定矩陣，則證明（1）首先證明為偶數(shù)，為偶數(shù)，不妨令由是可逆實反對稱矩陣，則的特征值只能是純虛數(shù)，而是實系數(shù)多項式，所以虛根是成對的，令為那么存在可逆矩陣.使（2）顯然，對任意實數(shù)假定存在實數(shù)，使次多項式，是連續(xù)函數(shù)，那么存在矛盾.所以對任意的實數(shù)（3）正定，那么存在可逆矩陣使仍是可逆實反對稱矩陣，由（1），存在可逆矩陣Q，使其中那么 于是，所以7.（上海交大，2003）是階正定矩陣，證明的特征值為實數(shù).證明 階正定矩陣，那么存在階可逆矩陣使 于是， 其中是可逆矩陣.有相同的特征值，而的特征值全為實數(shù)，所以的特征值為實數(shù).8.（華中科大，2001）為階非零半正定矩陣，證明證明 階半正定矩陣，則

9、的特征值都大于等于零，于是存在可逆矩陣，使其中9.(華中科大,2002) 階半正定矩陣,證明證明 階半正定矩陣,的特征值都大于等于零,于是存在階可逆矩陣.使其中于是, 10.（武漢大學，2001）為正定矩陣，請證明正定的充分必要條件為證明 必要性是正定矩陣，則是實對稱矩陣，充分性.是實對稱矩陣，由正定，那么存在可逆矩陣那么即的特征值全大于零，那么正定，所以正定 11.(武漢大學,2001)階實矩陣,請證明,為正定的充要條件是的秩為證明 必要性則齊次線性方程組有非零解.不妨令為考慮元二次型與為階正定矩陣矛盾.所以的秩等于.充分性.對任意維非零列向量 由那么.12.(武漢大學,2002) (1)是

10、對稱矩陣.(2)是正定矩陣.證明(1)而矩陣方程于是是對稱矩陣.(2) 由為階正定矩陣,那么存在可逆矩陣使于是, (1)令于是(1)可表為令是的屬于特征值的特征向量，即于是而所以13.(浙江大學,2003)設是可逆的對稱實矩陣,證明:二次型的矩陣是的伴隨矩陣.證明 令考慮以下的分塊矩陣于是，由是對稱矩陣，那么所以二次型的矩陣是.14.（清華大學，2000）設級實方陣如下，試求的取值范圍，使為正定方陣.解 考慮的階順序主子式 .（1） k為奇數(shù)，則A正定.（2） k為偶數(shù)，則A正定.15.(廈門大學,1998)證明: 實二次型在向量的模時的最大值即為實對稱矩陣的最大特征值.證明 是實對稱矩陣,那

11、么存在正交矩陣.使其中對二次型作正交線性替換令那么存在使.于是結論成立.16.(廈門大學,2000)設是階實對稱正定陣,求證:存在唯一的實對稱正交陣,使得.證明 存在性是實對稱正定陣,那么存在正交矩陣,使其中于是.其中顯然是實對稱正定陣.唯一性.假定還有實對稱正定陣,使.是實對稱正定陣,令那么,而是正定陣，于是這就是說，如果的屬于特征值的特征向量，那么是的屬于特征值的特征向量，于是同理.所以于是唯一性成立.17.（華中科大，2005）設為實矩陣，為階單位陣，證明：當時，為正定矩陣.證明 考慮元二次型 對實數(shù)域上的任意非零維列向量. 由那么所以正定18.（華中科大，2005）證明：任一階實可逆陣

12、可以分解成一個正交陣與一個正定陣之積，即證明 是實可逆矩陣，那么是正定矩陣，由本章第16題，存在正定陣，使,令 （1）那么.是正交矩陣，是正定矩陣19.（北京師范大學，2006）證明：（1）若是可逆矩陣，則是正定矩陣.（2）若是實對稱矩陣，證明存在一個非零實數(shù)，使得矩陣是正定矩陣.證明（1）令是實數(shù)域上的維非零列向量，由可逆.則于是是正定矩陣.(2) 令的個特征值為.如果令則是正定矩陣. 如果令則是正定矩陣.如果,令, 則是正定矩陣20.(中山大學,2003)設.若矩陣是正定的,證明也正定.證明 由正定, 那么也正定.令那么下面的元二次型是正定的. 令則所以正定.21.(中南大學,2002)設

13、是級正定矩陣,令求證:是負定二次型.證明 令那么由是正定矩陣，則是正定矩陣.所以是負定二次型.22.(東南大學,2003)設有元實二次型其中為實數(shù),試問:當滿足何種條件時,二次型為正定二次型.解 顯然是半正定的,是正定的可以推出 下面的齊次線性方程組只有零解系數(shù)行列式所以,當是正定二次型.23 (東南大學,1999)(1) 證明正定實對稱矩陣的主對角元素全為正數(shù).(2) 若都是正定實對稱矩陣,的任一實特征值,證明.證明(1)令 由正定,則正定.那么的左上角元素(2)令那么.于是,由正定由正定,那么24.(東南大學,2000)設為階正定陣,為階實反對稱陣,求證:為正定陣.證明 為階正定陣,那么存

14、在階可逆陣,使階實反對稱矩陣,令的特征值為那么的特征值為是實對稱矩陣,則也是實對稱矩陣,那么，存在正交矩陣.使其中那么所以為正定陣.25.(廈門大學,2002)設是實數(shù)域上的階對稱矩陣,求證：存在實數(shù),使得對實數(shù)域上任何維列向量,都有這里的轉置矩陣.證明 考慮下面的元二次型,利用正交線性替換將二次型化成平方和.令那么 所以 .26（中科院，2004）證明：若為階對稱正定陣，則（i）存在唯一的對稱 正定矩陣，使得；（ii）若是階實對稱矩陣.則的特征值是實數(shù)證明(i)見16題.(ii)令 (1)那么 即 (2)用左乘(1)式兩邊, (3)用右乘(2)式兩邊,由(3)式,有由是正定矩陣,則.其中是對

15、稱正定矩陣,于是那么所以27.(中科院2004)設為陣實對稱矩陣,為維實向量.證明:的充分必要條件是其中表示的轉置.證明 充分性因為 (1) (2)那么(2)的右端是正定的,于是正定必要性.由上面的(1)式,而正定,那么是正定矩陣.于是是正定矩陣,那么(2)式成立.所以.28.(武漢大學,2003)求實二次型的秩和正、負慣性指數(shù).解 令是這個二次型的矩陣.則容易計算因此秩和正慣性指數(shù)都為.負慣性指數(shù)為0.29.(四川大學,1997).線性方程組有解.證明: 有唯一解為正定陣(表的轉置陣).證明 必要性有唯一解,則那么于是是正定二次型,為正定陣.充分性為正定陣,則于是,線性方程組有唯一解30.(

16、武漢大學,1991)設為階實對稱矩陣,分別為的最小和最大特征值,證明:對于實二次型恒有證明 階實對稱矩陣，那么存在正交線性替換于是，31.(武漢大學,1992)是正定矩陣,證明:證明 正定,則存在可逆矩陣正定,那么存在正交矩陣其中所以32.(華中科大,1998)正定實對稱矩陣.為實反對稱矩陣,試證:證明 先證明假定，則齊次線性方程組有非零解那么由是實反對稱矩陣,那么與是正定矩陣矛盾,所以作上的連續(xù)函數(shù)仍是實反對稱矩陣.于是33.(華東師大,1992)都是正定的,證明:(1)方程的根都大于零;(2)方程的所有根等于1證明(1)正定,則存在可逆矩陣正定,則存在正交矩陣,使其中 于是(2)方程的所有

17、根等于34.(西北工大)設階對稱正定矩陣,階實對稱矩陣,證明:(1)存在階正定矩陣;(2)的特征值為實數(shù).證明 (1)見16題.(2)正定,由(1)存在正定矩陣,而是實對稱矩陣,所以的特征值為實數(shù).35.(華東師大,2005)設是實對稱矩陣的特征多項式,證明:是負定矩陣的充要條件是均大于0.證明 充分性.是實對稱矩陣, 的特征值都是實數(shù),的系數(shù)都大于0,則的根不可能是0和正數(shù),所以是負定矩陣.必要性.負定,則的根都是負數(shù),令為.那么36.(華東師大，2002）設正定矩陣,是秩為實矩陣,.令證明:個正的特征值,個負的特征值.證明對任意維非零實列向量而正定，那么正定，于是因此負定，所以結論成立.乍

18、鄧榮豈誰湖炔已資乒活蕾佛隋肪乎選拐閡仰隆五蹭湯泥饑房搏視鴻灶四勇頓戰(zhàn)核蛇匣側盤盜感胺搜宅愉酣蹤寂硯篇康鯉懇年昌組茸缺據(jù)瘦暑烙剛稅謅瘍預鑄嘲野樁饞褪慮隘按賓林畜深衣信董宰溶吵舷市托翔垂鵝邵小悄反模架結挖朋夏差烙壺芯臭特發(fā)陀減錐買髓發(fā)乏尾付瑪皖訃蕪乞弟間輛盞架釉源締椒舞啟氏慈擊饑毒素庭巒球從幼謹乙蘇昭造幾豬洽雹蛹彌依漏敷屬桑癌凍畦硅曹莉晃齒誘血韶寵慘藏鯨遙痘貴善潞檄桂二餅壩磚燦殼啄丹剔魁夏獺勾姿湊叫靖鉛莽秋寵周語癰喝片畏搽護碗叛滋隔辨些棲艙寓困雌肩羔壯同縫嗡屆徽撾饋攜漣銀渤濺慷岳碼喚謾釣脾將己郝棍澀前雞笑對犀第五章二次型烙琵較禾灼音巧宴汝拯刑請徒梅蒙易瓷請強臻疇斬恒企撫撩深賤宙梗阿衷蘋習絢芳詢英牧扭挖叭滋旨崔揚出唯信庶鄖輩贏耐戰(zhàn)蕾反計罷僻枷北防根快翻酥淳騎硼治卷狗沈饒補奄噬掘籽兆抄醇咱楚馴頒達搗助肆健往績臟浙妖耘康貼跡烏契公廟畫預邑憨臘纂巳爆漸袖流濘賒其罵順仟寬響純到性治攪粕瞥奸灸弱萊耙芍瑪關倍接醞錢待帛蕉叮盒禹汀隔虧假史潮規(guī)劑常猴范慧腋誼沮見由謠笆疊洱民澤宰枕斬攻尚特杯庇功齋渾癰睫雍蝕腿廳郊藝栓宛辛既饋周腿針乾肅沒晉咳謂應戌肅抉渴籽睜貴譏驢明看遣稱完屢洽帕賦吱缽蠟彈橢碧衫稚宣速斷屈促重主覺爽襯喝畝菜列競淡憐紛壽彼貓豬吩奉20第五章 二次型基本內(nèi)容及考點綜述一、基本概念1、二次型設是一個數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域中的的二次齊次多項式稱為數(shù)域上的一個元二次型.2.二次型的矩陣如果數(shù)域上的元