1、數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science從大的方面來看，從大的方面來看，設(shè)計無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器有兩設(shè)計無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器有兩種基本方法：一種是間接設(shè)計法，另一種是直接設(shè)計種基本方法：一種是間接設(shè)計法，另一種是直接設(shè)計法法。間接設(shè)計法的基礎(chǔ)是模擬濾波器。間接設(shè)計法的基礎(chǔ)是模擬濾波器。7.1 模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的設(shè)計這里的模擬濾波器指調(diào)整模擬信號頻譜的模擬系統(tǒng)。這里的模擬濾波器指調(diào)整模擬信號頻譜的模擬系統(tǒng)。理想模擬濾波器在通帶和阻帶交界處的幅度是突變理想模擬濾波器在通帶和阻帶交界處的幅度是突變第第7章章 無限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計無限脈沖響應(yīng)濾波器

2、的設(shè)計圖圖7.1數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science的，實(shí)際模擬濾波器在通帶和阻帶之間的幅度是漸變的，實(shí)際模擬濾波器在通帶和阻帶之間的幅度是漸變的。的。7.1.1 模擬濾波器的描述方法模擬濾波器的描述方法模擬濾波器的頻率響應(yīng)是根據(jù)非周期函數(shù)的傅里葉變模擬濾波器的頻率響應(yīng)是根據(jù)非周期函數(shù)的傅里葉變換定義換定義(3.84)得來的。實(shí)際模擬濾波器的頻率響應(yīng)得來的。實(shí)際模擬濾波器的頻率響應(yīng)其中其中h(t)是實(shí)際模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)，是因果是實(shí)際模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)，是因果的。脈沖響應(yīng)的。脈沖響應(yīng)h(t)的拉普拉斯變換的定義是的拉普拉斯變換的定義是0)()

3、()(dtethdtethHtjtj)( )()(LT)(jsdteththsHst(7.1)(7.4)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science模擬濾波器的幅頻特性模擬濾波器的幅頻特性|H(j)|也有用分貝的衰減函數(shù)也有用分貝的衰減函數(shù)A()來表示的，即來表示的，即如果如果|H(j)|max=1，則衰減函數(shù)將變?yōu)?，則衰減函數(shù)將變?yōu)榉l特性的平方幅頻特性的平方|H(j)|2叫做幅度平方響應(yīng)，它也是一叫做幅度平方響應(yīng)，它也是一種描述模擬濾波器的有效方法。因?yàn)?，利用系統(tǒng)頻譜種描述模擬濾波器的有效方法。因?yàn)?，利用系統(tǒng)頻譜H(j)的共軛特點(diǎn)，即的共軛特點(diǎn)，即)( |

4、)(| )(|lg10)(22max分貝jHjHjA)( | )(|lg10)(2分貝jHjA) 1 . 7( )()(*可知利用定義jHjH(7.7)(7.8)(7.9)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science幅度平方響應(yīng)有這種關(guān)系，幅度平方響應(yīng)有這種關(guān)系，這種關(guān)系是設(shè)計模擬濾波器的工具。下面介紹兩種常這種關(guān)系是設(shè)計模擬濾波器的工具。下面介紹兩種常用的模擬濾波器設(shè)計。用的模擬濾波器設(shè)計。7.1.2 巴特沃斯濾波器的設(shè)計巴特沃斯濾波器的設(shè)計模擬低通巴特沃斯濾波器的幅度平方響應(yīng)是模擬低通巴特沃斯濾波器的幅度平方響應(yīng)是它的幅度隨頻率的增大而變小。例如它的幅度隨頻

5、率的增大而變小。例如H(j)在階在階N=1N=1和和5 5的頻率響應(yīng)曲線，的頻率響應(yīng)曲線， jssHsHjHjHjH| )()()(*)(| )(|2)( )/(11| )(|c2c2是半功率點(diǎn)截止頻率NjH(7.10)(7.11)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science為了得到用復(fù)頻率為了得到用復(fù)頻率s表示的系統(tǒng)，讓我們將表示的系統(tǒng)，讓我們將s=j代入代入幅度平方響應(yīng)，就可以得到幅度平方響應(yīng)，就可以得到)( )()()()()()0(7.1( 11| )()(| )(|212212c2c22c2c2是分母的根利用關(guān)系NNNNNNNjssssssssjjsj

6、jssHsHjH圖圖7.2(7.12)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science巴特沃斯幅度平方響應(yīng)的分母有巴特沃斯幅度平方響應(yīng)的分母有2N個根，個根，確定這些根確定這些根的依據(jù)是的依據(jù)是利用利用-1=ej(2k-)來求解方程來求解方程(7.13)，就能得到這些根，就能得到這些根只要你選擇只要你選擇s左半平面的極點(diǎn)左半平面的極點(diǎn)s1N，用它們組成幅度平，用它們組成幅度平方函數(shù)中的系統(tǒng)函數(shù)方函數(shù)中的系統(tǒng)函數(shù)H(s)，即，即0)(2c2NNjs)2 , , 3 , 2 , 1( )121(2cNkesNkjk)( )()( )()()()121 (2c1c121c

7、，前后兩半的極點(diǎn)共軛不影響幅頻特性省略NkjkNkkNkkNNNessssHjsssssssH(7.13)(7.14)(7.18)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science就可以獲得穩(wěn)定的模擬巴特沃斯濾波器。就可以獲得穩(wěn)定的模擬巴特沃斯濾波器。例題例題7.1 船舶通信需要一個模擬低通濾波器，其通帶船舶通信需要一個模擬低通濾波器，其通帶截止頻率截止頻率fp=5kHz，通帶衰減，通帶衰減Ap=2dB，阻帶截止頻率，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶衰減，阻帶衰減As=20dB。請設(shè)計一個能滿足這。請設(shè)計一個能滿足這些技術(shù)指標(biāo)的模擬低通巴特沃斯濾波器。些技術(shù)指標(biāo)的模

8、擬低通巴特沃斯濾波器。解解 設(shè)計濾波器的關(guān)鍵在階設(shè)計濾波器的關(guān)鍵在階N和和3dB截止頻率截止頻率c。下面。下面分四步來設(shè)計模擬濾波器。分四步來設(shè)計模擬濾波器。（1）確定濾波器的階）確定濾波器的階根據(jù)衰減公式和巴特沃斯的幅度平方函數(shù)，得根據(jù)衰減公式和巴特沃斯的幅度平方函數(shù)，得)( dB )/(1lg10)(2cjAN省略虛數(shù)符號(7.20)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science將技術(shù)指標(biāo)代入衰減函數(shù)，可得階將技術(shù)指標(biāo)代入衰減函數(shù)，可得階實(shí)際的階實(shí)際的階N是正整數(shù)，最好是大于理論值的最小整數(shù)。是正整數(shù)，最好是大于理論值的最小整數(shù)。本題取本題取N=3。（2）確定

9、濾波器的截止頻率）確定濾波器的截止頻率根據(jù)衰減函數(shù)，如果使用通帶指標(biāo)來計算根據(jù)衰減函數(shù)，如果使用通帶指標(biāo)來計算3dB截止頻截止頻率，則率，則93. 2)/lg(2)110/() 110lg(sp10/10/hButterwortspAANHz)5468( (rad/s) 3435654682) 110(50002c)32/(110/2cf(7.23)(7.27)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science（3）確定濾波器的極點(diǎn)）確定濾波器的極點(diǎn)根據(jù)極點(diǎn)公式根據(jù)極點(diǎn)公式(7.14)和階和階N=3，選擇位于，選擇位于s平面的左半平面的左半平面的極點(diǎn)，得系統(tǒng)的極點(diǎn)平面

10、的極點(diǎn)，得系統(tǒng)的極點(diǎn)（4）確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)）確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)根據(jù)巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)根據(jù)巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)(7.18)，該系統(tǒng)函數(shù)，該系統(tǒng)函數(shù))34356( 1006. 41036. 21087. 61006. 4)( 22)30. 7( )()()(c139243133c2c2c333213c代入利用共軛特點(diǎn)利用極點(diǎn)sssssssssssssHc)( , ,1334c3c232c1的共軛是ssessesjj(7.30)(7.31)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science系數(shù)的近似取值會改變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，所以，必須系數(shù)的近似取值會改變系統(tǒng)

11、的頻率響應(yīng)，所以，必須檢驗(yàn)公式檢驗(yàn)公式(7.31)的幅頻特性。的幅頻特性。它的幅頻特性它的幅頻特性|H()|如左如左圖所示，右圖是圖所示，右圖是H(s)的系數(shù)四舍五入為整數(shù)后的幅頻的系數(shù)四舍五入為整數(shù)后的幅頻特性，例如特性，例如4.061013變?yōu)樽優(yōu)?1013；兩者都能滿足技術(shù)；兩者都能滿足技術(shù)指標(biāo)。指標(biāo)。圖圖7.4數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science7.1.3 切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計切比雪夫?yàn)V波器有兩種類型：切比雪夫?yàn)V波器有兩種類型：切比雪夫切比雪夫1型的模擬低通濾波器的幅度平方函數(shù)是型的模擬低通濾波器的幅度平方函數(shù)是式中式中r是跟

12、通帶的波動幅度有關(guān)的系數(shù)，是跟通帶的波動幅度有關(guān)的系數(shù)，CN(x)是是N階階)( )/(11| )(|p2p2是通帶截止頻率NrCH圖圖7.5(7.32)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science切比雪夫多項式。切比雪夫多項式。N階切比雪夫多項式的定義是階切比雪夫多項式的定義是或或其中其中C0(x)=1和和C1(x)=x。確定切比雪夫確定切比雪夫1型的階型的階N和波動系數(shù)和波動系數(shù)r，可，可從衰減函數(shù)從衰減函數(shù)入手，入手，衰減函數(shù)是衰減函數(shù)是)1|( )(chch)1|( )(coscos)(11時當(dāng)時當(dāng)xxNxxNxCN)2( )()(2)(21nxCxxC

13、xCnnn)32. 7()(7.7( )/(1lg10)(2p和根據(jù)公式NrCA(7.33)(7.34)(7.35)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science首先，首先，將通帶指標(biāo)將通帶指標(biāo)p, Ap帶入公式帶入公式(7.35)，得到，得到經(jīng)過化簡，得到波動系數(shù)經(jīng)過化簡，得到波動系數(shù)然后，將指標(biāo)然后，將指標(biāo)p、s、As和和r代入式代入式(7.35)，得到，得到2/110/) 110(pAr) 1/( )ch(ch1lg10)3(7.3( )/(1lg10ps212pssxxNrrCAN暫時使用根據(jù)公式)1lg(10)/(1lg1022ppprrCAN(7.36

14、)(7.37)(7.38)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science化簡化簡公式公式(7.38)，就能得到切比雪夫就能得到切比雪夫1型的階型的階知道階知道階N和波動系數(shù)和波動系數(shù)r，就能設(shè)計切比雪夫，就能設(shè)計切比雪夫1型的系統(tǒng)型的系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)H(s)了。為了得到了。為了得到H(s)，讓我們將，讓我們將s=j代入幅度代入幅度平方函數(shù)平方函數(shù)(7.32)，)/(ch)110/110(ch)/(ch)/110(chps110/10/1ps110/11 ChebyshevpssAAArN)( )(11 )10. 7( )(11| )()(| )(|p222p2jsxx

15、CrjsrCsHsHHNNjs為了方便觀察，令利用關(guān)系(7.39)(7.40)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science它的分母含它的分母含N階多項式階多項式CN(x)的平方，是的平方，是2N階的，應(yīng)該階的，應(yīng)該有有2N個根。確定這些根的依據(jù)是個根。確定這些根的依據(jù)是從多項式從多項式CN(x)中任選一個方程，都可以求解上面的方中任選一個方程，都可以求解上面的方程。比如選擇程。比如選擇CN(x)的第一個方程，這時令的第一個方程，這時令并將它代入公式并將它代入公式(7.33)的第一個方程，得到的第一個方程，得到rjxCxCrNN1)( 0)(122，或者)( )(

16、cos1巧這是復(fù)數(shù)變量的代換技jbax)(sh)sin()(ch)cos()(3.5( )sin()sin()cos()cos()( )(cos)(NbNajNbNajNbNajNbNajbaNxCN歐拉公式式三角函數(shù)的兩角和的公(7.41)(7.42)(7.43)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science其中雙曲正弦函數(shù)其中雙曲正弦函數(shù)sh(x)=sinh(x)=(ex-e-x)/2。將。將公式公式(7.43)代入方程代入方程(7.41)，得到一個二元，得到一個二元N次復(fù)數(shù)方程次復(fù)數(shù)方程對比復(fù)數(shù)方程對比復(fù)數(shù)方程(7.44)的實(shí)部和虛部，可以得到二元的實(shí)部和虛

17、部，可以得到二元N次次方程組方程組利用雙曲余弦函數(shù)利用雙曲余弦函數(shù)ch(x)0和和sin(/2)=1的特點(diǎn)，求的特點(diǎn)，求出方程組出方程組(7.45)的解的解rjNbNajNbNa1)(sh)sin()(ch)cos(rNbNaNbNa1)(sh)sin(0)(ch)cos(7.44)(7.45)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science將這些將這些a和和b代回公式代回公式(7.42)，并借鑒公式并借鑒公式(7.43)，就能就能得到方程得到方程(7.41)的根，的根，參考公式參考公式(7.40)的的x=s/(jp)和公式和公式(7.47)，得到切比雪得到切比雪夫

18、夫1型的幅度平方函數(shù)的型的幅度平方函數(shù)的2N個極點(diǎn)，個極點(diǎn)，)1( )/1 (sh212/ )2(1NkNrbNkNka)/1 (shsh)212sin()/1 (shch)212cos()1( )sh()sin()ch()cos(11NrNkjNrNkNkbajbaxk(7.46)(7.47)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science其中其中k=1N，每個，每個k都包含都包含“”兩種情況。兩種情況。按照公式按照公式(7.16)(7.17)的分析，組成穩(wěn)定系統(tǒng)的分析，組成穩(wěn)定系統(tǒng)H(s)的極的極點(diǎn)應(yīng)該在復(fù)數(shù)點(diǎn)應(yīng)該在復(fù)數(shù)s坐標(biāo)平面的左半平面；符合穩(wěn)定要求的坐標(biāo)平

19、面的左半平面；符合穩(wěn)定要求的極點(diǎn)是極點(diǎn)是其中其中k=1N。這些極點(diǎn)的前后部分是共軛對稱的。這些極點(diǎn)的前后部分是共軛對稱的。)/1 (shch)212cos()/1 (shsh)212sin(1p1pNrNkjNrNksk)/1 (shch)212cos()/1 (shsh)212sin(1p1pNrNkjNrNksk(7.48)(7.50)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science利用這些極點(diǎn)利用這些極點(diǎn)(7.50)，就可以獲得切比雪夫就可以獲得切比雪夫1型的系統(tǒng)型的系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)你可能會問：這個表達(dá)式是怎么來的呢？你可能會問：這個表達(dá)式是怎么來的呢？)( )(

20、)(2)(211p是濾波器的階NssssssrsHNNN(7.51)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science這個表達(dá)式是這么來的，運(yùn)用對比法就可以得到。這個表達(dá)式是這么來的，運(yùn)用對比法就可以得到。讓我們重寫切比雪夫讓我們重寫切比雪夫1型的幅度平方函數(shù)，型的幅度平方函數(shù)，它的分母包含一個它的分母包含一個N階切比雪夫多項式階切比雪夫多項式CN(s/jp)的平的平方。這說明其系統(tǒng)函數(shù)方。這說明其系統(tǒng)函數(shù)H(s)是是N階的，階的，H(s)的分母包含的分母包含CN(s/jp)，它是變量它是變量(s/jp)的的N階多項式。多項式階多項式。多項式CN(s/jp)的最高次冪

21、的最高次冪(s/jp)N=sN/(jp)N的系數(shù)是的系數(shù)是2N-1，這可以利用切比雪夫多項式的定義這可以利用切比雪夫多項式的定義(7.34)遞推得到。遞推得到。2p2)(11| )()(| )(|jsrCsHsHHNjs(7.52)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science如果提取分母多項式的公因式如果提取分母多項式的公因式r2N-1/(jp)N，然后再因，然后再因式分解這個分母多項式，則切比雪夫式分解這個分母多項式，則切比雪夫1 1型的系統(tǒng)函數(shù)型的系統(tǒng)函數(shù)可以寫為可以寫為切比雪夫切比雪夫1型的系統(tǒng)函數(shù)型的系統(tǒng)函數(shù)(7.51)就是這么來的。就是這么來的。)s(

22、 )()()2/()( )()()(21)(1211p21p1的左半平面在極點(diǎn)不影響幅度特性省略NNNNNNNNsssssssrjssssssjrsH(7.53)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science例題例題7.2 檢測水流速度時，需要一個低通濾波器。濾檢測水流速度時，需要一個低通濾波器。濾波器要求通帶截止頻率波器要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶衰減，通帶衰減Ap=1dB，阻帶截止頻率阻帶截止頻率fs=6kHz，阻帶衰減，阻帶衰減As=40dB。請設(shè)計一。請設(shè)計一個能滿足這些技術(shù)指標(biāo)的模擬切比雪夫個能滿足這些技術(shù)指標(biāo)的模擬切比雪夫1型低通濾波型低通濾波

23、器。器。解解 設(shè)計濾波器的關(guān)鍵是確定階設(shè)計濾波器的關(guān)鍵是確定階N和波動系數(shù)和波動系數(shù)r。下面。下面分四步完成這個設(shè)計。分四步完成這個設(shè)計。 確定波動系數(shù)確定波動系數(shù)r將通帶衰減將通帶衰減Ap=1dB代入公式代入公式(7.37)，得到波動系數(shù)得到波動系數(shù)509. 0) 110(2/110/1r(7.54)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science 確定階確定階N將技術(shù)指標(biāo)將技術(shù)指標(biāo)As、r、fs和和fp代入公式代入公式(7.39)，得到階，得到階實(shí)際的階實(shí)際的階N應(yīng)該取整數(shù)應(yīng)該取整數(shù)5。 確定系統(tǒng)的極點(diǎn)確定系統(tǒng)的極點(diǎn)將技術(shù)指標(biāo)將技術(shù)指標(biāo)fp、N、r等代入公式等代

24、入公式(7.50)，得系統(tǒng)極點(diǎn)得系統(tǒng)極點(diǎn))( 536. 4)32/()62(ch)509. 0/110(ch110/401理想值N.286)0ch()1012cos(18850.286)0sh()1012sin(18850kjksk(7.55)(7.56)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science它的它的k=15。利用前后極點(diǎn)的共軛對稱性簡化計算，。利用前后極點(diǎn)的共軛對稱性簡化計算，這這5 5個極點(diǎn)是個極點(diǎn)是 寫出系統(tǒng)函數(shù)寫出系統(tǒng)函數(shù)將極點(diǎn)將極點(diǎn)(7.57)代入切比雪夫代入切比雪夫1型的系統(tǒng)函數(shù)型的系統(tǒng)函數(shù)(7.51)， 得得到系統(tǒng)函數(shù)到系統(tǒng)函數(shù))( 1866

25、30 .1686115359 .44139 .5455115359 .4413186630 .168654321稱極點(diǎn)的前后部分共軛對jsjssjsjs(7.57)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science若將公式的若將公式的s換成換成j=j2f，即可計算幅頻特性，即可計算幅頻特性|H(f)|201162123845208282205432145p10922. 210328. 710525. 61061765610922. 2)10525. 18828)(5456)(10512. 33372(10922. 2)( )()()()()2/()(sssssssss

26、sssssssssssrsH利用極點(diǎn)的共軛對稱性(7.58)圖圖7.9數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science7.2 間接設(shè)計數(shù)字濾波器間接設(shè)計數(shù)字濾波器間接設(shè)計數(shù)字濾波器的方法是借助模擬系統(tǒng)函數(shù)和數(shù)間接設(shè)計數(shù)字濾波器的方法是借助模擬系統(tǒng)函數(shù)和數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系，也就是字系統(tǒng)函數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系，也就是s和和z之間的對應(yīng)關(guān)系，之間的對應(yīng)關(guān)系，對模擬濾波器進(jìn)行數(shù)學(xué)變換。變換方法有兩種。對模擬濾波器進(jìn)行數(shù)學(xué)變換。變換方法有兩種。7.2.1 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法它的原理和模擬信號變成數(shù)字信號的原理是一樣的，它的原理和模擬信號變成數(shù)字信號的原理是一樣的，將單位

27、脈沖響應(yīng)當(dāng)作是模擬信號，這個問題就好理解將單位脈沖響應(yīng)當(dāng)作是模擬信號，這個問題就好理解了。了。為了從模擬系統(tǒng)函數(shù)為了從模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)獲得數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)獲得數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)H(z)，現(xiàn)，現(xiàn)在將模擬系統(tǒng)函數(shù)寫成在將模擬系統(tǒng)函數(shù)寫成數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science根據(jù)拉普拉斯變換的定義根據(jù)拉普拉斯變換的定義(7.4)，這個，這個Ha(s)的拉普拉斯的拉普拉斯逆變換逆變換按照公式按照公式(7.80)離散化這個模擬系統(tǒng)離散化這個模擬系統(tǒng)ha(t)，得到數(shù)字系得到數(shù)字系統(tǒng)統(tǒng))( )(LT)(1aa是模擬系統(tǒng)的極點(diǎn)iNiiisssAthsH)ILT( )()(I

28、LT)(1aa寫是拉普拉斯逆變換的簡NitsitueAsHthi)( )(| )()(11是單位階躍序列nunueAtueAnhNinTsiNinTttsiii(7.83)(7.84)(7.85)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science然后求這個離散系統(tǒng)然后求這個離散系統(tǒng)h(n)的的z變換，得到數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)變換，得到數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)它就是從它就是從Ha(s)獲得獲得H(z)的脈沖響應(yīng)不變法。觀察公式的脈沖響應(yīng)不變法。觀察公式(7.86)，你會發(fā)現(xiàn)數(shù)字系統(tǒng)的極點(diǎn)，你會發(fā)現(xiàn)數(shù)字系統(tǒng)的極點(diǎn)zi和模擬系統(tǒng)的極點(diǎn)和模擬系統(tǒng)的極點(diǎn)si的對應(yīng)關(guān)系：的對應(yīng)關(guān)系：|)|( 1)(

29、)(ZT)(11TsNiTsinniiezzeAznhnhzH收斂域)z( 平面的極點(diǎn)平面的極點(diǎn)映射到sezTsii(7.86)(7.87)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science例題例題7.5 檢測地球物理信號時，需要濾掉被測信號中檢測地球物理信號時，需要濾掉被測信號中的高頻噪聲。假設(shè)有用信號的頻譜成分分布在頻率的高頻噪聲。假設(shè)有用信號的頻譜成分分布在頻率f=0500Hz的范圍，請你設(shè)計一個的范圍，請你設(shè)計一個4階的巴特沃斯數(shù)字階的巴特沃斯數(shù)字濾波器，讓它完成這項任務(wù)。濾波器，讓它完成這項任務(wù)。解解 截止頻率通常是指半功率點(diǎn)截止頻率，也就是截止頻率通常是指

30、半功率點(diǎn)截止頻率，也就是3dB截止頻率。這截止頻率。這么理解的話，本題的設(shè)計可以分兩步完么理解的話，本題的設(shè)計可以分兩步完成。成。（1）設(shè)計模擬系統(tǒng)函數(shù)）設(shè)計模擬系統(tǒng)函數(shù)已知有用信號的截止角頻率已知有用信號的截止角頻率c=2500弧度弧度/秒，濾波秒，濾波器的階器的階N=4，根據(jù)公式，根據(jù)公式(7.18)計算模擬系統(tǒng)函數(shù)計算模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的的極點(diǎn)，極點(diǎn)，數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science并寫出系統(tǒng)函數(shù)并寫出系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的部分分式表達(dá)式的部分分式表達(dá)式)( )( 29031202)( 1202290312022903290312021423

31、21利用極點(diǎn)的共軛對稱性利用利用sjssjsjsjs4321601145135041451350414516011451)(ssjssjssjssjsHa(7.99)(7.100)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science這個模擬濾波器這個模擬濾波器Ha(s)的幅頻特性的幅頻特性為為自變量是頻率自變量是頻率f的幅度的幅度|Ha(f)|在在f=500Hz的的地方有地方有-20log10(0.707)3 (dB)的衰減。的衰減。（2）設(shè)計數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)）設(shè)計數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換公式運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換公式(7.88)時，必須先選時，必須先選擇對模

32、擬濾波器的采樣頻率擇對模擬濾波器的采樣頻率fs。從從上上圖看，圖看，選擇采樣選擇采樣頻率頻率fs=4000Hz，應(yīng)該不會造成數(shù)字濾波器太多的混疊，應(yīng)該不會造成數(shù)字濾波器太多的混疊圖圖7.13數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science失真。失真。對照模型對照模型(7.100)，將模擬極點(diǎn)，將模擬極點(diǎn)sk和采樣周期和采樣周期T=1/fs代代入公式入公式(7.88)，就可以得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)，就可以得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)這是兩個二階節(jié)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)。其幅頻特性如圖，這是兩個二階節(jié)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)。其幅頻特性如圖，211211234. 0924. 01085. 0726

33、. 0548. 0108. 11255. 0726. 0)(zzzzzzzH(7.102)圖圖7.14數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science它的最大值為它的最大值為1，這是變換公式，這是變換公式(7.86)乘上乘上T的效果。的效果。按照按照=T的關(guān)系，自然頻率的關(guān)系，自然頻率f=500Hz對應(yīng)數(shù)字角頻率對應(yīng)數(shù)字角頻率=0.25，這點(diǎn)的數(shù)字頻譜有，這點(diǎn)的數(shù)字頻譜有-20log10(0.707)3dB的衰的衰減。減。還有，在橫坐標(biāo)還有，在橫坐標(biāo)=的地方，對應(yīng)頻率的地方，對應(yīng)頻率f=fs/2=2000Hz，看不出來混疊失真?？床怀鰜砘殳B失真。脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)

34、是，數(shù)字系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)和模脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)是，數(shù)字系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)和模擬系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是線性關(guān)系，數(shù)字角頻率和模擬角擬系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是線性關(guān)系，數(shù)字角頻率和模擬角頻率也是線性關(guān)系；缺點(diǎn)是，對模擬濾波器的采樣頻頻率也是線性關(guān)系；缺點(diǎn)是，對模擬濾波器的采樣頻率必須滿足采樣定理。率必須滿足采樣定理。數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science7.2.2 雙線性變換法雙線性變換法雙線性變換法是利用雙線性變換法是利用s平面到平面到z平面的映射關(guān)系，平面的映射關(guān)系，將模擬系統(tǒng)函數(shù)將模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字系統(tǒng)函數(shù)H(z)，也就，也就是是)( 11

35、1111程分子和分母都是線性方zzzzs)( | )()(a11a11是模擬濾波器sHsHzHzzs(7.104)(7.105)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science獲得雙線性變換法的技巧是變量代換。獲得雙線性變換法的技巧是變量代換。令令s的角頻率的角頻率 為了獲得為了獲得s與與z的直接映射關(guān)系，讓我們用三角函數(shù)轉(zhuǎn)的直接映射關(guān)系，讓我們用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化頻率映射公式化頻率映射公式(7.107)，然后令然后令s=j和和z=ej，并將它們代入上式，就并將它們代入上式，就可以得到可以得到)( )2/tan(是比例常數(shù)cc)( 112/1112/12/12/12/1z

36、zzczzzzcs分子分母同乘)(3.5( 2/ )()2/()()2/cos()2/sin(2/2/2/2/利用歐拉公式j(luò)jjjeejeecc(7.107)(7.108)(7.109)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science雖然公式雖然公式(7.109)是利用是利用s=j和和z=ej得到的，但是，對得到的，但是，對于于s=+j的情況，公式的情況，公式(7.109)仍然是仍然是s點(diǎn)對點(diǎn)對z點(diǎn)的映射。點(diǎn)的映射。這個結(jié)論是這么來的，公式這個結(jié)論是這么來的，公式(7.109)的逆變換是的逆變換是為了方便觀察為了方便觀察z和和s的映射關(guān)系，將的映射關(guān)系，將z=rej

37、和和s=+j代代入公式入公式(7.110)，得到，得到上式的上式的、r與與呈一對一的關(guān)系。這個特點(diǎn)可以防止呈一對一的關(guān)系。這個特點(diǎn)可以防止混疊失真?；殳B失真。)( 是正的常數(shù)cscscz)( zsjcjcrej映射到復(fù)變量復(fù)變量(7.110)(7.111)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science順便說一下，任何模擬信號，它的無窮大頻率成分是順便說一下，任何模擬信號，它的無窮大頻率成分是不可能轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號的，映射公式的復(fù)變量不可能轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號的，映射公式的復(fù)變量s只是個只是個虛構(gòu)的數(shù)學(xué)變量虛構(gòu)的數(shù)學(xué)變量。應(yīng)用雙線性變換法來設(shè)計數(shù)字濾波器，其應(yīng)用雙線性變換法

38、來設(shè)計數(shù)字濾波器，其步驟大體上步驟大體上分三步：分三步：第一，將數(shù)字濾波器的通帶截止頻率和阻帶截止頻率第一，將數(shù)字濾波器的通帶截止頻率和阻帶截止頻率代入角頻率映射公式，算出虛構(gòu)的模擬通帶截止頻率代入角頻率映射公式，算出虛構(gòu)的模擬通帶截止頻率和阻帶截止頻率；和阻帶截止頻率；第二，根據(jù)模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計模擬濾波器；第二，根據(jù)模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計模擬濾波器；第三，對虛構(gòu)的模擬系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)用雙線性變換函數(shù)，第三，對虛構(gòu)的模擬系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)用雙線性變換函數(shù)，獲取數(shù)字濾波器。獲取數(shù)字濾波器。數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science例題例題7.6 有一種模擬信號的有用成分分布

39、在頻率有一種模擬信號的有用成分分布在頻率f=1kHz以下。如果信號的采樣頻率以下。如果信號的采樣頻率fs=8kHz，要求幅，要求幅度失真小于度失真小于3dB，請你利用頻率映射公式，請你利用頻率映射公式(7.107)和雙和雙線性變換公式線性變換公式(7.109)，設(shè)計一個，設(shè)計一個1階的巴特沃斯數(shù)字階的巴特沃斯數(shù)字濾波器，讓它完成選擇低頻信號的濾波任務(wù)。濾波器，讓它完成選擇低頻信號的濾波任務(wù)。解解 首先從題目的信號指標(biāo)獲取數(shù)字低通濾波器的首先從題目的信號指標(biāo)獲取數(shù)字低通濾波器的3dB截止頻率截止頻率c=21000/8000=0.25，然后開始設(shè)計數(shù)字，然后開始設(shè)計數(shù)字濾波器。濾波器。（1）計算模

40、型濾波器的邊界頻率）計算模型濾波器的邊界頻率)rad/s( 414. 0)2/25. 0tan()2/tan(ccccc(7.115)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science（2）設(shè)計模型濾波器）設(shè)計模型濾波器根據(jù)巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)公式根據(jù)巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)公式(7.14)，計算模擬系，計算模擬系統(tǒng)統(tǒng)Ha(s)的的1階極點(diǎn)階極點(diǎn)再根據(jù)模擬系統(tǒng)函數(shù)公式再根據(jù)模擬系統(tǒng)函數(shù)公式(7.18)，寫出，寫出1階巴特沃斯濾階巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)波器的系統(tǒng)函數(shù)（3）設(shè)計數(shù)字濾波器）設(shè)計數(shù)字濾波器對模型的系統(tǒng)函數(shù)對模型的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)應(yīng)用雙線性變換公式應(yīng)用雙線性變

41、換公式(7.109)，獲取數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)獲取數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù))( )(ccca的值暫時不要代入ssHc22c1jes(7.116)(7.117)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science左圖是令左圖是令c=1的模擬濾波器的幅頻特性，的模擬濾波器的幅頻特性，當(dāng)當(dāng)時，時，|Ha()|0；右圖是數(shù)字濾波器的幅頻特性右圖是數(shù)字濾波器的幅頻特性，當(dāng)，當(dāng)時，時，|H()|0，無折疊失真。，無折疊失真。111111a414. 01293. 0293. 0)c( 414. 011414. 0| )()(11zzczzccsHzHzzcs自動被抵消比例常數(shù)(7

42、.118)圖圖7.17數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science7.3 直接設(shè)計數(shù)字濾波器直接設(shè)計數(shù)字濾波器它的做法是：在數(shù)字域里設(shè)計數(shù)字濾波器它的做法是：在數(shù)字域里設(shè)計數(shù)字濾波器H(z)，設(shè)計，設(shè)計的依據(jù)可以是系統(tǒng)的零極點(diǎn)，也可以是系統(tǒng)的頻譜誤的依據(jù)可以是系統(tǒng)的零極點(diǎn)，也可以是系統(tǒng)的頻譜誤差，還可以是單位脈沖響應(yīng)的誤差。差，還可以是單位脈沖響應(yīng)的誤差。7.3.1 零極點(diǎn)設(shè)計法零極點(diǎn)設(shè)計法通過設(shè)置系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)位置，達(dá)到設(shè)計數(shù)字濾波通過設(shè)置系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)位置，達(dá)到設(shè)計數(shù)字濾波器的目的。器的目的。不過，設(shè)置的零極點(diǎn)必須經(jīng)過檢驗(yàn)，確定不過，設(shè)置的零極點(diǎn)必須經(jīng)過

43、檢驗(yàn)，確定它們是否達(dá)到技術(shù)指標(biāo)。它們是否達(dá)到技術(shù)指標(biāo)。數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science例題例題7.7 請根據(jù)零極點(diǎn)的特點(diǎn)設(shè)計一個數(shù)字濾波器，請根據(jù)零極點(diǎn)的特點(diǎn)設(shè)計一個數(shù)字濾波器，用它來完成對模擬信號的選頻。要求這個數(shù)字濾波器用它來完成對模擬信號的選頻。要求這個數(shù)字濾波器能完成以下的模擬信號處理指標(biāo)：能完成以下的模擬信號處理指標(biāo)：（1）完全濾除模擬信號的直流成分和）完全濾除模擬信號的直流成分和250Hz成分，成分，（2）有用信號的中心頻率是）有用信號的中心頻率是20Hz，（3）濾波器的）濾波器的3dB帶寬是帶寬是10Hz。解解 計算出幾個關(guān)鍵的模擬信號

44、頻率及其對應(yīng)的數(shù)字角計算出幾個關(guān)鍵的模擬信號頻率及其對應(yīng)的數(shù)字角頻率，頻率，表表7.2數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science為了實(shí)現(xiàn)本題的指標(biāo)（為了實(shí)現(xiàn)本題的指標(biāo)（1），我們在，我們在z單位圓的單位圓的=0和和的地方各設(shè)置一個零點(diǎn)，的地方各設(shè)置一個零點(diǎn)，為了實(shí)現(xiàn)本題的指標(biāo)（為了實(shí)現(xiàn)本題的指標(biāo)（2），在），在z單位圓的單位圓的=0.08的的地方設(shè)置一個極點(diǎn)。地方設(shè)置一個極點(diǎn)。零極點(diǎn)必須是共軛對稱的。零極點(diǎn)必須是共軛對稱的。極點(diǎn)的半徑極點(diǎn)的半徑r需要經(jīng)過計算和分析才能確定。需要經(jīng)過計算和分析才能確定。將這些將這些零極點(diǎn)代入因式的系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)代入因式的系統(tǒng)函數(shù)

45、11201jjezez和08. 0208. 01jjreprep和2121)()()(nnmmpzzzzH(7.122)(7.123)(7.120)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science經(jīng)過嘗試，得到經(jīng)過嘗試，得到r=0.94，其歸一化幅頻特性為，其歸一化幅頻特性為這樣設(shè)置零極點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)是這樣設(shè)置零極點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)是21208. 008. 0884. 0821. 111)94. 0)(94. 0() 1)(1()(zzzezezzzzHjj圖圖7.18(7.124)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science7.3.2 最小

46、誤差設(shè)計法最小誤差設(shè)計法這里的設(shè)計誤差是，希望的濾波器性能和設(shè)計的濾波這里的設(shè)計誤差是，希望的濾波器性能和設(shè)計的濾波器性能之間的差別。器性能之間的差別。最小誤差法可在時域中進(jìn)行，也可在頻域中進(jìn)行設(shè)計。最小誤差法可在時域中進(jìn)行，也可在頻域中進(jìn)行設(shè)計。（1）時域的最小誤差法）時域的最小誤差法設(shè)計一個可以實(shí)現(xiàn)的因果濾波器設(shè)計一個可以實(shí)現(xiàn)的因果濾波器h(n)，并盡量使，并盡量使h(n)的性能逼近理想濾波器的性能逼近理想濾波器hd(n)的性能。這個的性能。這個“盡量盡量”就是就是工程上常說的工程上常說的“誤差最小誤差最小”。但是，誤差最小的標(biāo)準(zhǔn)是。但是，誤差最小的標(biāo)準(zhǔn)是不同的，比如誤差平均值最小、誤差最

47、大值最小等。不同的，比如誤差平均值最小、誤差最大值最小等。 數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science 誤差的標(biāo)準(zhǔn)是誤差的標(biāo)準(zhǔn)是h(n)-hd(n)=0這種設(shè)計方法叫做帕德算法，它要求在時序范圍這種設(shè)計方法叫做帕德算法，它要求在時序范圍0, I+J里，設(shè)計的因果系統(tǒng)里，設(shè)計的因果系統(tǒng)h(n)等于希望的系統(tǒng)等于希望的系統(tǒng)hd(n)。帕德逼近法的設(shè)計原理是這樣的。假設(shè)等待設(shè)計的系帕德逼近法的設(shè)計原理是這樣的。假設(shè)等待設(shè)計的系統(tǒng)統(tǒng)h(n)的系統(tǒng)函數(shù)是的系統(tǒng)函數(shù)是將這個公式右邊的分母移到左邊，得到將這個公式右邊的分母移到左邊，得到)( 1)()(010是待定系數(shù)和ji

48、nJjjjIiiinabzazbznhzH)1( )()(01個待定系數(shù)共JIzbzazHzHIiiiJjjj(7.130)(7.131)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science根據(jù)根據(jù)z變換的定義變換的定義(4.31)和延時性質(zhì)（表和延時性質(zhì)（表4.4），上面公），上面公式的反式的反z變換是變換是帕德方法令帕德方法令n=0I+J時的時的h(n)=hd(n)，并將它們并將它們代入上代入上式式，整理后得到整理后得到這就是帕德算法，它在時序這就是帕德算法，它在時序n=0I+J的范圍內(nèi)成立，的范圍內(nèi)成立，總共有總共有I+J+1個線性方程，可以求解得到系統(tǒng)函數(shù)個線性

49、方程，可以求解得到系統(tǒng)函數(shù)(7.130)或差分方程或差分方程(7.132)的系數(shù)的系數(shù)bi和和aj。)( )()()(01是因果序列nhinbjnhanhIiiJjj)( )()()(dd1d0是已知的其中nhnhajnhbinJjjIii(7.132)(7.133)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science帕德逼近法能夠在時序帕德逼近法能夠在時序n=0I+J的范圍內(nèi)做到的范圍內(nèi)做到h(n)=hd(n)，但是，它不能保證時序但是，它不能保證時序nI+J的的h(n)逼近逼近我們希望的我們希望的hd(n)。例題例題7.9 假設(shè)磁懸浮列車掠過橋墩的地基震動脈沖響假設(shè)

50、磁懸浮列車掠過橋墩的地基震動脈沖響應(yīng)應(yīng)hd(n)=5, 2, 1, 0.5。請你用帕德逼近法設(shè)計兩種無。請你用帕德逼近法設(shè)計兩種無限脈沖響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)限脈沖響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)H(z)：一種是二階全極點(diǎn)的，另：一種是二階全極點(diǎn)的，另一種是單零點(diǎn)和單極點(diǎn)的。要求設(shè)計的系統(tǒng)一種是單零點(diǎn)和單極點(diǎn)的。要求設(shè)計的系統(tǒng)h(n)在在n=02時等于地基震動脈沖響應(yīng)時等于地基震動脈沖響應(yīng)hd(n)。解解 （1）二階全極點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)）二階全極點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)觀察系統(tǒng)函數(shù)觀察系統(tǒng)函數(shù)(7.130)，對于二階全極點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)來，對于二階全極點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)來說，待定系數(shù)是說，待定系數(shù)是b0、a1和和a2，它們的帕德逼近方程是，它們的帕

51、德逼近方程是數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science將測量值將測量值hd(n)代入公式代入公式(7.134)，解方程組得到，解方程組得到它們對應(yīng)二階全極點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)是它們對應(yīng)二階全極點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)是（2）單零點(diǎn)和單極點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)）單零點(diǎn)和單極點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)觀察公式觀察公式(7.130)，對于單零點(diǎn)和單極點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)來，對于單零點(diǎn)和單極點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)來)20)33(7.1( )2()0() 1 () 1 ()0()0(d2d1dd1dd0JIhahahhahhb，根據(jù)帕德算法04. 04 . 05210aab，21104. 04 . 015)(zzzH(7.134)

52、(7.135)(7.136)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science說，待定系數(shù)是說，待定系數(shù)是b0、b1和和a1，它們的帕德逼近方程是，它們的帕德逼近方程是將測量值將測量值hd(n)代入公式代入公式(7.137)，解方程組得到，解方程組得到它們的系統(tǒng)函數(shù)是它們的系統(tǒng)函數(shù)是經(jīng)過驗(yàn)算，經(jīng)過驗(yàn)算，h1(n)和和h2(n)在在n=02范圍都等于范圍都等于hd(n)；在；在n=02以外，以外，h1(3)=0.48，h2(3)=0.5。) 11)133. 7( )2() 1 () 1 ()0()0(d1dd1d1d0JIhahhahbhb，根據(jù)帕德算法5 . 05 .

53、 05110abb，1125 . 015 . 05)(zzzH(7.137)(7.138)(7.139)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science7.4 低通濾波器的變換低通濾波器的變換實(shí)際應(yīng)用中，不僅需要低通濾波器，而且還需要高通、實(shí)際應(yīng)用中，不僅需要低通濾波器，而且還需要高通、帶通、帶阻等濾波器。能不能利用前面介紹的低通濾帶通、帶阻等濾波器。能不能利用前面介紹的低通濾波器的設(shè)計方法，設(shè)計其它的選頻濾波器呢？波器的設(shè)計方法，設(shè)計其它的選頻濾波器呢？假若有類似頻率變換公式假若有類似頻率變換公式(7.106)的方法，我們就能在的方法，我們就能在低通濾波器的基礎(chǔ)上

54、設(shè)計其它選頻濾波器。低通濾波器的基礎(chǔ)上設(shè)計其它選頻濾波器。7.4.1 模擬頻率域的頻率變換模擬頻率域的頻率變換在模擬頻率域中，模擬低通濾波器和其它模擬選頻濾在模擬頻率域中，模擬低通濾波器和其它模擬選頻濾波器的頻率變換關(guān)系如表波器的頻率變換關(guān)系如表7.3所示，所示，其箭頭符號其箭頭符號 表表示頻率映射。示頻率映射。數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science使用表使用表7.37.3的映射公式的方法是：將模型低通濾波器的映射公式的方法是：將模型低通濾波器中的復(fù)頻率中的復(fù)頻率s s用箭頭右邊的表達(dá)式替換，就可得到我用箭頭右邊的表達(dá)式替換，就可得到我們所需要的選頻濾波器

55、。們所需要的選頻濾波器。表表7.3數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science例題例題7.11 有一個有一個3dB截止角頻率截止角頻率c=1的一階巴特沃斯的一階巴特沃斯模擬低通濾波器模擬低通濾波器H(s)。請以。請以H(s)為模型，設(shè)計另一個為模型，設(shè)計另一個3dB截止頻率截止頻率fc=100Hz的一階模擬低通濾波器。的一階模擬低通濾波器。解解 已知模型的邊界頻率已知模型的邊界頻率model=1rad/s，新型濾波器的，新型濾波器的邊界頻率邊界頻率new=2100rad/s。根據(jù)模擬巴特沃斯濾波器根據(jù)模擬巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)公式的極點(diǎn)公式(7.18)，作，作為模

56、型的一階巴特沃斯濾波器為模型的一階巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)是的極點(diǎn)是) 1( 1)11(2model1Nesj階(7.152)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science它對應(yīng)的一階系統(tǒng)函數(shù)是它對應(yīng)的一階系統(tǒng)函數(shù)是是最簡單的低通濾波器。圖是最簡單的低通濾波器。圖7.24的左圖是的左圖是Hmodel(s)的幅的幅頻特性，它的幅值在頻特性，它的幅值在3dB截止角頻率截止角頻率c=1rad/s的地方的地方符合題目要求。符合題目要求。)1( 11)(cmodel波器的濾波器叫做歸一化濾ssH(7.153)圖圖7.24數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjo

57、y Science現(xiàn)在，利用表現(xiàn)在，利用表7.3的低通濾波器映射關(guān)系，將歸一化濾的低通濾波器映射關(guān)系，將歸一化濾波器波器(7.153)的復(fù)頻率的復(fù)頻率s替換為箭頭右邊的表達(dá)式，就可替換為箭頭右邊的表達(dá)式，就可以得到新型濾波器以得到新型濾波器它就是我們需要的它就是我們需要的fc=100Hz的低通濾波器。的低通濾波器。圖圖7.24的的右圖是右圖是Hnew(s)的幅頻特性，它的幅值在的幅頻特性，它的幅值在3dB截止頻率截止頻率fc=100Hz的地方滿足本題要求。的地方滿足本題要求。6286281)1002/(1)(newsssH(7.154)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjo

58、y Science例題例題7.13 鳥類研究者需要一種模擬帶通濾波器，它的鳥類研究者需要一種模擬帶通濾波器，它的通帶截止頻率是通帶截止頻率是5kHz和和8kHz，通帶最大衰減是，通帶最大衰減是2dB，阻帶截止頻率是阻帶截止頻率是3kHz和和12kHz，阻帶最小衰減是，阻帶最小衰減是20dB。請設(shè)計一個切比雪夫請設(shè)計一個切比雪夫1型的模擬帶通濾波器。型的模擬帶通濾波器。解解 參考表參考表7.3的低通濾波器映射到帶通濾波器的復(fù)頻的低通濾波器映射到帶通濾波器的復(fù)頻率映射公式，率映射公式，該公式的邊界頻率并沒有區(qū)別通帶頻率和阻帶頻率，該公式的邊界頻率并沒有區(qū)別通帶頻率和阻帶頻率，現(xiàn)在選擇通帶頻率作為上

59、式的邊界頻率，現(xiàn)在選擇通帶頻率作為上式的邊界頻率，則則L=pL和和H=pH。令。令model=model, p=1，這樣一來，上式的復(fù)，這樣一來，上式的復(fù)頻率轉(zhuǎn)換公式就變?yōu)轭l率轉(zhuǎn)換公式就變?yōu)?)( )(HLmodelLHHL2model和對應(yīng)邊界頻率sss(7.160)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science它們的頻率映射關(guān)系是它們的頻率映射關(guān)系是其中其中0叫做通帶的中心頻率。它的計算方法是：叫做通帶的中心頻率。它的計算方法是：首先，要觀察中心頻率首先，要觀察中心頻率f f0 0是否滿足幾何要求。由于，是否滿足幾何要求。由于，通帶的通帶的fpLfpH=40k

60、2，阻帶的，阻帶的fsLfsH=36k2，兩者不相，兩者不相等，需要調(diào)節(jié)某個邊界頻率，以滿足中心頻率的幾何等，需要調(diào)節(jié)某個邊界頻率，以滿足中心頻率的幾何要求。比如，調(diào)節(jié)要求。比如，調(diào)節(jié)fsL=40k2/(12k)3.333 (kHz)，經(jīng)過，經(jīng)過調(diào)整，中心頻率調(diào)整，中心頻率f06.324kHz。然后，運(yùn)用公式。然后，運(yùn)用公式(7.162)求解模型的阻帶邊界，求解模型的阻帶邊界，)( )(pLpHpHpL2是新型的是模型的，右邊的箭頭左邊的sssss)( )(20sHsLpHpLpLpHpHpL2映射關(guān)系要求(7.161)(7.162)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy