1、二、二、 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較 一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則第四節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 極限存在準(zhǔn)則無(wú)窮小的比較 第一章 一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則1（夾逼定理）（夾逼定理）,nnnzyx設(shè)數(shù)列Azynnnnlimlim)2(Axnnlim滿足條件：( 夾 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ;) 1 (nnnzxy則( 逼近)( 極限存在且為A )nx此定理也可推廣到函數(shù)。)(),(),(xhxgxf設(shè)函數(shù),)(lim)(lim)2(00AxhxgxxxxAxfxx)(lim0的某去心鄰域內(nèi)有定義，且滿足條件：( 夾 );()()() 1 (xhxfxg

2、則( 逼近)(畫圖解釋)準(zhǔn)則準(zhǔn)則 （夾逼定理）（夾逼定理）1都在點(diǎn)0 x此定理是以0 xx 為例，對(duì)其他極限過(guò)程情形仍成立。例例1. 證明0!2limnnn證證:!2nn02)32(2n令0)32(lim2lim, 0lim2nnnnnnzynlim!2nn0由于2)32(2, 0nnnzy由夾逼定理知：例例2. 證明11211lim222nnnnnn證證: 利用夾逼定理 .nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由夾的過(guò)程不是任意放大、縮小的。還要考慮逼近的的過(guò)程。n項(xiàng)相加的數(shù)列求極限問

3、題常用夾逼定理解決。注意：注意：11211lim222nnnnnn例如：1sincosxxx圓扇形AOB的面積兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 1sinlim0 xxx證證: 當(dāng)即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時(shí)，)0(2 x顯然有AOB 的面積AOD的面積DCBAx1oxxxcos1sin1故有注 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)2002xx時(shí)，由上式由重要極限：11lim, 1coslim00 xxx而1sinlim0 xxx由夾逼定理，知1)sin()(cosxxx)02(x即1sincosxxx)02(x推廣：1)()(sinlim0)(xxx例例3

4、. 判斷下列極限哪些是重要極限。xxx33sinlim40、220sinlim1xxx、xxx11sinlim20、xxx11sinlim3、1101例例4. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 求.5tan3sinlim0 xxx解解:xxxxx5tan533sinlim5305355tan1lim33sinlim5300 xxxxxxxxx5tan3sinlim0例例6. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx21

5、212120sinlimx2x2x21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsinxt 則,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例8. 求.2sin2limnnn解解: yyynnnsinlim22sinlim0nnn2sin2lim練習(xí)：1、.cotlim0 xxx2、.3sinlim220 xxx準(zhǔn)則準(zhǔn)則2（單調(diào)有界原理）單調(diào)有界數(shù)列必有極限（單調(diào)有界原理）單調(diào)有界數(shù)列必有極限Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xxa

6、b用單調(diào)有界原理可證明數(shù)列, ),2, 1()1 (1nxnnn有極限，通常用e來(lái)表示這個(gè)極限，即ennn)1 (lim1 e 為無(wú)理數(shù) , 其值為590457182818284. 2e可把此極限推廣到函數(shù)：重要極限：exxx)1(lim1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 重要極限：exxx)1(lim1euuu10)1(lim,)(1 (lim)(10)(exxxxu1令例例9. 求.)1 (lim2xxx解解: xxx)1 (lim2)2(2)2(1 limxxx)2(2)2(1 (limxxx2 e說(shuō)明說(shuō)明 ：xxkx)1 (lim機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （k為常數(shù)）ke練

7、習(xí)：練習(xí)： 1、.)51 (lim22nnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2、.)(lim2xxxx例例10. 求.)22(limxxxx422)21 ()21 (lim)22(limeeexxxxxxxxx解解: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、無(wú)窮小的比較二、無(wú)窮小的比較,0時(shí)xxxxxcos1 ,sin,2都是無(wú)窮小,引例引例 .xxx20lim,020cos1limxxx,21xxxsinlim0, 1但 可見無(wú)窮小趨于 0 的速度是多樣的 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義.,0lim若則稱 是比 高階高階的無(wú)窮小,)(o若, 1lim若,0limC或)(

8、),(xx設(shè)是同一極限過(guò)程下的無(wú)窮小,記作則稱 是 的同階同階無(wú)窮小;則稱 是 的等價(jià)等價(jià)無(wú)窮小, 記作第七節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)0 x時(shí))(o2xxxsin;xxtan;xxarcsinx121cos1lim20 xxx,0時(shí)xxxxxcos1 ,sin,2都是無(wú)窮小,引例引例 .xxx20lim,020cos1limxxx,21xxxsinlim0, 1但 xcos1221x例例1. 證明: 當(dāng)0 x時(shí),11 xx21證證: lim0 x11 xx210limx111lim20 xx,0時(shí)當(dāng)推廣：x11nxxn1) 11)(11(xx) 11(21 xx1所以，當(dāng)0 x時(shí),1

9、1 xx21定理定理2 . 設(shè),且lim存在 , 則lim lim證證:limlim limlimlim lim作用：在求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子分母都可以用等價(jià)無(wú)窮小代換，這往往使計(jì)算得到極大的簡(jiǎn)化。例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052說(shuō)明：lim limlim lim，推論：lim limlim lim，注意：只有乘法、除法時(shí)因式可用等價(jià)無(wú)窮去替換，加法、減法無(wú)等價(jià)無(wú)窮小的替換！當(dāng)時(shí)總結(jié)： 0 xxsinxxtan; xxarcsin; xxcos1221x22sinxxxx22sin,例：例：求求xxxx3sinlim30 xxxx3lim3031xxxx3sinlim3031lim20 xx解解: 221x2x例：例： 求.tancos1lim20 xxx解解:,0時(shí)當(dāng)xxxtancos1x,212x0limx原式21221x221x例例2. 求.cos111lim20 xxx解解:,0時(shí)當(dāng)x112 x221xcos1x221x