1、§基本初等函數的導數公式及導數的運算法則 湖南師大附中?？谥袑W 李明【教學目標】1.知識與技能：熟練掌握基本初等函數的導數公式；掌握導數的四則運算法則；能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數2.過程與方法：通過例題的講解，使學生掌握基本初等函數的導數公式和導數的運算法則；通過應用題的分析，使學生形成數學的應用意識；最后通過課堂練習，鞏固新知3.情感態(tài)度與價值觀：通過例題中的實際問題的解決，使學生體會到數學來源于生活又服務于生活；通過例題中函數求導的講解，使學生明白事物是相互聯(lián)系的；通過對新知的理解，使學生體會到成功的喜悅，培養(yǎng)學生的學習興趣【教學重點與

2、難點】1.重點：基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則2.難點： 基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則的應用【教學手段】1.多媒體幻燈片；2.使用“學生課堂活動活頁”.【教學過程】教學內容設計意圖一、新課引入上節(jié)課學習了5個常用函數的導數，但是利用導數定義求導數，其過程非常復雜！所以，我們都希望有一些現(xiàn)成的導數公式可以直接使用今天，根據導數的定義，課本就給出了如下幾個基本初等函數的導數公式，同學們只要熟記，并能夠利用它們求簡單函數的導數即可引入基本初等函數的導數公式，激發(fā)學生學習興趣.（學生閱讀課本第14頁表格，并完成“活頁”，教師再用幻燈片展示）基本初等函數的導數公式表如下：函數導

3、數1.2.3.4.5.6.7.8.給出基本初等函數的導數公式，并要求學生熟記.師：（1）上節(jié)課我們已經用定義求得，常數函數的導數為0；（2）公式2是冪函數的求導，的導數是把拿到前面做系數，指數要減1；（3）由公式3和公式4得，的導數為、的導數為負的；（4）公式5是指數函數的求導，的導數為乘以；而公式6可以看成公式5的特殊情況，這個函數非常特殊，其函數和導數是一樣的；（5）公式7是對數函數的求導，的導數為；而公式8可以看成公式7的特殊情況，的導數是引導學生觀察、分析公式的特征和聯(lián)系，加深對公式的記憶.二、例題講解例1.假設某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為，物價（單位：元）與時間（單位：年）有

4、如下函數關系，其中為時的物價假定某種商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？應用導數的定義和求導公式解決實際問題.通貨膨脹就是貨幣貶值，物價隨之上漲. “在第10個年頭的價格上漲的速度”就是函數在處的瞬時變化率，即函數在處的導數. 因為，所以，即閱讀題目并分析、理解題意，建立數學模型.解：根據基本初等函數導數公式表，有所以（元/年）因此，在第10個年頭，這種商品的價格約為0.08元/年的速度上漲運用導數公式求導，解決實際問題.思考：若上式中某商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？當時，. 這時，求關于的導數可

5、以看成求函數與乘積的導數. 我們根據剛剛8個求導公式，不能解決這個問題. 下面“導數運算法則”可以幫助我們解決兩個函數加、減、乘、除的求導問題通過該問題，使學生認識到引入導數的運算法則的必要性.運算法則（學生閱讀課本第14頁表格，并完成“活頁”）導數的運算法則123給出導數的運算法則，并要求學生熟記.1.兩個函數的和(或差)的導數，等于這兩個函數的導數的和(或差)；2.兩個函數的積的導數，第一個函數的導數乘以第二個函數，加上第一個函數乘以第二個函數的導數；3.兩個函數的商的導數，等于分子的導數乘分母，減去分母的導數乘分子，再除以分母的平方觀察導數的運算法則，幫助學生記憶.思考：常數與函數的積的

6、導數是什么？根據“求導的乘法法則”有，由此我們得到一個常用的結論，常數與函數的積的導數，等于常數乘函數的導數，即：運用導數的乘法法則，得出重要推論，方便日后應用于是，在思考題中，若，則（元/年），即在第10個年頭，這種商品的價格約為0.40元/年的速度上漲運用導數的運算法則.例2根據基本初等函數的導數公式和導數運算法則，求函數的導數解：因為，所以，函數的導數是進一步鞏固導數的運算法則（幻燈片展示圖片，教師講述）隨著世界工業(yè)的進一步發(fā)展，世界環(huán)境問題日益凸顯，有些地區(qū)干旱缺水，有些地區(qū)水質受到污染，遇到有水不能用的尷尬.因此目前，水的凈化已經越來越受到關注. 下面這道例題就是關于水凈化與所需凈化

7、費用的問題.通過圖片和語言，使學生身臨其境，并培養(yǎng)學生自覺建立數學模型，解決實際問題的意識.例3日常生活中的飲水通常是經過凈化的隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加已知將1噸水凈化到純凈度為時所需費用（單位：元）為求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：（1）； （2）運用導數的運算法則，解決實際問題.解：凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數的導數（1）因為，所以，純凈度為時，費用的瞬時變化率是52.84元/噸（2）因為，所以，純凈度為時，費用的瞬時變化率是1321元/噸使學生進一步掌握導數的運算法則，加強學生運用法則解決實際問題的能力.函數在某點處導數的大小表示函數在此點附近變化

8、的快慢由上述計算可知，它表示純凈度為左右時凈化費用的瞬時變化率，大約是純凈度為左右時凈化費用的瞬時變化率的25倍這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快由此可見，函數求導在實際生活中，有著非常重要的地位，是考察事物變化快慢的重要參考.知識升華，讓學生明確數學與生活密切相關；并利用這個機會加強學生的環(huán)保意識，培養(yǎng)學生的社會責任感.三課堂練習求下列函數的導數：（1）；（2）；（3）參考答案：（1）（2）（3）觀察學生對基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則的掌握情況，并及時糾正錯誤.四小結回顧1.八個基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則，都是在導數定義下產生的結論，它們是求導數的