1、二次函數(shù)知識經(jīng)典練習(xí)一、知識點之二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如y ax2bx c （ a, b , c 是常數(shù)，a 0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a 0，而b,c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).22.二次函數(shù) y ax bx c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式，x 的最高次數(shù)是 2 a ,b ,c 是常數(shù)，a 是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c 是常數(shù)項.二、知識點之二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：y ax2的性質(zhì):a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。a 的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上0,

2、 0y軸x 0時，y隨 x 的增大而增大；x 0時，y隨 x 的增大而減小；x 0時，y有最小值0.a 0向下0, 0y軸x 0時，y隨 x 的增大而減??；x 0時，y隨 x 的增大而增大；x 0時，y有最大值0.22.y ax c 的性質(zhì):上加下減。a 的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上0, cy軸x 0時，y隨 x 的增大而增大；x 0時，y隨 x 的增大而減小；x 0時，y有最小值 c .a 0向下0, cy軸x 0時，y隨 x 的增大而減??；x 0時，y隨 x 的增大而增大；x 0時，y有最大值 c .23.y a x h 的性質(zhì):左加右減。a 的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

3、a 0向上h, 0X=hx h時，y隨 x 的增大而增大；x h時，y隨 x 的增大而減?。粁 h時，y有最小值0.a 0向下h, 0X=hx h時，y隨 x 的增大而減??；x h時，y隨 x 的增大而增大；x h時，y有最大值0.24.y a x h k 的性質(zhì):a 的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上h, kX=hx h時，y隨 x 的增大而增大；x h時，y隨 x 的增大而減??；x h時，y有最小值k.a 0向下h, kX=hx h時，y隨 x 的增大而減??；x h時，y隨 x 的增大而增大；x h時，y有最大值k.三、知識點之二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：2方法一： 將拋物線

4、解析式轉(zhuǎn)化成頂點式 y a x hk，確定其頂點坐標(biāo) h , k ；保持拋物線 y ax2的形狀不變，將其頂點平移到h, k 處，具體平移方法如下:ax bx c m(或y ax bx c99y ax bx c化為頂點式y(tǒng) a(x h) k,確定其開口方向、y=ax2y=a(x_h)2向上(k0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(*0)】 平移|k|個單位向右(h0)【或左(h0)【或向下平移|k|個單位 一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點 0, c、以及 0, c 關(guān)于對稱軸對稱的點 2h, c、與 x 軸的交點 x1, 0 , x2, 0 （若與 x 軸 沒有交點，則

5、取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x 軸的交點，與y軸的交點.六、知識點之二次函數(shù)y ax2bx c的性質(zhì)x 的增大而增大；當(dāng) x 一時，y隨 x 的增大而減小；當(dāng) x2a七、 知識點之二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：y2axbx c ( a ,b, c 為常數(shù)，a0)；2.頂點式：ya(x2h) k ( a ,h,k為常數(shù)，a0)；3.兩根式：ya(xxj（x X2） （a 0, Xi, X2是拋物線與 x 軸兩交點的橫坐標(biāo)）注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只 有拋物線與 x軸有交點，即

6、b24ac 0 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式 的這三種形式可以互化八、知識點之二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項系數(shù) a二次函數(shù) y ax2bx c 中，a 作為二次項系數(shù)，顯然a 0當(dāng)a 0時，拋物線開口向上， a 的值越大，開口越小，反之 a 的值越小，開口越大；當(dāng)a 0時，拋物線開口向下， a 的值越小，開口越小，反之 a 的值越大，開口越大.總結(jié)起來，a 決定了拋物線開口的大小和方向，a 的正負決定開口方向，a 的大小決定開口的大小.2. 一次項系數(shù)b在二次項系數(shù) a 確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.在a 0的前提下，當(dāng)b0時， 上0,即拋物線的

7、對稱軸在y軸左側(cè)；2a當(dāng)b0時， 0，即拋物線的對稱軸就是y軸；2a當(dāng)b0時， 0，即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè).2a 在a 0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即1當(dāng)a 0時，拋物線開口向上，對稱軸為-b，頂點坐標(biāo)為A,2a2a 4ax 時，y隨 x 的增大而減?。划?dāng) 2a值4ac 2.4a時，y隨 x 的增大而增大；當(dāng)2ax 時，y有最小2a2當(dāng)a 0時，拋物線開口向下，對稱軸為一，頂點坐標(biāo)為2ab 4ac b22a 4a時，y隨2a時，y有最大4ac b24ab決定了拋物線對稱軸的位置. 在y軸左邊則ab 0，在y軸的右側(cè)則ab 0,概括的說就是2a總之，只要 a, b , c 都確定，那么這

8、條拋物線就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根 據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便.一般來說，有如下幾種情況：已知拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式；已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點式； 已知拋物線與 x 軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式； 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點，常選用頂點式2y ax bx c 關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是2y a x h k 關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是當(dāng)b0時，b2a當(dāng)b0時，ba當(dāng)b0時，ba0,即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè).0，即拋物線的對稱

9、軸在y軸右側(cè);0，即拋物線的對稱軸就是y軸;總結(jié)起來，在 a 確定的前提下,ab的符號的判定：對稱軸“左同右異”總結(jié)：3.常數(shù)項 c當(dāng)c當(dāng)c當(dāng)c總結(jié)起來，0時，0時，0時，拋物線與拋物線與拋物線與c 決定了拋物線與y軸的交點在 x 軸上方，即拋物線與y軸的交點為坐標(biāo)原點，即拋物線與y軸的交點在 x 軸下方，即拋物線與y軸交點的位置.y軸交點的縱坐標(biāo)為正；y軸交點的縱坐標(biāo)為0;y軸交點的縱坐標(biāo)為負.1.2.3.4.九、知識點之二次函數(shù)圖象的對稱1.二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達關(guān)于 x 軸對稱2y ax bx c 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是2axbx2.2y

10、a x h2k;關(guān)于y軸對稱2axbx c ；4.關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180）9y ax bx c 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是2axbx2b；2a ；2y ax bx c 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是2y a x hk 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是3.關(guān)于原點對稱2axbx2k 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是5. 關(guān)于點 m, n 對稱2y a x h k 關(guān)于點 m, n 對稱后，得到的解析式是根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a 永遠不變.求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確

11、定原 拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向， 然后再寫出其對稱拋物線的表達式.十、知識點之二次函數(shù)與一元二次方程:1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x 軸交點情況）一兀二次方程2axbx c20 是二次函數(shù) y ax bxc 當(dāng)函數(shù)值 y0 時的特殊情況圖象與 x 軸的交點個數(shù)：當(dāng)b24ac0 時，圖象與 x 軸交于兩點 A xi,0 , B x2, 0（人x?），其中的 xi, X2是一兀二次方程 ax2bx c0 a0 的兩根這兩點間的距離AB X2Xib24aca .當(dāng)0時，圖象與x 軸只有一個交點；當(dāng)0時，圖象與x 軸沒有

12、交點1當(dāng)a 0時，圖象落在 x 軸的上方，無論 x 為任何實數(shù)，都有y 0 ;2當(dāng)a 0時，圖象落在 x 軸的下方，無論 x 為任何實數(shù)，都有y 0 .2.拋物線 y ax2bx c 的圖象與y軸一定相交， 交點坐標(biāo)為（0 , c）;3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y ax2bx c 中 a ,b, c 的符號，或由二次函數(shù)中 a ,b, c 的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)， 求和已知一

13、點對稱的點坐標(biāo)，或已知與 x 軸的一個交點坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo) 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式ax2bx c（a 0）本身就是所含字母 x 的二次函數(shù)；下面以a 0時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：2y a x h 2m 2n k0拋物線與 x 軸有 兩個交點二次三項式的值可正、 可零、可負一兀二次方程有兩個不相等實根0拋物線與 x 軸只 有一個交點二次三項式的值為非負一兀二次方程有兩個相等的實數(shù)根0拋物線與x 軸無交占八、二次三項式的值恒為正一兀二次方程無實數(shù)根二次函數(shù)圖像參考:十、知識剎車距離何時獲得最大利潤最大面積是多少點之函數(shù)二次函

14、數(shù)應(yīng)的應(yīng)用y=-2(x-3)2y=2x2y=-2x二次函數(shù)重點練習(xí)題型1.考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如:則拋物線的頂點坐標(biāo)為()A(2, -3)B.(2, 1)C(2, 3)D. (3,答案：C例 4、如圖(單位：m),等腰三角形 ABC 以 2 度沿直線L 向正方形移動，直到 AB 與 CD 重2)米/秒的速合.設(shè) x 秒已知以x為自變量的二次函數(shù)y (m 2)x2m2m 2的圖像經(jīng)過原點，則m的值是 反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查 試題類型為選擇題，如：b的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y kx2bx 1的圖像大致是3.考

15、查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選 拔性的綜合題，如：5已知一條拋物線經(jīng)過(0,3), (4,6)兩點，對稱軸為x，求這條拋物線的解析式。34.考查用配方法求拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如:2已知拋物線 y ax bx c (a 0)與 x 軸的兩個交點的橫坐標(biāo)是一1、3,與 y 軸交點的縱坐標(biāo)是(1)確定拋物線的解析式； (2)用配方法確定拋物線的開口方向、 對稱軸和頂點坐標(biāo) 5考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題?！纠}經(jīng)典】由拋物線的位置確定系數(shù)的符號【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a, b, c 之

16、間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵.例2.已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象與 x 軸交于點(-2, 0)、(xi, 0)，且 1xi2,與 y 軸的正半軸的交點在點(O, 2)的下方.下列結(jié)論：abO ;4a+cO,其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例 3已知：關(guān)于 x 的一兀二次方程 ax2+bx+c=3 的一個根為 x=-2,且二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的對稱軸是直線 x=2,2.綜合考查正比例、兩個函數(shù)的圖像,如圖，如果函數(shù)y kx例 1(1 )二次函數(shù) y(2)x=3 時,A. 12cax bx c 的圖像

17、如圖 1，則點M(b,)在()aB.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).y=ax2+bx+c (a* 0)的圖象如圖 2 所示，A.第一象限 已知二次函數(shù) 函數(shù)值相等；4a+b=0;當(dāng)y=-2 時，x 的值只能取個B. 2 個第四象限?則下列結(jié)論：a、b 同號；當(dāng) 0其中正確的個數(shù)是()x=1 和時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2.(1) 寫出 y 與 x 的關(guān)系式；(2) 當(dāng) x=2,時，y 分別是多少(3 )當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時， 三角形移動了多長時間求拋物線頂點坐標(biāo)、 對稱軸15例 5、已知拋物線 y= x2+x-5.22(1 )用配方法求它的頂點坐標(biāo)和對稱軸.(2)若該拋物線

18、與 x 軸的兩個交點為 A、B,求線段 AB 的長.【點評】本題(1 )是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第(2)問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.12例 6、 “已知函數(shù)y x2bx c的圖象經(jīng)過點 A (c, 2),2求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。(1 )根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式若能，請寫出求解過程，并 畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說明理由。(2)請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補充完整。點評： 對于第(1)小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次

19、函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當(dāng)作已知來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點A (c, 2)”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第(2)小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第(1)小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標(biāo)，可以給出頂點的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個交點 的坐標(biāo)等。-x2bx c的圖象經(jīng)過點 A (c, 2),圖象的對稱軸是 x=3,212解答(1)根據(jù) y12 ,c bc c2得2,3,解得c3,2.所以所求二次函數(shù)解析式為12y1x 3x 2.

20、圖象如圖所示。(2)在解析式中令 y=0,得丄x22所以可以填“拋物線與x 軸的一個交點的坐標(biāo)是(3+5,0)”或“拋物線與 x 軸的一個交點的坐標(biāo)是(35,0).5令 x=3 代入解析式，得y5,2125所以拋物線y x 3x 2的頂點坐標(biāo)為（3,）,225所以也可以填拋物線的頂點坐標(biāo)為（3,）等等。2函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。用二次函數(shù)解決最值問題例 1 已知邊長為 4 的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中 AF=2,

21、 BF=1 .試在 AB 上求一點 P,使矩形 PNDM 有最大面積.【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力同時，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間.例 2 某產(chǎn)品每件成本 10 元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x （元）？與產(chǎn)品的日銷售量 y （件）之間的關(guān)系如下表：x （元）152030y （件）221500若日銷售量 y 是銷售價 x 的一次函數(shù).（1）求出日銷售量 y （件）與銷售價 x （元）的函數(shù)關(guān)系式；（2） 要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元15k b 25,【解析】（

22、1）設(shè)此一次函數(shù)表達式為y=kx+b 貝 U解得 k=-1, b=40, ?即一次函數(shù)表達2k b 20式為 y=-x+40.（2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為x 元，所獲銷售利潤為 w 元w= （x-10） （40-x） =-x2+50 x-400=- （x-25）2+225.產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為 25 元，此時每日獲得最大銷售利潤為225 元.【點評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時，什么最大（或最小、最省）”的設(shè)問中，？“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2） ?問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.3x20，解得洛

23、35, x2二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題一、選擇題21.二次函數(shù)y x 4x 7的頂點坐標(biāo)是（）滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是（只寫一個即可）二、填空題9 .二次函數(shù)y x2bx 3的對稱軸是x 2，則b _。10 .已知拋物線 y=-2 （x+3） 2+5，如果 y 隨 x 的增大而減小，那么 x 的取值范圍是 _ 11. 一個函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過點（一 1, 2）,當(dāng)xv0 時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大;A.(2, 11)B. ( 2, 7)C. (2, 11)D. (2, 3)2.把拋物線y2x2向上平移 1 個單位，得到的拋物線是（A.y 2(x 1)22 2 2B.y 2( x 1)2C.y 2x21D.y 2x213函數(shù)y kx2k和yk(kx24.已知二次函數(shù)y ax bx c（ax 1和x 3時，函數(shù)值相等：4ab 0當(dāng)y 2時，x的值只能取 0.其中正確的個數(shù)是（C. 3 個D. 4 個5已知二次函數(shù)ax2bx c(a0）的頂點坐標(biāo)（-1 ,）及部分圖象（如圖）,由圖象可知關(guān)于x的元二次方程ax2bx c 0的兩個根分別是x-i1.3