探究小數除法在實際問題中的靈活應用——《班級衛(wèi)生值日優(yōu)化方案》項目式學習導學案一、教學內容分析課標深度解構：本節(jié)課隸屬《義務教育數學課程標準（2022年版）》“數與代數”領域第二學段“數的運算”主題。其知識核心在于“小數除法”運算意義的深化與在真實情境中的復雜應用，具體指向除數是整數的小數除法中，遇到被除數末尾有余數需要添0繼續(xù)除，以及商中小數點位置的精準定位問題。在單元知識鏈中，它承接了整數除法意義、小數意義及簡單小數除法計算，并為后續(xù)學習除數是小數、解決更復雜的實際問題奠定算理與算法基礎。過程方法上，本節(jié)課是發(fā)展學生“運算能力”和“模型意識”的絕佳載體，引導學生從“平均分”的具體情境中抽象出除法算式，通過多元表征（實物、貨幣、豎式）探索算理，并學習運用估算對計算結果進行合理解釋與檢驗。素養(yǎng)價值滲透方面，旨在通過解決班級生活中的真實問題，培養(yǎng)學生嚴謹細致的理性精神、學以致用的應用意識，以及在小組協作中制定優(yōu)化方案的規(guī)劃能力與合作精神，實現數學育人從知識技能到綜合素養(yǎng)的升華。學情診斷與對策：五年級學生已熟練掌握了整數除法的計算方法，理解了小數的意義，并具備了簡單小數除以整數的初步經驗。然而，本節(jié)課的認知障礙點在于：從“分到整數個”過渡到“分到更小的計數單位”（如從“分到元”深入至“分到角、分”），其思維具有抽象性；同時，在豎式計算中何時及如何添“0”繼續(xù)除，容易因步驟不清晰而產生混淆。部分學生可能受整數除法“余數小于除數”定勢影響，對小數除法中“余數”概念的理解存在模糊地帶。此外，面對“算出的結果是否合理”這一問題，學生普遍缺乏主動估算驗證的意識?；诖耍虒W調適應采用“腳手架”策略：利用人民幣（元、角、分）這一最直觀的模型作為認知起點，搭建從具體操作到抽象豎式的思維橋梁；設計關鍵性提問鏈，引導學生自主發(fā)現“余數末尾添0”的必要性與原理；引入估算活動作為“思維校驗器”，讓不同思維水平的學生都能找到驗證結果的路徑，并為學有余力者提供開放式方案設計任務，實現差異發(fā)展。二、教學目標知識目標：學生能在“打掃衛(wèi)生”的具體情境中，深刻理解小數除以整數的運算意義，掌握被除數末尾有余數時，通過添0繼續(xù)除的計算方法。他們能清晰解釋商中小數點對齊的原理，并準確完成相關豎式計算，實現從程序性操作到算理性理解的跨越。能力目標：學生能夠靈活運用多種策略（如人民幣模型轉換、估算）分析和解決小數除法實際問題，并能對計算結果的合理性進行初步判斷與解釋。在小組合作設計“值日優(yōu)化方案”的過程中，提升信息提取、數學建模和有條理地表達解決方案的能力。情感態(tài)度與價值觀目標：學生通過解決身邊的數學問題，感受數學與生活的緊密聯系，增強參與班級事務的責任感與應用數學的自信。在小組討論與方案交流中，養(yǎng)成認真傾聽、尊重他人觀點、理性協商的合作態(tài)度?？茖W（學科）思維目標：本節(jié)課重點發(fā)展學生的模型思維與估算意識。通過將“分配時間/費用”的實際問題抽象為除法模型，強化模型建構能力；通過引導學生在計算前后進行估算，培養(yǎng)其“先估后算、以估驗算”的思維習慣，提升思維的批判性與嚴謹性。評價與元認知目標：引導學生依據清晰的運算步驟標準進行同伴豎式互評；在課堂小結階段，通過繪制思維導圖或結構化列表，反思本課學習的關鍵節(jié)點與策略選擇，初步形成對“如何解決一個實際問題”的方法論總結。三、教學重點與難點教學重點：掌握被除數末尾有余數時，在余數后添0繼續(xù)除的小數除法計算方法，并能正確確定商的小數點位置。確立依據：從課標看，這是對小數除法算理理解深化的關鍵一步，關乎運算能力的核心——“理解算理、掌握算法”；從知識結構看，此方法是后續(xù)學習除數是小數的除法乃至分數除法的邏輯基礎，屬于承前啟后的“樞紐性”知識與技能。教學難點：一是理解“在余數末尾添0繼續(xù)除”的算理本質（即根據小數的性質，將余數轉化為更低級的計數單位繼續(xù)平均分）；二是在復雜實際問題中，靈活選擇估算策略并對商的合理性范圍進行有效判斷。預設依據：基于學情，從“整數除法余數”到“小數除法可繼續(xù)分”存在認知跨度，抽象性強；而估算策略的靈活應用需要學生綜合調動數感、對情境的理解和近似計算能力，是典型的高階思維挑戰(zhàn)，也是考試中區(qū)分能力層次的關鍵點。突破方向在于強化直觀模型支撐與對比辨析。四、教學準備清單1.教師準備1.1媒體與教具：多媒體課件（含情境動畫、分步驟演示的豎式計算過程）、實物投影儀。1.2學習材料：設計并印制《班級衛(wèi)生值日優(yōu)化方案》學習任務單（內含分層探究問題）、人民幣學具（虛擬或實物，元、角、分單位卡片）。2.學生準備2.1知識預備：復習整數除法的豎式計算，回顧小數的意義和性質。2.2物品準備：直尺、鉛筆、草稿本。3.環(huán)境布置3.1座位安排：提前分好46人合作學習小組，便于討論與方案設計。3.2板書記劃：黑板左側預留核心問題與情境，中部預留豎式計算過程推導區(qū)，右側預留“我們的發(fā)現”及“優(yōu)化方案”展示區(qū)。五、教學過程第一、導入環(huán)節(jié)1.情境創(chuàng)設與問題驅動1.1（課件出示班級衛(wèi)生角圖片和值日生名單）同學們，新學期我們的班級衛(wèi)生實行小組承包制。今天，班長遇到了兩個“分配難題”，想請大家用數學智慧幫幫忙。1.2難題一：買拖把共花了18.9元，由第一小組6名同學平均分攤，每人應付多少錢？難題二：大掃除時，計劃用2.5小時把教室清潔完，如果平均分給5個責任區(qū)，每個區(qū)域最多能分配多少時間？同學們，這兩個問題該怎么列式呢？（預設學生列出：18.9÷6，2.5÷5）大家發(fā)現了嗎？這都是“小數除以整數”的問題。今天我們就化身“班級事務規(guī)劃師”，一起探究這類問題的解決方法。1.3路徑明晰：我們先從最熟悉的“元角分”模型入手，破解第一個難題的算法奧秘；然后挑戰(zhàn)時間分配問題，學會用估算來檢驗我們的結果是否合理；最后，小組合作設計一份更高效的值日方案。準備好接受挑戰(zhàn)了嗎？第二、新授環(huán)節(jié)任務一：破解“分攤費用”——從具體模型到抽象算法教師活動：首先聚焦18.9÷6?！?8.9元，如果換成你們手中的‘錢’，是多少元多少角呢？”（引導學生說出18元9角）。接著提問：“第一步，先分什么？怎么分？”引導學生想到先分整元部分：18元÷6=3元，每人分得3元。此時，追問關鍵問題：“整元分完了，還剩下9角。接下來怎么辦？能在豎式中體現出來嗎？”請一位學生嘗試在黑板上書寫豎式至余數3（即1818=0后，落下9）。教師指著余數9（代表9角）問：“這個9表示9角，直接除以6不夠每人分1角？那我們能不能把它變得更‘小’一點，方便繼續(xù)分？”啟發(fā)聯系小數的性質，將9角想成90分，也就是在余數9后面添0，看成90個十分之一。“看，我們把‘9角’變身成了‘90分’，這下就能繼續(xù)分了！這個過程在豎式上，就是——在余數末尾添0繼續(xù)除?！苯處熞?guī)范演示添0及后續(xù)計算過程，強調商的小數點要與被除數的小數點對齊，并解釋“3.15元”即3元1角5分。學生活動：學生利用人民幣學具進行想象操作（或畫圖），理解先分元、再分角、最后分分的步驟。嘗試書寫豎式，在教師引導下發(fā)現余數9（角）無法直接整除時遇到的困難，并理解“添0”操作的實際意義是轉換單位。跟隨教師演示，完成完整豎式，并口述計算過程。即時評價標準：1.操作與表達的關聯性：是否能清晰地將人民幣“元、角、分”的分法與豎式計算的每一步對應起來。2.算理表述的準確性：在解釋“為什么要在余數后添0”時，能否說出“轉換計數單位”或類似本質理解。3.豎式書寫的規(guī)范性：商的小數點是否對齊被除數的小數點，數位對齊是否工整。形成知識、思維、方法清單：★核心概念：小數除以整數，當除到被除數末尾仍有剩余時，可以根據小數的基本性質，在余數末尾添“0”繼續(xù)除?！族e點提醒：所添的“0”是在余數后面，而不是在被除數末尾隨意添加。★算法關鍵：商的小數點一定要和被除數的小數點對齊，這是保證數位對齊、結果正確的關鍵。▲思想方法：利用熟悉的實物模型（如人民幣）理解和驗證算理，是解決抽象計算問題的好方法。“別小看這個‘元’和‘角’的轉換，它可是打通整數除法和小數除法的關鍵橋梁。”任務二：探究“時間分配”——估算先行，驗證結果教師活動：轉向問題二：2.5÷5?！斑@次分的是時間，沒有‘元角分’那么直觀了。先別急計算，大家估一估，每個區(qū)域分到的時間會比0.5小時多還是少？為什么？”引導學生思考：2.5小時平均分給5個區(qū)域，每個區(qū)域肯定不到0.5小時嗎？不一定。因為2.5÷5，可以將2.5看作2.5個“1”，平均分成5份，每份是0.5，所以結果大約是0.5小時?！坝辛斯浪氵@個‘指南針’，我們心里就有個大概范圍了?，F在請大家獨立嘗試用豎式計算2.5÷5，看看結果是不是在我們預估的范圍內。”巡視指導，重點關注學生如何處理“2除以5不夠商1”的情況，以及是否記得在商的位置上“先點小數點，再用0占位”。學生活動：先進行口頭估算，表達自己的推理（如：2.5的一半是1.25，除以5相當于再平均分，所以比0.5?。换蛑苯酉?.5÷5=0.5）。然后獨立完成豎式計算，體驗“個位不夠商1，要商0”的步驟。計算完成后，將結果0.5小時與估算范圍進行比對，自我驗證。即時評價標準：1.估算策略的合理性：是否能運用“將小數看作整數”或“參照已知事實（如一半）”等方法進行合理估算。2.計算步驟的完整性：豎式中是否體現了“個位不夠商1，用0占位并點上小數點”這一關鍵步驟。3.驗證意識的自覺性：計算后是否主動將結果與估算值進行比較，并判斷其合理性。形成知識、思維、方法清單：★核心技能：當被除數的整數部分比除數小時，要在商的個位上寫“0”，然后點上小數點繼續(xù)除?！锼季S習慣：“先估后算，算后再驗”。估算不僅幫助預測結果，更是檢驗計算是否離譜的“安全網”?！鴮嶋H應用：時間、長度、質量等任何可以度量的量，其平均分配問題都可以抽象為小數除法模型。“養(yǎng)成估算的習慣，就像給計算上了一道‘保險’，能讓你的答案更可靠?！比蝿杖簩Ρ葰w納，構建算法結構教師活動：組織學生回顧剛才完成的兩道例題：18.9÷6和2.5÷5?！罢埓蠹覍Ρ纫幌拢谟嬎阈党哉麛禃r，我們一般會經歷哪幾個步驟？遇到了哪幾種特殊情況？小組內討論一下，試著用流程圖或關鍵詞來總結?！苯處熝惨暎占鹘M的總結要點。然后請小組代表分享，教師板書核心步驟：①按整數除法的方法去除；②商的小數點要和被除數的小數點對齊；③如果整數部分不夠除，商0，點上小數點；④如果除到被除數末尾有余數，添0繼續(xù)除。學生活動：以小組為單位，對比兩道算式的計算過程，討論共同點和不同點。合作梳理計算步驟和注意事項，并嘗試用自己喜歡的方式（如步驟圖、口訣）進行歸納。派代表向全班展示并解釋本組的歸納成果。即時評價標準：1.歸納的全面性：是否涵蓋了兩種特殊情況（整數部分不夠商1、末尾有余數）。2.表達的條理性：總結的步驟是否清晰、有邏輯。3.小組協作的有效性：組內是否每位成員都參與了討論，貢獻了想法。形成知識、思維、方法清單：★算法結構化總結：小數除以整數的通用步驟（如上教師板書）。▲認知整合：將新學習的“添0繼續(xù)除”和“整數部分商0”兩種特殊情況，整合到原有的整數除法算法框架中，形成完整知識結構?！飳W習方法：通過對比、歸納，將具體例題的解法上升為一般性算法，是深度學習的重要方式。第三、當堂鞏固訓練設計核心：構建分層、變式的訓練體系，嵌入于“值日方案”的情境鏈中。基礎層（全員必做）：學習任務單第一部分“快速計算，夯實基礎”。包含直接應用算法的小數除法豎式計算，如12.6÷4，5.4÷6等?！罢埓蠹蚁泉毩⑼瓿?，完成后同桌交換，按照我們剛總結的步驟當一回‘小老師’，互相檢查。”綜合層（多數學生挑戰(zhàn)）：學習任務單第二部分“情境應用，靈活解決”。1.買6把掃帚共花了24.6元，每把多少錢？2.一瓶1.5升的清潔液，平均分裝到3個小噴壺里，每個小噴壺裝多少升？“這兩道題，除了計算，更要想想你的答案在現實中意味著什么？合理嗎？”挑戰(zhàn)層（學有余力選做）：學習任務單第三部分“方案初探，開放思考”。提供更復雜信息：教室打掃大致分為“掃地、拖地、擦窗、擺桌椅、清潔講臺”5個項目。現有總時間2小時（即2.0小時）。請你設計一個時間分配方案，讓每個項目的時間盡可能合理。你能提出幾種不同的分配思路？（不要求精確到無法用有限小數表示的結果）。“這是個開放題，沒有唯一答案，關鍵是你的分配理由和數學思考?！狈答仚C制：基礎層練習采用同伴互評，教師抽查共性錯誤進行集中點評。綜合層練習由教師選取不同解法的學生作品進行投影展示與對比講評，重點分析估算與精確計算的關系。挑戰(zhàn)層任務邀請有想法的學生簡要分享思路，重在鼓勵創(chuàng)新思維，不作為統(tǒng)一要求。第四、課堂小結設計核心：引導學生自主進行結構化總結與元認知反思。知識整合：“回顧今天這趟‘值日規(guī)劃’之旅，我們在數學上主要收獲了哪些‘工具’和‘智慧’？”鼓勵學生用思維導圖或列表格的方式，從“算法”（怎么算）、“算理”（為什么這樣算）、“應用”（能解決什么問題）三個維度進行梳理。教師完善板書結構圖。方法提煉：“在解決問題的過程中，我們用到了哪些特別好的策略或思想方法？”引導學生回顧“模型轉化”（人民幣）、“估算驗證”、“歸納總結”等方法，強調其重要性。作業(yè)布置：公布分層作業(yè)（詳見第六部分），并建立聯系：“今天我們是規(guī)劃師，解決了分配問題。下節(jié)課，我們將成為‘采購顧問’，看看在小數除法中，如果除數也變成小數，我們又該如何應對這個新的挑戰(zhàn)？大家可以提前想一想?！绷⒆鳂I(yè)設計基礎性作業(yè)（必做）：1.完成課本練習中關于小數除以整數（涉及添0繼續(xù)除及整數部分商0）的基礎計算題共5道，要求書寫規(guī)范，并口頭說出每道題的關鍵計算步驟。2.解決一個簡單實際問題：一袋重4.8千克的水果，平均分給8個小朋友，每人分得多少千克？拓展性作業(yè)（建議完成）：1.數學日記：請你記錄一個生活中遇到或可能遇到的、需要用“小數除以整數”來解決的問題情境，并寫出解答過程。2.錯題分析：教師提供一道典型錯誤豎式（如商的小數點位置點錯或忘添0），請你診斷錯誤原因并改正。探究性/創(chuàng)造性作業(yè)（選做）：1.項目延伸：進一步完善課堂上的“值日時間優(yōu)化方案”。你可以調查每個項目實際所需的大致時間，嘗試設計一個總時間在1.52小時之間的、更精細的時間分配表，并說明你的設計理由。2.數學探究：研究一下，像1÷3這樣的算式，用今天學習的小數除以整數的方法去計算，會出現什么情況？你有什么發(fā)現？七、本節(jié)知識清單及拓展★1.小數除以整數的運算意義：與整數除法意義相同，即已知兩個因數的積（被除數）與其中一個因數（除數，整數），求另一個因數（商）的運算。在實際情境中常表示“平均分”?！?.算法的核心步驟：①按整數除法的方法去除；②商的小數點要和被除數的小數點對齊（這是確保結果正確的關鍵定位點）；③如果整數部分不夠除，在商的個位寫0，然后點上小數點繼續(xù)除；④除到被除數末尾仍有余數，根據小數性質在余數右邊添0繼續(xù)除?！?.“添0繼續(xù)除”的算理本質：其核心是“計數單位的轉換”。當余數表示高級單位（如“元”）無法被整除時，可以將其轉化為低級單位（如“角”或“分”，即十分之幾元或百分之幾元）繼續(xù)平均分。豎式中的“添0”正是這一轉換過程的符號化表達。▲4.易錯點警示：(1)忘記點商的小數點，或點錯位置（未與被除數小數點對齊）。(2)遇到被除數整數部分不夠除時，漏掉商“0”并點小數點這一步，直接開始除小數部分。(3)有余數時不知道該不該添0、何時添0，或添0的位置錯誤?！?.估算的先行與驗證作用：在筆算前對結果進行大致范圍的估算，可以預判答案合理性；計算后用估算進行驗證，能有效發(fā)現計算中的明顯錯誤。例如，計算2.5÷5前，可估得結果約為0.5?！?.人民幣模型的橋梁作用：利用“元、角、分”的十進制關系，為理解小數除以整數的每一步計算（特別是添0繼續(xù)除）提供了極為直觀和有力的現實模型支撐，是化解算理抽象性的有效工具。★7.結果的表示與解釋：計算得到的小數商，要根據具體情境賦予其實際意義。如3.15元即是3元1角5分；0.5小時即是30分鐘。要養(yǎng)成結合情境解釋答案的習慣?！?.與整數除法的聯系與區(qū)別：聯系在于基本計算法則（從高位除起）相同。核心區(qū)別在于對“余數”的處理和“小數點”的管理。整數除法強調“余數小于除數”作為結束標志，而小數除法通過添0將余數轉化后，可以繼續(xù)除至更精確的位數。八、教學反思（一）教學目標達成度分析從假設的課堂實施來看，知識技能目標達成度較高。通過人民幣模型與豎式的緊密結合，絕大多數學生能夠理解“添0繼續(xù)除”的原理并規(guī)范計算。能力目標中，估算意識的滲透在“任務二”中效果顯著，學生能主動進行估測，但將估算靈活應用于方案設計的“挑戰(zhàn)層”時，部分學生仍顯吃力，說明估算策略的遷移應用需長期培養(yǎng)。情感與價值觀目標在小組合作設計方案環(huán)節(jié)得到較好體現，課堂氛圍積極。學科思維目標中的模型意識構建扎實，但模型思維的自覺遷移（如將“元角分”模型遷移到其他度量單位）仍需教師進一步點撥。（二）各教學環(huán)節(jié)有效性評估導入環(huán)節(jié)的情境創(chuàng)設成功激發(fā)了學生的探究興趣和責任感，驅動性問題明確。新授環(huán)節(jié)的“任務鏈”設計體現了認知階梯：“任務一”的模型支撐扎實有效，關鍵提問“怎么辦？能在豎式中體現嗎？”直擊思維節(jié)點；“任務二”的“估算先行”設計是亮點，扭轉了學生“為算而算”的慣性；“估算這個‘指南針’的比喻，孩子們一下子就記住了?！薄叭蝿杖钡膶Ρ葰w納，促使學生將零散知識點系統(tǒng)化，完成了從具體到抽象的飛躍。鞏固環(huán)節(jié)的分層設計照顧了差異，但時間安排上略顯緊張，挑戰(zhàn)層任務的分享不夠充分。小結環(huán)節(jié)的學生自主梳理，有效促進了知識的內化與結構化。（三）對不同層次學生的表現剖析對于基礎薄弱的學生，人民幣模型和清晰的步驟口訣起到了關鍵的“腳手架”作用，他們在基礎層練習中表現穩(wěn)固，但在綜合應用時對情境的理解仍是難點。對于中等多數學生，他們能順利掌握算法，并能完成綜合應用，是課堂推進的主體，對估算的理解從“知道要做”到“熟練運用”尚有距離。對于學有余力的學生，他們不僅快速掌握了算法，更對“為什么可以添0”、“估算范圍的精確度”等問題表現出探究興趣，在開放性的方案設計任務中展現了豐富的想象力和初步的優(yōu)化思想。“如何為這群‘吃不飽’的孩子提供更具思維挑戰(zhàn)的‘加餐’，是下一步需要精心設計的?！保ㄋ模┙虒W策略的得失與