1、第二節(jié)第二節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1、區(qū)域與Jordan曲線定義定義(區(qū)域區(qū)域)：具有下列性質(zhì)的非空點集D稱為區(qū)域，(1) 在D中的每一點z，都必有以這點為圓心的一個充分小的 圓包含于D內(nèi)(開集性)(2) D內(nèi)任意兩點，都可以用一條由D內(nèi)的點所構(gòu)成的曲線進 行連通(連通性)在解析函數(shù)理論中，函數(shù)的定義域不是一般的點集，而是區(qū)域，區(qū)域是復(fù)變函數(shù)的基本概念。區(qū)域通常用不等式表述。例如： |z|r，表示以原點為中心，半徑為r的圓內(nèi)區(qū)域； 0arg(z)，表示實軸上部的上半空間； Im(z)0，表示實軸下部的下半空間定義定義(邊界邊界)：凡本身不屬于D，而在它任意小鄰域內(nèi)都含有屬于D的點的那些點，稱做區(qū)域

2、D的邊界點(界點界點)；而所有界點的集合稱為邊界邊界；區(qū)域D連同它的邊界合在一起稱為閉區(qū)域(閉域閉域) 。D定義定義(邊界的方向邊界的方向)：如果沿著邊界走，區(qū)域保持在邊界的左方，則稱走向為邊界的正向邊界的正向；反之稱為邊界的逆向邊界的逆向。若x(t), y(t)為在, 連續(xù)的兩個實值函數(shù)，則：( )( )zx tiy t表示復(fù)平面上的一條連續(xù)曲線。連續(xù)曲線。若t1t2有z(t1)=z(t2)，則稱此z點為曲線的重點重點。定義定義(曲線曲線)：凡沒有重點的曲線稱為簡單曲線簡單曲線(Jordan曲線曲線)；而同時有z()=z()，則此簡單曲線稱為簡單閉曲線簡單閉曲線(Jordan閉曲線閉曲線)。

3、定義定義(連通連通)：如果在區(qū)域D內(nèi)任意畫簡Jordan閉曲線，曲線所圍內(nèi)部的任意一點都屬于D，則稱區(qū)域D為單連通區(qū)域單連通區(qū)域；否則稱為復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域。2、復(fù)變函數(shù)例1: 1,(1)1nzwz wz wzwzz定義定義：設(shè)E為一復(fù)數(shù)集，如果E內(nèi)每一復(fù)數(shù)z有唯一確定的復(fù)數(shù)w與之對應(yīng)，則稱在E上確定了一個單值函數(shù)單值函數(shù)w=f(z)(zE)。如果對于自變量z，對應(yīng)著多個w，則稱在E上確定了一個多多值函數(shù)值函數(shù)w=f(z)(zE)。這里E稱為定義域定義域，而w的全體稱為值域值域。例2: ,rg( )nwz wAz設(shè)w=f(z)定義在E上，并令z=x+iy,w=u+iv，顯然，u,v皆為x,y

4、的函數(shù)，因而，一般可將復(fù)變函數(shù)表示為：( )( , )( , )f zu x yiv x y3、復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性定義定義：設(shè)函數(shù)f(z)在z0的鄰域內(nèi)有定義，如果存在復(fù)數(shù)A，對于任意正數(shù)存在正數(shù)，使當(dāng)|z-z0|，有：稱當(dāng) 時f(z)的極限存在，記為：( )0，存在與z無關(guān) 的正數(shù)，使 中任意兩點z1,z2，當(dāng)|z1-z2|，則有：DD12( )() f zf zD*本定理對于區(qū)域D不一定成立。例4，設(shè) 定義在區(qū)域|z|1內(nèi)。1( )1f zz很顯然，在區(qū)域D內(nèi)，函數(shù)連續(xù)，但函數(shù)在趨近 時，顯然函數(shù)無界。1z 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商仍然為連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)依然為連續(xù)函數(shù)?？?

5、結(jié)1、區(qū)域與Jordan曲線 定義：區(qū)域、邊界、曲線、連通性2、復(fù)變函數(shù) 定義：單值(多值)函數(shù)、3、復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性模 定義：極限、連續(xù)、連續(xù)函數(shù) 定理1(連續(xù)的充要條件)、定理2(連續(xù)函數(shù)的性質(zhì))第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)球面與無窮遠點復(fù)球面與無窮遠點1、復(fù)球面 復(fù)數(shù)另外一種幾何表示方法就是建立復(fù)平面與球面上的點的對應(yīng)。N:北極，O:南極，則P(z)就建立起來球面上的點與復(fù)平面上的點的一一對應(yīng)關(guān)系。在復(fù)平面上以原點為圓心做一圓周C，則在復(fù)球面上有一緯線與之對應(yīng)，當(dāng)圓周C的半徑越來越大，復(fù)球面上的圓周就越來越靠近北極點，我們約定北極點與復(fù)平面上的一個模為無窮大的假想點(無窮遠點)對應(yīng)，并記為，復(fù)平面加上點稱為擴充平面。擴充平面與復(fù)球面存在一一對應(yīng)關(guān)系，原來的復(fù)平面稱為開平面，擴充平面稱為閉平面或全平面。2、閉平面上的幾個概念在閉平面上，無窮原點的鄰域應(yīng)理解為以原點為中心的某圓周的外部，即的鄰域是指合乎條件 的點集。1z由定義可以看出，開平面存在唯一的界點；而閉平面沒有界點和邊界，且是唯一無邊界的區(qū)域。而在閉平面任何閉合圓周的外部都是但連通區(qū)域；對于開平面上任何閉合圓周的外部都是復(fù)連通區(qū)域。作業(yè)：