1、定義：定義：在在 mn 矩陣矩陣 A 中，任取中，任取 k 行行 k 列列( k m，kn)，位于這些行列交叉處的位于這些行列交叉處的 k2 個(gè)元素，不改變它們?cè)趥€(gè)元素，不改變它們?cè)?A中所處中所處的位置次序而得的的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣階行列式，稱為矩陣 A 的的 k 階子式階子式 顯然，顯然，mn 矩陣矩陣 A 的的 k 階子式共有階子式共有 個(gè)個(gè)kkmnC C概念辨析：概念辨析： k 階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式$3.2 矩陣的秩矩陣的秩與元素與元素a12相對(duì)應(yīng)的相對(duì)應(yīng)的余子式余子式2123123133aaMaa 相應(yīng)的相應(yīng)

2、的代數(shù)余子式代數(shù)余子式矩陣矩陣 A 的一個(gè)的一個(gè) 2 階子塊階子塊12132223aaaa矩陣矩陣 A 的一個(gè)的一個(gè) 2 階子式階子式12132223aaaa21231 212123133( 1)aaAMaa 111213212223313233aaaaaaaaa111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa定義：定義：設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 中有一個(gè)不等于零的中有一個(gè)不等于零的 r 階子式階子式 D，且所有，且所有r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣稱為矩陣A 的的最高階非零子式最高階非零子式，數(shù)，數(shù) r 稱為稱

3、為矩陣矩陣 A 的秩的秩，記作，記作 R(A)規(guī)定：規(guī)定：零矩陣的秩等于零零矩陣的秩等于零在秩是在秩是r r的矩陣中，有沒有等于的矩陣中，有沒有等于0 0的的r-1r-1階子式？有沒有等于階子式？有沒有等于0 0的的r r階子式？階子式？ 000100000010000001A222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa矩陣矩陣 A 的一個(gè)的一個(gè) 3 階子式階子式111213212223313233aaaaaaaaa矩陣矩陣 A 的的 2 階子式階子式 如果矩陣如果矩陣 A 中所有中所有 2 階子式都等于零，那么這個(gè)階子式都等于零，那么這個(gè) 3 階

4、子式也階子式也等于零等于零 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 定義：定義：設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 中有一個(gè)不等于零的中有一個(gè)不等于零的 r 階子式階子式 D，且所有，且所有r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣稱為矩陣A 的的最高階非零子式最高階非零子式，數(shù)，數(shù) r 稱為稱為矩陣矩陣 A 的秩的秩，記作，記作 R(A)l根據(jù)行列式按行（列）展開法則可知，矩陣根據(jù)行列式按行（列）展開法則可知，矩陣 A 中任何一個(gè)中任何一個(gè) r +2 階子式（如果存在的話）都可以用階子式（如果存在的話）都可以用 r +1

5、 階子式來表階子式來表示示l如果矩陣如果矩陣 A 中所有中所有 r +1 階子式都等于零，那么所有階子式都等于零，那么所有 r +2階子式也都等于零階子式也都等于零 l事實(shí)上，所有高于事實(shí)上，所有高于 r +1 階的子式（如果存在的話）也都階的子式（如果存在的話）也都等于零等于零 因此矩陣因此矩陣 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù)中非零子式的最高階數(shù)規(guī)定：規(guī)定：零矩陣的秩等于零零矩陣的秩等于零矩陣矩陣 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù)中非零子式的最高階數(shù) 顯然，顯然，n若矩陣若矩陣 A 中有某個(gè)中有某個(gè) s 階子式不等于零，則階子式不等于零，則 R(A) s ；若矩

6、陣若矩陣 A 中所有中所有 t 階子式等于零，則階子式等于零，則 R(A) t n若若 A 為為 n 階矩陣，則階矩陣，則 A 的的 n 階子式只有一個(gè)，即階子式只有一個(gè)，即|A| 當(dāng)當(dāng)|A|0 時(shí)，時(shí)， R(A) = n ;可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣滿秩矩陣當(dāng)當(dāng)|A| = 0 時(shí)，時(shí)， R(A) n ;不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣降秩矩陣n若若 A 為為 mn 矩陣，則矩陣，則 0R(A)min(m, n) nR(AT) = R(A) 矩陣矩陣 A 的一個(gè)的一個(gè) 2 階子式階子式TD 矩陣矩陣 AT 的一個(gè)的一個(gè) 2

7、階子式階子式111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 12132223aaaaD AT 的子式與的子式與 A 的子式對(duì)應(yīng)相等，從而的子式對(duì)應(yīng)相等，從而 R(AT) = R(A) 112131122232132333142434TaaaaaaAaaaaaa 12221323aaaa例：例：求矩陣求矩陣 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中123235471A21032031250004300000B 解：解：在在 A 中，中，2 階子式階子式 12023 A 的的 3 階子式只有一個(gè)，即階子式只有一個(gè)，即|A|，而且，而且|A| = 0，因此，因此 R(A) =

8、2 例：例：求矩陣求矩陣 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中123235471A解（續(xù)）：解（續(xù)）：B 是一個(gè)行階梯形矩陣，其非零行有是一個(gè)行階梯形矩陣，其非零行有 3 行，因此行，因此其其 4 階子式全為零階子式全為零以非零行的第一個(gè)非零元為對(duì)角元的以非零行的第一個(gè)非零元為對(duì)角元的 3 階子式階子式 213032240004 ，因此，因此 R(B) = 3 還存在其還存在其它它3 階非零階非零子式嗎？子式嗎？21032031250004300000B 例：例：求矩陣求矩陣 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中123235471A解（續(xù)）：解（續(xù)）：B 還有其它還有其它 3 階非零子式，例如階非

9、零子式，例如203012800421203518003 2020156003 結(jié)論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)結(jié)論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)21032031250004300000B 例：例：求矩陣求矩陣 A 的秩，其中的秩，其中 32050323612015316414A 分析：分析：在在 A 中，中，2 階子式階子式 2012016A 的的 3 階子式共有階子式共有 (個(gè)個(gè))，要從要從40個(gè)子式中找出一個(gè)非零子式是比較麻煩的個(gè)子式中找出一個(gè)非零子式是比較麻煩的334540C C 一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時(shí)，按定義求秩是很麻煩的一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時(shí)，按定義求秩

10、是很麻煩的 . .行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù). .一個(gè)自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為一個(gè)自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為行階梯形矩陣行階梯形矩陣. .兩個(gè)等價(jià)的矩陣的秩是否相等？?jī)蓚€(gè)等價(jià)的矩陣的秩是否相等？定理：定理：若若 A B，則，則 R(A) = R(B) 應(yīng)用：應(yīng)用：根據(jù)這一定理，為求矩陣的秩，只要用初等行變換把根據(jù)這一定理，為求矩陣的秩，只要用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩該矩陣的秩例：例：求矩陣求矩陣 的秩，并求的秩，并求 A 的一

11、個(gè)的一個(gè)最高階非零子式最高階非零子式32050323612015316414A 解：解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣行階梯形矩陣有行階梯形矩陣有 3 個(gè)非零行，故個(gè)非零行，故R(A) = 3 第二步求第二步求 A 的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列的第一個(gè)非零元所在的列0161041004000B 0325326205161rA ，與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣，與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣 A 的第一、的第一、二、四列二、四列3205016414323610431120153000481

12、641400000rA 00325161326041205004161000rAB R(A0) = 3，計(jì)算，計(jì)算 A0的前的前 3 行構(gòu)成的子式行構(gòu)成的子式3253256113266011216025205205 因此這就是因此這就是 A 的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式分析：分析：對(duì)對(duì) B 作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣，設(shè)作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣，設(shè) B 的行階梯的行階梯形矩陣為形矩陣為 ，則，則 就是就是 A 的行階梯形矩陣，因此可從的行階梯形矩陣，因此可從中同時(shí)看出中同時(shí)看出R(A)及及 R(B) 例：例：設(shè)設(shè) ，求矩陣，求矩陣 A 及矩陣及矩陣B = (A, b) 的秩的

13、秩1221124802, 2423336064Ab ( , )BA b A 解：解：1221112211248020021024233000013606400000rB R(A) = 2R(B) = 3例：求例：求 的值，使矩陣的值，使矩陣 A 的秩為最小的秩為最小 34223177111044113 A 34223177111044113 A 110441133422317713142 Arrrr解：解： 3117107405502003301203177112141323Arrrrrr 3117107405502001104031771)31(2Ar 3177000001104031771

14、23245Arrrr當(dāng)當(dāng) =0,R(A)=2 ,當(dāng)當(dāng) ,R(A)=3。所以。所以 0 0 矩陣的秩的性質(zhì)矩陣的秩的性質(zhì) 若若 A 為為 mn 矩陣，則矩陣，則 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若若 A B，則，則 R(A) = R(B) 若若 P、Q 可逆，則可逆，則 R(PAQ) = R(A) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) B = b 為非零列向量時(shí)，有為非零列向量時(shí)，有R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若若 Amn Bnl = O，則，則 R(A)R(

15、B)n 例：例：設(shè)設(shè) A 為為 n 階矩陣，階矩陣， 證明證明 R(AE)R(AE)n 證明：證明：因?yàn)橐驗(yàn)?(AE) (EA) = 2E，由性質(zhì)由性質(zhì)“R(AB)R(A)R(B) ”有有R(AE)R(EA)R(2E) = n 又因?yàn)橛忠驗(yàn)镽(EA) = R(AE)，所以，所以R(AE)R(AE)n 例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，則，則R(B) = R(C) 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?R(A) = n， 所以所以 A 的行最簡(jiǎn)形矩陣為的行最簡(jiǎn)形矩陣為 ，設(shè)設(shè) m 階可逆矩陣階可逆矩陣 P ，滿足，滿足 于是于是因?yàn)橐驗(yàn)?R(C) = R(PC)，而，而 ，故，故R(B

16、) = R(C) nm nEO nm nEPAO nEPCPABBOBO ( )BR BRO 10104011030001300000 11214011100001300000 行階梯形矩陣行階梯形矩陣：1. 可畫出一條階梯線，線的可畫出一條階梯線，線的下方全為零；下方全為零；2. 每個(gè)臺(tái)階只有一行；每個(gè)臺(tái)階只有一行；3. 階梯線的豎線后面是非零階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素行的第一個(gè)非零元素.行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣：4. 非零行的第一個(gè)非零元為非零行的第一個(gè)非零元為1;5. 這些非零元所在的列的其這些非零元所在的列的其它元素都為零它元素都為零.12rr 23rr 分析：分析：若若

17、 R(A) = n，則，則 A 的行最簡(jiǎn)形矩陣應(yīng)該的行最簡(jiǎn)形矩陣應(yīng)該n有有 n 個(gè)非零行；個(gè)非零行；n每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元為每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元為 1 ；n每個(gè)非零元所在的列的其它元素都為零每個(gè)非零元所在的列的其它元素都為零于是于是 A 的行最簡(jiǎn)形中應(yīng)該包含以下的行最簡(jiǎn)形中應(yīng)該包含以下 n 個(gè)列向量：個(gè)列向量：100010, , , 001000000 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?A 是是 mn 矩陣，所以矩陣，所以 A 的行最簡(jiǎn)形矩陣為的行最簡(jiǎn)形矩陣為 前前 n 行行后后 m - n 行行nEO例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，則，則R(B) = R(C) 返回返回

18、例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，則，則R(B) = R(C) 附注：附注：n當(dāng)一個(gè)矩陣的秩等于它的列數(shù)時(shí)，這樣的矩陣稱為當(dāng)一個(gè)矩陣的秩等于它的列數(shù)時(shí)，這樣的矩陣稱為列滿秩列滿秩矩陣矩陣n特別地，當(dāng)一個(gè)矩陣為方陣時(shí)，列滿秩矩陣就成為滿秩矩特別地，當(dāng)一個(gè)矩陣為方陣時(shí)，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣陣，也就是可逆矩陣n本題中，當(dāng)本題中，當(dāng) C = O，這時(shí)結(jié)論為：，這時(shí)結(jié)論為：設(shè)設(shè) AB = O，若，若 A 為列滿秩矩陣，則為列滿秩矩陣，則 B = O 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)n階矩陣A滿足 ， E 為n階單位矩陣， 證明2AA ( )().rrnAAE證明：由已知條件知，();A AEO因此，(