1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上Sard定理證明及其應(yīng)用 摘 要本文以Sard定理為中心來展開。首先給出了一些關(guān)于正則值的預(yù)備知識，接著證明了Sard定理，最后應(yīng)用該定理證明了緊致情形的Whitney定理。關(guān)鍵詞：Sard定理，正則值，Whitney定理AbstractIn this paper, we regard Sard Theorem as the main idea to expand. At first, we provide some preliminary knowledge about the regular values. Secondly, we prove the Sard

2、Theorem. In the end, we use this theorem to prove Whitney Theorem in the compact case.Key words: Sard Theorem, regular values, Whitney Theorem目 錄第一章 緒論 .1第二章 預(yù)備知識 .1第三章 Sard定理的證明.4第四章 Sard定理的應(yīng)用.10參考文獻 .12專心-專注-專業(yè)一、緒論隨著近代科學(xué)的飛速發(fā)展，正則值和Sard定理等較深的知識不僅成為數(shù)學(xué)本身的最基礎(chǔ)、最重要、最活躍的研究領(lǐng)域，而且在數(shù)學(xué)的其它分支中已有越來越廣泛、深刻而富有成效的應(yīng)用。

3、而Sard定理的證明和應(yīng)用顯得尤為重要。二、預(yù)備知識自從坐標法問世以來，人們熱衷于研究各種方程式所表示的曲線或曲面。設(shè)是中的開集，是映射。對這樣一般的和任意的，方程的解集合可能相當復(fù)雜，與通常曲線或曲面的幾何直觀大相徑庭。因此有必要考察：哪些能保證成為流形？這就引出了正則值得概念。定義1.1 設(shè)和是微分流形，的維數(shù)。又設(shè)是可微映射。（1）如果使得，那么我們就稱為的臨界點。的全體臨界點的集合記為或者。如果使得，那么我們就稱為的正則點。的全體正則點的集合是。（2）如果使得，那么我們就稱為的臨界值。如果使得，那么我們就稱為的正則值。注 的全體臨界值的集合是。的全體正則值得集合是（請注意：不是）。在正

4、則值的定義中，包括的情形，即：“不是值”的也屬正則值之列。下面的定理顯示了正則值概念的重要性。定理1.2（正則值原像定理） 設(shè)和是流形（），是映射，是的正則值，。則是的正則子流形，并且。（顯然是的閉子集，因而是閉子流形。）證明 我們利用淹沒映射的典范局部表示。對任意的，存在點鄰近的的局部坐標圖卡和點鄰近的的局部坐標圖卡，使得 ，并且使得 ，其中是從乘積空間到第二個因子空間的投射。因為，所以。（請注意：對于的情形，結(jié)論仍成立。） 下面的“唱片引理”是正則值原像定理得重要特殊情形。引理1.3（唱片引理） 設(shè)和是流形（），是緊致的，。又設(shè)是映射。如果是的正則值并且，那么 （1）是有限點集：；（2）存

5、在在中的開鄰域，使得，其中是中兩兩不相交的開集，并且是同胚。證明 根據(jù)定理1.2（正則值原像定理），是的0維子流形，也就是由一些孤立點組成的子集。但作為緊空間的閉子集也是緊致的，所以是有限點集，這證明了（1）。因為，所以在點鄰近是局部同胚，即存在在中的開鄰域和點在中的開鄰域，使得是同胚。必要時適當縮小各，可設(shè)這些是兩兩不相交的：。顯然是中的緊致集并且不包含點，所以是點的開鄰域。因為以外的點不可能經(jīng)映入中，所以。我們記。則有并且是同胚。我們證明了（2）。在上面的討論中，我們又一次用到集合與映射的一個關(guān)系式：設(shè)和是集合，是映射，,則。 既然正則值具有如上面定理1.2所述的良好性質(zhì)，人們自然關(guān)心這樣

6、的正則值是否有足夠多？下面的Sard定理肯定地回答了這個問題。 三、Sard定理的證明引理2.1 如果閉區(qū)間被一族長度都不超過的開區(qū)間所覆蓋，那么存在中有限個開區(qū)間，使得。證明 首先，不妨設(shè)由有限個開區(qū)間組成。其次，有公共點的三個開區(qū)間當中，必有其中兩個區(qū)間覆蓋了第三個區(qū)間（有最小左端點的區(qū)間和有最大右端點的區(qū)間必定覆蓋第三個區(qū)間）。我們可以從中刪除多余的開區(qū)間，使得任意一點至多屬于中的兩個開區(qū)間，并且的端點和各自只屬于中的一個開區(qū)間。刪除了多余的開區(qū)間之后，剩下的有限個開區(qū)間必定滿足要求。引理2.2 設(shè)是中的緊致集。如果集合包含在的開集之中，那么存在實數(shù)，使得。（參看圖18） 證明 連續(xù)函數(shù)

7、在緊致集上恒取正值，因而有正的下界，對這有。定理2.3（Fubini定理的特殊情形） 設(shè)是至多可數(shù)個緊致集的并集。如果對任意的，截集都是中的零測集，那么也是中的零測集。證明 只須對是緊致集的情形作出證明。設(shè)的閉區(qū)間使得。對任意的，截集是中的零測集。因而對任意的，存在中的有限個開方體之并集，使得。根據(jù)引理2.2，存在開區(qū)間，使得。根據(jù)引理2.1，從之中可選擇有限個，使得。于是。引理2.4 設(shè)，和是微分流形，是可微映射，是微分同胚，并設(shè)，則有（1）； （2）。定理2.5（Sard定理） 設(shè)和是流形，是映射，則是中的零測集。因而幾乎所有的都是的正則值。證明 設(shè)，。對于的情形，我們知道是中的零測集，其

8、子集當然也是中的零測集。下面對的維數(shù)作歸納，以完成定理得證明。因為任何（滿足第二可數(shù)公理的）流形都可以表示成可數(shù)個局部坐標域的并集，所以不妨設(shè)是中的開集，。記。并以表示中使得的不超過階的所有偏導(dǎo)數(shù)都取0值得那些點的集合。顯然有（2.1）；（2.2）。我們將證明： （1）是零測集； （2）是零測集，；（3）存在自然數(shù)，使得是零測集。（1）的證明。 設(shè)是中的任意一點。不妨設(shè)?？疾爝@樣一個映射。因為的秩為，所以存在中點的開鄰域和點的開鄰域，使得是從到的光滑微分同胚。我們定義。因為可以用可數(shù)個這樣的覆蓋，所以只須證明是零測集。證明這一事實要用到引理2.3。須指出是至多可數(shù)個緊致集的并集。事實上，開集是

9、至多可數(shù)個緊致集的并集。閉集與之的交集當然也是，而。由此得知是至多可數(shù)個緊致集的并集。借助于交換圖表（圖19），容易看出在上的映射具有如下形式：。這可以寫成，其中。如果用表示這樣一個從到的映射：，則有。從和的表示式可以看出，對于應(yīng)有。依據(jù)歸納假設(shè)，是中的零測集，因而是中的零測集。于是，根據(jù)引理2.3可以斷定是中的零測集。即是中的零測集。這證明了（1）。（2）的證明。 對于，不妨設(shè)。若記，則有（2.3），（2.4）?？疾煊成?。由（2.3）可知，存在中點的開鄰域和點的開鄰域，使得是從到的同胚。仍記。再來考察從到的映射。按照歸納假設(shè)，是中的零測集。由（2.4）可知，。因而是中的零測集。這證明了（2）

10、。（3）的證明。 將證明：時，是中的零測集。為此，只須對任意的維閉方體，證明是零測集。對于和任意的，我們有（2.5），這里是一個實常數(shù)。設(shè)是包含在中的邊長為的維閉方體，滿足條件。則由估計式（2.5）可知，的像集包含在這樣一個維閉方體之中，該閉方體的邊長滿足不等式，其中的是與有關(guān)的一個實常數(shù)。于是，對該閉方體的體積有估計式（2.6）。設(shè)的邊長是，并設(shè)是待定的充分大的自然數(shù)。我們把的各條棱都等分成段（每段的長度為）。然后考察被平行分割成的個小正方體。設(shè)是這些小正方體當中與相交的任意一個。則像集的體積可以用（2.6）加以估計。由此得知，包含在不多于個小正方體的并集之中，這些小正方體的總體積不超過。如

11、果，即，那么我們總可以選取足夠大的，使得。至此，我們證明了論斷（1），（2），（3），從而就完成了Sard定理的證明。注記2.6 在上面證明的第（3）部分中，我們利用Taylor展式得到估計（2.5）。表面上看，似乎這一證明對的要求可以從減弱到，只要。但這種看法是不正確的。因為綜觀整個證明，我們采取的是歸納正法，而在歸納過程中對的要求是會改變的。推論2.7 設(shè)和是流形，是映射，則是中的零測集。在上述推論中，若是-映射，則結(jié)論也成立。四、Sard定理的應(yīng)用利用Sard定理可以證明緊致情形的Whitney定理，即：定理3 設(shè)是維緊致光滑流形，則存在光滑映射，使得成為的嵌入子流形。證明 存在一個充分

12、大的整數(shù)，以及光滑映射，使得是的嵌入子流形。如果，則定理的結(jié)論已成立?，F(xiàn)在假定，我們要把維數(shù)降下來。因為是的嵌入子流形，我們把和等同起來，的歐氏度量在上誘導(dǎo)出一個黎曼度量，因而成為歐氏向量空間。是光滑流形；又令，顯然是光滑流形的開子流形，所以是光滑流形。定義映射和，使得，。很明顯，都是光滑映射。由于，根據(jù)Sard定理，是中的零測集。于是可取向量，使得，又。定義映射，使得。由于，所以落在中以為法向量的子空間內(nèi)。因此，是從到的光滑映射。下面要證明是單一的浸入。 是浸入。設(shè)，取光滑曲線，使得，則，因此。當時，因為，故與不共線，即。 的單一性。設(shè)，則。因為，故與不共線，即。既然是單一的浸入，以及是緊致的，故使嵌入子流形。若，則繼續(xù)上面的過程，直到將嵌入。證畢。進一步還能把浸入中去。為此，只要考慮，是維光滑流形。令，使得。顯然是光滑映射。由Sard定理，是中的零測集，取，則將沿向量投影到的子空間，得到在中的浸入。 當是非緊致光滑流形的情形，其證明可看4。參考文獻1孫克寬，郭駝英，梁肇軍. 拓撲學(xué)M. 華中科技師范大