1、、判斷題1、 兩個(gè)向量函數(shù)之和的極限等于極限的和（V）2、 二階微分方程A（u,v）du22B（u,v）dudv B（u,v）dv20總表示曲面上兩族曲線.（？）uuu uuu3、 若r（t）和s（t）均在a,b連續(xù)，則他們的和也在該區(qū)間連續(xù)（V）uuu4、 向量函數(shù)s（t）具有固定長(zhǎng)的充要條件是對(duì)于 t 的每一個(gè)值，uuruuus（t）的微商與s（t）平行（X）5、等距變換一定是保角變換.（？）6 連接曲面上兩點(diǎn)的所有曲線段中，測(cè)地線一 定是最短的.（？）7、 常向量的微商不等于零（X）8、 螺旋線 x=cost,y=sint,z=t在點(diǎn)（1, 0, 0）的切線為 X=Y=Z（X）uuu9、

2、 對(duì)于曲線 s=s（t）上一點(diǎn)（t=t0）,若其微商是零，則這一點(diǎn)為曲線的正常點(diǎn)（X）10、曲線上的正常點(diǎn)的切向量是存在的（V）11、曲線的法面垂直于過(guò)切點(diǎn)的切線（V）12、單位切向量的模是 1 （V）13、 每一個(gè)保角變換一定是等距變換（X）14、空間曲線的形狀由曲率與撓率唯一確定.（？）15、坐標(biāo)曲線網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是 F 0，這里 F 是第一基本量.（？）二、填空題16、曲面上的一個(gè)坐標(biāo)網(wǎng)，其中一族是測(cè)地線17、 螺旋線 x=2cost,y=2sint,z=2t, 在點(diǎn)（1，0，0）的法平面是_ y+z=0,彳b18、設(shè)給出c類曲線：r r（t）, a t b.則其弧長(zhǎng)可表示為r （

3、t）dtar1I，則一J3cosx,3sinX,4，19、已知cos3x,sin3x,cos 2x，r 1sin x,cos x,0,4cos x, 4sin x, 3,520、曲面的在曲線，如果它上面每一點(diǎn)的切點(diǎn)方向都是漸近方向，貝U稱為漸進(jìn)曲線21、 旋轉(zhuǎn)面 r=(t)cos , (t)sin , (t),他的坐標(biāo)網(wǎng)是否為正交的?_ 是_ (填“是”或“不是”)22、 過(guò)點(diǎn)平行于法方向的直線叫做曲面在該點(diǎn)的法線_線.23. 任何兩個(gè)向量 p,q 的數(shù)量積 p qpqcos(pq)24.保持曲面上任意曲線的長(zhǎng)度不便的變稱為等距(保長(zhǎng))變換-.25.圓柱螺線的曲率和撓率都是常數(shù)數(shù)(填“常數(shù)”或

4、“非常數(shù)”).26. 若曲線(c)用自然參數(shù)表示r r(t),則曲線(c)在P(s。)點(diǎn)的密切平面的方程是27. 曲線的基本三棱形由三個(gè)基本向量和密切平面、法平面、從切平面28. 杜邦指標(biāo)線的方程為L(zhǎng)x22Mxy Ny2129、 已知曲面r ucosv,usi nv,6v, u 0 ,0 v,則它的第一基本形式為2du2(u236)dv2，第二基本形式為f12du dv，高斯曲率 K 廠36，平均曲u236(u236)2率H0 ，點(diǎn)(1,0,0)處沿方向 du:dv 2 的法曲率一24，點(diǎn)(1,0,0)處的兩個(gè)主1517曲率分別為,O37 3730、 (Coh n-Voeeen 定理)兩個(gè)卵形

5、面之間如果存在一個(gè)保長(zhǎng)映射，則這個(gè)映射一定是R3中的合同或?qū)ΨQ。31、球面上正規(guī)閉曲線的全撓率等于零O32、一個(gè)曲面為可展曲面的充分必要條件為此曲面為單參數(shù)平面族的包絡(luò)三、綜合題33求曲線x tsint,y tcost,z tet在原點(diǎn)的密切平面，法平面，切線方程。解：r ts in t,t cost, tel,在原點(diǎn)處 t 0在原點(diǎn)處切平面的方程為：25sin 2x- o25sin 2x即 X Y Z 0法平面的方程為：即Y Z 0切線方程為34、求曲面z x3y3的漸近曲線。解設(shè)ru,v,u3V3r r則ri,o,3u2,rv0,1, 3v2,r|ru51rruu0,0,6 u,ruv0

6、,rw0,0, 6vLnL.，MJ9u49v410，NnL_6v_J9u49v41因漸近曲線的微分方程為 即 udu2vdv2或 一 udu 、vdv33漸近曲線為 u2vG 或解：r a(u v),b(u v),2uv, g a,b,2v,a, b,2u.22222E rurua b 4v , F rurva b4uv,36. 計(jì)算球面r (Rcos cos ,Rcos sin , Rsin )的第二基本形式.解：由此得到=cos cos ,cos sin ,sin ,又由于所以因而得到37. 如果曲面的第一基本形式 ds2嚴(yán)2dv2,計(jì)算第二類克力斯托費(fèi)爾符號(hào)(u2v2c)2解：因?yàn)? 2

7、一91 3U J35.求雙曲拋物面r a(u v),b(uv),2uv的第一基本形式E1F0,G12 2 2(u v c)(u22vc)2所以所以1Ev2v2Gu2u122E2 2, u v c122G2u2v c1Gu2u2Gv2v222E2 2u v c,222G2u2v c38、已知曲面的第一基本形式為1v(du2dv2)，v0，求坐標(biāo)曲線的測(cè)地曲率。解 E G v，F(xiàn)0，Gu0，Ev1u-線的測(cè)地曲率Ev1gu2E . G2v . vv-線的測(cè)地曲率Gu0gv2G. E39、問(wèn)曲面上曲線 的切向量沿曲線 本身平行移動(dòng)的充要條件是曲面上的 曲線 是測(cè)地線嗎？為什么？答：曲面上曲線 的切向

8、量沿曲線 本身平行移動(dòng)的充要條件是曲面上的 曲線是測(cè)地線事實(shí)上，設(shè):u1ui(s)(i1,2)，則的切向量為rr1dudsr du2r2ds記a1du2，a dsdu21. 1，Da dadsi,j1jaiduj， Da2da2i ,j2aidu則曲線的切向量r沿平行移動(dòng)Drr120Da 0, Da0為測(cè)地線40.求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線解：因?yàn)閞 ucosv,usin v,bv,由于L N 0,所以,正螺面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸進(jìn)網(wǎng)，則一族漸近線是這是螺旋線，另一族漸近線是這是直線.41、設(shè)空間兩條曲線 和 C 的曲率處處不為零，若曲線 和 C 可以建立一一 對(duì)應(yīng)，且在對(duì)應(yīng)

9、點(diǎn)的主法線互相平行，求證曲線和 C 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線夾固定角rr_rrrrr r證設(shè):rr(s)，:r r (s)，則由/知，r0d( )rr dsr rconstant，即cos：, C42、證明r(t)具有固定方向的充要條件是證明：必要性 設(shè)r(t) (t)e(e為常單位向量),則充分性：r(t) (t)e(t)(e(t)為單位向量函數(shù)),則有固定方向43、給出曲面上一條曲率線，設(shè) 上每一點(diǎn)處的副法向量和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角.求證 是一條平面曲線.:u u(s),v v(s)，其中s是的自然參數(shù)，記若0，則為平面曲線；若nr0，則因?yàn)榍嫔系囊粭l曲率線，故dnnd：.而r r r rr

10、rrnn 0,所以dA 0，即 n 為常向量.于是為平面曲線.acost,asin t,bt在t處的切線方程。3r (t) acost, asint,bt, r (t) a sin t, a cost,b,3時(shí)，有r(3) 于巧,b.rr從而rds rds這表明曲線和 C 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線夾固定角.所以r(t)r (t)r (t)(t)e(t)(t)e (t),因?yàn)閞(t) 0,于是(t)0,當(dāng)r(t) r (t)0,從而有即e(t)/e(t),因?yàn)閑(t) e(t)(根據(jù) e(t)1),因此e(t) 0即e(t)為常向量,所以F(u,v)，r ,n；，貝Ur n cos ，兩邊求導(dǎo),由為曲率線

11、知 dri/dr，即空乂d s d s得rr r d n n rdsrr r因此n44、求圓柱螺線R(t)2,于a,3所以切線的方程為即如果用坐標(biāo)表示，則得切線方程為即45、求雙曲螺線r acosht,asinht,at從 t=0 起計(jì)算的弧長(zhǎng)。解r acosht, a sinht,at,ras in ht, a cosht,a從 t=0 起計(jì)算的弧長(zhǎng)為a2sinh2t a2cosh21 adtt=Ja2(sinh21 1) a2cosh2tdt一 a2cosh21 a2cosh2tdt02as in ht.46、求球面r Rcos cos , Rcos sin ,Rsin 的第一基本形式。r

12、 R cos cos ,Rcos sin , Rs in ,可得出解：由r Rcos sin , Rcos cos ,0,r Rsin cos , Rsin sin , Rcos,由此得到曲面的第一類基本量因而47、曲面上一點(diǎn)(非臍點(diǎn))的主曲率是曲面在點(diǎn)所有方向在法曲率中的最大值和最小值。證明 設(shè)k,k2(如果K,K2,可以交換坐標(biāo)u和v),由歐拉公式知于是因此同樣又可以得到由此即 這就是說(shuō)，主曲率k2,k,是kn法曲率的最大值和最小值。48、曲面的第一基本形式為I E (u )du2G(u)dv求證： (1)u-曲線是測(cè)地線；(2) v-曲線是測(cè)地線，當(dāng)且僅當(dāng)Gu(u)0證明：u曲線的方程為

13、dv 0由得到所以代入劉維爾公式得因此得到u曲線是測(cè)地線。（2）若u曲線為測(cè)地線，由一得0,則有2 dsc c c 1 lnG .000-sin，1VE u即49、R3中全體合同變換構(gòu)成一個(gè)群，稱為空間合同變換群。證明：因?yàn)椋?） 空間兩個(gè)合同變換的組合還是一個(gè)空間合同變換；（2） 空間三個(gè)合同變換的組合滿足合里律；（3） 恒同變換I : xiXj（i 1,2,3）與空間任何合同變換 T 的組合I T T I T,因此 I對(duì)于空間合同變換的組合來(lái)說(shuō)是單位元素；（4）空間任何合同變換一定有逆變換，而且這個(gè)逆變換還是空間合同變換50、沿曲線面上一條曲線平行移動(dòng)時(shí)，保持向量的內(nèi)積不變。證明：沿曲線（C）給出兩個(gè)平行的向量場(chǎng)，在曲面上取正交坐標(biāo)網(wǎng)（u1,u2,則）所以/t/=r t dtr t dt,0因?yàn)閞 tr t，所以我們得到t /stL r t dt L s t51、設(shè)曲線（C）: rr t是具有周期的閉的正規(guī)平面曲線，如果把參數(shù)換成自然參數(shù),則它的周期是 L0rt dt, L 的閉曲線的周長(zhǎng).證明s tr/tdt所以有rsL rst L rstr s tr s.=0.52、對(duì)于空間簡(jiǎn)單的、正規(guī)閉曲線，至少存在一條切線與給定的方向 證明 取 I 為坐標(biāo)系的z軸方向.設(shè)曲線C的自然參數(shù)表示是 因而單位切向量為? ? ?a s xs,ys,zs根據(jù)微積分中