1、量綱分析模型 一、單位與量綱一、單位與量綱1 1、單位、單位 數(shù)學(xué)建模的目的是解決實(shí)際問(wèn)題，而實(shí)際問(wèn)題中的量都有數(shù)學(xué)建模的目的是解決實(shí)際問(wèn)題，而實(shí)際問(wèn)題中的量都有相應(yīng)的單位。數(shù)學(xué)中純粹的數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中不具有明確的含義。相應(yīng)的單位。數(shù)學(xué)中純粹的數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中不具有明確的含義。如在實(shí)際問(wèn)題中談某個(gè)長(zhǎng)度量，在關(guān)注其數(shù)值的同時(shí)還必須關(guān)如在實(shí)際問(wèn)題中談某個(gè)長(zhǎng)度量，在關(guān)注其數(shù)值的同時(shí)還必須關(guān)注其單位，否則，我們便沒(méi)有把這個(gè)量完全弄清楚。但實(shí)際問(wèn)注其單位，否則，我們便沒(méi)有把這個(gè)量完全弄清楚。但實(shí)際問(wèn)題中的諸多量并非全是相互獨(dú)立的，其中一些量能起到基本量題中的諸多量并非全是相互獨(dú)立的，其中一些量能起到基本量的

2、作用，其它量是這些基本量的符合某種規(guī)律的組合，如速度的作用，其它量是這些基本量的符合某種規(guī)律的組合，如速度是長(zhǎng)度與時(shí)間這兩個(gè)基本量的一種規(guī)定的組合。是長(zhǎng)度與時(shí)間這兩個(gè)基本量的一種規(guī)定的組合。如果規(guī)定了基本量的單位，其它量的單位也隨之確定。如果規(guī)定了基本量的單位，其它量的單位也隨之確定。2.10 量綱分析與無(wú)量綱化量綱分析與無(wú)量綱化定義定義：一組物理量，若彼此相互獨(dú)立，且其它物一組物理量，若彼此相互獨(dú)立，且其它物理量均是這些物理量的合乎某種規(guī)律的組合，理量均是這些物理量的合乎某種規(guī)律的組合，則稱這些物理量為基本物理量。則稱這些物理量為基本物理量。2 2、基本物理量、基本物理量導(dǎo)出量：由基本量通過(guò)

3、自然規(guī)律導(dǎo)出的量。例如：導(dǎo)出量：由基本量通過(guò)自然規(guī)律導(dǎo)出的量。例如：速度、加速度、力、速度、加速度、力、定義：一物理量與基本物理量之間的規(guī)定關(guān)系，稱定義：一物理量與基本物理量之間的規(guī)定關(guān)系，稱為該量的量綱。這種規(guī)定關(guān)系常為該量的量綱。這種規(guī)定關(guān)系常，因此也稱為量綱積。即任一物理，因此也稱為量綱積。即任一物理量量Q的量綱皆可表示成的量綱皆可表示成Q=LM TIJN其中，其中，L，M，T，I，J，N是基本物理量的量綱；是基本物理量的量綱；稱量綱指數(shù)均為稱量綱指數(shù)均為0 0的物理量為無(wú)量綱量。的物理量為無(wú)量綱量。基本物理量 名稱 量綱 單位 符號(hào) 長(zhǎng)度 L 米 m 質(zhì)量 M 千克 kg 時(shí)間 T 秒

4、 s電流強(qiáng)度 I 安培 A 溫度 開爾文 K 光強(qiáng) J 坎德拉 cd物質(zhì)的量 N 摩爾 mol, , , , , , , , , , , , 稱為量綱指數(shù)。稱為量綱指數(shù)。物物理理量量的的量量綱綱長(zhǎng)度長(zhǎng)度 l 的量綱記的量綱記 L=l質(zhì)量質(zhì)量 m的量綱記的量綱記 M=m時(shí)間時(shí)間 t 的量綱記的量綱記 T=t動(dòng)力學(xué)中動(dòng)力學(xué)中基本量綱基本量綱 L, M, T速度速度 v 的量綱的量綱 v=LT-1導(dǎo)出量綱導(dǎo)出量綱221rmmkf 加速度加速度 a 的量綱的量綱 a=LT-2力力 f 的量綱的量綱 f=LMT-2引力常數(shù)引力常數(shù) k 的量綱的量綱 k對(duì)無(wú)量綱量對(duì)無(wú)量綱量 ， =1(=L0M0T0)=f

5、l2m-2=L3M-1T-24 4、量綱與單位的關(guān)系、量綱與單位的關(guān)系1 1）、量綱和單位都在反映物理量的特征，反映該物理量與基）、量綱和單位都在反映物理量的特征，反映該物理量與基本物理量間的關(guān)系。本物理量間的關(guān)系。2 2）、任何物理量的量綱是唯一的，但單位可以有多個(gè)。）、任何物理量的量綱是唯一的，但單位可以有多個(gè)。)./(),/()/(,1hkmskmsmLT還可以是也可以是但其單位可以是如速度的量綱是3 3）、有的量可以沒(méi)有量綱，但它可能有單位。如角度）、有的量可以沒(méi)有量綱，但它可能有單位。如角度4 4）、物理量的量綱及其相互關(guān)系反映了各量之間的內(nèi)在屬）、物理量的量綱及其相互關(guān)系反映了各量

6、之間的內(nèi)在屬性，這是量綱關(guān)系能用于建立數(shù)學(xué)模型的理論基礎(chǔ)。性，這是量綱關(guān)系能用于建立數(shù)學(xué)模型的理論基礎(chǔ)。量綱齊次法則量綱齊次法則 用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示一個(gè)物理定律時(shí)，等式兩邊用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示一個(gè)物理定律時(shí)，等式兩邊的量綱必須是一致的（或者都是無(wú)量綱量）。的量綱必須是一致的（或者都是無(wú)量綱量）。例如例如, , 牛頓第二定律牛頓第二定律 F=ma, F=MLT-2, ma=MLT-22.10.1 量綱分析建模和量綱分析建模和PiPi定理定理 量綱分析量綱分析是在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué)模型的方法，利是在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué)模型的方法，利用物理量的量綱提供的信息，根據(jù)量綱齊次法則確用物理量的量綱提供的信息，根據(jù)

7、量綱齊次法則確定物理量之間的關(guān)系。定物理量之間的關(guān)系。量綱分析在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用量綱分析在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用假設(shè)假設(shè)任務(wù)任務(wù)量綱齊次原則量綱齊次原則等式兩端的量綱一致等式兩端的量綱一致例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng))1 (321glmt 321glmt lmgm求擺動(dòng)周期求擺動(dòng)周期 t 的表達(dá)式的表達(dá)式設(shè)物理量設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式之間有關(guān)系式 1, 2, 3 為待定系數(shù)，為待定系數(shù)， 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量 2/ 12/ 10321glt(1)的量綱表達(dá)式的量綱表達(dá)式glt2對(duì)比對(duì)比33212TLMT12003321公式中的系數(shù)是無(wú)量綱的，實(shí)際上是與擺角有關(guān)的，當(dāng)擺角不大于15度

8、時(shí)，近似等于2派。對(duì)對(duì) x,y,z的兩組量測(cè)值的兩組量測(cè)值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )2121pppp為什么假設(shè)這種形式為什么假設(shè)這種形式?設(shè)設(shè)p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量綱單的量綱單位縮小位縮小a,b,c倍倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式為的形式為),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp量綱齊量綱齊次原則次原則321glmt 單擺運(yùn)動(dòng)單擺運(yùn)動(dòng)00020100101010

9、04321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt單擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律和物理量單擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律和物理量 t, m, l, g 有關(guān)，這有關(guān)，這個(gè)規(guī)律可以表示為左邊的一般表達(dá)式：個(gè)規(guī)律可以表示為左邊的一般表達(dá)式：0),(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 為待定常數(shù)為待定常數(shù), 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量0)(F齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)向量，說(shuō)明只含一個(gè)向量

10、，說(shuō)明以以t t，m m，l l，g g構(gòu)成的完備無(wú)量綱冪積構(gòu)成的完備無(wú)量綱冪積組只有一個(gè)無(wú)量綱冪積組只有一個(gè)無(wú)量綱冪積。設(shè)設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價(jià)等價(jià), F未定未定.Pi定理定理 (Buckingham)是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律，是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律，X1,X2, Xn 是基本是基本量綱量綱, n m, q1, q2, qm 是與尋求問(wèn)題有關(guān)的物理量。是與尋求問(wèn)題有

11、關(guān)的物理量。,mnijaA量綱矩陣記作量綱矩陣記作rArank若線性齊次方程組線性齊次方程組0Ay有有 m-r 個(gè)基本解，記作個(gè)基本解，記作mjyjssjq1為為m-r 個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量, 且且則則構(gòu)成一個(gè)完構(gòu)成一個(gè)完備無(wú)量綱組。備無(wú)量綱組。由單擺運(yùn)動(dòng)求周期的方法我們知由單擺運(yùn)動(dòng)求周期的方法我們知道方程道方程f(q1, q2, , qm) = 0與一個(gè)與一個(gè)無(wú)量綱方程等價(jià)，并且此方程的無(wú)量綱方程等價(jià)，并且此方程的變量是所有由變量是所有由q1, q2, , qm構(gòu)成的構(gòu)成的獨(dú)立的無(wú)量綱積（稱為完備無(wú)量獨(dú)立的無(wú)量綱積（稱為完備無(wú)量綱組）。綱組）。q1, q2, qm量綱可表

12、示為量綱可表示為由由q1, q2, , qm構(gòu)成的無(wú)量綱積與此線性齊次方構(gòu)成的無(wú)量綱積與此線性齊次方程組的解之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以求程組的解之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以求適當(dāng)適當(dāng)?shù)牡囊粋€(gè)完備無(wú)量綱積組的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線性方一個(gè)完備無(wú)量綱積組的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線性方程組的一個(gè)程組的一個(gè)適當(dāng)?shù)倪m當(dāng)?shù)幕A(chǔ)解系?；A(chǔ)解系。)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力波浪對(duì)航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqnia

13、ijij, 2 , 1,1航船速度航船速度v, 船體尺寸船體尺寸l, 浸沒(méi)面積浸沒(méi)面積 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g .mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqfTTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0, 0, 1(321flgslvl 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3個(gè)基本解個(gè)基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r個(gè)基本解個(gè)基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r

14、 個(gè)無(wú)量綱量個(gè)無(wú)量綱量0),(21mqqqf0),(fsvlg量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力波浪對(duì)航船的阻力 F( 1, 2 , 3 ) = 0與與 (g,l, ,v,s,f) = 0 等價(jià)等價(jià)flgslvl得到阻力為得到阻力 f 的顯式表達(dá)式的顯式表達(dá)式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價(jià)等價(jià)221213,),(lsglvglf量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力波浪對(duì)航船的阻力量綱分析法的評(píng)注量綱分析法的評(píng)注 物理量的選取物理量的選取 基本量綱的

15、選取基本量綱的選取 基本解的構(gòu)造基本解的構(gòu)造 結(jié)果的局限性結(jié)果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的中包括哪些物理量是至關(guān)重要的.基本量綱個(gè)數(shù)基本量綱個(gè)數(shù)n; 選哪些基本量綱選哪些基本量綱.有目的地構(gòu)造有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解的基本解. 方法的普適性方法的普適性函數(shù)函數(shù)F和無(wú)量綱量未定和無(wú)量綱量未定.不需要特定的專業(yè)知識(shí)不需要特定的專業(yè)知識(shí).2.10.2 量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用 例例: 航船阻力的物理模擬航船阻力的物理模擬通過(guò)航船模型確定原型船所受阻力通過(guò)航船模型確定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的參數(shù)模型船的參數(shù)(均已知可均已知可控的控的

16、)211211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf111111,gvlsf 原型船的參數(shù)原型船的參數(shù)(f1未知，其它已知未知，其它已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同假如我們諸如海浪拍打巨輪的效應(yīng)，以及潛艇的熱損耗和在水下環(huán)境中受到的阻力，或作用在飛機(jī)機(jī)翼上的風(fēng)力繞有興趣。通常，在實(shí)驗(yàn)室里重復(fù)實(shí)際的現(xiàn)象是不可能的。我們需要在模擬的環(huán)境中研究經(jīng)過(guò)縮減的模型來(lái)精確預(yù)測(cè)物理系統(tǒng)的性能。問(wèn)題是我們?cè)鯓釉趯?shí)驗(yàn)室中調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)比例，從怎樣在實(shí)驗(yàn)室中調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)比例，從而確保對(duì)模型觀測(cè)到的效應(yīng)與實(shí)際

17、的效應(yīng)相互而確保對(duì)模型觀測(cè)到的效應(yīng)與實(shí)際的效應(yīng)相互一致。一致。2211,1gg llvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1只要按一定尺寸比例造模型船，控制只要按一定尺寸比例造模型船，控制速度速度v，使用同一種流體。這樣就可通，使用同一種流體。這樣就可通過(guò)量測(cè)過(guò)量測(cè) f，知道，知道 f1的大小的大小 物理模擬物理模擬221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf如果2.10.2 量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用 例例: 航船阻力的物理模擬航船阻力的物理模擬通過(guò)航船模型確定原型船所受阻力通過(guò)航船模型

18、確定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的參數(shù)模型船的參數(shù)(均已知均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf111111,gvlsf 原型船的參數(shù)原型船的參數(shù)(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同2211,1gg llvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比例造模型船，量測(cè)量測(cè) f，可算出，可算出 f1 物理模擬物理模擬221213,),(lsglvglf211211

19、112111311,),(lslgvglf2.10.3 無(wú)量綱化無(wú)量綱化例：火箭發(fā)射例：火箭發(fā)射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 ),;(gvrtxx m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射火箭。初速星球表面豎直發(fā)射火箭。初速v, 星星球半徑球半徑r, 星球表面重力加速度星球表面重力加速度g.研究火箭高度研究火箭高度 x 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律.t=0 時(shí)時(shí) x=0, 火箭質(zhì)量火箭質(zhì)量m1, 星球質(zhì)量星球質(zhì)量m2牛頓第二定律，萬(wàn)有引力定律牛頓第二定律，萬(wàn)有引力定律)0( xgx grkm223個(gè)獨(dú)立參數(shù)個(gè)獨(dú)立參數(shù)用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)用

20、無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2變量變量 x,t 和獨(dú)立參數(shù)和獨(dú)立參數(shù) r,v,g 的的量綱量綱用用參數(shù)參數(shù)r,v,g的組合的組合, ,分別分別構(gòu)造與構(gòu)造與x,t具有相同具有相同量綱量綱的的xc, tc （特征尺度）（特征尺度）無(wú)量綱變量無(wú)量綱變量tx ,vrtrxcc/,如),;(gvrtxx 利用新變量利用新變量, tx將被簡(jiǎn)化將被簡(jiǎn)化cctttxxx,令令 xc, tc的不同構(gòu)造的不同構(gòu)造vrtrxcc/,1）令cctttxxx,xrvt dxdrvxxvt dxdvx 2222),;(gvrtxx );(txx 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量

21、rvttrxx/,/1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx 用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)的不同簡(jiǎn)化結(jié)果的不同簡(jiǎn)化結(jié)果),;(gvrtxx ,)(22rxgrx vxx)0(, 0)0(gvtgvxcc/,/23）令),;(gvrtxx 1) 0 (, 0) 0 (,) 1(122xxrgvxx );(txx 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量),;(gvrtxx grtrxcc/,2）令rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 );(txx 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù))/(80008 . 91063703

22、smrg1) 2) 3) 的共同點(diǎn)的共同點(diǎn)只含只含1個(gè)參數(shù)個(gè)參數(shù)無(wú)量綱量無(wú)量綱量 );(txx 解解1) 2) 3) 的重要差別的重要差別rgv2考察無(wú)量綱量考察無(wú)量綱量v1在在1) 2) 3) 中能否忽略以中能否忽略以 為因子的項(xiàng)？為因子的項(xiàng)？1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx 1)忽略忽略 項(xiàng)項(xiàng)無(wú)解無(wú)解x不能忽略不能忽略 項(xiàng)項(xiàng)1)0(, 0)0(, 0) 1(12xxx無(wú)量綱無(wú)量綱化方法化方法tttx2)(21) 0(, 0) 0(, 1xxx 0)0(, 0)0(,) 1(12xxxx rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 2)1) 0(, 0) 0(,) 1(

23、122xxrgvxx 3)忽略忽略 項(xiàng)項(xiàng)0)(tx不能忽略不能忽略 項(xiàng)項(xiàng)忽略忽略 項(xiàng)項(xiàng)0)(tx1) 2) 3) 的重要差別的重要差別無(wú)量綱無(wú)量綱化方法化方法vxxgx)0(0)0( ,2)() 32tttxgvtgvxcc/,/2cctttxxx,vtgttx221)(火箭發(fā)射過(guò)程火箭發(fā)射過(guò)程中引力中引力m1g不變不變 即即 x+r rvxxrxgrx)0(, 0)0()(22 原原問(wèn)問(wèn)題題可以忽略可以忽略 項(xiàng)項(xiàng)vtgttx221)(是原問(wèn)題是原問(wèn)題的近似解的近似解1) 2) 3) 的重要差別的重要差別無(wú)量綱化方法無(wú)量綱化方法為什么為什么3)能忽略能忽略 項(xiàng)，得到原問(wèn)題近似解，而項(xiàng)，得到原問(wèn)

24、題近似解，而1) 2)不能不能?vrtrxcc/,1）令）令grtrxcc/,2）令）令gvtgvxcc/,/23）令）令火箭到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間為火箭到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間為v/g, 高度為高度為v2/2g,cctttxxx/,/大體上具有單位尺度大體上具有單位尺度)1(項(xiàng)可以忽略項(xiàng)可以忽略cxx 1,tx)1(項(xiàng)不能忽略項(xiàng)不能忽略無(wú)量綱化方法無(wú)量綱化方法 選擇特征尺度的一般討論見(jiàn)：選擇特征尺度的一般討論見(jiàn)：林家翹著林家翹著自然科學(xué)中確定性問(wèn)題的應(yīng)用數(shù)學(xué)自然科學(xué)中確定性問(wèn)題的應(yīng)用數(shù)學(xué)無(wú)無(wú) 量量 綱綱 化化 無(wú)量綱化無(wú)量綱化是研究物理問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)方法是研究物理問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)方法. 選擇選擇特征尺度特征尺度

25、主要依賴于物理知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)主要依賴于物理知識(shí)和經(jīng)驗(yàn). 恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度可以減少獨(dú)立參數(shù)恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度可以減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)，還可以輔助確定舍棄哪些次要因素個(gè)數(shù)，還可以輔助確定舍棄哪些次要因素.思考題：第思考題：第57頁(yè)第頁(yè)第15、16、18。保持量綱協(xié)調(diào)例1：描述單擺運(yùn)動(dòng)的周期 問(wèn)題：質(zhì)量為m的小球系在長(zhǎng)度 為 l的線的一端, 鉛垂懸掛。小 球稍稍偏離平衡位置后將在重 力的作用下做往復(fù)的周期運(yùn)動(dòng)。 分析小球擺動(dòng)周期的規(guī)律。 xlm假設(shè)： 1. 忽略空氣阻力； 2. 忽略可能的磨擦力； 3. 平面運(yùn)動(dòng)，忽略地球自轉(zhuǎn)； 4. 忽略擺線的質(zhì)量和變形。一：量綱分析法實(shí)例一：量綱分析法實(shí)例分析建模 1

26、0. 列出有關(guān)的物理量 運(yùn)動(dòng)周期 t，擺線長(zhǎng) l，擺球質(zhì)量 m，重力加速度 g，振幅 . 20. 寫出量綱 t=T，l=L，m=M，g=LT-2，=1. 30. 寫出規(guī)律 F(t, l, m, g, )= 0. 40. 寫出規(guī)律中加項(xiàng) 的形式 =t 1 l 2 m 3 g 4 5 50. 計(jì)算 的量綱 = T1L2M3( LT-2)4 = T1-24L2 + 4M 3 60. 應(yīng)用量綱齊次原理 由 = 1, 可得關(guān)于i (i 1, , 5)的方程組 1 - 24 = 0 2 + 4 = 0 3 = 0 5 任意 70. 解方程組解空間的維數(shù)是二維。對(duì)自由變量(4， 5)選取基底(1, 0)和(

27、0, 1)。關(guān)于 1, 2, 3 求解方程組可得基礎(chǔ)解系10000,0101254321 80. 求 將方程的解代入加項(xiàng) 的表達(dá)式，可得 1 = t2 l-1 g = t2 g / l ， 2 = . 90. 建模 單擺運(yùn)動(dòng)的規(guī)律應(yīng)為 f (1, 2) = 0， 解出 1 可得 1 = k1(2) ，即 t2 g / l = k1() ，glkt/)( 100. 檢驗(yàn) 周期與 質(zhì)量 m m=390g m=237g l = 276cm 3.327s 3.350s l = 226cm 3.058s 3.044s 周期與振幅 (l=276cm, m=390g) (0) 8.34 13.18 18.1

28、7 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62 k() 6.35 6.35 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524 150 時(shí), k( ) 2 。 k() 與 有關(guān)。 1. 模型與量綱 模型描述的是實(shí)際問(wèn)題的內(nèi)蘊(yùn)的特征。 量綱有賴于基本量的選擇，是外加的有關(guān)量的度量手段。 模型所描述的規(guī)律應(yīng)該獨(dú)立于量綱的影響 機(jī)理模型的深入探討應(yīng)該排除量綱的影響 因此機(jī)理模型需要無(wú)量綱化。使用無(wú)量綱量來(lái)描述客觀規(guī)律。二. 模型的無(wú)量綱化 2. 模型無(wú)量綱化舉例 例1. 單擺的運(yùn)動(dòng)：建模描述單擺運(yùn)動(dòng)的規(guī)律 假設(shè)：同前。 變量、參量：同前。 坐標(biāo)系: (x，y)，(

29、r, ) 平衡關(guān)系： 受力物體運(yùn)動(dòng)的加速度與其質(zhì)量的乘積等于它所受的外力。 外力：重力 mg，張力 T。 )cos1 (,sinlylx 模型 注意到擺球的坐標(biāo)的表達(dá)式，則有 第一個(gè)方程描述了擺球沿?cái)[弧的切線方向運(yùn)動(dòng)的情況，是量綱齊次的。 對(duì)它進(jìn)行無(wú)量綱化。 mgTdtydmTdtxdmcos,sin2222.cos)(,0sin222mgdtdmlTmgdtdml 變量的無(wú)量綱化 令 稱之為無(wú)量綱時(shí)間 代入模型可得 選擇變換因子為 則有 10，tw0)(sin)(2220gddlwlgw 00sin22dd 無(wú)量綱模型的分析 1. 換算因子 w0:令T0為單擺的周期，則 w0 為角頻率 以2為時(shí)間單位時(shí)擺動(dòng)的頻率數(shù)。 2. 特征時(shí)間 tc, 稱tc=1/w0=T0/2 為特征時(shí)間。 以2為時(shí)間單位時(shí)，擺動(dòng)一次所需的時(shí)間 3.無(wú)量綱時(shí)間 = t/tc。是以特征時(shí)間為單位的時(shí)間計(jì)量。 0022wglT002Tw 例2. 拋射問(wèn)題：從地球表面以速度 v 豎直向上發(fā)射火箭。討論火箭發(fā)射的高度隨時(shí)間變化的規(guī)律。假設(shè)： 1. 地球