1、.3.1 圓(2)【要點(diǎn)預(yù)習(xí)】1. 確定圓的條件 的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.2. 三角形的外心經(jīng)過(guò)三角形各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做 ， 叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做 . 三角形的外心是三角形 的交點(diǎn).【課前熱身】1. 下列條件可以確定一個(gè)圓的是（ ）A. 已知圓心 B. 已知半徑 C. 已知三個(gè)點(diǎn) D. 已知直徑答案：D2. 三角形的外心是三角形的三條（ ）A. 角平分線的交點(diǎn) B. 中線的交點(diǎn) C. 高的交點(diǎn) D. 中垂線的交點(diǎn)答案：D3. 經(jīng)過(guò)M、N兩點(diǎn)的圓有 個(gè)，它的圓心在 .答案：無(wú)數(shù) 線段MN的垂直平分線上4. 過(guò)任意四邊形 ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn)能畫(huà)圓的個(gè)數(shù)最多為 個(gè).答案：4【講練互動(dòng)】【例1

2、】三角形的外心具有的性質(zhì)是（ ）A. 到三邊的距離相等 B. 到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等C. 外心一定在三角形外 D. 外心一定在三角形內(nèi)【解析】由于三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，而“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”，因此三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.【答案】B【綠色通道】銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)處，鈍角三角形的外心在三角形外. 任意三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.【變式訓(xùn)練】1. 銳角ABC的A逐漸增大時(shí)，它的外心逐漸向 邊移動(dòng)，當(dāng)A增大到90°時(shí)，外心在 處.【答案】BC BC邊的中點(diǎn)【例2】某地出土一個(gè)明代殘破圓形

3、瓷盤，為了復(fù)制該瓷盤，需要確定其圓心和半徑. 請(qǐng)?jiān)趫D3中用直尺和圓規(guī)找出瓷盤的圓心. (不要求寫(xiě)作法、證明和討論，但要保留作圖痕跡) 【分析】要找出圓心的關(guān)鍵是在圓弧上任取三點(diǎn)，作其連線段的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心.【解】如圖，O即為所示圖形.【綠色通道】確定一個(gè)圓需要兩個(gè)要素：圓心的位置和半徑的大小. 因此要將一個(gè)殘缺的圓補(bǔ)完整，就轉(zhuǎn)化為確定圓心的位置. 當(dāng)然，確定圓心位置的方法并不局限于上述一種.【變式訓(xùn)練】2. 如圖， EF所在的直線垂直平分線段AB，利用這樣的工具，最少使用 次，就可找到圓形工件的圓心.【答案】2【例3】(1) 已知一個(gè)矩形ABCD，能否畫(huà)出一個(gè)圓，使它的四個(gè)頂點(diǎn)都在

4、同一個(gè)圓上？試一試(2) 已知一個(gè)等腰梯形ABCD，能否畫(huà)出一個(gè)圓，使它的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上？試一試.(3) 已知一個(gè)平行四邊形ABCD，能否畫(huà)出一個(gè)圓，使它的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上？【分析】先分別過(guò)各類四邊形ABCD中的三個(gè)頂點(diǎn)如A、B、C畫(huà)一個(gè)圓，再觀察另一個(gè)頂點(diǎn)D是否在圓上即可.【解】如圖1、2、3所示，發(fā)現(xiàn)矩形、等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，而平行四邊形則不在. 圖1 圖2 圖3 圖4【變式訓(xùn)練】3. (1) 已知四邊形ABCD中，B+D=180°，能否畫(huà)出一個(gè)圓，使它的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上？(2) 對(duì)于任意四邊形ABCD要畫(huà)出一個(gè)圓，使它的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，

5、請(qǐng)結(jié)合例3和變式訓(xùn)練中的幾個(gè)畫(huà)圖思考，你能領(lǐng)悟到什么？【解】(1) 如上圖4所示，它的四邊形頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.(2) 對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.【綠色通道】對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.【同步測(cè)控】基礎(chǔ)自測(cè)1. 下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓 B. 兩個(gè)點(diǎn)可以確定兩個(gè)圓 C. 三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓 D. 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓2. 鈍角三角形的外心在（ ）A. 三角形內(nèi) B. 三角形外 C. 三角形的邊上 D. 上述三種情況都有可能3. 下列命題中，正確的是（ ）A. 三角形的外心是三角形的三條高線的交點(diǎn) B. 等腰三角形的外心一定在它的

6、內(nèi)部 C. 任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)外接圓 D. 任何一個(gè)四邊形都有一個(gè)外接圓4. 如果一個(gè)三角形的外心在它的一條邊上，則此三角形必是（ ）A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形5. 寫(xiě)出如圖的一個(gè)O的內(nèi)接三角形 .6. 若平面上A，B，C三點(diǎn)能夠確定一個(gè)圓，那么這三個(gè)點(diǎn)所滿足的條件是 .7. 直角三角形的外接圓的半徑為4cm，則此三角形的斜邊長(zhǎng)為 .8. 直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為和l，那么它的外接圓的直徑是 .9.如圖，A，B，C表示三個(gè)小區(qū)，現(xiàn)在要建一個(gè)供水站，使它到這三個(gè)小區(qū)的距離相等.問(wèn)這個(gè)供水站應(yīng)建在何處? (要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法

7、)10. 如圖，已知ABC，用直尺和圓規(guī)作ABC的外接圓.（要求保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法） 能力提升11. 等邊三角形的外心在它的（ ） A. 外部 B. 內(nèi)部 C. 邊上 D. 頂點(diǎn)處 12.一個(gè)點(diǎn)到圓的最大距離為11cm，最小距離為5cm，則圓的半徑為（ ）A. 16cm或6cm B. 3cm或8cm C. 3cm D. 8cm13. 在RtABC中，AB=6，BC=8，那么這個(gè)三角形的外接圓直徑是（ ）A. 5 B.10 C.5 或 4 D. 10或814. 若矩形的兩條鄰邊分別為6和8，則經(jīng)過(guò)這個(gè)矩形四個(gè)頂點(diǎn)的圓的半徑為 .ABC15. 如圖，一長(zhǎng)度為8m的梯子AB的頂點(diǎn)A向點(diǎn)C滑動(dòng)過(guò)程

8、中，梯子的兩端A，B與墻的底端C構(gòu)成的三角形的外心與點(diǎn)C的距離是否變化?若發(fā)生變化，說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，求出其長(zhǎng)度.16. 在平面內(nèi)已知有不重合的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，它們一共可以確定幾個(gè)圓？創(chuàng)新應(yīng)用17. 已知圓上兩點(diǎn)A，B（如圖），用直尺和圓規(guī)求作以AB為一腰的圓內(nèi)接等腰三角形，這樣的三角形能作幾個(gè)？若作以AB為一邊的圓內(nèi)接等腰三角形，能作幾個(gè)？參考答案基礎(chǔ)自測(cè)1. 下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓 B. 兩個(gè)點(diǎn)可以確定兩個(gè)圓 C. 三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓 D. 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓答案：D2. 鈍角三角形的外心在（ ）A. 三角形內(nèi) B. 三角形外 C. 三角

9、形的邊上 D. 上述三種情況都有可能答案：B3. 下列命題中，正確的是（ ）A. 三角形的外心是三角形的三條高線的交點(diǎn) B. 等腰三角形的外心一定在它的內(nèi)部 C. 任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)外接圓 D. 任何一個(gè)四邊形都有一個(gè)外接圓答案：C4. 如果一個(gè)三角形的外心在它的一條邊上，則此三角形必是（ ）A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形答案：B5. 寫(xiě)出如圖的一個(gè)O的內(nèi)接三角形 .答案：ABC或BCD6. 若平面上A，B，C三點(diǎn)能夠確定一個(gè)圓，那么這三個(gè)點(diǎn)所滿足的條件是 .答案：A，B，C在同一直線上 7. 直角三角形的外接圓的半徑為4cm，則此三角形的斜邊長(zhǎng)

10、為 .答案：8cm8. 直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為和l，那么它的外接圓的直徑是 .答案：29.如圖，A，B，C表示三個(gè)小區(qū)，現(xiàn)在要建一個(gè)供水站，使它到這三個(gè)小區(qū)的距離相等.問(wèn)這個(gè)供水站應(yīng)建在何處? (要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)分析：到線段兩端距離相等的點(diǎn)必在線段的垂直平分線上，因此只要作出線段AB，BC的垂直平分線，即可得水站的位置.解：如圖.10. 如圖，已知ABC，用直尺和圓規(guī)作ABC的外接圓.（要求保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法） 解：如圖.能力提升11. 等邊三角形的外心在它的（ ） A. 外部 B. 內(nèi)部 C. 邊上 D. 頂點(diǎn)處 答案：B12.一個(gè)點(diǎn)到圓的最大距離為11cm，

11、最小距離為5cm，則圓的半徑為（ ）A. 16cm或6cm B. 3cm或8cm C. 3cm D. 8cm解析：當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在圓外時(shí)，直徑長(zhǎng)為11-5=6cm；當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，直徑長(zhǎng)為11+5=16cm.答案：A13. 在RtABC中，AB=6，BC=8，那么這個(gè)三角形的外接圓直徑是（ ）A. 5 B.10 C.5 或 4 D. 10或8解析：當(dāng)BC為斜邊時(shí)，直徑長(zhǎng)為8；當(dāng)AC為斜邊時(shí)，直徑長(zhǎng)為=10.答案：D14. 若矩形的兩條鄰邊分別為6和8，則經(jīng)過(guò)這個(gè)矩形四個(gè)頂點(diǎn)的圓的半徑為 .ABC解析：經(jīng)過(guò)矩形四個(gè)頂點(diǎn)的圓的直徑即為矩形的對(duì)角線的長(zhǎng).答案：515. 如圖，一長(zhǎng)度為8m的梯子AB的頂點(diǎn)

12、A向點(diǎn)C滑動(dòng)過(guò)程中，梯子的兩端A，B與墻的底端C構(gòu)成的三角形的外心與點(diǎn)C的距離是否變化?若發(fā)生變化，說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，求出其長(zhǎng)度.解：C=Rt，ABC的外心是斜邊AB的中點(diǎn).外心到C點(diǎn)的距離=AB=4m，即三角形的外心與點(diǎn)C的距離不變，始終為4m. 16. 在平面內(nèi)已知有不重合的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，它們一共可以確定幾個(gè)圓？分析：對(duì)這四個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.解：(1) 若A，B，C三點(diǎn)共線，D在它們所在的直線外，可作三個(gè)圓；(2) 設(shè)A，B，C，D四點(diǎn)共線，此時(shí)不能作圓；(3) 設(shè)四個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不共線，則可作四個(gè)圓.創(chuàng)新應(yīng)用17. 已知圓上兩點(diǎn)A，B（如圖），用直尺和圓規(guī)求作以

13、AB為一腰的圓內(nèi)接等腰三角形，這樣的三角形能作幾個(gè)？若作以AB為一邊的圓內(nèi)接等腰三角形，能作幾個(gè)？分析：設(shè)ABC為所求的等腰三角形.(1) 以AB為腰：當(dāng)AB=AC時(shí)，點(diǎn)C1在以A為圓心，AB為半徑的圓與已知圓的交點(diǎn)處；當(dāng)BA=BC時(shí)，同理點(diǎn)C也能作一個(gè).即共能作2個(gè).(2) 以AB為底：點(diǎn)C必在AB的垂直平分線與已知圓的交點(diǎn)處，即共能作2個(gè).解：以AB腰的等腰三角形能作2個(gè)；以AB為一邊的等腰三角形能作4個(gè).3.2 圓的軸對(duì)稱性(1)【要點(diǎn)預(yù)習(xí)】1. 圓的軸對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，每一條 所在的 都是對(duì)稱軸.2. 垂徑定理垂直于弦的直徑 這條弦，并且平分弦 .3. 弦心距的概念圓心到圓的一條弦

14、的 叫做弦心距.【課前熱身】1. 圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有（ ）A一條 B 兩條 C一條 D無(wú)數(shù)條 答案：D2. 下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 直徑是圓的對(duì)稱軸 B. 經(jīng)過(guò)圓心的直線是圓的對(duì)稱軸C. 與圓相交的直線是圓的對(duì)稱軸 D. 與半徑垂直的直線是圓的對(duì)稱軸答案：B3. 如果AB為O的直徑，弦CDAB，垂足為E(如圖)，那么下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ） 圖3PABOA. CEDE B. C. BACBAD D. ACAD答案：D4.如圖，的直徑為26cm，弦長(zhǎng)為24cm，則點(diǎn)到的距離為 答案：5cm【講練互動(dòng)】【例1】已知如圖用直尺和圓規(guī)求作這條弧的四等分點(diǎn)【分析】先作的中點(diǎn)，由垂徑定理聯(lián)想

15、到，只要作垂直于弦AB的直徑，即作線段AB的中垂線，與的交點(diǎn)即為的中點(diǎn). 同理再作和的中點(diǎn).【解】如上圖所示.【作法】(1) 連結(jié)AB，作AB的垂直平分線GH，交于C.(2) 連結(jié)AC，作AC的垂直平分線MN，交于D.(3) 連結(jié)BC，作BC的垂直平分線PQ，交于E.點(diǎn)C、D、E就是所求的的三等分點(diǎn).【綠色通道】作弦的垂直平分線即可作出弦所對(duì)弧的中點(diǎn).【變式訓(xùn)練】1. 如圖，點(diǎn)P在O內(nèi)，過(guò)P點(diǎn)作一條弦AB，使弦AB是所有經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的弦中最短的弦，并作出弦AB所對(duì)的優(yōu)弧的中點(diǎn).【作法】如上圖所示.(1) 連結(jié)OP，過(guò)P作OP的垂線，交O于A、B兩點(diǎn).(2) 延PO交O于C.AB就是所求的弦，點(diǎn)C就

16、是弦AB所對(duì)的優(yōu)弧的中點(diǎn).【例2】如圖，OCD為等腰三角形，底邊CD交O于A、B兩點(diǎn). 求證：AC=BD.【分析】怎樣證AC=BD？由于OCD是等腰三角形，作OECD于E后，由等腰三角形“三線合一”得CE=DE，又根據(jù)垂徑定理得E為弦AB的中點(diǎn)，兩者相關(guān)減即可.【解】作OECD于E. 則由垂徑定理，得AE=BE.OCD為等腰三角形，CE=DE. AC=BD.【綠色通道】利用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，作出弦心距是一條常規(guī)輔助線，應(yīng)予以重視. 學(xué)生用OACOBD來(lái)證時(shí)，注意出現(xiàn)(SSA)的錯(cuò)誤.【變式訓(xùn)練】2. 如例2圖，在O中，AB為O的弦，C、D是直線AB上兩點(diǎn)，且ACBD求證：OCD為等腰三

17、角形.【解】方法一：用垂徑定理類似于例2.方法二：用全等三角形.連結(jié)OA、OB，則OA=OB，OAB=OBA，即OAC=OBD.又AC=BD，OACOBD，OC=OD，即OCD為等腰三角形.【例3】如圖，在O中，CD是直徑，AB是弦，ABCD于M，CD=15 cm，OM：OC=3：5，求弦AB的長(zhǎng). 【分析】這是應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算的一個(gè)基礎(chǔ)題. 先求出OM的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得AM的長(zhǎng)，再由垂徑定理得AB=2AM.【解】連結(jié)OA. 則由垂徑定理，得AM=BM.CD=15 cm，OC=7.5cm，又OM：OC=3：5，OM=4.5cm.在RtAOM中，由勾股定理，得AM=cm，即AB=12c

18、m.【綠色通道】圓中與半徑、弦、弦心距有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，常用垂徑定理構(gòu)造直角三角形（三邊長(zhǎng)為弦心距、弦長(zhǎng)的一半、半徑）解決.【變式訓(xùn)練】3. 如圖，AB是O的直徑，BC是弦，ODBC于E，交于D(1) 請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)不同類型的正確結(jié)論；(2) 若BC=8，ED2，求O的半徑. 【解】(1) 如BE=CE，BED=90°，BOD是等腰三角形等等.(2) ODBC，BC=8，BE=4.在RtOBE中，由勾股定理得OB2=BE2+OE2，r2=42+(r-2)2，解得r=5. 【同步測(cè)控】基礎(chǔ)自測(cè)1.下列圖形中對(duì)稱軸最多的是（ ）A圓B菱形C正三角形 D正方形2. 如圖1，在O中，直徑MN垂直于

19、弦AB，垂足為C，下面結(jié)論中錯(cuò)誤是（ ） 圖1A. AB=BC B. C. D. OC=CN3. 在直徑為10cm的O中，有長(zhǎng)為5cm 的弦AB， 則O到AB的距離等于（ ）EA. 5cm B. 5cm C.cm D. cm4.如圖2，AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為E，若AB=20，CD=16，則線段OE的長(zhǎng)為（ ）A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 圖2 圖3 圖45. 在半徑為 4cm 的圓中，垂直平分一條半徑的弦長(zhǎng)等于（ ）A. 3cm B. 2cm C. 4cm D. 8cm6. 已知O的半徑為5 , 弦AB的長(zhǎng)也是5，則AOB的度數(shù)是 .7. 如圖3，AB是O的直徑，弦CD

20、與AB相交于E，若 ，則CE=DE. (只需填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件)8. 如圖4，OA是O的半徑，弦CDOA于點(diǎn)P，已知OC=5，OP=3，則弦CD=_.9. 在半徑為5cm的O中，弦AB的長(zhǎng)為cm，計(jì)算：10. 如圖，兩個(gè)同心圓的圓心為O，大圓的弦AB交小圓于C、D，求證：AC=BD. 圖5E能力提升11. 過(guò)O內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為6cm ，最短弦長(zhǎng)為4cm ，則OM的長(zhǎng)為（ ） A. cm B. cm C. 2cm D. 3cm12. 如圖，O的直徑為10cm，弦AB為8cm，P是弦AB上一點(diǎn)，若OP的長(zhǎng)是整數(shù)，則滿足條件的點(diǎn)P有（ ）A. 2 個(gè) B. 3 個(gè) C. 4 個(gè) D. 5

21、個(gè)13. 圓的半徑為13cm，兩弦ABCD，AB=24cm，CD=10cm，則兩弦AB,CD的距離是（ ）A. 7cm B. 17cm C. D. 7cm或17cm解析：分弦AB和CD在圓心O的同側(cè)和兩側(cè)兩種情況進(jìn)行討論.答案：D14. 在直徑為1米的圓柱形油槽內(nèi)裝人一些油后，截面如圖所示，若油面寬AB=0.6米，則油的最大深度為_(kāi)米.15. 如圖，O是ABC的外接圓，作OEAC于E，ODAB于D，連結(jié)DE，你認(rèn)為DE與BC有什么關(guān)系?寫(xiě)出你的結(jié)論和理由16. 如圖，AB，CD是O的弦，A=C. 求證：AB=CD.創(chuàng)新應(yīng)用17. 如圖，兩條公路EF和PQ在點(diǎn)O處交匯，QOF=30°.

22、 在點(diǎn)A處有一棟居民樓，AO=200m，如果公路上的汽車行駛時(shí)，周圍200m以內(nèi)會(huì)受噪音影響，那么一汽車在公路EF上沿OF的方向行駛時(shí)，居民樓是否會(huì)受到影響？如果這輛汽車的速度是每小時(shí)72km，居民樓受影響的時(shí)間約為多少s？(精確到0.1s)參考答案基礎(chǔ)自測(cè)1.下列圖形中對(duì)稱軸最多的是（ ）A圓B菱形C正三角形 D正方形答案：A2. 如圖，在O中，直徑MN垂直于弦AB，垂足為C，下面結(jié)論中錯(cuò)誤是（ ）A. AB=BC B. C. D. OC=CN答案：D3. 在直徑為10cm的O中，有長(zhǎng)為5cm 的弦AB， 則O到AB的距離等于（ ）EA. 5cm B. 5cm C.cm D. cm答案：D4

23、.如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為E，若AB=20，CD=16，則線段OE的長(zhǎng)為（ ）A. 10 B. 8 C. 6 D. 4答案：C5. 在半徑為 4cm 的圓中，垂直平分一條半徑的弦長(zhǎng)等于（ ）A. 3cm B. 2cm C. 4cm D. 8cm答案：C6. 已知O的半徑為5 , 弦AB的長(zhǎng)也是5，則AOB的度數(shù)是 .答案：60°7. 如圖，AB是O的直徑，弦CD與AB相交于E，若 ，則CE=DE. (只需填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件)答案：ABCD8. 如圖，OA是O的半徑，弦CDOA于點(diǎn)P，已知OC=5，OP=3，則弦CD=_.答案：89. 在半徑為5cm的O中，弦AB

24、的長(zhǎng)為cm，計(jì)算：(l) 點(diǎn)到AB的距離；(2) AOB的度數(shù)解：(1) 作OCAB于C，連結(jié)OA.AB=cm，AC=cm，OC=cm.(2) OCAB，AC=OC，AOC=45°，即AOB=90°.10. 如圖，兩個(gè)同心圓的圓心為O，大圓的弦AB交小圓于C、D，求證：AC=BD.E證明：作OEAB于E，則AE=BE，CE=DE，AC=BD.能力提升11. 過(guò)O內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為6cm ，最短弦長(zhǎng)為4cm ，則OM的長(zhǎng)為（ ） A. cm B. cm C. 2cm D. 3cm解析：過(guò)M點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦即為直徑，故半徑為3cm；最短的弦即為垂直于OM的弦，根據(jù)勾股定理，得OM

25、=cm. 答案：B12. 如圖，O的直徑為10cm，弦AB為8cm，P是弦AB上一點(diǎn)，若OP的長(zhǎng)是整數(shù)，則滿足條件的點(diǎn)P有（ ）A. 2 個(gè) B. 3 個(gè) C. 4 個(gè) D. 5 個(gè)解析：OP最短為弦AB的弦心距，最長(zhǎng)為圓的半徑，故3OP5，而滿足OP=3的點(diǎn)P只有1個(gè)，OP=4或5的點(diǎn)P各有2個(gè).答案：D13. 圓的半徑為13cm，兩弦ABCD，AB=24cm，CD=10cm，則兩弦AB,CD的距離是（ ）A. 7cm B. 17cm C. D. 7cm或17cm解析：分弦AB和CD在圓心O的同側(cè)和兩側(cè)兩種情況進(jìn)行討論.答案：D14. 在直徑為1米的圓柱形油槽內(nèi)裝人一些油后，截面如圖所示，若

26、油面寬AB=0.6米，則油的最大深度為_(kāi)米.答案：0.115. 如圖，O是ABC的外接圓，作OEAC于E，ODAB于D，連結(jié)DE，你認(rèn)為DE與BC有什么關(guān)系?寫(xiě)出你的結(jié)論和理由DEBC.證明：ODAB，OEAC，AD=BD，AE=EC，DEBC.16. 如圖，AB，CD是O的弦，A=C. 求證：AB=CD.分析：首先作出兩弦AB，CD的弦心距OE，OF，由垂徑定理得AE=AB，CF=CD，然后利用全等三角形證明AE=CF.證明：作OEAB于E，OFCD于F，則AE=AB，CF=CD.A=C，AEO=CFO=90°，OA=OC，AOECOF，AE=CF，AB=CD.創(chuàng)新應(yīng)用17. 如圖

27、，兩條公路EF和PQ在點(diǎn)O處交匯，QOF=30°. 在點(diǎn)A處有一棟居民樓，AO=200m，如果公路上的汽車行駛時(shí)，周圍200m以內(nèi)會(huì)受噪音影響，那么一汽車在公路EF上沿OF的方向行駛時(shí)，居民樓是否會(huì)受到影響？如果這輛汽車的速度是每小時(shí)72km，居民樓受影響的時(shí)間約為多少s？(精確到0.1s)分析：(1) 要看居民樓是否會(huì)受到噪音影響，只要比較點(diǎn)A到EF的距離與200m的關(guān)系；(2) 要求居民樓受噪音影響的時(shí)間，首先求出受噪音影響的路段. 以A為圓心，200m為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)受噪音的影響，A與EF的交點(diǎn)之間的線段即為受影響的路段，利用垂徑定理與勾股定理即可求出此線段的長(zhǎng)度. 解：(1

28、) 過(guò)點(diǎn)A作ADEF于D.QOF=30°，AD=OA=100m<200m，即居民樓受影響.(2) 以A為圓心，200m為半徑的A與EF交于點(diǎn)O，B，則線段OB為居民樓受影響的路段.在RtAOD中，OD=m.ADEF于D，OB=2AD=m.汽車速度為72km/時(shí)，即20m/s，÷2017.3s.居民樓受噪音影響的時(shí)間約為17.3s.3.2 圓的軸對(duì)稱性(2)【要點(diǎn)預(yù)習(xí)】垂徑定理的逆定理平分弦（不是 ）的直徑 ，并且 弦所對(duì)的弧.【課前熱身】1.如圖1，AB是O的直徑，CD為弦，CDAB于E，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）A.B. 圖1 圖2 圖3 C.D.答案：D 2. 如

29、圖2，AB是O的直徑，CD為弦，若CD=4，則CM= .答案：23.如圖3，AB是O的弦，AC=BC=，則O的半徑長(zhǎng)為 .答案：cm【講練互動(dòng)】OBPA【例1】如圖，已知O半徑為5，弦AB長(zhǎng)為8，點(diǎn)P為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OP，則線段OP的最小長(zhǎng)度是 【解析】根據(jù)“垂線段最短”，當(dāng)OPAB時(shí)線段OP的長(zhǎng)度最小，此時(shí)AP=PB=4，由勾股定理得OP=.【答案】3【綠色通道】經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的弦有無(wú)數(shù)條，其中與該點(diǎn)到圓心O的連線垂直的弦是最短的弦.【變式訓(xùn)練】1. 如例1圖中，AB為O的弦，P在AB上，已知AB=10，OP=5，PA=4，求O的半徑.【解】作OCAB于C. 則AC=BC=5. PA=4

30、，PC=AC-AP=1.在RtOPC中，OC=.在RtBOC中，OB=，即O的半徑為7.【例2】如圖，把一個(gè)矩形紙片ABCD放在一個(gè)圓上（如圖），如果AE=BF，求證：DH=CG.【證明】作ONCD，交AB于M，交CD于N.則EM=FM，HN=GN. AE=BF，AM=BM，即ON平分AB.四邊形ABCD是矩形，ON平分CD，即DN=CN. DH=CG.【綠色通道】證明與弦有關(guān)的線段相等，通常過(guò)圓心作弦的垂線，利用垂徑定理得到相等的線段、相等的弧.【變式訓(xùn)練】2. 如圖，在中，弦EFCD，直徑AB分別交CD、EF于點(diǎn)M、N，且A是的中點(diǎn). 求證：M是弦CD的中點(diǎn). 【證明】AB是直徑，A是的中

31、點(diǎn)，AN=FN，即ABEF.EFCD，ABCD，CM=DM，即M是弦CD的中點(diǎn).【例3】如圖，在一直徑為8m的圓形戲水池中搭有兩座浮橋AB、CD，已知C是的中點(diǎn)，浮橋CD的長(zhǎng)為m，設(shè)AB、CD交于點(diǎn)P.試求APC的度數(shù).【分析】由C是的中點(diǎn)聯(lián)想到連結(jié)OC，直接求APC有困難，能否轉(zhuǎn)化為求OCP？【解】連結(jié)OC，作OFCD于F. C是的中點(diǎn)，OCAB，即CEP=90°.OFCD，CF=CD=m. 又OC=4m，OF=2m=OC. C=30°，即APC=90°-C=60°.【綠色通道】一般求角度，往往將所求角轉(zhuǎn)化到一個(gè)特殊三角形中（多數(shù)是直角三角形）. 在圓

32、中有弧的中點(diǎn)、弦的中點(diǎn)時(shí)常常連結(jié)圓心與中點(diǎn)，得到相等的線段或直角.【變式訓(xùn)練】3. 如圖，底面半徑為5dm的圓柱形油桶橫放在水平地面上，向桶內(nèi)加油后，量得長(zhǎng)方形油面的寬度為8dm. 你能算出油的深度嗎（指油的最深處，即油面到水平地面的距離）？【解】根據(jù)題意應(yīng)有兩種情況：(1) 如圖1，已知AB=8，OB=5，用勾股定理可求得OC=3，故CP=5-3=2dm；(2) 如圖2，已知AB=8，OB=5，用勾股定理可求得OC=3，故CP=5+3=8dm. 圖1 圖2【同步測(cè)控】基礎(chǔ)自測(cè)1.如圖，在O中，AB是直徑，CD是弦，ABCD于M，下列四個(gè)結(jié)論：CMDM ，AC=AD，C=D. 其中成立的有（

33、）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)2. 下列判斷正確的是（ ）A. 平分弦的直線垂直于弦 B. 平分弦的直線也平分弦所對(duì)的兩條弧C. 弦的垂直平分線必平分弦所對(duì)條弧 D. 平分一條弧的直線必平分這條弧所對(duì)的弦3. 已知O中的一條弦AB與直徑CD垂直相交于E，并且CE1，DE=3，那么弦AB的長(zhǎng)等于（ ）A. B. C. 2 D. 44. 如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C, D兩點(diǎn)，AB=10cm，CD=6cm，則AC的長(zhǎng)為 A. 0. 5cm B. 1cm C. 1.5cm D. 2cm5. “兩龍”高速公路是目前我省高速公路隧道和橋梁最多的路段如圖，是一

34、個(gè)單心圓曲隧道的截面，若路面寬為10米，凈高為7米，則此隧道單心圓的半徑是（ ）第8題A. 5 B. C. D. 7第6題第5題第7題6. 如圖，O的直徑CD與弦AB交于點(diǎn)M，添加條件(寫(xiě)出一個(gè)即可)，就可得到D是 的中點(diǎn)7. 如圖所示，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是半圓上一點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，OE 交弦AC于點(diǎn)D若AC = 8cm，DE = 2cm，則OD的長(zhǎng)為 .8.如圖，在半徑為5的O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為M，若OM=4，則CD= 9. 如圖，O的直徑AB平分弦CD，CD =10cm，AP：PB=15求O的半徑 10. 如圖，O中，弦ABCD. 求證：. 能力提升11.若小唐同學(xué)

35、擲出的鉛球在場(chǎng)地上砸出一個(gè)直徑約為 10 cm，深約為2 cm的小坑，則該鉛球的直徑約為（ ）A. 10 cmB. 14.5 cm C. 19.5 cmD. 20 cm12. 若點(diǎn)P是半徑為5的O 內(nèi)一點(diǎn)，且OP=3，在過(guò)點(diǎn)P的所有O的弦中，弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦的條數(shù)為 _條.13. 已知O的半徑為5，弦ABCD，AB=6，CD=8，則梯形ABDC的面積為 .14.在直徑為1 000mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，若油面寬AB=800mm，則油的最大深度為 mm.15. 如圖，已知O的半徑為5，弦AB=8，P是弦AB上一 點(diǎn)，且PB=2，則OP= 16.如圖，O是ABC的外接圓，且AB

36、=AC=13，BC=24，求O的半徑創(chuàng)新應(yīng)用17. 某地有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度為7.2m，拱頂高出水面2.4m，現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過(guò)這里，此貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？參考答案基礎(chǔ)自測(cè)1.如圖，在O中，AB是直徑，CD是弦，ABCD于M，下列四個(gè)結(jié)論：CMDM ，AC=AD，C=D. 其中成立的有（ ）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)答案：D2. 下列判斷正確的是（ ）A. 平分弦的直線垂直于弦 B. 平分弦的直線也平分弦所對(duì)的兩條弧C. 弦的垂直平分線必平分弦所對(duì)條弧 D. 平分一條弧的直線必平分這條弧所對(duì)的弦答案：C3. 已知O中的

37、一條弦AB與直徑CD垂直相交于E，并且CE1，DE=3，那么弦AB的長(zhǎng)等于（ ）A. B. C. 2 D. 4答案：A4. 如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C, D兩點(diǎn)，AB=10cm，CD=6cm，則AC的長(zhǎng)為 A. 0. 5cm B. 1cm C. 1.5cm D. 2cm答案：D5. “兩龍”高速公路是目前我省高速公路隧道和橋梁最多的路段如圖，是一個(gè)單心圓曲隧道的截面，若路面寬為10米，凈高為7米，則此隧道單心圓的半徑是（ ）第8題A. 5 B. C. D. 7答案：B第6題第5題第7題6. 如圖，O的直徑CD與弦AB交于點(diǎn)M，添加條件(寫(xiě)出一個(gè)即可)，就可得到D是

38、 的中點(diǎn)答案：CDAB或AM=BM7. 如圖所示，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是半圓上一點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，OE 交弦AC于點(diǎn)D若AC = 8cm，DE = 2cm，則OD的長(zhǎng)為 .答案：3cm8.如圖，在半徑為5的O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為M，若OM=4，則CD= 答案：69. 如圖，O的直徑AB平分弦CD，CD =10cm，AP：PB=15求O的半徑解：連結(jié)OC. 設(shè)O的半徑為R.AP：PB=15，AP+PB=2R，OP=R.直徑AB平分弦CD，CP=CD=5cm，OPCD.OC2=OP2+CP2，即R2=+52，解得R=cm. 10. 如圖，O中，弦ABCD. 求證：. 證明：作直

39、徑EFCD，ABCD，EFAB. ，. ，.能力提升11.若小唐同學(xué)擲出的鉛球在場(chǎng)地上砸出一個(gè)直徑約為 10 cm，深約為2 cm的小坑，則該鉛球的直徑約為（ ）A. 10 cmB. 14.5 cm C. 19.5 cmD. 20 cm解析：本題實(shí)質(zhì)是已知弦長(zhǎng)為10cm，弓高為2cm，易用勾股定理求得圓的直徑.答案：B12. 若點(diǎn)P是半徑為5的O 內(nèi)一點(diǎn)，且OP=3，在過(guò)點(diǎn)P的所有O的弦中，弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦的條數(shù)為 條.解析：先利用勾股定理求得過(guò)P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為=8，且只此一條；而過(guò)P點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦（直徑）為10，也只此一條；而根據(jù)圓的對(duì)稱性，長(zhǎng)為8的弦有2條.答案：413. 已知O的半徑為5，弦

40、ABCD，AB=6，CD=8，則梯形ABDC的面積為 .解析：本題分AB和CD在圓心O的同側(cè)和兩側(cè)兩種情況討論.答案：7或4914.在直徑為1 000mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，若油面寬AB=800mm，則油的最大深度為 mm.答案：20015. 如圖，已知O的半徑為5，弦AB=8，P是弦AB上一 點(diǎn)，且PB=2，則OP= 解析：連結(jié)OA，作OCAB于C. 在RtAOC中，利用勾股定理求出OC的長(zhǎng)，再在RtOCP中，利用勾股定理求出OP的長(zhǎng).答案：16.如圖，O是ABC的外接圓，且AB=AC=13，BC=24，求O的半徑分析：連結(jié)OA，OB，OC，OA交BC于D. 先設(shè)法證O

41、ABC，這可從OABOAC及等腰三角形的“三線合一”證得，再在RtABD中由勾股定理求出AD的長(zhǎng)，然后在RtBOD中勾股定理求出半徑.解：連結(jié)OA，OB，OC，OA交BC于D.OA=OB=OC，AB=AC，OABOAC，OAB=OAC，OABC，且BD=CD=12.在RtABD中，AD=.在RtBOD中，OB2=BD2+OD2，即R2=122+(R-5)2，解得R=16.9創(chuàng)新應(yīng)用17. 某地有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度為7.2m，拱頂高出水面2.4m，現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過(guò)這里，此貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？分析：設(shè)圓弧的圓心為O，連結(jié)OA，作OCAB，分

42、別交AB和圓弧于D，C，則AD=3.6m，CD=2.4m，由勾股定理可求得半徑；再設(shè)EF=3m，連結(jié)OE，再由勾股定理OP的長(zhǎng)，即得PD的長(zhǎng)，再與2m比較即可.解：設(shè)圓弧的圓心為O，連結(jié)OA，作OCAB，分別交AB和圓弧于D，C，則AD=3.6m，CD=2.4m.OA2=AD2+OD2，R2=3.62+(R-2.4)2，解得R=3.9m.設(shè)EF=3m，連結(jié)OE，則EP=1.5，OP=3.6m.PD=OP-OD=2.1m>2m，能順利通過(guò).3.3圓心角(1)【要點(diǎn)預(yù)習(xí)】1. 圓的旋轉(zhuǎn)不變性和中心對(duì)稱性把圓繞 轉(zhuǎn)動(dòng)任意一個(gè)角度所得的像和原圖形重合. 圓是中心對(duì)稱圖形， 就是它的對(duì)稱中心.2.

43、 圓心角的概念頂點(diǎn)在 的角叫做圓心角.3. 圓心角定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的 相等，所對(duì)的 相等.【課前熱身】1. (蘇州市07)如圖，MN為O的弦，M=50°，則圓心角MON等于（ ）A. 50° B. 55° C. 65° D. 80°答案：D2. 如圖，O中，AOB=COD，則AC= ，= .答案：BD 3. 若等邊ABC內(nèi)接于O，則的度數(shù)是 .答案：120°【講練互動(dòng)】【例1】如圖，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在中作出，使的度數(shù)為45°.【分析】先作90°的圓心角，再作這個(gè)圓心角的角平分線得45°圓

44、心角，從而可得45°的弧.【作法】如圖. (1) 作O的一條半徑OA；(2) 過(guò)O點(diǎn)作OCOA，交O于C點(diǎn)；(3) 作AOC的角平分線OF，交O于B點(diǎn). 就是度數(shù)為45°的弧.【綠色通道】求弧的度數(shù)時(shí)，我們往往通過(guò)圓心角的度數(shù)來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【變式訓(xùn)練】1. 如圖，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在中作出一個(gè)圓內(nèi)接正方形.【作法】如圖.(1) 作O的一條直徑AB.(2) 過(guò)O點(diǎn)作CDAB，CD交O于C點(diǎn)和D點(diǎn).(3) 依次連結(jié)A，D，C，B.四邊形ADBC就是所求的正方形.【例2】如圖，已知AB，CD是O的兩條直徑，弦DEAB. 求證：.【分析】要證，只要證它們所對(duì)的圓心角相等，故連結(jié)OE，只要

45、證BOC=BOE.【證明】連結(jié)OE. OD=OE，D=E.DEAB，BOC=D，BOE=E.BOC=BOE，.【綠色通道】要證明兩條弧相等，可以考慮證它們所對(duì)的圓心角相等. 另外，在學(xué)完后面幾節(jié)內(nèi)容后，本題還有多種證法.【變式訓(xùn)練】2. 如圖，在O中，弦AB=CD. 求證：AC=BD.【證明】AB=CD，OA=OB=OC=OD，AOBCOD，AOB=COD，AOC=BOD，AC=BD.【例3】如圖，以RtABC的直角頂點(diǎn)為圓心，以BA為半徑的圓分別交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E.若C=31°，求的度數(shù).【分析】要證明弧之間的數(shù)量關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為求它們所對(duì)的加以角的角度之間的關(guān)系.【解】連結(jié)BD. 在RtABC中，AOB=90°，C=31°，A=90°-C=59°.又BA=BD，BDA=A=59&#