1、第8章 第8節(jié)一、選擇題1若M、N為兩個(gè)定點(diǎn)且|MN|6，動(dòng)點(diǎn)P滿足·0，則P點(diǎn)的軌跡是()A圓B橢圓C雙曲線 D拋物線答案A解析以MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線MN為x軸建立直角坐標(biāo)系并設(shè)M(3,0)，N(3,0)，P(x，y)，則·(3x，y)·(3x，y)(x29)y20，即x2y29.2(2010·浙江臺(tái)州)在一張矩形紙片上，畫有一個(gè)圓(圓心為O)和一個(gè)定點(diǎn)F(F在圓外)在圓上任取一點(diǎn)M，將紙片折疊使點(diǎn)M與點(diǎn)F重合，得到折痕CD.設(shè)直線CD與直線OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡為()A雙曲線 B橢圓C圓 D拋物線答案A解析由OP交O于M可知|PO|PF|PO|

2、PM|OM|<|OF|(F在圓外)，P點(diǎn)的軌跡為雙曲線，故選A.3已知兩定點(diǎn)A(2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于()A B4C8 D9答案B解析設(shè)P(x，y)，由知有：(x2)2y24(x1)2y2，整理得x24xy20，配方得(x2)2y24，可知圓的面積為4.4已知點(diǎn)F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，動(dòng)點(diǎn)A到F1的距離是2，線段AF2的垂直平分線交AF1于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析依題意得，|PA|PF2|，又|PA|PF1|AF1|2，故|PF1|PF2|2，點(diǎn)P的軌跡為橢圓，方程為1

3、.5平面的斜線AB交于點(diǎn)B，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線l與AB垂直，且交于點(diǎn)C，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是()A一條直線 B一個(gè)圓C一個(gè)橢圓 D雙曲線的一支答案A解析過定點(diǎn)A且與AB垂直的直線l都在過定點(diǎn)A且與AB垂直的平面內(nèi)，直線l與的交點(diǎn)C也是平面、的公共點(diǎn)點(diǎn)C的軌跡是平面、的交線6已知log2x、log2y、2成等差數(shù)列，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(x，y)的軌跡為()答案A解析由log2x，log2y,2成等差數(shù)列得2log2ylog2x2y24x(x>0，y>0)，故選A.7過橢圓1內(nèi)一點(diǎn)R(1,0)作動(dòng)弦MN，則弦MN中點(diǎn)P的軌跡是()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線答案B解析設(shè)M(x1，y

4、1)，N(x2，y2)，P(x，y)，則4x129y1236,4x229y2236，相減得4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，將x1x22x，y1y22y，代入可知軌跡為橢圓8如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持APBD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A線段B1CB線段BC1CBB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段DBC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段答案A解析設(shè)P1、P2為P的軌跡上兩點(diǎn)，則AP1BD1，AP2BD1.AP1AP2A，直線AP1與AP2確定一個(gè)平面，與面BCC1B1交于直線P1P2，且知BD1平面，P1P2BD1，又BD1

5、在平面BCC1B1內(nèi)的射影為BC1，P1P2BC1，而在面BCC1B1內(nèi)只有B1C與BC1垂直，P點(diǎn)的軌跡為B1C.9設(shè)x1、x2R，常數(shù)a>0，定義運(yùn)算“*”，x1x*a)的軌跡是()A圓 B橢圓的一部分C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分答案D解析x1x*a)2，則P(x,2)設(shè)P(x1，y1)，即，消去x得，y124ax1(x10，y10)，故點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分故選D.10(2011·廣東佛山、山東諸城)如圖，有公共左頂點(diǎn)和公共左焦點(diǎn)F的橢圓與的長半軸的長分別為a1和a2，半焦距分別為c1和c2，且橢圓的右頂點(diǎn)為橢圓的中心則下列結(jié)論不正確的是()Aa1c1a2c2

6、Ba1c1>a2c2Ca1c2>a2c1 Da1c2<a2c1答案C解析設(shè)橢圓和的中心分別為O1，O2，公共左頂點(diǎn)為A，如圖，則a1c1|AO1|FO1|AF|，a2c2|AO2|FO2|AF|，故A對(duì)；又a1>a2，c1>c2，a1c1>a2c2，故B對(duì)；由圖知e1>e2，即>，a1c2<a2c1，故D對(duì)，C錯(cuò)二、填空題11F1、F2為橢圓1的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓上任一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F1向F1AF2的外角平分線作垂線，垂足為D，則點(diǎn)D的軌跡方程是_答案x2y24解析延長F1D與F2A交于B，連結(jié)DO，可知|DO|F2B|(|AF1|AF2|)

7、2，動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程為x2y24.12(2010·哈師大附中)已知曲線C1的方程為x21(x0，y0)，圓C2的方程為(x3)2y21，斜率為k(k>0)的直線l與圓C2相切，切點(diǎn)為A，直線l與雙曲線C1相交于點(diǎn)B，|AB|，則直線AB的斜率為_答案解析設(shè)B(a，b)，則由題意可得，解得，則直線AB的方程為yk(x1)，故1，k，或k(舍去)13(2010·浙江杭州質(zhì)檢)已知A，B是圓O：x2y216上兩點(diǎn)，且|AB|6，若以AB為直徑的圓M恰好經(jīng)過點(diǎn)C(1，1)，則圓心M的軌跡方程是_答案(x1)2(y1)29(位于圓x2y216內(nèi)的)解析以AB為直徑的圓過點(diǎn)C，A

8、CBC，M是AB中點(diǎn)，|CM|AB|3，故點(diǎn)M在以C(1，1)為圓心，3為半徑的圓上，方程為(x1)2(y1)29，M為弦AB的中點(diǎn)，M在O內(nèi)，故點(diǎn)M軌跡為圓(x1)2(y1)29位于圓x2y216內(nèi)的部分14(2010·青島一中)如圖，兩條過原點(diǎn)O的直線l1，l2分別與x軸、y軸成30°的角，點(diǎn)P(x1，y1)在直線l1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q(x2，y2)在直線l2上運(yùn)動(dòng)，且線段PQ的長度為2.則動(dòng)點(diǎn)M(x1，x2)的軌跡C的方程為_答案y21解析由已知得直線l1l2，l1：yx，l2：yx，點(diǎn)P(x1，y1)在直線l1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q(x2，y2)在直線l2上運(yùn)動(dòng)，y1x1，y2x2

9、，由|PQ|2得，(x12y12)(x22y22)4，即x124x224x221，動(dòng)點(diǎn)M(x1，x2)的軌跡C的方程為y21.三、解答題15(2010·廣州市質(zhì)檢)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(，0)的距離與點(diǎn)P到定直線l：x2的距離之比為.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)設(shè)M、N是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若·0，求|MN|的最小值解析(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，依題意有，整理得1，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為1.(2)點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，0)M、N是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，可設(shè)M(2，y1)，N(2，y2)(不妨設(shè)y1>y2)·0，

10、(3，y1)·(，y2)0，6y1y20，即y2.由于y1>y2，y1>0，y2<0.|MN|y1y2y122.當(dāng)且僅當(dāng)y1，y2時(shí)，等號(hào)成立故|MN|的最小值為2.點(diǎn)評(píng)直譯法是求軌跡的基本方法，對(duì)于符合圓錐曲線定義的軌跡問題，也常用定義法求解，請(qǐng)?jiān)僮鱿骂}：(2010·陜西寶雞市質(zhì)檢)已知橢圓C1：1(a>b>0)的離心率為，直線l：yx2與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切(1)求橢圓C1的方程；(2)設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)F2，直線l1過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2

11、于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；(3)若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F2，求四邊形ABCD的面積的最小值解析(1)e，e2，2a23b2.直線l：xy20與圓x2y2b2相切，b，b22，a23.橢圓C1的方程是1.(2)|MP|MF2|，動(dòng)點(diǎn)M到定直線l1：x1的距離等于它到定點(diǎn)F2(1,0)的距離，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C2是以l1為準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線點(diǎn)M的軌跡C2的方程為y24x.(3)當(dāng)直線AC的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線AC的斜率為k，A(x1，y1)，C(x2，y2)，則直線AC的方程為yk(x1)聯(lián)立1及yk(x1)得，(23k2)x26k2x3k260，所以

12、x1x2，x1x2.|AC|.由于直線BD的斜率為，用代換上式中的k可得|BD|.因?yàn)锳CBD，所以四邊形ABCD的面積為S|AC|·|BD|，由于(23k2)(2k23)22，所以S，當(dāng)23k22k23，即k±1時(shí)取等號(hào)易知，當(dāng)直線AC的斜率不存在或斜率為零時(shí)，四邊形ABCD的面積S4.綜上可得，四邊形ABCD面積的最小值為.16(2010·浙江金華十校聯(lián)考)已知過點(diǎn)A(4,0)的動(dòng)直線l與拋物線G：x22py(p>0)相交于B、C兩點(diǎn)當(dāng)直線l的斜率是時(shí)，4.(1)求拋物線G的方程；(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍解析(1)設(shè)B(

13、x1，y1)，C(x2，y2)，當(dāng)直線l的斜率是時(shí)，l的方程為y(x4)，即x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y24y1由，及p>0得：y11，y24，p2，則拋物線G的方程為：x24y.(2)設(shè)l：yk(x4)，BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，由得x24kx16k0x02k，y0k(x04)2k24k.線段BC的中垂線方程為y2k24k(x2k)，線段BC的中垂線在y軸上的截距為：b2k24k22(k1)2，對(duì)于方程，由16k264k>0得：k>0或k<4.b(2，)點(diǎn)評(píng)解析幾何與向量，導(dǎo)數(shù)結(jié)合是可能的新命題方向，其本質(zhì)仍是解析幾何問題，請(qǐng)?jiān)倬毩?xí)下題：(201

14、0·湖南師大附中)如圖，拋物線的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，過點(diǎn)M(0，2)作直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足(4，12)(1)求直線l和拋物線的方程；(2)當(dāng)拋物線上動(dòng)點(diǎn)P在點(diǎn)A和B之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求ABP面積的最大值解析(1)據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為ykx2，拋物線的方程為x22py(p>0)聯(lián)立得，x22pkx4p0.設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.所以(x1x2，y1y2)(2pk，2pk24)因?yàn)?4，12)，所以，解得.故直線l的方程為y2x2，拋物線的方程為x22y.(2)根據(jù)題意，當(dāng)拋物

15、線過點(diǎn)P的切線與l平行時(shí)，ABP的面積最大設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，因?yàn)閥x，則x02，解得x02，又y0x022，所以P(2，2)此時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離d.由，得x24x40.則x1x24，x1·x24，所以|AB|··4.故ABP面積的最大值為|AB|·d×4×8.17(2010·遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué))如圖，在RtDEF中，DEF90°，|2，|，橢圓C：1以E、F為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)K滿足，問是否存在不平行于EF的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N且|，若存在，求出直線l的斜率的取值范圍，若不存在，說明理由解析(1)由已知E(1,0)，F(xiàn)(1,0)，設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，令xDc可得yD，|，|2，|.，解得橢