1、對(duì)數(shù)學(xué)的再理解（3）主持人：各位老師，大家好！江蘇省高中數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)課程模塊1-2對(duì)數(shù)學(xué)的再理解，數(shù)學(xué)是一種文化，將請(qǐng)?zhí)K教版高中數(shù)學(xué)教材編寫組成員、江蘇省揚(yáng)州中學(xué)特級(jí)教師張乃達(dá)老師給我們予以解讀。今天是第2課時(shí)，張老師將就以下四個(gè)問(wèn)題和我們展開(kāi)討論：數(shù)學(xué)文化教學(xué)中應(yīng)該注意哪些問(wèn)題？怎樣用數(shù)學(xué)文化教育理念指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)？怎樣認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)文化的關(guān)系？怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的教學(xué)設(shè)計(jì)？首先我們來(lái)討論第一個(gè)問(wèn)題：數(shù)學(xué)文化教學(xué)中應(yīng)該注意哪些問(wèn)題？張老師能不能請(qǐng)你談一談?，F(xiàn)在對(duì)于數(shù)學(xué)文化的問(wèn)題，是大家討論的熱門話題。很多老師都在進(jìn)行這方面的探索，這個(gè)精神是很值得嘉獎(jiǎng)的。但是也存在著一些問(wèn)題，這些問(wèn)題主要的一

2、個(gè)就是泛化，就是文化是個(gè)框，什么都可以裝；第二個(gè)把數(shù)學(xué)文化教育等同于數(shù)學(xué)史教育，認(rèn)為數(shù)學(xué)文化就將數(shù)學(xué)史；第三點(diǎn)呢把數(shù)學(xué)教育等同于科普教育，那就是只要通俗有趣，變成講數(shù)學(xué)故事；還有下面的問(wèn)題，更突出的，把數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)割裂開(kāi)來(lái)，不講數(shù)學(xué)了。這都是我們現(xiàn)在目前數(shù)學(xué)文化教學(xué)當(dāng)中的一些誤區(qū)，對(duì)吧？那么張老師，您認(rèn)為應(yīng)該怎樣用數(shù)學(xué)文化教育理念來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)呢？剛才講的這種誤區(qū)當(dāng)中，最本質(zhì)的就是把數(shù)學(xué)文化的教學(xué)和思維的教學(xué)隔離開(kāi)來(lái)，實(shí)際上所有這種誤區(qū)，它的要害就是沒(méi)有抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)，它是文化活動(dòng)，它是什么樣的文化活動(dòng)呢？它本質(zhì)上講是人類思維的活動(dòng)，離開(kāi)了思維就談不上數(shù)學(xué)。所以要解決這樣的問(wèn)

3、題呢，我們就看一下第二點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)文化的教育，來(lái)做一點(diǎn)細(xì)致的比較深入的分析。我們來(lái)看一下，數(shù)學(xué)文化的教育實(shí)際上有兩個(gè)不同的方面。一個(gè)方面就是，把數(shù)學(xué)文化當(dāng)作教育的內(nèi)容的數(shù)學(xué)，就是我這個(gè)教的就是數(shù)學(xué)文化，這是一種；第二種呢，就是用數(shù)學(xué)文化的教育理念，剛才不是說(shuō)數(shù)學(xué)文化影響了我們觀念的促進(jìn)，影響了我們對(duì)教學(xué)的認(rèn)識(shí)，對(duì)教育價(jià)值的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)方式的認(rèn)識(shí)嘛，就用這種改進(jìn)了的認(rèn)識(shí)，發(fā)展了的認(rèn)識(shí)，去指導(dǎo)我們所謂“通常的”數(shù)學(xué)教學(xué)。這個(gè)第二點(diǎn)肯定是最主要的。所以對(duì)第一點(diǎn)，你可以用數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)故事等等來(lái)解決它。但是第二點(diǎn)就要落實(shí)到教師的觀念當(dāng)中。而且即使第一點(diǎn)，你用數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)故事等去解決它，這能發(fā)揮數(shù)學(xué)文化

4、作為一個(gè)知識(shí)性的東西交給他，那學(xué)生在真正理解數(shù)學(xué)文化，他還需要觀念性的東西。從知識(shí)性的東西到觀念性的東西，他還必須要通過(guò)自己的思維活動(dòng)。所以要談第二點(diǎn)，書寫文化教學(xué)要克服剛剛所講的各種抽象的話。我們根本的就是要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維。就是把數(shù)學(xué)思維教學(xué)和數(shù)學(xué)文化教學(xué)貫通。那么怎么認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)文化之間的關(guān)系呢？那第一點(diǎn)你就是要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)文化是談什么東西，剛才講了數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，它是一種模式化東西啦，語(yǔ)言啦，是一種思維方式啦，等等。這些東西他有很多應(yīng)用，都離不開(kāi)思維。而模式化的是要通過(guò)思維把模式創(chuàng)造出來(lái)，你去應(yīng)用也要通過(guò)思維來(lái)運(yùn)用它，所以離開(kāi)了數(shù)學(xué)思維就沒(méi)有數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)知識(shí)等等都是數(shù)學(xué)思維的

5、產(chǎn)物，所以你要正本清源。你要搞好數(shù)學(xué)文化的教學(xué)，或者數(shù)學(xué)文化教育觀要真正貫徹到我們的教學(xué)當(dāng)中去，就必須看思維。也就是要進(jìn)行好數(shù)學(xué)思維的教學(xué)。對(duì)！就是把兩者整合在一起。在這樣一個(gè)觀念的指導(dǎo)下，我們強(qiáng)調(diào)了兩點(diǎn)。一個(gè)這個(gè)思維是思維活動(dòng)，它的思維型突出了數(shù)學(xué)創(chuàng)造性的本質(zhì)。第二點(diǎn)，它強(qiáng)調(diào)了文化性，我們強(qiáng)調(diào)了文化性，就強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)文化的基層性。剛才不是講了嘛，數(shù)學(xué)文化他是個(gè)什么東西，它是人類創(chuàng)造的，可以通過(guò)文化的傳承，來(lái)繼續(xù)一個(gè)文化傳統(tǒng)，同時(shí)也在發(fā)展，也就是在變化發(fā)展中的文化傳統(tǒng)來(lái)指導(dǎo)我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。所以強(qiáng)調(diào)了兩個(gè)特征，第一，我們的教育是要有創(chuàng)造性的，那強(qiáng)調(diào)思維；第二，我們的教育是文化性的，要傳承，不能離開(kāi)

6、教師。教師是數(shù)學(xué)文化的代表。學(xué)生怎么樣去繼承呢？從課本，從課本所呈現(xiàn)出來(lái)的文本和教師的活動(dòng)、教師的行為、教師的觀念等等，來(lái)傳承數(shù)學(xué)文化。也就是說(shuō)，學(xué)生數(shù)學(xué)觀的轉(zhuǎn)變其實(shí)應(yīng)該是教師數(shù)學(xué)觀的轉(zhuǎn)變。后來(lái)就形成了一個(gè)新的教學(xué)觀，就數(shù)學(xué)教學(xué)觀。因?yàn)檫@個(gè)教學(xué)觀，那么就有價(jià)值觀的變化。那么作為新的數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值觀呢，我么可以說(shuō)體現(xiàn)在三個(gè)方面，第一個(gè)強(qiáng)調(diào)它的實(shí)用價(jià)值，即數(shù)學(xué)有用，工具。第二點(diǎn)，能訓(xùn)練思維。這兩點(diǎn)，我們過(guò)去的數(shù)學(xué)教育都很強(qiáng)調(diào)。第三點(diǎn)，就是強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，那就是提供了一種價(jià)值觀，倡導(dǎo)一種精神：它集中地表現(xiàn)為數(shù)學(xué)觀念在人的觀念以及社會(huì)的觀念的形成和發(fā)展中的作用。也就是說(shuō)，我們現(xiàn)在的認(rèn)識(shí)，除了強(qiáng)調(diào)

7、前面兩點(diǎn)，還要特別注意第三點(diǎn)，那就是觀念上面的，思想上面的，精神方面的東西。這對(duì)我們平時(shí)的學(xué)習(xí)觀也發(fā)生了轉(zhuǎn)變？現(xiàn)在就應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，剛才講了兩點(diǎn)啊，一個(gè)是創(chuàng)造性的那一部分，具體的就表現(xiàn)在學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，意義賦予或者說(shuō)意義建構(gòu)，重新的建構(gòu)一個(gè)數(shù)學(xué)概念。要讓他思考，第二個(gè)是文化繼承，有很多觀念我們可以繼承過(guò)來(lái)，因?yàn)槲覀冊(cè)趯W(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，讓他能理解他，形成自己的觀念。所以，我們抓這樣的一個(gè)學(xué)習(xí)觀。這是不是在繼承當(dāng)中得到發(fā)展？對(duì)！就是說(shuō)在傳統(tǒng)當(dāng)中得到發(fā)展。一不能離開(kāi)教師的作用，二不能離開(kāi)學(xué)生的作用。那么，我想，張老師，更多的教師應(yīng)該很關(guān)心，我們究竟應(yīng)該怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的教學(xué)設(shè)計(jì)？對(duì)呀！數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思維的

8、教學(xué)應(yīng)該緊密相連了。我們提出來(lái)一個(gè)行為規(guī)范的問(wèn)題，就是說(shuō)方法論?；蛘哒f(shuō)你教師在教學(xué)當(dāng)中，用什么來(lái)指導(dǎo)你呢？我覺(jué)得兩點(diǎn)，要抓兩點(diǎn)，第一個(gè)，以問(wèn)題為中心，有效地組織學(xué)生投入理性探索活動(dòng)中，這是強(qiáng)調(diào)了思維，強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的再創(chuàng)造，以問(wèn)題為中心，這是思維教育當(dāng)中的一個(gè)核心觀念。第二點(diǎn)呢，以數(shù)學(xué)家的眼光看世界，這就是強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)文化的氛圍。就是數(shù)學(xué)家當(dāng)然那么想的，他為什么能創(chuàng)造出它，他怎么想的，他想做什么，他怎么做，他為什么要做。重復(fù)這種思維活動(dòng)，讓學(xué)生能理解他，理解數(shù)學(xué)家的行為、思想、觀念。從而來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這可能是我們數(shù)學(xué)教育當(dāng)中，要抓住的兩個(gè)最關(guān)鍵的著力點(diǎn)。主持人：那能不能請(qǐng)張老師再舉一些具體的事例、案例

9、來(lái)讓我們更好的理解這兩點(diǎn)呢？首先表現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)或?qū)滩牡睦斫?。比如，?dǎo)數(shù)，對(duì)導(dǎo)數(shù)這個(gè)概念的理解。對(duì)“導(dǎo)數(shù)”這個(gè)概念，我們過(guò)去就把它看成是一個(gè)概念，一個(gè)定義，一個(gè)工具，一個(gè)規(guī)則，但是我們根據(jù)我們數(shù)學(xué)文化觀念，還要看到它是一種思想、一段歷史。什么樣的思想呢？用逼近的思想，這種無(wú)限逼近的思想，極限的思想，就是導(dǎo)數(shù)當(dāng)中蘊(yùn)含的思想價(jià)值。那一段歷史呢？那就是數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，這段歷史就告訴我們，我們講導(dǎo)數(shù)，一定先講極限，然后再講導(dǎo)數(shù)，但實(shí)際上呢，歷史告訴我們，是先有導(dǎo)數(shù)的概念，先有導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，然后我們回過(guò)頭來(lái)，再去補(bǔ)它的基礎(chǔ)，才形成了極限的概念，極限的理論。那么我們正本清源，我們的教學(xué)應(yīng)該按照這樣的自然發(fā)展的

10、順序，讓學(xué)生先來(lái)把導(dǎo)數(shù)的這個(gè)思想是什么，要理解它，來(lái)應(yīng)用，在運(yùn)用中再回過(guò)頭來(lái)，就形成了現(xiàn)在的教材當(dāng)中，不講極限的，就直接講導(dǎo)數(shù)。這好像過(guò)去，大家不可思議。但是現(xiàn)在，我們有的教師也產(chǎn)生誤區(qū)，略略帶過(guò)，沒(méi)有把這種極限的思想，以直代曲的思想呈現(xiàn)給學(xué)生。所以我想，我們平時(shí)的教學(xué)恐怕還要注意。實(shí)際上沒(méi)有形成一種整體的認(rèn)識(shí)，也就是方法的整體的認(rèn)識(shí)，過(guò)程的整體認(rèn)識(shí)，就是你講一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)概念，你首先要告訴它，它是什么？它的形式化的過(guò)程，第二個(gè)還有，它怎么出來(lái)的？它怎么生成的？生成的過(guò)程，歷史的過(guò)程。在知識(shí)結(jié)構(gòu)當(dāng)中，結(jié)構(gòu)建立的過(guò)程。把這些東西都弄清楚了，你才能對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)做一個(gè)準(zhǔn)確的定位。這樣看清楚了，我們

11、就知道，我們這句話應(yīng)當(dāng)怎么樣來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，怎么樣來(lái)進(jìn)行教學(xué)，它的要點(diǎn)是什么。所以數(shù)學(xué)文化的教育觀念深刻的影響我們對(duì)教材的理解。比如對(duì)誘導(dǎo)公式，也是這樣理解。誘導(dǎo)公式從歷史上來(lái)說(shuō)，它就是一個(gè)工具，它就是三大測(cè)量、三大運(yùn)算、三大變換的一種重要的工具，但是我們僅僅用模式化的觀點(diǎn)來(lái)看呢，我們對(duì)整個(gè)三角函數(shù)的教學(xué)有了變化，過(guò)去三角函數(shù)沒(méi)認(rèn)為它是一種重要的工具，所以要講三角的變換，三角的恒等變形，那是教學(xué)當(dāng)中重要的東西。但是我們現(xiàn)在用模式化的觀點(diǎn)來(lái)看，那么三角函數(shù)主要的還是函數(shù)，它是一種數(shù)學(xué)模型，它既然是數(shù)學(xué)模型，我們剛才講了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)的現(xiàn)代化定義，是模式化的科學(xué)。所以我們對(duì)函數(shù)對(duì)模型，對(duì)建模這樣一個(gè)

12、過(guò)程要突出出來(lái)。因此，這樣一來(lái)，誘導(dǎo)公式就變成建構(gòu)數(shù)學(xué)模型當(dāng)中的一個(gè)環(huán)節(jié)了，所以，你就不能像過(guò)去一樣，通過(guò)計(jì)算任意角的三角函數(shù)怎么把它化成銳角三角函數(shù)。就是你要把它看成三角函數(shù)在一個(gè)數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)當(dāng)中的一環(huán)。同樣的，剛才都講到了，對(duì)很多教材，對(duì)很多數(shù)學(xué)概念，應(yīng)當(dāng)怎樣去理解他，一個(gè)新的理解的角度。同時(shí)對(duì)課后習(xí)題，也是這樣。對(duì)課后習(xí)題，也是在對(duì)教材的理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。所以我們說(shuō)，用數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思維的觀點(diǎn)，來(lái)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候，他就應(yīng)該抓住，就是現(xiàn)在隨著我們觀念的變化，已經(jīng)出現(xiàn)了一些新的主題，主題詞就是我們的著力點(diǎn)，就是認(rèn)真對(duì)待的東西。過(guò)去我們說(shuō)，教數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)什么，概念要清楚，技能，有哪些方法？最

13、后應(yīng)用，還有能力。那么我們現(xiàn)在呢？我們現(xiàn)在新的就是說(shuō)要關(guān)心什么，關(guān)心精神方面的東西。第一個(gè)，態(tài)度怎么樣，對(duì)學(xué)生的觀念有什么影響，你問(wèn)他審美，怎么樣去欣賞它？它的行為模式是什么樣？所謂行為模式就是說(shuō)你思維方式，就怎么樣去想，它就是模式化的事，它是應(yīng)當(dāng)怎么樣進(jìn)行，先想什么，后想什么，后想什么。這是我們關(guān)心的主題詞的變化，就表示了我們的數(shù)學(xué)觀念，這整個(gè)宏觀的層面上所起的影響所起的變化。那這個(gè)是不是就是課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中，在教學(xué)目標(biāo)那個(gè)環(huán)節(jié)增加了情感態(tài)度價(jià)值觀的原因？那是一個(gè)方面，但它不是貼標(biāo)簽啊。它含有這些，就融匯了你對(duì)數(shù)學(xué)的理解當(dāng)中去。它既然是融化了，那你從融化的角度來(lái)看，剛才我們?cè)诘谝徽n時(shí)講過(guò)了。第一

14、個(gè)，抓它的整體性，第二個(gè)抓它的什么呢？抓他的精神方面的東西。第三個(gè)抓它的歷史，我們還是遵循它這三個(gè)要點(diǎn)，來(lái)進(jìn)行教學(xué)的設(shè)計(jì)。抓住整體性、歷史。我們現(xiàn)在談歸納推理，你應(yīng)該很熟悉。我們推理與證明第一節(jié)課，那么我們首先在理解教材，再設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)的時(shí)候，我首先要想我這節(jié)課要干什么，我這節(jié)課是干什么呢？過(guò)去強(qiáng)調(diào)歸納推理，歸納的概念是什么，什么叫歸納，這個(gè)對(duì)學(xué)生重要不重要呢？我覺(jué)得不重要。學(xué)生不一定要回答什么是歸納，他只要會(huì)歸納，有歸納的意識(shí)就行了。第二個(gè)怎么樣進(jìn)行歸納，歸納的步驟，第一步，第二步，第三步，對(duì)這一點(diǎn)，學(xué)生基本上已經(jīng)能做到了。他在小學(xué)開(kāi)始已經(jīng)學(xué)了方法。第三點(diǎn)呢，有的老師會(huì)著眼于歸納的能力，那么

15、就講一些例子，讓學(xué)生通過(guò)這些例子，讓他去做，形成歸納的能力。實(shí)際上這一點(diǎn)，一時(shí)是做不到的，能力的培養(yǎng)不是你多講幾個(gè)問(wèn)題就能把這個(gè)問(wèn)題給解決了的。這個(gè)歸納的能力，應(yīng)該說(shuō)我們國(guó)家從小學(xué)教育就開(kāi)始培養(yǎng)了。是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，今天專門把它拿過(guò)來(lái)研究，作為一節(jié)課來(lái)講，正面的講歸納，主要的意思是什么嗯？是為了形成一種歸納的態(tài)度。用歸納的態(tài)度來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題？歸納的態(tài)度不光來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題。就是你面對(duì)世界上所有的東西，面對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的所有東西，你都首先想，它有沒(méi)有規(guī)律啊，把很多事實(shí)拿到手來(lái)想一想有沒(méi)有共同的啊。共同點(diǎn)反映什么規(guī)律啊？它沒(méi)有共同點(diǎn)，是不是把它再分類，重新劃分一下，再另一個(gè)當(dāng)中，它有共同點(diǎn)呢？所以歸納的

16、態(tài)度，這就是這一節(jié)課的重點(diǎn)。這已經(jīng)超出了我們數(shù)學(xué)的范疇。那就是強(qiáng)調(diào)了文化的觀念去理解他，所以教材編寫，我們蘇教版的教材當(dāng)中，引言當(dāng)中就講了一段“摸球”的事情。華羅庚教授提出來(lái)的一個(gè)例子。從一個(gè)布袋里摸出的第1個(gè)球是紅球，第2個(gè)是紅球，第3個(gè)是紅球，這時(shí)我們產(chǎn)生了一個(gè)猜想，袋中全部是紅球？然后又摸出第4個(gè)來(lái)，結(jié)果是白球，錯(cuò)了！錯(cuò)了是不是就結(jié)束了？不是！再摸，又猜，是不是里面都是球呢？所以他繼續(xù)摸第五個(gè)。那這個(gè)看了很淺顯的東西是說(shuō)明什么呢？就是一種數(shù)學(xué)家的眼光，就數(shù)學(xué)家看事物的時(shí)候，他希望找到一個(gè)模式，找到共同領(lǐng)域的一個(gè)東西。而且這個(gè)共同點(diǎn)是怎么找到的呢？與其說(shuō)是他找到的還不如說(shuō)是他構(gòu)建出來(lái)的，是

17、他創(chuàng)造出來(lái)的。是他把整個(gè)世界重新按他的順序來(lái)安排，看到了秩序，看到了規(guī)律。所以，我們的教學(xué)就要讓學(xué)生形成這種態(tài)度，在觀念的層面上，起了這樣的變化。這才是我們所追求的數(shù)學(xué)教育。這個(gè)例子就看到了文化的教學(xué)和一般技能的，過(guò)去知識(shí)性的數(shù)學(xué)教育，它的側(cè)重點(diǎn)，它的價(jià)值取向是不相同的。而對(duì)學(xué)生的影響的深刻程度也是不相同的。實(shí)際上這方面的例子很多，下面我們?cè)倏匆粋€(gè)課例，比如“數(shù)系”，復(fù)數(shù)這節(jié)課怎么樣定位呢，這節(jié)課就是復(fù)數(shù)的引入，我們把它看成什么課呢，有老師認(rèn)為把它看做復(fù)數(shù)的概念課。這個(gè)觀念我不贊同。我們是不是可以看成歷史的發(fā)展？我覺(jué)得數(shù)系的擴(kuò)充當(dāng)中的這節(jié)課或者說(shuō)這第一節(jié)課，不是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的概念課，而是以概念為載

18、體的數(shù)學(xué)文化課。他主要突出了，主要講理性的精神。就是讓學(xué)生感受到，在數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中，理性精神起了這么樣的作用。理性精神推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展。當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)剛提出來(lái)的時(shí)候，有很多數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)這個(gè)復(fù)數(shù)的存在？因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)生活中找不到可以對(duì)應(yīng)的模型。所以你想一想，我們的課你去聽(tīng)一聽(tīng)復(fù)數(shù)的課，我經(jīng)?？吹街v到數(shù)學(xué)發(fā)展史，數(shù)的發(fā)展史的時(shí)候，忽然發(fā)現(xiàn)數(shù)域不夠用了，那么教師就問(wèn)了，數(shù)不夠了，怎么辦？馬上就有學(xué)生講，我們創(chuàng)造新的數(shù)。我一方面為他的創(chuàng)新精神所感動(dòng)，但是另一方面我覺(jué)得，怎么輕易說(shuō)出去創(chuàng)造另一個(gè)數(shù)呢。你用什么去創(chuàng)造新的數(shù)呢，創(chuàng)造一個(gè)新的數(shù)要經(jīng)歷什么呢？實(shí)際上這不是理性精神的表現(xiàn)，學(xué)生的回答實(shí)際上并不是理性精神

19、的表現(xiàn)，他并沒(méi)有真正的理解，為什么我要?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)新的數(shù)。不夠用，是不是就是不夠用了呢？而為了解決這個(gè)問(wèn)題，是不是就是創(chuàng)造數(shù)就能解決了呢？但是教師每次都會(huì)給他很大的嘉獎(jiǎng)，很好！很有創(chuàng)造性！這種創(chuàng)造性并不是我們所要的創(chuàng)造性，我們要的創(chuàng)造性是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)來(lái)的，或理性思維指導(dǎo)下的創(chuàng)造性。也就是說(shuō)，這就回到了那么多的數(shù)學(xué)家花了那么多年的時(shí)間才創(chuàng)造了，承認(rèn)了虛數(shù)，為什么不承認(rèn)它呢？如果你這一點(diǎn)不告訴學(xué)生，學(xué)生的理解創(chuàng)造復(fù)數(shù)的這個(gè)艱難。原因很簡(jiǎn)單a+bi，很多學(xué)生就沒(méi)有認(rèn)為這是一個(gè)新的數(shù)，有學(xué)生問(wèn)這個(gè)+號(hào)什么意思？是不是形成加法運(yùn)算？運(yùn)算的結(jié)果是什么呢？比如3+i是什么東西呢？它整體不能再運(yùn)算下去了嗎？所以，為

20、什么當(dāng)年的數(shù)學(xué)家不承認(rèn)它，他有他的出發(fā)點(diǎn)。他不是毫無(wú)理由的，而他的出發(fā)點(diǎn)就是他理性精神的表現(xiàn)。就是他反對(duì)它也是理性精神的表現(xiàn)。那最后為什么又承認(rèn)了它了呢？有的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了新的表示方法。將a+bi寫成（a，b），它就是個(gè)二元組。那解決了這樣一個(gè)問(wèn)題。那就是很重要的，高斯創(chuàng)造了一個(gè)向量。這樣一來(lái)，我們對(duì)復(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)呢，數(shù)學(xué)家就承認(rèn)它了。因此你在教學(xué)中，必須把為什么數(shù)學(xué)家不承認(rèn)他，后來(lái)為什么又承認(rèn)他的這段歷史，讓學(xué)生理解了，你才可能讓學(xué)生真正得到理性精神的熏陶。反過(guò)來(lái)，你看教師如果沒(méi)有知道這許多東西，那就是不知道，我們這個(gè)教材編寫為什么要選這個(gè)內(nèi)容。大家知道過(guò)去高中教材就有復(fù)數(shù)，18個(gè)課時(shí)，現(xiàn)在只有四

21、個(gè)課時(shí)。那有什么區(qū)別呢？當(dāng)年編教材的時(shí)候，復(fù)數(shù)它就有工具的價(jià)值，復(fù)數(shù)還有很多很多的價(jià)值，其中包括理性教育的價(jià)值，但是這許多價(jià)值，我們現(xiàn)在都放棄了。我們要的就是理性教育的價(jià)值。你看看我們現(xiàn)在教材當(dāng)中的四個(gè)課時(shí)，它是這樣分配的，復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的加減法、復(fù)數(shù)的乘除法、數(shù)系的擴(kuò)充。講到此，講了代數(shù)式，講了幾何意義，還在講加法和減法，什么用意呢？因?yàn)闅v史上，當(dāng)高斯提出這個(gè)幾何意義以后啊，加法減法一定義以后，大家就承認(rèn)復(fù)數(shù)了。也就是我們的教材是根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展史中，最有價(jià)值最有思想教育意義價(jià)值的，取了一段來(lái)。所以我想，如果現(xiàn)在讓我去設(shè)計(jì)這一段教學(xué)，我就會(huì)按照這段歷史來(lái)教這四節(jié)課。提出問(wèn)題，建立了a+bi，馬上就問(wèn)它是不是數(shù)，+是什么意思？讓學(xué)生去想。一步步加深學(xué)生的理解，重走歷史發(fā)展