1、精品資料歡迎下載解微分方程的歐拉法，龍格 - 庫塔法及其 MATLAB簡單實例歐拉方法 （Euler method) 用以對給定初值的常微分方程( 即初值問題 ) 求解分為前進 EULER法、后退 EULER法、改進的 EULER法。缺點：歐拉法簡單地取切線的端點作為下一步的起點進行計算，因積累而越來越大。因此歐拉格式一般不用于實際計算。改進歐拉格式：當步數(shù)增多時， 誤差會為提高精度，需要在歐拉格式的基礎上進行改進。 采用區(qū)間兩端的斜率的平均值作為直線方程的斜率。改進歐拉法的精度為二階。算法為：微分方程的本質(zhì)特征是方程中含有導數(shù)項， 數(shù)值解法的第一步就是設法消除其導數(shù)值。對于常微分方程：xa,

2、by(a) = y0可以將區(qū)間 a,b 分成 n 段，那么方程在第xi 點有y'(xi)= f(xi,y(xi)，再用向前差商近似代替導數(shù)則為：在這里， h 是步長，即相鄰兩個結點間的距離。因此可以根據(jù)xi 點和yi點的數(shù)值計算出 yi+1 來：i=0,1,2,L這就是向前歐拉格式。改進的歐拉公式：將向前歐拉公式中的導數(shù)f(xi,yi)改為微元兩端導數(shù)的平均，即精品資料歡迎下載上式便是梯形的歐拉公式?？梢姡鲜绞请[式格式，需要迭代求解。為了便于求解，使用改進的歐拉公式：數(shù)值分析中， 龍格庫塔法 （Runge-Kutta ）是用于模擬常微分方程的解的重要的一類隱式或顯式迭代法。實際上，龍

3、格 - 庫塔法是歐拉方法的一種推廣，向前歐拉公式將導數(shù)項簡單取為 f(xn,yn), 而改進的歐拉公式將導數(shù)項取為兩端導數(shù)的平均。龍格 - 庫塔方法的基本思想：在區(qū)間 xn,xn+1 內(nèi)多取幾個點，將他們的斜率加權平均，作為導數(shù)的近似。龍格庫塔法的家族中的一個成員如此常用，以至于經(jīng)常被稱為“ RK4”或者就是“龍格庫塔法”。令初值問題表述如下。則，對于該問題的RK4由如下方程給出：其中這樣，下一個值 ( yn+1) 由現(xiàn)在的值 ( yn ) 加上時間間隔 ( h) 和一個估算的斜率的乘積決定。該斜率是以下斜率的加權平均：精品資料歡迎下載k1是時間段開始時的斜率；k2是時間段中點的斜率， 通過歐

4、拉法采用斜率k1 來決定 y 在點 tn + h/2的值；k3也是中點的斜率，但是這次采用斜率 k2 決定 y 值；k4是時間段終點的斜率，其 y 值用 k3 決定。當四個斜率取平均時，中點的斜率有更大的權值：RK4法是四階方法，也就是說每步的誤差是h5 階，而總積累誤差為h4 階。注意上述公式對于標量或者向量函數(shù)( y 可以是向量 ) 都適用。例子：下面給出了數(shù)值求解該微分方程的簡單程序。其中 y1,y2,y3,y4分別為向前歐拉公式，改進的歐拉公式，4 級4階龍格-庫塔公式及精確解。h=0.1;x=0:h:1;y1=zeros(size(x);y1(1)=1;y2=zeros(size(x

5、);y2(1)=1;y3=zeros(size(x);y3(1)=1;for i1=2:length(x)y1(i1)=y1(i1-1)+h*(y1(i1-1)-2*x(i1-1)/y1(i1-1);k1=y2(i1-1)-2*x(i1-1)/y2(i1-1);k2=y2(i1-1)+h*k1-2*x(i1)/(y2(i1-1)+h*k1);y2(i1)=y2(i1-1)+h*(k1+k2)/2;k1=y2(i1-1)-2*x(i1-1)/y2(i1-1); k2=y2(i1-1)+h*k1/2-2*(x(i1-1)+h/2)/(y2(i1-1)+h*k1/2); k3=y2(i1-1)+h*k2/2-2*(x(i1-1)+h/2)/(y2(i1-1)+h*k2/2);精品資料歡迎下載k4=y2(i1-1)+h*k3-2*(x(i1-1)+h)/(y2(i1-1)+h*k3);y3(i1)=y3(i1-1)+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6;endy4=sqrt(1+2*x);%plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4)%legend('y1','y2','y3'