1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上導(dǎo)數(shù)單調(diào)性十種題型歸納一.求單調(diào)區(qū)間二.函數(shù)單調(diào)性的判定與逆用三.利用單調(diào)性求字母取值范圍四.比較大小五.證明不等式六.求極值七.求最值八.解不等式九.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）十.探究函數(shù)圖像一.求單調(diào)區(qū)間例1. 已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：.則令因?yàn)楫?dāng)所以 所以在上是增函數(shù),又,所以不等式的解集為, 故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 減區(qū)間為：變式：已知，求的單調(diào)區(qū)間解：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，由得：，在單調(diào)遞增由得：，在單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，無單調(diào)遞減區(qū)間當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，遞減區(qū)間為：二.函數(shù)單調(diào)性的判定與逆用例2.已知函數(shù)在上既不是單調(diào)遞增函

2、數(shù)，也不是單調(diào)遞減函數(shù)，求正整數(shù)的取值集合解：因?yàn)楹瘮?shù)在上既不是單調(diào)遞增函數(shù)，也不是單調(diào)遞減函數(shù)所以在上有解所以又解得：所以正整數(shù)的取值集合三.利用單調(diào)性求字母取值范圍例3. 已知函數(shù)，若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值.解：因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)所以在上恒成立即在上恒成立令，則則因?yàn)樗运宰兪剑喝艉瘮?shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)所以恒成立即所以所以所以四.比較大小例4. 設(shè)為實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，比較與的大小關(guān)系.解：令則令則令得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以因?yàn)樗运栽谏蠁握{(diào)遞增所以即所以變式：對(duì)于上的可導(dǎo)函數(shù)，若滿足，比較與的大小關(guān)系.

3、解：因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故所以五.證明不等式例5.已知函數(shù)， .證明：當(dāng)時(shí)，存在，使得對(duì)任意的，恒有.證明：令 則有 當(dāng)時(shí)，故 在上單調(diào)遞增，.故任意實(shí)數(shù) 均滿足題意. 當(dāng) 時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，故 在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，故 在上單調(diào)遞減取，對(duì)任意，有，故在上單調(diào)遞增所以即綜上所述：當(dāng)時(shí)，存在，使得對(duì)任意的，恒有.變式：已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.求證：證明：因?yàn)樗粤顒t當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根所以不妨設(shè)要證：只需證：因?yàn)椋液瘮?shù)在上單調(diào)遞減所以只需證：，又因?yàn)樗灾恍枳C：即證：即證：對(duì)恒成立令，則因?yàn)樗运院愠闪⑺栽谏蠁握{(diào)遞減所以綜

4、上所述：六.求極值例6.已知函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的極大值為3？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.解：令得：當(dāng)時(shí)，恒成立，無極值，舍去當(dāng)時(shí)，遞增極大值遞減極小值遞增由表可知：解得：當(dāng)時(shí)，遞增極大值遞減極小值遞增由表可知：，即所以：令則所以在上單調(diào)遞增又所以函數(shù)在上無零點(diǎn)即方程無解綜上所述：存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的極大值為3，此時(shí)七.求最值例7. 已知函數(shù)，若存在,使得（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：因?yàn)榇嬖?使得成立, 而當(dāng)時(shí), 所以只要即可又因?yàn)?的變化情況如下表所示:減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),的最小值,的最大值為和中的最大值. 因?yàn)?/p>

5、, 令,因?yàn)? 所以在上是增函數(shù).而,故當(dāng)時(shí),即; 當(dāng)時(shí),即 所以,當(dāng)時(shí),即,函數(shù)在上是增函數(shù),解得; 當(dāng)時(shí),即,函數(shù)在上是減函數(shù),解得. 綜上可知,所求的取值范圍為 我變式：已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求實(shí)數(shù)的值.解：令則所以在區(qū)間單調(diào)遞增所以存在唯一的，使得即所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增所以由得：所以 當(dāng)且僅當(dāng)即，由得，此時(shí)，滿足條件所以八.解不等式例8. 函數(shù)，對(duì)任意，解不等式： 解：令則因?yàn)閷?duì)任意所以，所以為上的單調(diào)遞增函數(shù)又所以當(dāng)即所以所以即不等式：的解集為變式：已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，若，求的取值范圍.解：令則因?yàn)樗运詾樯线f減函數(shù)由得：即所以即九.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程根

6、的個(gè)數(shù)）例9. 已知在處取得極值.若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解： 因?yàn)樵谔幦〉脴O值所以，即，檢驗(yàn)知符合題意.令遞增極大值遞減所以因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根所以，即解得：所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：變式：已知函數(shù)是上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解：當(dāng)時(shí)，有即令，則所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增且所以當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)無零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減且恒成立所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)且當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，所以所以在上有唯一零點(diǎn)綜上所述：在上有唯一零點(diǎn)十.探究函數(shù)圖像例10.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖像可能為下列圖像的 . （4）（3）（2）（1）解：由的圖像可判斷出：在遞減，在上先增后減再增所以在上，在上先有，后有，再有.所以圖（4）符合.變式：已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式只有兩個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：，令得所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減由當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，作出的大致函數(shù)圖像如圖所示：因?yàn)椋?）若，即