1、小波變換和多分辨率處理小波變換和多分辨率處理北京化工大學北京化工大學W.X.JW.X.JW.X.J小波變換使得圖像壓縮、傳輸和分析變得更快捷！傅里葉變換與小波變換傅里葉變換的基礎函數(shù)是正弦函數(shù)。傅里葉變換的基礎函數(shù)是正弦函數(shù)。小波變換基于一些小型波，稱為小波，具有變化的頻率和小波變換基于一些小型波，稱為小波，具有變化的頻率和有限的持續(xù)時間。有限的持續(xù)時間。傅里葉變換與小波變換n頻域分析具有很好的局部性，但空間域上沒有局部化功能。頻域分析具有很好的局部性，但空間域上沒有局部化功能。傅里葉變換反映的是圖像的傅里葉變換反映的是圖像的整體特征整體特征。n一個樂譜，不光闡明了要演奏的音符（或頻率），而且

2、闡一個樂譜，不光闡明了要演奏的音符（或頻率），而且闡明了何時要演奏。而傅里葉變換，只提供了音符或頻率信明了何時要演奏。而傅里葉變換，只提供了音符或頻率信息，局部信息在變換過程中丟失了。息，局部信息在變換過程中丟失了。n與與Fourier變換相比，小波變換是空間變換相比，小波變換是空間(時間時間)和頻率的局部和頻率的局部變換，它通過變換，它通過伸縮平移運算伸縮平移運算對信號逐步進行多尺度細化，對信號逐步進行多尺度細化，最終達到最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節(jié)。時頻信號分析的要求，從而可聚焦到

3、信號的任意細節(jié)。5.1 背景背景為什么需要多分辨率分析？為什么需要多分辨率分析？n如果物體的尺寸很小或對比度不高如果物體的尺寸很小或對比度不高 高分辨率高分辨率n如果物體尺寸很大獲對比度很強如果物體尺寸很大獲對比度很強 低分辨率低分辨率n通常物體尺寸有大有小，或對比有強有弱同時存在通常物體尺寸有大有小，或對比有強有弱同時存在5.1.1 圖像金字塔圖像金字塔 n 一幅圖像的金字塔是一系列以金字塔形狀一幅圖像的金字塔是一系列以金字塔形狀排列的分辨率逐步降低的圖像集合排列的分辨率逐步降低的圖像集合 一個金字塔圖像結構 金字塔的底部是待處理圖像的高分辨率表示，而頂部是低分辨率近似。當向金字塔的上層移動

4、時，尺寸和分辨率就降低。5.1.1 圖像金字塔圖像金字塔n高斯和拉普拉斯金字塔編碼高斯和拉普拉斯金字塔編碼 首先對圖像用首先對圖像用5 5* *5 5的高斯模板作低通濾波，濾的高斯模板作低通濾波，濾波后的結果從原圖像中減去，圖像中的高頻細波后的結果從原圖像中減去，圖像中的高頻細節(jié)則保留在差值圖像里；然后，對低通濾波后節(jié)則保留在差值圖像里；然后，對低通濾波后的圖像進行間隔采樣，細節(jié)并不會因此而丟失的圖像進行間隔采樣，細節(jié)并不會因此而丟失 n高斯和拉普拉斯金字塔編碼高斯和拉普拉斯金字塔編碼 拉普拉斯金字塔編碼策略 5.1.1 圖像金字塔圖像金字塔5.1.1 圖像金字塔 高斯和拉普拉斯金字塔5125

5、.1.2 子帶編碼n在子帶編碼中，一幅圖像被分解成一系列限帶分量的集合，稱為子帶，它們可以重組在一起無失真地重建原始圖像。n子帶通過對輸入進行帶通濾波而得到。 雙通道子帶編碼和重建 5.1.2 子帶編碼完美重建濾波器族QMF 正交鏡像濾波器CQF 共軛正交濾波器5.1.2 子帶編碼子帶圖像編碼的二維4頻段濾波器組 5.1.2 子帶編碼5.1.2 子帶編碼5.1.3 哈爾變換n 哈爾變換哈爾變換 哈爾基函數(shù)是最古老也是最簡單的正交小波。哈哈爾基函數(shù)是最古老也是最簡單的正交小波。哈爾變換本身是可分離的，也是對稱的，可以用下爾變換本身是可分離的，也是對稱的，可以用下述矩陣形式表達：述矩陣形式表達：

6、T=HFH其中，F(xiàn)是一個NN圖像矩陣，H是NN變換矩陣，T是NN變換的結果 5.1.3 哈爾變換n變換矩陣H包含基函數(shù) ，它定義在連續(xù)閉區(qū)間)(zhknNNkz21,.,2 , 1 , 0,1 , 0 其它pppppppqkqzqqzqNzhzhzNzhzh2/2/ )5 . 0(2/ )5 . 0(2/ ) 1(0221)()(1 , 0,1)(22000ppqpqpnpqk210100, 1012時，或時，5.1.3 哈爾變換nN=4時kpq0001012113122200002211111111414H5.1.3 哈爾變換nN=2時1111212H5.1.3 哈爾變換哈爾基函數(shù)對圖像的多

7、分辨率分解 1、其局部統(tǒng)計數(shù)據(jù)相對穩(wěn)定；2、大多數(shù)值為零，便于壓縮；3、原始圖像的粗和細分辨率近似可以從中提取。5.2 多分辨率展開n 函數(shù)的伸縮和平移函數(shù)的伸縮和平移 給定一個基本函數(shù)給定一個基本函數(shù) ,則則 的伸縮和平移公式的伸縮和平移公式可記為：可記為：( ) x,( )()a bxaxb( ) x5.2 多分辨率展開n函數(shù)的伸縮和平移函數(shù)的伸縮和平移2,sin( )02( )0( )xxxx例：給定函數(shù)其它則的波形如下圖所示函數(shù)的伸縮和平移 5.2 多分辨率展開n 序列展開序列展開 信號或函數(shù)常常可以被很好地分解為一系列展開信號或函數(shù)常?？梢员缓芎玫胤纸鉃橐幌盗姓归_函數(shù)的線性組合。函數(shù)

8、的線性組合。( )( )kkkf xax其中，其中，k k是有限或無限和的整數(shù)下標，是有限或無限和的整數(shù)下標，a ak k 是具有實數(shù)值是具有實數(shù)值的展開系數(shù)，的展開系數(shù)， 是具有實數(shù)值的展開函數(shù)是具有實數(shù)值的展開函數(shù) ( )kx如果展開是唯一的，f(x)只有一個ak系數(shù)與之對應，則 稱為基函數(shù)。( )kx5.2 多分辨率展開n可展開的函數(shù)組成了一個函數(shù)空間，被稱為展開集合的閉合跨度，表示為： xSpanVkk 的閉合跨度屬于表示xxfVxfk)()( )( )kkkf xax5.2 多分辨率展開n尺度函數(shù)尺度函數(shù)2/2,/2,( )( )()( )2(2),( )( )( )( )2( )(

9、 )jjj kj kj kj kjj kxxLxxkjz kzxxkxxjxxxjxR 設是平方可積函數(shù)，即，實數(shù)二值尺度伸縮和整數(shù)平移函數(shù)定義為：則集合是的展開函數(shù)集。從上式可以看出，決定了在 軸的位置， 決定了的寬度，即沿 軸的寬或窄的程度，而控制其高度或幅度。由于的形狀隨 發(fā)生變化，被稱為尺度函數(shù)。5.2 多分辨率展開n尺度函數(shù)尺度函數(shù) xSpanVkjkj,任何任何j,kj,k上的跨度子空間上的跨度子空間: :j j增大時，用于表示子空間函數(shù)的增大時，用于表示子空間函數(shù)的 范圍變窄，范圍變窄，x x有較小有較小變化即可分開。變化即可分開。隨隨j j增加增加 增大，允許有變化較小的變量或

10、較細的細節(jié)函數(shù)增大，允許有變化較小的變量或較細的細節(jié)函數(shù)包含在子空間中。包含在子空間中。jV xkj,哈爾尺度函數(shù)考慮單位高度、單位寬度的尺度函數(shù)： 其它0101xxV0展開函數(shù)都屬于V1，V0是V1的一個子空間。jjjjjZjjZjjjVxfVxfZjVxfVxfRLVVVVVZjV)21()(. 4,)2()(. 3)(;0. 2. 1,12210平移不變性：伸縮規(guī)則性：漸進完全性：一致單調性：間下列性質的一系列子空多分辨率分析是指滿足V2V1V05.2 多分辨率展開子空間的 展開函數(shù)可以被表示為子空間 的展開函數(shù)的加權和。jV1jV nnjnkjxax, 1, njjkjnxnhx12/

11、1,22 nnxnhx225.2 多分辨率展開j，k置0 nxxjjnj12/1, 122其中)(nhan改寫成5.2 多分辨率展開n哈爾尺度函數(shù)系數(shù)對于單位高度、單位寬度的哈爾尺度函數(shù)系數(shù)是 21) 1 (0hh 122212221xxx 122xxx5.2 多分辨率展開n 小波函數(shù)小波函數(shù) 給定尺度函數(shù)，則小波函數(shù)給定尺度函數(shù)，則小波函數(shù) 所在的空間跨越了相所在的空間跨越了相鄰兩尺度子空間鄰兩尺度子空間V Vj j和和V Vj+1j+1的差異。令相鄰兩尺度子空間的差異。令相鄰兩尺度子空間V Vj j和和V Vj+1j+1的差異子空間為的差異子空間為W Wj j，則下圖表明了，則下圖表明了W

12、 Wj j與與V Vj j和和V Vj+1j+1間的關系。間的關系。尺度及小波函數(shù)空間的關系 ( ) x5.2 多分辨率展開),)(2(2)()(),()(2/,ZkjkxxtWaveletMotherxjjkj以得到小波序列：經(jīng)過伸縮和平移后，可將基本小波小波為一個基本小波或者母 xspanWkjj,）。的小波空間（細節(jié)空間稱為尺度為jWj5.2 多分辨率展開 nnxnhx22 nhnhn11因為小波空間存在于由相鄰較高分辨率尺度函數(shù)跨越的空間因為小波空間存在于由相鄰較高分辨率尺度函數(shù)跨越的空間中，任何小波函數(shù)可以表示成尺度函數(shù)：中，任何小波函數(shù)可以表示成尺度函數(shù)： 21) 1 (0hh 2

13、11210) 11 () 1(1)01 () 1(0hhhh 122xxx哈爾尺度函數(shù)系數(shù)：哈爾小波函數(shù)系數(shù)： 其它015 . 015 . 001xxx5.3 一維小波變換n 一維離散小波變換（一維離散小波變換（DWTDWT） 000,0010,10,0,W1,W1, :12 , 2 , 1 , 01,W1, 2 , 1 , 01,W2jjkjkkjjMnkjMnkjJxkjMxkjMxfjjkxxfMkjJjxxfMkjM有對于反變換正變換計算一維離散小波變換n考慮四點的離散函數(shù)：f(0)=1,f(1)=4,f(2)=-3,f(3)=0。因為M=4,J=2且由于j0=0,對x=0,1,2,3

14、,j=0,1求和。將使用哈爾尺度函數(shù)和小波函數(shù)，并假定f(x)的4個采樣值分布在基函數(shù)的支撐區(qū)上，基函數(shù)的值為1.25 .12023040121)()(211 , 125 .10003242121)()(210 , 141013141121)()(210 , 011013141121)()(210 , 0301 , 1300, 1300,0300,0 xxxxxxfWxxfWxxfWxxfW計算一維離散小波變換n重構原始函數(shù) 1025 . 1225 . 114112101 , 10 , 10 , 00 , 0211 , 10, 10, 00, 0fxWxWxWxWxf5.3 一維小波變換n一維

15、離散小波變換一維離散小波變換（DWTDWT）2020/2() /2( )2ittteee Morlet小波：Morlet 小波5.3 一維小波變換n 一維離散小波變換（一維離散小波變換（DWTDWT）222/242/22( )(1)32 23tttee Mexihat小波：Mexihat小波 5.3 一維小波變換n快速小波變換FWT找到了相鄰尺度系數(shù)間的一種令人驚喜的關系。稱為Mallat人字形算法，類似于兩段子帶編碼。0,20,2, 1, 1,kknkknnjWnhkjWnjWnhkjW5.4 二維離散小波變換n對于對于M MN N 的離散函數(shù)的離散函數(shù)f f( (x,yx,y) )的離散小波變換對為：的離散小波變換對為：000110,0011,000,3,101(,)(,)(,)1(,)(,)(,)1, 2, 31(,)(,)(,)1(,)(,)MNjmnxyMNllj mnxyjmnmnllj mnljjmnWjmnfxyxyM NWj mnfxyxylM NfxyWjmnxyM NWj mnxyM Njj 正 變 換 ：反 變 換 ：是 任 意 開 始 尺 度 ， 通 常 取002,0,1,10,1, 21JjMNjJmn， 且 選 擇和二維快速小波變換5.4 二維離散小波變換5.4 二維離散小波變換n基于小波變換的圖像處理n計算一幅圖像的二