1、專題八二次函數(shù)綜合題類型突破茴類型一新定義問題24 2<11'I (2022 河南)如圖，直線y = + c與x軸交于點(diǎn)A(3 , 0)，與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y= 3X +bx + c經(jīng)過點(diǎn)A, B.(1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；M(m , 0)為x軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn) M且垂直于x軸的直線與直線 AB及拋物線分別交于點(diǎn) P, N. 點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動，假設(shè)以 B, P, N為頂點(diǎn)的三角形與 APM相似，求點(diǎn) M的坐標(biāo)； 點(diǎn)M在x軸上自由運(yùn)動，假設(shè)三個點(diǎn) M, P, N中恰有一點(diǎn)是其他兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外),那么稱M, P, N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn).請直接寫出使得M

2、, P, N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)的 m的值.【分析】(1)把A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式可求得c,那么可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)A, B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；由M點(diǎn)坐標(biāo)可表示點(diǎn) P, N的坐標(biāo)，從而可表示出 MA MP PN, PB的長，分/ NBP= 90°和/ BNP=90°兩種情況，分別利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于m的方程，可求得 m的值；用m可表示出點(diǎn)M, P, N的坐標(biāo)，由題意可知有 P為線段MN的中點(diǎn)、M為線段PN的中點(diǎn)或N為線段PM 的中點(diǎn)，可分別得到關(guān)于m的方程，即可求得 m的值.【自主解答】解：(1) Ty= / + c過點(diǎn)A(3 , 0)，與y軸交

3、于點(diǎn)B,0= 2+ c,解得 c= 2, B(0,2)拋物線y=+ bx + c經(jīng)過點(diǎn)A,B,12+ 3b+ c= 0, c = 2,解得10b= 3,拋物線的解析式為y4x2 + 130x+ 2.由可知直線的解析式為y 一 3x + 2,2 M(m 0)為X軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn) M且垂直于x軸的直線與直線 AB及拋物線分別交于點(diǎn) P, N. P(m -m34 2 1024 21024 2+ 2) ,N(m,3m+ m+2) , PM=30+ 2 ,AM= 3 m,PN=3m + m+ 2 ( 30+2) = 3m + 4m,3333333/ BPN和 APM相似,且/ BPNhZ APM / B

4、NP=Z AM= 90° 或/ NBP=Z AM= 90°當(dāng)/BNP= 90° 時，那么有 BNL MN N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2 ,410 §m+ "3+ 2 = 2,解得 m= 0(舍去)或 m= 2.5 , M(2.5 , 0);當(dāng)/ NBP= 90°時，過點(diǎn)N作NCLy軸于點(diǎn)C,例1題解圖410410那么/NBCFZ BNC= 90° , NC= m BC= -m m+ 2 2=-卅+ m3333/ NBP= 90° ,/ NBCFZ ABO= 90° ,/ ABO=Z BNC Rt NCB- Rt BO

5、ANC CB oB" OA4 210一 m +m3311解得m= 0(舍去)或m=83m2=11- ms , 0；11綜上可知，當(dāng)以 B , P, N為頂點(diǎn)的三角形與 APM相似時，點(diǎn) M的坐標(biāo)為2.5 , 0或；,0;8/ M P, N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)，2 4101當(dāng)P為線段MN的中點(diǎn)時，那么有2( §m+ 2) =-3+ jm+ 2，解得m= 3(三點(diǎn)重合，舍去)或m=；2410當(dāng)M為線段PN的中點(diǎn)時，那么有一3+ 2+ ( 3吊+ ym+ 2) = 0,解得m= 3(舍去)或m= 1;24101當(dāng)N為線段PM的中點(diǎn)時，那么有一3+ 2= 2( 3簾+ ym+ 2)，解得

6、 m= 3(舍去)或m= 4.1 1綜上可知，當(dāng) M P, N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)時，m的值為或一1或一4.1 . (2022 -河南)如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn) C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn) A,點(diǎn) P是拋物線上點(diǎn) A, C間的一個動點(diǎn)(含端點(diǎn))，過點(diǎn)P作PF丄BC于點(diǎn)F,點(diǎn)D, E的坐標(biāo)分別為(0 , 6),( 4, 0)，連接 PD, PE DE.(1) 請直接寫出拋物線的解析式；(2) 小明探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時，PD與PF的差為定值，進(jìn)而猜測：對于任意一點(diǎn)P, PD與PF的差為定值，請你判斷該猜測是否正確，并說明理由；(3) 小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論

7、：假設(shè)將“使PDE的面積為整數(shù)的點(diǎn)P記作“好點(diǎn)，那么存在多個“好點(diǎn)，且使AP DE的周長最小的點(diǎn) P也是一個“好點(diǎn).請直接寫出所有“好點(diǎn)的個數(shù)，并求出厶 PDE 周長最小時“好點(diǎn)的坐標(biāo).第1題圖備用圖，拋物線L2的頂點(diǎn)B在拋物線Li，可見一條拋物線的“伴隨拋L2的頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，求拋y= a2(x h) + k，請寫出 ai 與 a2C,它的一條“伴隨拋物線為2. (2022 -崇仁一中二模)如圖，假設(shè)拋物線 Li的頂點(diǎn)A在拋物線L2 上 上(點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合)，我們把這樣的兩拋物線 Li, L2稱為“伴隨拋物線 物線可以有多條.(1) 拋物線L仁y = x2+ 4x 3與拋物線L2是“伴

8、隨拋物線，且拋物線物線L2的表達(dá)式；假設(shè)拋物線y = ai(x m)2+ n的任意一條“伴隨拋物線的表達(dá)式為的關(guān)系式，并說明理由； 在圖中，拋物線4： y = mX 2mx 3m(m>0)與y軸相交于點(diǎn)圖L2，拋物線L2與y軸相交于點(diǎn)D.假設(shè)CD= 4m求拋物線L2的對稱軸.3. (2022 -鄭州模擬)如圖，點(diǎn)C(0, 3)，拋物線的頂點(diǎn)為 A(2 , 0)，與y軸交于點(diǎn)B(0, 1)，點(diǎn)P是 拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PMLx軸于點(diǎn)M.(1)求拋物線的解析式；假設(shè)點(diǎn)F在拋物線的對稱軸上，且縱坐標(biāo)為1，連接PF, PC, CF,求證：對于任意點(diǎn) P, PF與PM的差為常數(shù).記中的常數(shù)

9、為a，假設(shè)將“使 PCF面積為2a的點(diǎn)P記作"巧點(diǎn)，那么存在多個"巧點(diǎn)，且使 PCF的周長最小的點(diǎn) P也是一個“巧點(diǎn)，請直接寫出所有“巧點(diǎn)的個數(shù)，并求出厶PCF 的周長最小時“巧點(diǎn)的坐標(biāo).3 1 24. (2022焦作一模)如圖，直線y= 4X + m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0, - 1)，拋物線y=乂2+ bx + c經(jīng)過點(diǎn)B,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4.(1)請直接寫出拋物線的解析式； 如圖，點(diǎn)D在拋物線上，DE/y軸交直線AB于點(diǎn)E,且四邊形DFEG矩形，設(shè)點(diǎn) D的橫坐標(biāo)為x(0V XV 4)，矩形DFEG勺周長為I，求I與x的函數(shù)關(guān)系式以及I的最大值； 將厶AOB繞平

10、面內(nèi)某點(diǎn) M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到AOBi，點(diǎn)A,O,B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A,O, B.假設(shè)AA 1OB的兩個頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)，請直接寫出“落點(diǎn)的個數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時點(diǎn)A的橫坐標(biāo).類型二線段、角度數(shù)量關(guān)系探究42 2wie (2022 河南)如圖，直線y =- 3X + n交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)C(0, 4)，拋物線y = 3X + bx + c經(jīng)過點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B(0，- 2).點(diǎn)P為拋物線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線PD,過點(diǎn)B作BDL PD于點(diǎn)D,連接PB,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 m.(1) 求拋物線的解析式；(2) 當(dāng)厶

11、BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長； 如圖，將 BDP繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到 BD P',且旋轉(zhuǎn)角/ PBP =Z OAC當(dāng)點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P'落在坐標(biāo)軸上時，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).y /A圖U.圖【分析】先確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；(2) 由厶BDP為等腰直角三角形，判斷出BD= PD建立m的方程計(jì)算出 m從而求出PD;分點(diǎn)P'落在x軸和y軸兩種情況計(jì)算即可.當(dāng)點(diǎn) P落在x軸上時，過點(diǎn) D'作D' N±x軸，垂足 為N,交BD于點(diǎn)M先利用互余和旋轉(zhuǎn)角相等得出/ DBD =Z ND / PBP，進(jìn)而表示出ND的長度，

12、通過構(gòu)造方程求解；的思路同.【自主解答】4解：T點(diǎn)C(0 , 4)在直線y = 3X + n上，t,4當(dāng) y = 0 時，0 = 3X + 4,解得 x = 3,.A(3, 0).t拋物線y= 2x2 + bx + c經(jīng)過點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B(0， 2),6 + 3b+ c = 0,c = 2,解得c= 2,拋物線的解析式為點(diǎn)p為拋物線上一個動點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為m2 2 4 P(m, 3m §m- 2) , D(m, 2), BD= |m| ,2 2 42 24PD= | 3m 3m- 2 + 2| = | 3m §m|. BDP為等腰直角三角形，且 PDL BD BD= PD.

13、2 24 當(dāng)點(diǎn)P在直線BD上方時，PD= -m -m.3 3(i) 假設(shè)點(diǎn)P在y軸左側(cè)，那么 m<0, BD= m.2 2 4 ：m ： m= m3 3'1 解得1 = 0(舍去)，m= 2(舍去).(ii) 假設(shè)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，那么 m>Q BD= m.2 2 4 3m 30= m解得3 = 0(舍去)，m>=2 24 當(dāng)點(diǎn)P在直線BD下方時，m>0, BD= m, PD= n2 + 3m. 2 2 4" p 人，1 m+ m= m 解得 5= 0(舍去),m = .3 327171綜上所述，m= 或勺即當(dāng) BDP為等腰直角三角形時，PD的長為-或.

14、(3)P 1( .5, 4 3+ 4),),珂石,25提示：I/ PBP =Z OAC OA= 3, OC= 4,AC= 5, sin / PBP =4,cos / PBP =535.當(dāng)點(diǎn)P'落在x軸上時，過點(diǎn)D'作D N±x軸，垂足為點(diǎn) N,交 BD于點(diǎn) M / DBD =/ ND P'/ PBP .如解圖,/ ND MD =2,例2題解圖例2題解圖刖3 2 244即 53 3m 5m=2 ； m= .'5舍去或 m='5;如解圖,當(dāng)點(diǎn)P'落在y軸上時，如解圖，過點(diǎn)D'作D Ml x軸，交BD于點(diǎn)M過點(diǎn)P作P N丄y軸，交MD

15、的延長線于點(diǎn) N,例2題解圖/ DBD =z nd p,=z pbp/ P' N= BM4 2 2即 5(3m433m)= 5m252511m= T， P(E，32)-.針對訓(xùn)練(3B(5 , 0)兩點(diǎn)，直線 y=；x + 34P作PF丄x軸于點(diǎn)F,交直線1. (2022河南)如圖，拋物線 y= x2+ bx+ c與x軸交于點(diǎn)A( 1, 0),與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D.點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn) CD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.(1)求拋物線的解析式；假設(shè)PE= 5EF,求m的值；y軸上？假設(shè)存在，請直接寫出(3) 假設(shè)點(diǎn)E'是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對稱點(diǎn)，是否存在

16、點(diǎn) P,使點(diǎn)E'落在相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.2. 2022 -洛陽一模如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y = ax2 + bx 2a豐0與x軸交于A1 ,0，B3，0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)E的坐標(biāo)為0， 1，該拋物線與BE交于另一點(diǎn)F,連接BC.BM設(shè)運(yùn)動時P的坐標(biāo);1求該拋物線的解析式；一動點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿與 y軸平行的方向向上運(yùn)動，連接0M間為t秒t > 0，在點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，當(dāng)t為何值時，/ 0M&90°?3在x軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P,使得/ PBF被BA平分？假設(shè)存在，請直接寫出點(diǎn)假設(shè)不存

17、在，請說明理由.2 13. (2022 -新野一模)拋物線y= ax2+ bx+ 2經(jīng)過A( 1, 0) , B(2 , 0), C三點(diǎn).直線 y = m灶交拋物線于A, Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上直線 AQ上方的一個動點(diǎn)，作 PF丄x軸，垂足為F,交AQ于點(diǎn)N.(1)求拋物線的解析式； 如圖，當(dāng)點(diǎn) P運(yùn)動到什么位置時，線段PN= 2NF,求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；如圖，線段 AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E,垂足為D,點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在直線 DE上是否存在 一點(diǎn)6,使厶CMG勺周長最??？假設(shè)存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.圖4.如圖，拋物線 y= ax2+ bx + 3(a豐0)與x軸

18、交于點(diǎn)A( 1, 0) , B(3 , 0)，與y軸交于點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式；拋物線上是否存在點(diǎn) M,使得 MBC的面積與厶OBC的面積相等，假設(shè)存在，請直接寫出點(diǎn) 假設(shè)不存在，請說明理由；(3)點(diǎn)D(2，m)在第一象限的拋物線上，連接BD在對稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,/ DBC如果存在，請求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.C,連接BC.M的坐標(biāo);滿足/ PBC=備用圖類型三特殊圖形判定問題 2m (2022 河南)如圖，拋物線y= ax + 6x + c交x軸于A, B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,直線y = x 5經(jīng)過 點(diǎn) B, C.(1) 求拋物線的解析式；過點(diǎn)A的直線交直線

19、BC于點(diǎn)M. 當(dāng)AML BC時，過拋物線上一動點(diǎn) P(不與點(diǎn)B, C重合)，作直線AM的平行線交直線 BC于點(diǎn)Q.假設(shè)以點(diǎn)A, M, P, Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)； 連接AC當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于/ ACB的2倍時，請直接寫出點(diǎn) M的坐標(biāo).備用圖【分析】(1)利用一次函數(shù)解析式確定 C(0, 5) , B(5 , 0)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；(2) 先解方程一x2+ 6x 5= 0得A(1 , 0)，再判斷厶OCB為等腰直角三角形得到/ OBC=Z OCB= 45°,那么 AMB為等腰直角三角形，所以AM= 2 2 ,接著根據(jù)平行四邊形的性

20、質(zhì)得到PQ= AM= 2 , 2 , PQLBQ作PDLx軸交直線BC于 D,如解圖，利用/ PDQ= 45°得到 PD= 2PQ= 4.設(shè)P(m,卅+ 6m 5),那么D(m, m 5),討論：當(dāng) P點(diǎn)在直線 BC上方時，PD=吊+ 6m- 5 (m 5) = 4 ;當(dāng)P點(diǎn)在直線 BC下方時，PD= m 5- ( mi + 6m- 5),然后分別解方程即可得到P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；作ANLBC于N, NHLx軸于H,作AC的垂直平分線交 BC于M,交AC于 E,如解圖，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得到/AMB= 2/ACB再確定 N(3 , 2) , AC的解析式為y = 5x 5

21、 , E點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 5),利用兩直線垂直的問題可設(shè)直線EM的解析式為y= 1x + b,把E(1 ,弓代入求出b得到直1 12線EM的解析式為y=，那么解方程組55y= x 5 ,112得M點(diǎn)的坐標(biāo)；在直線5xE ,BC上作點(diǎn)M關(guān)于N點(diǎn)的對稱點(diǎn)M ,如解圖，利用對稱性得到/ AM 2C=Z AMB= 2/ACB設(shè)M(x , x 5),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得13 6到3= ，然后求出x即可得到點(diǎn) M的坐標(biāo)，從而得到滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).【自主解答】解：當(dāng) x = 0 時，y = x 5=- 5;當(dāng) y = x 5= 0 時，x= 5 B(5, 0) , C(0, 5) 025a + 30 + c

22、,a 1,將B, C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y = ax + 6x + c中，得解得c = 5,c= 5,拋物線的解析式為 y = x2+ 6x 5.2 解方程一x + 6x 5= 0 得 xi= 1, X2= 5,貝y A(1 , 0), B(5, 0) , C(0， 5), OCB為等腰直角三角形，/ OB(=Z OC= 45°./ AML BC AMB為等腰直角三角形，以點(diǎn)A , M, P, Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，AM/ PQPQ= AM= 2 2 , PQL BC作PDLx軸交直線BC于D,如解圖，那么/ PDQ= 45° , PD= 2PQ= 4,設(shè) P(m , m

23、f+ 6m- 5),貝U D(m, m 5).當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時，PD= nf+ 6m 5 (m 5) = m + 5m= 4,解得 m= 1, m>= 4.當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時；225 + 苗5 PD= m 5 ( m + 6m- 5) = m 5m= 4, 解得 m = 2- , m = 2.綜上所述, P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 4或52' 41或-_2-. 作ANL BC于N, NHLx軸于H,作AC的垂直平分線交 BC于 M ,交AC于E ,如解圖./M1A= M1C,/ ACM1=Z CAM,/ AMB= 2/ACB. ANB為等腰直角三角形,AH BH= NH= 2, -

24、N(3 , 2),易得AC的解析式為y= 5x 5, E點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 5),1設(shè)直線EM的解析式為y = - 1x + b,151512把E(2,)代入，得10+ b = 2，解得b =,.直線EM的解析式為y =，解方程組5121 12 y 一 5xT，13x =,6心 1317仃，那么M(百，y)；y 一 ?，作直線BC上作點(diǎn)M關(guān)于N點(diǎn)的對稱點(diǎn)如解圖，那么/ AM2C= 2/ACBM設(shè) M(x , x 5),13石+ x 3= 丁，23.x= 6，圖例3題解圖一 2 11. (2022 -河南)如圖，拋物線y = x + bx + c與直線y = ?x+ 2交于C, D兩點(diǎn)，其中點(diǎn) C在

25、y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3 , 7)，點(diǎn)p是y軸右側(cè)的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PELx軸于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.(1) 求拋物線的解析式； 假設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)m為何值時，以O(shè), C, P, F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請說明理由;假設(shè)存在點(diǎn)P,使/ PCF= 45°,請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).2. (2022 河南名校模擬)如圖，二次函數(shù) y = x2 + bx + c的圖象經(jīng)過 A( 1, 0)和B(3 , 0)兩點(diǎn)，且交 y 軸于點(diǎn)C, M為拋物線的頂點(diǎn).(1) 求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2) 假設(shè)將該二次函數(shù)圖象向上平移m(m> 0)個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖

26、象的頂點(diǎn)落在厶BOC的內(nèi)部(不包含邊界)，求m的取值范圍；(3) 點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，PQ/ BC交x軸于點(diǎn)Q當(dāng)以點(diǎn)B, C, P, Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時， 求點(diǎn)P的坐標(biāo).3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y = ax2 + bx + c與x軸交于A( 1, 0)、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為(1 ,-4)，直線y = x 2與x軸交于點(diǎn)D,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上一動點(diǎn)，過 P點(diǎn)作PF丄x 軸于點(diǎn)F,交直線CD于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.(1)求拋物線的解析式；假設(shè)PE= 3EF,求m的值;(3) 連接PC,是否存在點(diǎn) 巳使厶PCE是以PE為底邊的等腰三角形？假設(shè)存在，請

27、直接寫出m的值；假設(shè)不存在，請說明理由.參考答案類型一針對訓(xùn)練A,1解：邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn) C(0, 8)，A( 8, 0),設(shè)拋物線的解析式為：y = ax2 + c,1c = 8,a=石，那么解得：864a + c = 0, c= 8,1 2故拋物線的解析式為：y = 8x + 8.正確，1 2理由：設(shè) P(a, 8a + 8)，貝U F(a , 8), PF= 8 -訐+ 8=評,8*2+ 22=討+ 2. PD- PF= 2; 在點(diǎn)P運(yùn)動時，DE大小不變，那么 PE與PD的和最小時， PDE的周長最小,/ PD- PF= 2 , PD=

28、 PF+ 2, PE+ PD= PE+ PF+ 2,C7rV第1題解圖如解圖，當(dāng) P、E、F三點(diǎn)共線時，PE+ PF最小,此時點(diǎn)P, E的橫坐標(biāo)都為一4,1 2將 x = 4 代入 y = + 8,得 y = 6,8 P( 4, 6)，此時 PDE的周長最小，且 PDE的面積為12,點(diǎn)P恰為“好點(diǎn), PDE的周長最小時“好點(diǎn)的坐標(biāo)為 (一4, 6)由(2)得：P(a , 1a2+ 8),點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為(0, 6) , ( 4, 0),第1題解圖如解圖，當(dāng)一4W av 0時，1 1 2 1 1Spde= Spe卄 Spod Sdoe= 2 4X ( + 8) + 2 6x ( a) x 4

29、X61 2 1 2 =4a 3a+ 4= 4(a + b) + 13, I 4V SapdeW 12.當(dāng) a = 0 時，Sapde= 4;第1題解圖 如解圖，過點(diǎn) P作PNLx軸于點(diǎn)N,當(dāng)一8 v av 4 時，SPDE= S 梯形 PNOD SPNE一 SDOEx 1 = 4a2 3a + 4 =寸(a + b)2+ 13,1 2 1 1 1 2 (+ 8+6) x ( a) x ? ?x 4X 6 ( a 4) x ( + 8)12v SapdeC 13； 當(dāng) a = 8 時，Sapde= 12 , PDE的面積可以等于4到13的所有整數(shù)，在面積為12時，a的值有兩個,11個之內(nèi)，“好點(diǎn)

30、共有 11 個.面積為整數(shù)時好點(diǎn)有11個，經(jīng)過驗(yàn)證周長最小的好點(diǎn)包含這綜上所述，共有11個，“好點(diǎn)，P( 4, 6).22解：(1)由y= x + 4x 3可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2 , 1), n = a2 mi- h + k,可列方程組、2k = ai h m + n,整理，得(ai + a2)(m h)2= 0.“伴隨拋物線的頂點(diǎn)不重合，im h ,a i = a2.h,那么其縱坐標(biāo)拋物線Li： y = mX 2mx- 3m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1 , 4m),設(shè)拋物線L2的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為為 mh 2mh- 3m,拋物線 L2的表達(dá)式為 y= m(x h) + mh 2mh 3m,2化簡，得 y= m

31、x + 2mhx- 2mh- 3m,點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(0 , 2mh- 3m),又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0 , 3m), 1( 2mh- 3m) ( 3m)| = 4m,解得 h=± 2 ,拋物線L2的對稱軸為直線x=± 2.23. (1)解：設(shè)拋物線的解析式為 y = a(x 2).一 1將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得4a = 1，解得a= 4.1 2 1 2拋物線的解析式為y=4(x 2)，即y=4x x +1 證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m , 1(m 2)2), PM= 4(m 2)2 , M(m 0).依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知PF=1m- 22+ , m- 22 12=416吩 2m- 2

32、2+ 1 m 2+ 1 m-22+ 1 =、/#m 22+ 12=；(m 2)2+ 1 , PF PM= 1.對于任意點(diǎn)P, PF與PM的差為常數(shù). 解：設(shè)直線CF的解析式為y= kx + 3,將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入，得 2k+ 3= 1,解得k= 1 ,直線CF的解析式為y= x+ 3.由兩點(diǎn)間的距離公式可知CF= 2 2.a= 1, 2a= 2.1 m- 22+ 1 =1設(shè)在 PCF中，邊CF的上的高線長為x,那么2X2''2x = 2,解得x= :2如解圖，過點(diǎn) C作CGL CF,取CG= '2.那么點(diǎn)G的坐標(biāo)為一1, 2.過點(diǎn)G作GH/ FC設(shè)直線GH的解析式為y =

33、 x + b,將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入，得1 + b = 2,解得b= 1, 直線GH的解析式為y= x+ 1,12令一x + 1 = 4x 2，解得 x = 0, PCF的一個巧點(diǎn)的坐標(biāo)為0, 1.顯然，直線 GH在 CF的另一側(cè)時，直線 GH與拋物線有兩個交點(diǎn). F, C為定點(diǎn)， CF的長度不變，當(dāng)PC+ PF最小時， PCF的周長最小.PF PM= 1 ,PO PF= PC+ PW 1 ,當(dāng)C、P、M在一條直線上時， PCF的周長最小.此時 P0 , 1.綜上所述， PCF的巧點(diǎn)有3個， PCF的周長最小時，“巧點(diǎn)的坐標(biāo)為0 , 1.34. 解：1 T直線 I : y= 4X + m經(jīng)過點(diǎn) B0

34、， 1,-m= 1,直線I的解析式為y = 3x 1.3直線I : y = 4X 1經(jīng)過點(diǎn)C,且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4,3 y= X 4 1 = 2.y 4拋物線 y= 2x2 + bx + c 經(jīng)過點(diǎn) C(4, 2)和點(diǎn) B(0， 1),2 X42+ 4b+ c = 2b=2，解得c= 1c= 11 25拋物線的解析式為 y = 2x 1；34 令y= 0,那么4X 1= 0,解得x= 3,一 4點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3, 0),二 OA=在 Rt OAB中，OB= 1 , AB=：oA+ oB=；2 + i2= 3.DE/y 軸,/ ABO=Z DEFOB 3在矩形 DFEG中, EF= DE cos/

35、 DE= DE麗=5DE DF= DE sin / DE= DEOA 4AB= 5dE4 314 I = 2(DF+ EF) = 2( 5+ 5)DE= 5DE.點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0 V t V 4),1 2 53 D(t , 2t t 1) , E(t , 4t 1),31 2 51 2 DE= (4! 1)(孑4t 1) = 2t + 2t,l = 3 (擴(kuò)+ 2t)28+ P7228 口 7j =-5 2)+ 了 ,且5<0 ,當(dāng)t =2時,281有最大值-.(3) “落點(diǎn)的個數(shù)為 4 ,如解圖，解圖，解圖，解圖所示.圖/7 .圖>1如解圖，設(shè)點(diǎn) A的橫坐標(biāo)為m那么點(diǎn)O的橫坐

36、標(biāo)為m+ 41 2 514 254 qm 4m- 1= 2(m+ 3) -4(m + 3) - 1,解得m= 12,A1的縱坐標(biāo)大1 ,一一4一如解圖，設(shè)點(diǎn) A1的橫坐標(biāo)為m那么點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為- , B的縱坐標(biāo)比點(diǎn)31 2 514 2544 2m 4m 1+ 1 = 2(m+ 3) 4(m+ 3) 1，解得 m= 3,一 74旋轉(zhuǎn)180°時點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為12或3.類型二針對訓(xùn)練1.解：(1)將點(diǎn)A, B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得：1 b+ c= 0,b = 4,解得25+ 5b + c= 0,c = 5,拋物線的解析式為 y = x2+ 4x + 5,/點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m23 P(m

37、, m+ 4m+ 5), E(m,-m+ 3) , F(m , 0),423219 PE= |y pyE| = |( m+ 4m+ 5) ( m+ 3)| = |m +"4+ 2| ,3 3EF= |y e yF| = |( 40+ 3) 0| = | 嚴(yán) 3| ,19315由題意，得 PE= 5EF,即 | m + 2| = 5| 3| = | 15|.13解得 mi= 2或 mi=;2 19152假設(shè)m+ mi+ 2 = ( 4 15)，整理，得 m mi- 17 = 0,解得m=廿異或m=匕尹9由題意，得m的取值范圍為1v m< 5，故m=券, m=匕牙69這兩個解不符合

38、題意,/ m= 2 或 m=1+ 692(3)假設(shè)存在.作出示意圖如解圖：點(diǎn) E、E'關(guān)于直線PC對稱,/ 1 = 7 2, CE= CE , PE= PE . PE平行于 y 軸，/ 1 = 7 3,7 2=7 3,. PE= CE, PE= CE= PE' = CE，即四邊形 PECE是菱形.當(dāng)四邊形PECE是菱形存在時， 由直線CD的解析式y(tǒng)= |x + 3,可得0D= 4, OC= 3，由勾股定理，得 CD= 5,過點(diǎn)E作EM/x軸，交y軸于點(diǎn)M,易得 CEMh CDQ MD CD 即 m=CE5百，解得ce=4冋， PE= CE= 4|m|，又由(2)可知：PE= |

39、 mi + 罟口+ 2| ,I m+ 乎 m+ 2| = 4|m|.219521假設(shè)m + m+ 2 = 4m,整理，得 2m 7m 4= 0,解得 m= 4 或 m=-;195 假設(shè)一m+ m+ 2 = 4m,整理，得 m 6m- 2 = 0,解得 m= 3+ , 11, m= 3 11.由題意，得 m的取值范圍為1v m< 5，故m= 3+ , 11這個解舍去，當(dāng)四邊形PECE是菱形這一條件不存在時，此時P點(diǎn)橫坐標(biāo)為0, E, C, E'三點(diǎn)重合于y軸上，也符合題意，- P(0, 5).1 11綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P,可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0 , 5)或(？或匸)或(4

40、, 5)或(3 11, 2.11 第1題解圖22 .解：(1) T 拋物線 y = ax + bx 2(a 豐 0)與 x 軸交于 A(1 , 0) , B(3 , 0)兩點(diǎn),a + b 2= 0,9a+ 3b 2 = 0,解得2a= 3,2 2 8拋物線的解析式為 y = 3X + §x 2;2 2822 2(2)如解圖，由(1)知y = 3X2 +3X 2 = 3(x 2)2+ 3；3333TD為拋物線的頂點(diǎn)，2二 d(2, 3).一動點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿平行與 y軸平行的方向向上運(yùn)動,2設(shè) M(2, m)(m> 3),.oM= m+ 4, bM= m+

41、1, 0百=9./ OM=90°, oM+ bM= oB,2,2小 m + 4+ m+ 1= 9,解得m=或m=、2(舍去)， M(2,、: 2), MD= '2 3.圖圖第2題解圖 存在點(diǎn)P,使得/ PBF被BA平分，如解圖，/ PBO=Z EBO- E(0, - 1),在y軸上取一點(diǎn) N(0, 1).- B(3, 0),1直線BN的解析式為y= 3X + 1.2 2 8點(diǎn)P在拋物線y = 3X + §x 2上,1y = 3X+ 1,聯(lián)立，得2 28y 一 3X+ 3X 2，解得3x=-，或1尸2X = 3 y = 0 p2，2.3.解：(1) T 拋物線 y =

42、 ax2+ bx+ 2 經(jīng)過 A( 1, 0) , B(2, 0),將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，得a b + 2= 0, 4a+ 2b+ 2= 0,解得a = 1,b = 1,拋物線的解析式為 y = x2+ x + 2.1 1 直線y= mx+ -交拋物線與A, Q兩點(diǎn)，把A( 1, 0)代入解析式，得 m=-,1 1直線AQ的解析式為y= ?x +一 2 1 1設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 n,那么 P(n , n+n + 2) , N(n ,尹+ ) , F(n , 0),21121311PN= n + n + 2 (2口+ 2)= n + ? + ? , NF= ?+ ?/ PN= 2NF, n2

43、+ h+ 3= 2X(1 n +1),解得 n= 1 或12 2 2 2 2當(dāng)n = 1時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不符合題意舍去. 點(diǎn)P的坐標(biāo)為& 4).(3) y= x2+ x + 2, = (x 2)2+ 4, m(2 , 9).如解圖所示，連接 AM交直線DE與點(diǎn)G,連接 CG CM此時， CMG的周長最小.設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為y = kx + b，且過 A( 1, 0) , M(2 9),k + b = 0,根據(jù)題意，得192k+ b=4,解得直線AM的函數(shù)解析式為3k= 2，3b= 2.32.D為AC的中點(diǎn), D( 2, 1).設(shè)直線AC的解析式為y= kx + 2,將點(diǎn)A的坐

44、標(biāo)代入，得一k + 2 = 0,解得k= 2,直線AC的解析式為y= 2x+ 2.設(shè)直線DE的解析式為1 一y=+ c,將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入，得14 + c =1,解得3c=4,直線DE的解析式為13y= 2x + 4.15133332x+4與 y=?x+ 2聯(lián)立，解得 x= 8 y=16,315在直線 DE上存在一點(diǎn) 6使厶CMG的周長最小，此時 G( 8 ).24 .解：(1) T拋物線 y = ax + bx+ 3(a豐0)與x軸交于點(diǎn) A( 1, 0),B(3 ,0),a b + 3= 0,9a+ 3b+ 3= 0,解得a= 1,拋物線的表達(dá)式為 y = x2 + 2x + 3;存在.拋物

45、線的表達(dá)式為 y = x2 + 2x + 3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0 , 3),C(0, 3) , B(3 , 0),直線BC的解析式為y= x+ 3,過點(diǎn)0與BC平行的直線y = x，與拋物線的交點(diǎn)即為M,y = x,解方程組y= x2 + 2x + 3,3+ 0x =2,可得3 , 21 x=2,y=42!y=4!M1(寧3 21),M(3 212，3 + 21存在.如解圖，設(shè)BP交y軸于點(diǎn)G.點(diǎn)D(2 , m)在第一象限的拋物線上，2.當(dāng) x = 2 時，m= 2 + 2X 2+ 3 = 3,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2 , 3),2把 x = 0 代入 y = x + 2x + 3,得 y = 3,點(diǎn)C

46、的坐標(biāo)為(0 , 3), CD/x 軸，CD= 2,點(diǎn) B(3 , 0), 0B= 0C= 3, / OB(=Z 0C= 45 / DCB=Z OB(=Z 0C= 45° 又/ PBC=Z DBC BC= BC CGB2A CDB(ASA) CG= CD= 2. 0G= 0C- CG= 1,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0,1),設(shè)直線BP的解析式為y= kx + 1,將 B(3 , 0)代入，得 3k + 1 = 0,1解得k = -3，1直線BP的解析式為y=+ 1,人12令一-x + 1 = x + 2x+ 3,32解得 X1= 3, X2= 3,點(diǎn)P是拋物線對稱軸 x = = 1左側(cè)的一點(diǎn)，

47、即 xV 1 ,2a2 x= 3，2 2把x =-代入拋物線y= x + 2x + 3中，311解得y = 丁，2 11當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一3，-)時，滿足/ PB(=Z DBC.類型三針對訓(xùn)練11 解：(1)在直線解析式y(tǒng)= §x+ 2中，令x = 0，得y = 2, C(0, 2) 72/點(diǎn) C(0 , 2) , D(3, 2)在拋物線 y = x + bx + c 上,c = 2,79+ 3b + c =,7b= 2 ,解得 2c= 2,2 7拋物線的解析式為 y = x + 2x+ 2./ PF/ 0C且以 O C, P, F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，PF= OC= 2,1.

48、將直線y= £X+ 2沿y軸上、下平移2個單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)即為所求,由解圖可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個，1 1將直線y = 2乂+ 2沿y軸向上平移2個單位，得到直線 y= -x + 4,1y= x + 4,聯(lián)立解得X1= 1 , X2 = 2;2 7y= x + 2X + 2,1 1將直線y = *+ 2沿y軸向下平行移2個單位，得到直線 y = *,1y= 2X，y=- x2.2x + 2,聯(lián)立解得 X3= 2 17, X4 = 3_不舍題意，舍去 ,3+0m3= 2 ,當(dāng)m的值為1或2或3十2仃時，以Q C, P, F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.存在.一271理由：設(shè)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 m,貝U P(m, m + 2m+ 2), F(m, m+ 2)如解圖所示，過點(diǎn) C作CML PE于點(diǎn)M貝y CMk m, Eg 2,1 FM= y f EM= m, / tan / CFM= 2,在Rt CFM中，由勾股定理，得 CF=-25m過點(diǎn)P作PNL CD于點(diǎn)N,貝U PNh FN tan / PFNh FN tan / CFW 2FN.PCF= 45°, PNh CN,而 PNh 2FN, FN= CF=-25m PNh