1、數(shù)學(xué)建模人口增長模型摘要:人口的增長是當(dāng)前世界上引起普遍關(guān)注的問題作為世界上人口最多的國家，我國的人口問題是十分突出的由于人口基數(shù)大盡管我國已經(jīng)實(shí)行了20多年的計劃生育政策人口的增長依然很快，巨大人口壓力會給我國的社會 政治經(jīng)濟(jì)醫(yī)療就業(yè)等帶來了一系列的問題。因此研究和解決人口問題在我國顯得尤為重要。我們經(jīng)常在報刊上看見關(guān)于人口增長預(yù)報，說到本世紀(jì)，或下世紀(jì)中葉，全世界的人口將達(dá)到多少億。你可能注意到不同報刊對同一時間人口的預(yù)報在數(shù)字商場有較大的區(qū)別，這顯然是由于用了不同的人口整張模型計算出來的結(jié)果。人類社會進(jìn)入20世紀(jì)以來，在科學(xué)和技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的同時世界人口也以空前的規(guī)模增長。人口每增

2、加十億的時間，有一百年縮短為十幾年。我們賴以生存的地球已經(jīng)攜帶著他的60億子民踏入下一個世紀(jì)。長期以來，人類的繁殖一直在自然地進(jìn)行著，只是由于人口數(shù)量的迅速膨脹和環(huán)境質(zhì)量的急劇惡化，人們才猛然醒悟，開始研究人類和自然的關(guān)系、人口數(shù)量的變化規(guī)律以及如何驚醒人口控制等問題。 本論文中有兩個模型： （1） ：中國人口的指數(shù)增長模型，并用該模型進(jìn)行預(yù)測，與實(shí)際人口數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。（2）：中國人口的Logistic圖形，標(biāo)出中國人口的實(shí)際統(tǒng)計數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。 而且利用MATLAB圖形 ，標(biāo)出中國人口的實(shí)際統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并畫出兩種模型的預(yù)測曲線。 關(guān)鍵字：人口預(yù)測；Malthus模型；Logistic模型；MAT

3、LAB軟件1、 問題背景及重述1.1問題的背景中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。我國自1973年全面推行計劃生育以來，生育率迅速下降，取得了舉世矚目的成就，但全面建設(shè)小康社會仍面臨著人口的形勢和嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展、國家人口政策的實(shí)施，未來我國人口高峰期到底有多少人口，專家學(xué)者們的預(yù)測結(jié)果不一。因此，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，對中國人口做出分析和預(yù)測是一個重要問題。 1.2 問題的重述下表列出了中國19821998年的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，取1982年為起始年(t=0)，1982年的人口101654萬人，人口自然增長率為14，以36億作為我國人口的容納量，試

4、建立一個較好的人口數(shù)學(xué)模型并給出相應(yīng)的算法和程序，并與實(shí)際人口進(jìn)行比較。時間(年)198219831984198519861987人口(萬人)101654103008104357105851107507109300時間(年)198819891990199119921993人口(萬人)111026112704114333115823117171118517時間(年)19941995199619971998人口(萬人)1198501211211223891236261248102、 問題分析對于人口增長的問題，其影響因素有很多，比如：人口基數(shù)，出生率，死亡率，人口男女比例，人口年齡結(jié)構(gòu)的組成，人口

5、的遷入率和遷出率，人口的生育率和生育模式，國家的醫(yī)療發(fā)展情況，國家的政治策略等眾多的因素。如果把這些因素都要考慮進(jìn)去，則該問題根本無從下手。因此，應(yīng)該根據(jù)中國人口自身發(fā)展的特點(diǎn)，選取相應(yīng)的能夠體現(xiàn)我國人口發(fā)展特點(diǎn)的模型。人口發(fā)展模型有連續(xù)形式和離散形式，因?yàn)轭}目所給的 圖1 1790-1980年間美國的人口數(shù)據(jù)圖數(shù)據(jù)是每個年份的具體數(shù)據(jù)，可以將這些數(shù)據(jù)視為連續(xù)的。根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，我們使用MATLAB編程（附錄1）畫出散點(diǎn)圖。圖1中國19821998年的人口數(shù)據(jù)圖從圖中我們可以看到人口數(shù)在 19821998 年是呈增長趨勢的，且增長趨勢類似于指數(shù)型增長，因此，我們可以先建立一個指數(shù)增長模型（M

6、althus模型）。但是，由于地球上的資源是有限的，它只能提供一定數(shù)量的生命生存所需的條件，因此人口不可能無限制增加。隨著人口數(shù)量的增加，自然資源，環(huán)境條件等對人口再增長的限制作用將越來越顯著。于是我們假設(shè)在人口較少時，可以把人口增長率看成常數(shù)，但隨著人口的增加，我們應(yīng)該把人口增長率視為一個隨著人口增加而減小的量，從而我們可以將模型一（Malthus模型）優(yōu)化為一個阻滯增長模型（Logistic模型）。3、 模型假設(shè)（1） Malthus模型假設(shè)我國人口的增長符合人口指數(shù)增長的規(guī)律，即滿足Malthus模型的兩個前提：第一， 食物是人類生存所必需的；第二， 兩性間的情欲是必然的，而且?guī)缀鯐３?/p>

7、現(xiàn)狀。從這兩個“人類本性的固定法則” 出發(fā)，可以得出一個最基本的經(jīng)濟(jì)比例：食物或生活資料的增長與人口的增殖之間的關(guān)系。馬爾薩斯說， 人口的增殖比生活資料增長的要快，人口是按幾何級數(shù)增長的，而生活資料則只按算術(shù)級數(shù)增長。但是，馬爾薩斯并不認(rèn)為這兩個級數(shù)就是人口規(guī)律的反映，他提出，保持兩個級數(shù)平衡的唯一出路就是抑制人口的增長。他把所謂支配人類命運(yùn)的永恒的人口自然法則， 歸納成以下三個定理。三個定理：第一點(diǎn)是人口的制約原理， 說明人口與生活資料之間必然存在某種正常的比例， 即“人口的增長， 必然要受到生活資料的限制”；第二點(diǎn)是人口的增殖原理， 即“生活資料增加， 人口也常隨著增加”；第三點(diǎn)是馬爾薩斯

8、人口原理的核心， 稱之為人口的均衡原理， 即“占優(yōu)勢的人口繁殖力為貧困和罪惡所抑制，因而使現(xiàn)實(shí)的人口得以與生活資料保持平衡”。這個原理與前兩個原理是緊密相連的，它說明人口與生活資料之間最終將實(shí)現(xiàn)均衡， 但是這種均衡不是自然實(shí)現(xiàn)的，而是種種“抑制”的產(chǎn)物。所以，Malthus模型假設(shè)條件如下：1 設(shè)P(t)表示t時刻的人口數(shù)，且P(t)連續(xù)可微。2 人口的增長率r是常數(shù)(增長率=出生率-死亡率)。3 人口數(shù)量的變化是封閉，即人口數(shù)量的增加與減少只取決于人口中個體的生育與死亡，且每一個都具有同樣的的生育能力與死亡率。 （二）Logistic模型由于地球上的資源有限，當(dāng)人口數(shù)量發(fā)展到一定階段后，會產(chǎn)

9、生一系列問題，如食物短缺、居住和交通擁擠等。另外，隨著人口密度的增加，疾病將會增多，死亡率會上升，因此，人口的增長率不會是Malthus所假設(shè)的是一個常數(shù)不改變，而是會隨著人口數(shù)量增加而減少。假設(shè)增長率r表示P(t)的函數(shù)r(p)，且r(p)為p的減函數(shù)。1. 設(shè)r(p)為p的線性函數(shù)，r(p)=r-kp。2. 自然資源與環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)為Pm，即當(dāng)P=Pm時，增長率r(p)=0。4、 變量說明符號表示意義P人口數(shù)量t年份r人口自然增長率人口最大容納量起始年人口5、 模型建立與模型求解5.1 Malthus模型由假設(shè)一，時刻到時刻人口增量為于是可得 由分離變量法解得模型的解為對該模

10、型兩邊同時取對數(shù)得到一次線性擬合函數(shù)取表中1982到1998年的數(shù)據(jù)在MATLAB中M文件（附錄2）進(jìn)行線性最小二乘擬合可得出:f =0.013141 t - 14.5121所以可知r=0.013141,p(t)=101654*exp(0.013141*(t-1982)用MATLAB進(jìn)行指數(shù)擬合得到下圖圖2可以看出擬合曲線基本吻合，但是隨著時間t的增加其誤差逐漸加大，所以需要對其修正。5.2 Logistic模型由假設(shè)二可知，記p(t)是第t年的人口數(shù)量，人口增長率r(p)是p的線性函數(shù)，r(p)=r-kp。最大人口容納量為Pm。即當(dāng)P=Pm時，增長率r(p)=0。所以，(5.2.1)同樣利用

11、分離變量法求得其解(5.2.2)根據(jù)（5.2.1）式作出的曲線圖（圖1）以及由（5.2.2）式作出p-t曲線圖（圖2）O圖1 曲線圖圖2 p-t曲線圖從上述曲線圖以及表達(dá)式中，我們可以總結(jié)出如下規(guī)律：，它表明不管人口初始狀態(tài)是什么樣，人口總數(shù)最終都將趨于最大人口容納量。當(dāng)p(t)>pm時，<0；當(dāng)p(t)<pm時，>0。它表明當(dāng)人口數(shù)量超過最大人口容納量時，人口數(shù)量將減少，當(dāng)人口數(shù)量小于最大人口容納量時，人口數(shù)量將增加。人口變化率在時取到最大值，即人口總數(shù)達(dá)到極限值一半之前是加速生長的，經(jīng)過此點(diǎn)后，增長率會逐漸減小至0。采用非線性最小二乘估計法對參數(shù)r和pm進(jìn)行估計，通

12、過使用matlab編寫程序（附錄4）可得：r =0.01137，pm =3.7465e+04用MATLAB擬合圖像如下圖36、 模型檢驗(yàn)及結(jié)果分析經(jīng)過前面模型建立的工作，已建立出Malthus模型和Logisic模型?，F(xiàn)在根據(jù)所建立的模型預(yù)測相關(guān)年份的人口數(shù)量，并與實(shí)際人口數(shù)量相比較以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膬?yōu)劣性。Malthus模型與Logistic模型對我國人數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果年份實(shí)際人口/萬計算人口P1計算人口P21982101654101650101650198310300810300010250019841043571043601033501985105851105740104201986107507

13、107140105060198710930010856010592019881110261099901067901989112704111450107660199011433311292010853019911158231144201094101992117171115930110290199311851711746011118019941198501190201120701995121121120590112960199612238912219011386019971236261238001147701998124810125440115670對表中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可知：對于短期預(yù)測，這兩個模型

14、基本一致，但使用模型一更簡單；對于中長期預(yù)測，模型二要強(qiáng)于模型一。7、 模型評價與推廣1、 優(yōu)點(diǎn)：首先我們采用圖表結(jié)合法，比較直觀地表達(dá)出題中所給的信息，并據(jù)此得出了人口增長的基本規(guī)律。根據(jù)所給出的數(shù)據(jù)，對其進(jìn)行分析得出了人口增長率與人口總數(shù)的線性關(guān)系，從而建立了人口阻滯增長模型，對未來人口數(shù)的預(yù)測作出了較為準(zhǔn)確的判斷。模型一是依據(jù)英國神父T·Malthus的發(fā)現(xiàn)建立了指數(shù)型增長模型，經(jīng)過我們實(shí)際數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其人口早期的增長情況與Malthus模型的預(yù)測基本相符，然而隨著時間的增加，該模型的預(yù)測結(jié)果明顯出現(xiàn)了不合理性。其原因就是我們將人口增長率視為常數(shù)，因此需要對r進(jìn)行修正。所以

15、，我們將r表示為p的減函數(shù)，從而推導(dǎo)建立了模型二2、 缺點(diǎn)：本文對模型一中的參數(shù)只做了線性估計，所以其計算結(jié)果與實(shí)際誤差較大模型二中僅考慮了r與p的關(guān)系是線性的，沒有考慮非線性關(guān)系8、 參考文獻(xiàn)1.司守奎，孫兆亮，孫璽菁，周剛，仲維杰，康淑瑰.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用（第二版）.國防工業(yè)出版社，2016年2.姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型（第四版）.高等教育出版社·北京.2011年3.儲昌木，沈長春.數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用.西南交通大學(xué)出版社·成都.2015年4 胡守信，李柏年.基于MATLAB的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)M.北京科學(xué)出版社.2004年6月5 揚(yáng)啟帆，康旭升，等.數(shù)學(xué)模型M.北京：高等教

16、育出版社.2006年5月6 于學(xué)軍.中國人口科學(xué)2000年第2期，時間：2000-4-6，中國人口信息網(wǎng).附錄：1) syms x yx0=1982:1:1998y0=101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810xlabel('x')ylabel('y')plot(x0,y0,'*')2) t=1982:1:1998;y=log(101654) log(10

17、3008) log(104357) log(105851) log(107507) log(109300) log(111026) log(112704) log(114333) log(115823) log(117171) log(118517) log(119850) log(121121) log(122389) log(123626) log(124810)p1=polyfit(t,y,1);f=poly2str(p1,'t')3) syms x y px0=1982:1:1998y0=101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810xlabel('x')ylabel('y')plot(x0,y0,'*')hold ont=1982:1:1998p=101654.*exp(0.013141.*(t-1982)plot(x,p,'r','LineWidth',0.5);legend('