1、 第28講 最不利原則在日常生活和生產(chǎn)中，我們常常會遇到求最大值或最小值的問題，解答這類問題，常常需要從最不利的情況出發(fā)分析問題，這就是最不利原則。下面通過具體例子說明最不利原則以及它的應(yīng)用。例1口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各20個(gè)。問：一次最少摸出幾個(gè)球，才能保證至少有4個(gè)小球顏色相同？分析與解：如果碰巧一次取出的4個(gè)小球的顏色都相同，就回答是“4”，那么顯然不對，因?yàn)槊龅?個(gè)小球的顏色也可能不相同。回答是“4”是從最“有利”的情況考慮的，但為了“保證至少有4個(gè)小球顏色相同”，就要從最“不利”的情況考慮。如果最不利的情況都滿足題目要求，那么其它情況必然也能

2、滿足題目要求?！白畈焕钡那闆r是什么呢？那就是我們摸出3個(gè)紅球、3個(gè)黃球和3個(gè)藍(lán)球，此時(shí)三種顏色的球都是3個(gè)，卻無4個(gè)球同色。這樣摸出的9個(gè)球是“最不利”的情形。這時(shí)再摸出一個(gè)球，無論是紅、黃或藍(lán)色，都能保證有4個(gè)小球顏色相同。所以回答應(yīng)是最少摸出10個(gè)球。由例1看出，最不利原則就是從“極端糟糕”的情況考慮問題。如果例1的問題是“最少摸出幾個(gè)球就可能有4個(gè)球顏色相同”，那么我們就可以根據(jù)最有利的情況回答“4個(gè)”。現(xiàn)在的問題是“要保證有4個(gè)小球的顏色相同”，這“保證”二字就要求我們必須從最不利的情況分析問題。例2口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球共18個(gè)。其中紅球3個(gè)、黃球5個(gè)

3、、藍(lán)球10個(gè)?，F(xiàn)在一次從中任意取出n個(gè)，為保證這n個(gè)小球至少有5個(gè)同色，n的最小值是多少？分析與解：與例1類似，也要從“最不利”的情況考慮。最不利的情況是取了3個(gè)紅球、4個(gè)黃球和4個(gè)藍(lán)球，共11個(gè)。此時(shí)袋中只剩下黃球和藍(lán)球，所以再取一個(gè)球，無論是黃球還是藍(lán)球，都可以保證有5個(gè)球顏色相同。因此所求的最小值是12。例3一排椅子只有15個(gè)座位，部分座位已有人就座，樂樂來后一看，他無論坐在哪個(gè)座位，都將與已就座的人相鄰。問：在樂樂之前已就座的最少有幾人？分析與解：將15個(gè)座位順次編為115號。如果2號位、5號位已有人就座，那么就座1號位、3號位、4號位、6號位的人就必然與2號位或5號位的人相鄰。根據(jù)這

4、一想法，讓2號位、5號位、8號位、11號位、14號位都有人就座，也就是說，預(yù)先讓這5個(gè)座位有人就座，那么樂樂無論坐在哪個(gè)座位，必將與已就座的人相鄰。因此所求的答案為5人。例4一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)有10把鑰匙和10把鎖，最少要試驗(yàn)多少次就一定能使全部的鑰匙和鎖相匹配？分析與解：從最不利的情形考慮。用10把鑰匙依次去試第一把鎖，最不利的情況是試驗(yàn)了9次，前8次都沒打開，第9次無論打開或沒打開，都能確定與這把鎖相匹配的鑰匙（若沒打開，則第10把鑰匙與這把鎖相匹配）。同理，第二把鎖試驗(yàn)8次第九把鎖只需試驗(yàn)1次，第十把鎖不用再試（為什么？）。共要試驗(yàn)9872145（次）。所以，最少試驗(yàn)45次就一定能

5、使全部的鑰匙和鎖相匹配。例5在一副撲克牌中，最少要取出多少張，才能保證取出的牌中四種花色都有？分析與解：一副撲克牌有大、小王牌各1張，“紅桃”、“黑桃”、“方塊”、“梅花”四種花色各13張，共計(jì)有54張牌。最不利的情形是：取出四種花色中的三種花色的牌各13張，再加上2張王牌。這41張牌中沒有四種花色。剩下的正好是另一種花色的13張牌，再抽1張，四種花色都有了。因此最少要拿出42張牌，才能保證四種花色都有。例6若干箱貨物總重19.5噸，每箱重量不超過353千克，今有載重量為1.5噸的汽車，至少需要多少輛，才能確保這批貨物一次全部運(yùn)走？分析與解：汽車的載重量是1.5噸。如果每箱的重量是300千克（

6、或1500的小于353的約數(shù)），那么每輛汽車都是滿載，即運(yùn)了1.5噸貨物。這是最有利的情況，此時(shí)需要汽車÷1.513（輛）。如果裝箱的情況不能使汽車滿載，那么13輛汽車就不能把這批貨物一次運(yùn)走。為了確保把這批貨物一次運(yùn)走，需要從最不利的裝箱情況來考慮。最不利的情況就是使每輛車運(yùn)得盡量少，即空載最多。因?yàn)?53×41500，所以每輛車至少裝4箱。每箱300千克，每車能裝5箱。如果每箱比300千克略多一點(diǎn)，比如301千克，那么每車就只能裝4箱了。此時(shí)，每車載重301×41204（千克），空載1500-1204296（千克）。注意，這就是前面所說的“最不利的情況”。19

7、500÷120416236，也就是說，19.5噸貨物按最不利的情況，裝16車后余236千克，因?yàn)槊枯v車空載296千克，所以余下的236千克可以裝在任意一輛車中。綜上所述，16輛車可確保將這批貨物一次運(yùn)走。  練習(xí)281.口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各20個(gè)。問：一次最少摸出幾個(gè)，才能保證至少有5個(gè)小球顏色相同？2.口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球共20個(gè)，其中紅球4個(gè)、黃球6個(gè)、藍(lán)球10個(gè)。問：一次最少取出幾個(gè)，才能保證至少有6個(gè)小球顏色相同？3.一排椅子共有18個(gè)座位，部分座位已有人就座，樂樂來后一看，他無論坐在哪個(gè)座位，都將與已經(jīng)就座的人相鄰。問：在樂樂之前已就座的最少有幾人？4.一張圓桌有12個(gè)座位，部分座位已有人就座，樂樂來后一看，他無論坐在哪個(gè)座位，都將與已經(jīng)就座的人相鄰。問：在樂樂之前已就座的最少有幾人？5.口袋里有三種顏色的筷子各10根。問：（1）至少取幾根才能保證三種顏色的筷子都取到？（2）至少取幾根才能保證有顏色不同的兩雙筷子？（3）至少取幾根才能保證有顏色相同的兩雙筷子？6.一個(gè)布袋里有紅色、黃色、黑色襪子各20只。問：最少要拿多少只襪子才能保證其中至少有2雙