1、直線與平面垂直的判定1.1.了解線面垂直的判定定理的直觀感知，歸納推導(dǎo)過程了解線面垂直的判定定理的直觀感知，歸納推導(dǎo)過程. .2.2.理解線面垂直的定義以及判定定理理解線面垂直的定義以及判定定理. .3.3.能夠運用線面垂直的判定定理判定或證明線面垂直能夠運用線面垂直的判定定理判定或證明線面垂直. .1.1.本節(jié)課的重點是掌握線面垂直的定義以及判定定理、線面角本節(jié)課的重點是掌握線面垂直的定義以及判定定理、線面角的概念，并能正確運用的概念，并能正確運用. .2.2.本節(jié)課的難點是判定定理和線面角的理解以及應(yīng)用本節(jié)課的難點是判定定理和線面角的理解以及應(yīng)用. .1.1.直線與平面垂直直線與平面垂直(

2、1)(1)定義：若直線定義：若直線l與平面與平面內(nèi)的內(nèi)的_直線都垂直，則直直線都垂直，則直線線l與平面與平面互相垂直互相垂直. .記作記作_._.(2)(2)相關(guān)概念：直線相關(guān)概念：直線l叫做平面叫做平面的的_._.平面平面叫做直線叫做直線l的的_._.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點叫做直線與平面垂直時，它們唯一的公共點叫做_._.任意一條任意一條l垂線垂線垂面垂面垂足垂足(3)(3)畫法：通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂畫法：通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖直，如圖. .2.2.直線與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的判定定理(1)(1)語言表述語言表述條

3、件：直線垂直于平面內(nèi)的兩條條件：直線垂直于平面內(nèi)的兩條_._.結(jié)論結(jié)論: :直線與此平面直線與此平面_._.(2)(2)符號表述：符號表述：laalbb_相交直線相交直線垂直垂直l.a a,b,bab=Pab=P1.1.若直線若直線l與平面與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，能否一定得出直線內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，能否一定得出直線l與平面與平面垂直？垂直？1.1.若直線若直線l與平面與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，能否一定得出直線內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，能否一定得出直線l與平面與平面垂直？垂直？提示：提示：不一定不一定. .如果這無數(shù)條直線是一組平行線，就得不出垂如果這無數(shù)條直線是一組平行線，就得不出垂直直. .2.

4、2.若直線若直線mm直線直線n,n,且直線且直線mm平面平面,能否推出直線能否推出直線nn平面平面?. .2.2.若直線若直線mm直線直線n,n,且直線且直線mm平面平面,能否推出直線能否推出直線nn平面平面?提示提示: :能能. .任取直線任取直線a a,b,b,ab=P,ab=P，又直線，又直線mm平面平面,所以所以ma,mbma,mb，又直線，又直線mm直線直線n,n,所以所以na,nb,na,nb,于是得直線于是得直線nn平平面面.3.3.如果直線如果直線l與平面與平面內(nèi)的所有直線都垂直，則直線內(nèi)的所有直線都垂直，則直線l與平面與平面的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_._.3.3.如果直線如果

5、直線l與平面與平面內(nèi)的所有直線都垂直，則直線內(nèi)的所有直線都垂直，則直線l與平面與平面的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_._.【解析】【解析】由線面垂直的定義可知，直線由線面垂直的定義可知，直線l垂直于平面垂直于平面.答案：答案：垂直垂直1.1.關(guān)于直線與平面垂直的定義的理解關(guān)于直線與平面垂直的定義的理解(1)(1)定義中的定義中的“任何一條直線任何一條直線”這一詞語，它與這一詞語，它與“所有直線所有直線”是同義語，定義是說這條直線和平面內(nèi)所有直線垂直是同義語，定義是說這條直線和平面內(nèi)所有直線垂直. .(2)(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊形式直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊形式.

6、 .(3)(3)若直線與平面垂直，則直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂若直線與平面垂直，則直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，即直，即“線面垂直，則線線垂直線面垂直，則線線垂直”，這是我們判定兩條直線垂，這是我們判定兩條直線垂直時經(jīng)常使用的一種重要方法直時經(jīng)常使用的一種重要方法. .(4)(4)在畫線面垂直時，要把直線畫成和表示平面的平行四邊形在畫線面垂直時，要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直，符號語言表述為的橫邊垂直，符號語言表述為l. 線面垂直的判定定理的理解線面垂直的判定定理的理解【技法點撥】【技法點撥】正確把握線面垂直的判定定理正確把握線面垂直的判定定理(1)(1)記法及意義：記法

7、及意義：“線線垂直，則線面垂直線線垂直，則線面垂直”中中“線線線線”指一指一條直線和平面內(nèi)的兩相交直線；條直線和平面內(nèi)的兩相交直線；“線面線面”指這條直線和兩相交指這條直線和兩相交直線所在的平面直線所在的平面. .(2)(2)成立的條件：直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，此直線成立的條件：直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，此直線與兩相交直線有無公共點均可與兩相交直線有無公共點均可. .【典例訓(xùn)練】【典例訓(xùn)練】1.1.下列說法中正確的個數(shù)是下列說法中正確的個數(shù)是( )( )若直線若直線l與平面與平面內(nèi)的一條直線垂直，則內(nèi)的一條直線垂直，則l.若直線若直線l與平面與平面內(nèi)的兩條直線垂直，則內(nèi)的兩條直線

8、垂直，則l.若直線若直線l與平面與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則內(nèi)的兩條相交直線垂直，則l.若直線若直線l與平面與平面內(nèi)的任意一條直線垂直，則內(nèi)的任意一條直線垂直，則l.(A)4 (B)2 (C)3 (D)1(A)4 (B)2 (C)3 (D)12.2.如圖所示：如圖所示：直角直角ABCABC所在的平面外一點所在的平面外一點S S，SA=SB=SC,SA=SB=SC,點點D D為斜邊為斜邊ACAC的中點的中點. .則直線則直線SDSD與平面與平面ABCABC的位置關(guān)系為的位置關(guān)系為_._.【解析】【解析】1.1.選選B.B.對于對于不能斷定該直線與平面垂直，該直線不能斷定該直線與平面垂直，該直線

9、與平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面內(nèi)，所以是錯誤與平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面內(nèi)，所以是錯誤的，的，是正確的是正確的. .2.SA=SC2.SA=SC，點，點D D為斜邊為斜邊ACAC的中點，的中點，SDAC.SDAC.連接連接BD,BD,在在RtRtABCABC中，則中，則AD=DC=BDAD=DC=BD，ADSADSBDSBDS，SDBD.SDBD.又又ACBD=D,ACBD=D,SDSD平面平面ABC.ABC.答案：答案：垂直垂直. .【互動探究】【互動探究】在題在題2 2中，若中，若AB=BC,AB=BC,其他條件不變，則其他條件不變，則BDBD與平面與平面SACSAC

10、的位置關(guān)系為的位置關(guān)系為_._.【解題指南】【解題指南】利用線面垂直的定義以及判定定理利用線面垂直的定義以及判定定理. .【解析】【解析】AB=BCAB=BC，點，點D D為斜邊為斜邊ACAC的中點，的中點，BDAC.BDAC.又由題又由題2 2知知SDSD平面平面ABCABC，SDBD.SDBD.于是于是BDBD垂直于平面垂直于平面SACSAC內(nèi)的兩條相交直線，內(nèi)的兩條相交直線，故故BDBD平面平面SAC.SAC.答案：答案：垂直垂直【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】設(shè)設(shè)表示平面，表示平面，a a，b b表示直線，給出下列四個命表示直線，給出下列四個命題，題， bb其中正確的命題序號是其中正確的命題序

11、號是_._.ababa aaaababaabbababaaababbbbb【解析】【解析】由由ab,aab,a,可得可得b b或或bb，而得不到，而得不到b,b,故故錯錯. .由平行線的性質(zhì)以及線面垂直的定義可知由平行線的性質(zhì)以及線面垂直的定義可知正確正確. .若直若直線線b b，則，則錯誤；對于錯誤；對于，直線，直線b b有可能與平面有可能與平面平行或斜平行或斜交或在平面交或在平面內(nèi)內(nèi), ,故錯誤故錯誤. .答案：答案： 線面垂直的判定線面垂直的判定【技法點撥】【技法點撥】1.1.利用線面垂直的判定定理證明直線與平面垂直的步驟利用線面垂直的判定定理證明直線與平面垂直的步驟(1)(1)在這個平

12、面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直在這個平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直. .(2)(2)確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線. .(3)(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論根據(jù)判定定理得出結(jié)論. .2.2.解決線面垂直的常用方法解決線面垂直的常用方法(1)(1)利用勾股定理的逆定理利用勾股定理的逆定理. .(2)(2)利用等腰三角形底邊的中線就是底邊的高線利用等腰三角形底邊的中線就是底邊的高線. .(3)(3)利用線面垂直的定義利用線面垂直的定義. .(4)(4)利用平行轉(zhuǎn)化，即利用平行轉(zhuǎn)化，即abab，bcbc，則，則ac.ac.【典例訓(xùn)練】【典例訓(xùn)練】1.1

13、.如圖所示，如果如圖所示，如果MCMC菱形菱形ABCDABCD所在平面，那么所在平面，那么MAMA與與BDBD的位置的位置關(guān)系是關(guān)系是( )( )(A)(A)平行平行 (B)(B)垂直相交垂直相交(C)(C)垂直但不相交垂直但不相交 (D)(D)相交但不垂直相交但不垂直2.2.如圖所示，在三棱柱如圖所示，在三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，側(cè)棱中，側(cè)棱AAAA1 1底面底面ABCABC，AB=AC=1AB=AC=1，AAAA1 1=2=2，BB1 1A A1 1C C1 1=90=90，D D為為BBBB1 1的中點的中點. .求證：求證：ADAD平面平面A A1 1

14、DCDC1 1【解析】【解析】1.1.選選C.C.連接連接AC,AC,因為因為ABCDABCD是菱形，所以是菱形，所以BDAC.BDAC.又又MCMC平面平面ABCDABCD，則，則BDMC.BDMC.因為因為ACMC=C,ACMC=C,所以所以BDBD平面平面AMC.AMC.又又MAMA平面平面AMCAMC，所以，所以MABD.MABD.顯然直線顯然直線MAMA與直線與直線BDBD不共面，因此直線不共面，因此直線MAMA與與BDBD的位置關(guān)系是垂直但不相交的位置關(guān)系是垂直但不相交. .2.AA2.AA1 1底面底面ABC,ABC,平面平面A A1 1B B1 1C C1 1平面平面ABCAB

15、C，AAAA1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1，AA1 1C C1 1AAAA1 1. .又又BB1 1A A1 1C C1 1=90=90，AA1 1C C1 1AA1 1B B1 1而而A A1 1B B1 1AAAA1 1=A=A1 1, ,AA1 1C C1 1平面平面AAAA1 1B B1 1B,ADB,AD平面平面AAAA1 1B B1 1B,B,AA1 1C C1 1AD.AD.由已知計算得由已知計算得AD= ,AAD= ,A1 1D= ,AAD= ,AA1 1=2.=2.ADAD2 2+A+A1 1D D2 2=AA=AA1 12 2, ,AA1 1DAD.DA

16、D.AA1 1C C1 1AA1 1D=AD=A1 1, ,ADAD平面平面A A1 1DCDC1 1. .22【思考】【思考】(1)(1)判定線面垂直的依據(jù)主要有哪些？判定線面垂直的依據(jù)主要有哪些？(2)(2)利用線面垂直的判定定理時易出現(xiàn)哪方面的失誤？利用線面垂直的判定定理時易出現(xiàn)哪方面的失誤？提示：提示：(1)(1)直線與平面垂直的定義以及判定定理都是判斷直線直線與平面垂直的定義以及判定定理都是判斷直線與平面垂直的依據(jù)，但前者要說明直線與平面內(nèi)所有直線的情與平面垂直的依據(jù)，但前者要說明直線與平面內(nèi)所有直線的情況，后者只需說明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線的情況就可以況，后者只需說明直線與平面

17、內(nèi)的兩條相交直線的情況就可以了了. .(2)(2)在證明出所要證的直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直后，易忽在證明出所要證的直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直后，易忽略說明這兩條直線是相交直線略說明這兩條直線是相交直線. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M為棱為棱CCCC1 1的中點，的中點，ACAC交交BDBD于點于點O.O.求證：求證：A A1 1OO平面平面MBD.MBD.【證明】【證明】連接連接MO.MO.BDABDA1 1A,BDAC,AA,BDAC,A1 1AAC=A,AAC=A,BDBD平面平面A A1 1A

18、CCACC1 1. .而而A A1 1O O平面平面A A1 1ACCACC1 1，AA1 1OBD.OBD.又又RtRtA A1 1AO RtAO RtOCMOCM，AAAA1 1O=MOCO=MOC，則則AA1 1OA+MOC=90OA+MOC=90，AA1 1OOM.OOM.OMBD=O,OMBD=O,AA1 1OO平面平面MBD.MBD.1AOCM2AACO2，【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】證明線面垂直證明線面垂直【典例】【典例】(12(12分分) )如圖，已知如圖，已知P P是是ABCABC所在平面外一點，所在平面外一點，PA,PB,PCPA,PB,PC兩兩互相垂直，兩兩互相垂直，H H是

19、是ABCABC的垂心的垂心. .求證：求證：PHPH平面平面ABC.ABC.【解題指導(dǎo)】【解題指導(dǎo)】【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】如圖所示，如圖所示，PCAPPCAP，PCBPPCBP，APBP=PAPBP=P ，APAP平面平面APBAPB，BPBP平面平面APBAPB，PCPC平面平面APB.3APB.3分分ABAB平面平面APBAPB，PCAB.5PCAB.5分分連接連接CHCH，HH為為ABCABC的垂心，的垂心，CHABCHAB，77分分PCCH=CPCCH=C，PCPC平面平面PHC,CHPHC,CH平面平面PHCPHC，ABAB平面平面PHCPHC，PHPH平面平面PHCPHC，ABP

20、HABPH. .99分分同理可證同理可證PHBC.10PHBC.10分分ABAB平面平面ABCABC，BCBC平面平面ABCABC且且ABBC=BABBC=B，PHPH平面平面ABC.12ABC.12分分【規(guī)范訓(xùn)練】【規(guī)范訓(xùn)練】(12(12分分) )如圖，已知如圖，已知PAPA圓圓O O所在平面，所在平面，ABAB為圓為圓O O的的直徑，直徑，C C是圓周上的任意一點，過是圓周上的任意一點，過A A作作AEPCAEPC于于E.E.求證：求證：AEAE平平面面PBC.PBC.【解題設(shè)問】【解題設(shè)問】(1)(1)由由PAPA圓圓O O所在平面會得到線線垂直，根據(jù)所在平面會得到線線垂直，根據(jù)是什么？

21、是什么？_. .(2)(2)欲證欲證AEAE平面平面PBC.PBC.可利用可利用_. .線面垂直的定義線面垂直的定義線面垂直的判定定理線面垂直的判定定理【規(guī)范答題】【規(guī)范答題】PAPA平面平面ABCABC，BCBC平面平面ABCABC，PABC.3PABC.3分分ACBC,ACPA=AACBC,ACPA=A，BCBC平面平面PAC.PAC.AEAE平面平面PACPAC，66分分BCAE.8BCAE.8分分又又PCAEPCAE，BCPC=CBCPC=C，1010分分PCPC平面平面PBC,BCPBC,BC平面平面PBCPBC，AEAE平面平面PBC.12PBC.12分分1.1.一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形的一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是第三邊的位置關(guān)系是( )( )(A)(A)平行平行 (B)(B)垂直垂直(C)(C)相交不垂直相交不垂直 (D)(D)不確定不確定2.2.直線直線a a與與b b垂直，垂直，bb平面平面，則，則a a與平面與平面的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是( )( )(A)a (B)a(A)a (B)a(C)a(C)a (D)a (D)a或或aa3.3.已知兩條直線已知兩條直線m,nm,n，兩個平面，兩個平面,，給出下面四種說法：，給出下面四種說