1、重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”初中第六次課題會(huì)議成果綜述人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室李海東摘要：本文通過對(duì)二元一次方程組和反比例函數(shù)的教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的剖析，闡述了數(shù)學(xué)思想方法隱喻性、層次性、活動(dòng)性、過程性的特點(diǎn)，并提出要結(jié)合引入過程、問題設(shè)計(jì)、小結(jié)等環(huán)節(jié)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué) 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法；教學(xué)設(shè)計(jì) “中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”初中第六次課題會(huì)議，于2010年4月810日在江蘇省南通市召開。本次會(huì)議與人教版初中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材修訂工作征求意見會(huì)同時(shí)舉行。參加本次課題會(huì)研究課和評(píng)課活動(dòng)

2、的代表，除課題組成員外，還有部分人教版初中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材培訓(xùn)講師團(tuán)的成員，南通市初中數(shù)學(xué)教師等共200多人。 本次會(huì)議以“消元二元一次方程組的解法”為題，由北京五中分校曹自由老師、山西省陽(yáng)泉市第十九中學(xué)翟秀蕊老師各上了一堂現(xiàn)場(chǎng)研究課；以“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”為題，由天津市新華中學(xué)李慶老師、江蘇省南通市第一初級(jí)中學(xué)許磊老師各上了一堂現(xiàn)場(chǎng)研究課。這兩個(gè)課題都是常規(guī)的教學(xué)內(nèi)容，內(nèi)容看似簡(jiǎn)單，但其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。在研究課后的評(píng)課、討論環(huán)節(jié)，除了對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)的成敗得失進(jìn)行了客觀的分析點(diǎn)評(píng)外，很多老師都談到了這兩個(gè)課題所蘊(yùn)含的思想方法。會(huì)后，課題組成員的反思文章中，思想方法

3、也是大家主要研究的內(nèi)容。現(xiàn)將本次會(huì)議會(huì)上討論和會(huì)后反思的成果整理出來，以供研究和討論。 一、對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí) “數(shù)學(xué)思想方法”一詞，在數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域已被廣泛使用。對(duì)于什么是數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育工作者有諸多論述。概括起來，大家通常是從“數(shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)方法”兩個(gè)角度進(jìn)行闡述的。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容（如概念、命題、規(guī)律）和數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過程中提煉出來的基本觀點(diǎn)和根本想法，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)具有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)方法是指數(shù)學(xué)活動(dòng)中所采用的各種方式、手段途徑、策略等。 數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、

4、數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的三個(gè)層次，它們相互聯(lián)系，協(xié)同發(fā)展。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想方法解決問題所依附的材料；數(shù)學(xué)方法是解決問題的途徑、手段，是數(shù)學(xué)思想發(fā)展的前提；數(shù)學(xué)思想是一類數(shù)學(xué)方法本質(zhì)特征的反映，是數(shù)學(xué)方法的靈魂。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是緊密聯(lián)系的，通常，在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)思想時(shí)稱數(shù)學(xué)思想，在強(qiáng)調(diào)具體操作過程時(shí)則稱數(shù)學(xué)方法。 對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育工作者的表述也不盡相同。概括起來，可以分為兩類。一類是科學(xué)思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，如分類討論、分析與綜合、歸納與演繹、類比、化歸思想等；另一類是數(shù)學(xué)學(xué)科特有的思想方法，如符號(hào)與變?cè)硎?、模型化、集合與對(duì)應(yīng)、公理化與結(jié)構(gòu)化

5、、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、極限、算法與程序化、概率統(tǒng)計(jì)的思想方法等等。 數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟能使學(xué)生所學(xué)的知識(shí)不再是零散的知識(shí)點(diǎn)，它能幫助學(xué)生形成有序的知識(shí)鏈，建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；它是銘記在人們頭腦中起永恒作用的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和文化，是使學(xué)生提高數(shù)學(xué)思維水平，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，從而發(fā)展數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的保證。因此必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)可分為三個(gè)層次：滲透、介紹和突出。滲透，就是要在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，融進(jìn)某些抽象的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生對(duì)這些思想方法有一些初步的感覺或直覺。例如，對(duì)于集合與對(duì)應(yīng)、公理化與結(jié)構(gòu)化、極限、算法與程序化的思想方法等。介

6、紹，就是要把某些數(shù)學(xué)思想方法在適當(dāng)時(shí)候引進(jìn)到數(shù)學(xué)知識(shí)中，使學(xué)生對(duì)這些思想方法由初步的理解，有一定的理性認(rèn)識(shí)。例如，對(duì)符號(hào)與變?cè)硎?、模型化、?shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、概率統(tǒng)計(jì)、分類、化歸的思想方法等。突出，就是要在介紹的基礎(chǔ)上經(jīng)常性地予以強(qiáng)調(diào)，使學(xué)生能加以運(yùn)用。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要突出的有數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸的思想方法等。當(dāng)然，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的不斷深入，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的要求也是不斷深入的。例如算法的思想方法在初中階段可以結(jié)合解方程（組）等進(jìn)行“滲透”，到了高中就要求是“介紹”甚至“突出”的層次了。 二、做好內(nèi)容解析，析出教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法 除“核心概念”外，“思想方法”

7、也是本課題研究的重點(diǎn)內(nèi)容，數(shù)學(xué)思想方法具有隱喻性的特點(diǎn)，它隱于知識(shí)內(nèi)部，要經(jīng)過反復(fù)體驗(yàn)才能領(lǐng)悟和運(yùn)用。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，首先需要從對(duì)教學(xué)內(nèi)容的分析入手，析出其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。課題組的教學(xué)設(shè)計(jì)框架中第一條就是“內(nèi)容和內(nèi)容解析”，其用意不僅是要在揭示概念內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，說明概念的核心，對(duì)概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位進(jìn)行分析，還要求對(duì)其中隱含的數(shù)學(xué)思想方法做出明確表述。這就要求我們要理解教學(xué)內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法。 1“二元一次方程祖的解法”教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法分析。 在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了一元一次方程，那時(shí)要解的是含有一個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程。對(duì)于“如何解由含有多個(gè)未

8、知數(shù)的多個(gè)方程組成的方程組”的新問題，自然可以聯(lián)想到相關(guān)的“解含有一個(gè)未知數(shù)的一元一次方程”的老問題，這是非常自然的思考方法。怎樣解決新問題呢？首先就是要設(shè)法把復(fù)雜的新問題轉(zhuǎn)化為老問題形式，這就是化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化陌生為熟悉、化困難為容易的化歸思想。這里將新問題轉(zhuǎn)化為老問題就是要將含多個(gè)未知數(shù)的多個(gè)方程，轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，先求出一個(gè)未知數(shù)，再逐步擴(kuò)大戰(zhàn)果，求出其余未知數(shù)。這也是非常自然的思考方法，這種“將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決”的思想就是消元思想。確立了解決問題的思路，接下來就是如何實(shí)現(xiàn)消元了，也就產(chǎn)生了代入與加減兩種消元的方法。而為了實(shí)現(xiàn)“代入”與“加減”，

9、還需要具體的代數(shù)的恒等變換的方法。 “消元二元一次方程組的解法”的教學(xué)中蘊(yùn)含的思想方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的層次性的特點(diǎn)，這種層次也反映了對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識(shí)的概括程度的高低。這里，化歸是第一個(gè)層次，消元是第二個(gè)層次，代入和加減是第三個(gè)層次，恒等變換是第四個(gè)層次。從培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和方法的角度看，本節(jié)課的教學(xué)不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用代入法或加減法解二元一次方程組，更重要的是要引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生和理解消元思想，體會(huì)解決新問題的過程（化歸）。消元是學(xué)生自覺地、主動(dòng)地理解和掌握代入法、加減法等具體解法的基礎(chǔ)，也是避免死記硬背解法程序的關(guān)鍵。 2“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方

10、法分析。 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、變化與對(duì)應(yīng)、類比、轉(zhuǎn)化等豐富的數(shù)學(xué)思想方法。 首先，反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，本身就是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體通過對(duì)圖象的研究和分析，可以確定函數(shù)本身的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。反比例函數(shù)是自變量和因變量之間具有反比例關(guān)系的函數(shù)，無論從其概念，還是其性質(zhì)（在某一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大或減?。┒俭w現(xiàn)了變化與對(duì)應(yīng)的函數(shù)思想。研究反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)，由“解析式（確定自變量取值范圍）”到“作圖（列表、描點(diǎn)、連線）”，再到“性質(zhì)（觀察圖象探究性質(zhì)）”，充分體現(xiàn)了由“數(shù)”到“形”，再由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化過程，這種函數(shù)解析式及

11、性質(zhì)與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了兩者間的轉(zhuǎn)化對(duì)分析解決問題的特殊作用，是轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用。 另外，從研究方法上來看，反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)也體現(xiàn)了研究函數(shù)的一般套路和方法，是繼一次函數(shù)學(xué)習(xí)之后的再一次強(qiáng)化。教材中呈現(xiàn)的不論是“函數(shù)概念函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用”的整體結(jié)構(gòu)，還是具體研究函數(shù)概念、函數(shù)圖象和性質(zhì)的處理也都是一脈相承的。這種同構(gòu)對(duì)于學(xué)生明確學(xué)習(xí)任務(wù)，建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也將是非常有意義的。正因?yàn)槿绱?，研究反比例函?shù)的圖象和性質(zhì)可以類比研究正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)來進(jìn)行。需要注意的是，這里的類比不僅僅有研究?jī)?nèi)容的類比（包括自變量的取值范圍，函數(shù)圖象的形狀、位置，函數(shù)的增減性等）

12、，更重要的是研究方法的類比，也就是數(shù)形結(jié)合地研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的“三步曲”（畫出函數(shù)圖象從圖象上觀察函數(shù)的性質(zhì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述這些性質(zhì)）。要注意，類比不僅僅要關(guān)注“同”，也要關(guān)注“異”，“異”才是體現(xiàn)某一知識(shí)本質(zhì)屬性的東西。例如，反比例函數(shù)圖象的不連續(xù)性是其與正比例函數(shù)圖象的一個(gè)不同點(diǎn)，它也是反比例函數(shù)需要在不同象限內(nèi)分別討論增減性的原因，這也是本課學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)。解決這一難點(diǎn)的辦法是要回到解析式上（x0），而這正是從“形”到“數(shù)”，這也是數(shù)形結(jié)合的思想方法的體現(xiàn)。 三、精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué) 數(shù)學(xué)思想方法具有過程性的特點(diǎn)，它蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過

13、程中，數(shù)學(xué)概念和原理的形成過程是進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的載體，沒有“過程”就沒有“思想”。數(shù)學(xué)思想方法還具有活動(dòng)性的特點(diǎn)，學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)思想方法也是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中逐步形成的，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)重在體驗(yàn)和領(lǐng)悟，逐步形成用這些思想方法進(jìn)行思維的習(xí)慣。這就要求我們精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，從問題的提出、情景的創(chuàng)設(shè)，到教學(xué)方法的選擇，整個(gè)教學(xué)過程都要精心設(shè)計(jì)安排，做到有意識(shí)有目的地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。 1引入過程重視“先行組織者”的使用，加強(qiáng)研究方法的指導(dǎo)。 奧蘇伯爾提出：在呈現(xiàn)具體內(nèi)容之前，先呈現(xiàn)一些密切相關(guān)的、包容范圍廣但又非常容易使人理解和記憶的引導(dǎo)性材料先行組織者。先行組織者

14、能激活認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已具備的相關(guān)概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到它們之間的聯(lián)系；先行組織者為將要學(xué)習(xí)的材料提供了一個(gè)框架或線索，起到了“導(dǎo)游圖”的作用，能使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)程心中有數(shù)，幫助學(xué)生建立有意義學(xué)習(xí)的心向，有助于學(xué)生掌握研究問題的方法。 例如，在反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的引入部分，兩位老師的教學(xué)設(shè)計(jì)都是類比了正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先讓學(xué)生回顧正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并列出表格，列出解析式、形狀、位置、圖象趨勢(shì)、增減性等，接下來類比這些內(nèi)容研究反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)。北京的王玉起、雷曉莉，天津的何志平老師都指出，這樣教學(xué)也體現(xiàn)了類比的思想，但立意似乎低了些，沒有讓學(xué)生真正體會(huì)到研究函數(shù)圖象和性質(zhì)的思

15、想方法。事實(shí)上，在給出課題后，可以先給學(xué)生這樣的先行組織者：要研究反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，首先思考我們研究過哪些函數(shù)的圖象和性質(zhì)？是怎么研究的？也就是要研究那些問題？研究的方法是什么？這樣設(shè)問，也是要讓學(xué)生回顧正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，但顯然觀點(diǎn)高了，不僅復(fù)習(xí)正比例函數(shù)的圖象是什么，有哪些性質(zhì)，更重要的是讓學(xué)生明確研究函數(shù)圖象和性質(zhì)的的基本套路，要明確研究哪些問題，還要知道研究的方法，這才是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維策略的引導(dǎo)。這樣從整體上概括地思考一下研究的內(nèi)容和方法，不僅對(duì)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法有作用，而且也有助于學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)。 2設(shè)計(jì)好的問題，讓學(xué)生經(jīng)歷思想方法的形成過程&

16、#160;要使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)思想方法，必須要有他們自己身體力行的實(shí)踐，從自己親身經(jīng)歷的探索思考過程中獲得體驗(yàn)，從自己不斷深入的概括活動(dòng)中，獲得對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生解決問題策略的“關(guān)節(jié)點(diǎn)”上，要注意提出恰當(dāng)?shù)?、?duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維有適度啟發(fā)的問題，結(jié)合問題的解決，讓學(xué)生經(jīng)歷思想方法的形成過程。 例如，人教社宋莉莉老師指出，對(duì)于“消元二元一次方程組的解法”這一內(nèi)容，兩位教師采用了不同的方式引導(dǎo)學(xué)生分析求解方程組的思路。曹老師在給出上節(jié)課的方程組并讓學(xué)生回憶已學(xué)過的與解方程有關(guān)的知識(shí)后，直接讓學(xué)生嘗試自己根據(jù)等式的性質(zhì)求解給定的方程組。缺少了引導(dǎo)

17、學(xué)生回憶解一元一次方程中的化歸過程，以及要將解二元一次方程組的問題轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的體現(xiàn)化歸思想的問題，喪失了一次向?qū)W生滲透化歸這一重要思想方法的機(jī)會(huì)。翟老師再結(jié)合問題情境得到方程組和一元一次方程3x2(143x)=14后，沒有直接對(duì)二者進(jìn)行比較（這種比較有利于發(fā)現(xiàn)未知與已知的聯(lián)系，為學(xué)生指明了將未知轉(zhuǎn)化為已知的一種途徑），轉(zhuǎn)而另外給出兩個(gè)二元一次方程，讓學(xué)生練習(xí)用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)。這種引導(dǎo)，不如在解決同一問題的兩種解法中尋求聯(lián)系更加自然，更有利于學(xué)生思維的發(fā)展。 在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，還要注意例子的選擇。一個(gè)好例子勝過百次抽象說教。好例子能給學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)提供一個(gè)“生

18、長(zhǎng)點(diǎn)”，使他們?cè)谟龅骄唧w問題時(shí)能受到例子的啟發(fā)而想到該怎么做，也有助于結(jié)合它們理解解決問題的思想方法。例子的選擇要注意指向核心的知識(shí)和思想方法。例如，在“二元一次方程組的解法”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，兩位老師都使用了如和的解方程組例子。教師的本意是突出訓(xùn)練整體代換的方法進(jìn)行消元。實(shí)際上，相比化歸、消元而言，整體代換更是技巧，如果是方法，也是比前文講的“恒等變換”還要最低層次的方法。作為二元一次方程組織的解法的第一課時(shí)，本節(jié)課選擇的例題和練習(xí)應(yīng)更關(guān)注基本題型，以更有助于學(xué)生對(duì)基本思想方法的理解。 3發(fā)揮小結(jié)的作用，讓學(xué)生學(xué)習(xí)的思想方法也納入認(rèn)知系統(tǒng)。 小結(jié)不僅要引導(dǎo)學(xué)生歸納知識(shí)結(jié)構(gòu)，還要對(duì)思想方法進(jìn)行概括總結(jié)，這一點(diǎn)也逐步得到了老師們的重視。但在目前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，小結(jié)往往“八股化”，教師