1、2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（理科）不等式選講（精解精析）1(2021年高考全國乙卷理科)已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集;(2)若，求a的取值范圍【答案】（1）（2）解析：（1）當(dāng)時(shí)，表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和不小于，故或，所以的解集為（2）依題意，即恒成立，故，所以或，解得所以的取值范圍是【點(diǎn)睛】解絕對值不等式的方法有零點(diǎn)分段法、幾何意義法2(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)已知函數(shù)(1)畫出的圖像；(2)求不等式的解集【答案】（1）詳解解析；（2）【解析】（1）因?yàn)椋鞒鰣D象，如圖所示：（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象，

2、如圖所示：由，解得所以不等式的解集為【點(diǎn)睛】本題主要考查畫分段函數(shù)的圖象，以及利用圖象解不等式，意在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，屬于基礎(chǔ)題3(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若，求a的取值范圍 【答案】（1）或；（2）解析：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，解得：；當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，解得：；綜上所述：的解集為或（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），解得：或，的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的求解、利用絕對值三角不等式求解最值的問題，屬于?？碱}型4(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)設(shè)a，b，cR，a+b+c=0，abc=1(1)證明：ab+bc+ca<0；(2)用maxa，

3、b，c表示a，b，c中的最大值，證明：maxa，b，c【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析解析：（1），均不為，則，；（2）不妨設(shè)，由可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，即【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題5(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)設(shè)，且(1)求的最小值；(2)若成立，證明：或【答案】【答案】(1)；(2)見詳解【官方解析】（1）由于 故由已知得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立所以的最小值為（2）由于故由已知得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立因此的最小值為由題設(shè)知，解得或【解法2】柯西不等式法 (1)，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立所以的最小值為(2)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立成立所以成立

4、，所以有或【點(diǎn)評】本題兩問思路一樣，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，屬于中檔題型6(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國卷理科)已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；當(dāng)時(shí)，求的取值范圍【答案】；【官方解析】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，不等式的解集為.因?yàn)?，所?當(dāng)，時(shí)，所以，的取值范圍是.【分析】根據(jù)，將原不等式化為，分別討論，三種情況，即可求出結(jié)果；分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果.【解析】當(dāng)時(shí)，原不等式可化為；當(dāng)時(shí)，原不等式可化，即，顯然成立，此時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，此時(shí)解集為空集；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，即，顯然不成立；此時(shí)解集為空集；綜上，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以由可?/p>

5、，即，顯然恒成立；所以滿足題意；當(dāng)時(shí)，因時(shí)， 顯然不能成立，所以不滿足題意；綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)評】本題主要考查含絕對值的不等式，熟記分類討論的方法求解即可，屬于?？碱}型.7(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國卷理科)已知，為正數(shù)，且滿足證明：(1)；(2)【答案】解：（1）因?yàn)椋?，故有所?（2）因?yàn)闉檎龜?shù)且，故有所以8(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷（理）)【選修45：不等式選講】(10分)設(shè)函數(shù)(1)畫出的圖象；(2)當(dāng)時(shí)，求的最小值【答案】【官方解析】（1）的圖像如圖所示（2）由（1）知，的圖像與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，在成立，因此的最小值為【民間解析

6、】（1），可作出函數(shù)的圖象如下圖（2）依題意可知在上恒成立，在上也恒成立當(dāng)時(shí)，恒成立即在上恒成立所以，且，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，即恒成立結(jié)合，可知即綜上可知，所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值9(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷（理）)選修45：不等式選講(10分)設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若，求的取值范圍【答案】解析：（1）當(dāng)時(shí)，可得的解集為（2）等價(jià)于而，且當(dāng)時(shí)等號成立，故等價(jià)于由可得或，所以的取值范圍是10(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷（理）)選修45：不等式選講(10分)已知(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若時(shí)不等式成立，求的取值范圍【答案】解析：（1）當(dāng)時(shí)，即故不等式的解集為（2）當(dāng)時(shí)成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)成

7、立若，則當(dāng)時(shí)；若，的解集為，所以，故綜上，的取值范圍為11(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷理科)選修45:不等式選講已知函數(shù),(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范圍2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷理科【答案】(1);(2) 【分析】(1)將代入,不等式等價(jià)于,對按,討論,得出最值的解集;(2)當(dāng)時(shí),若的解集包含,等價(jià)于當(dāng)時(shí),則在的最小值必為與之一,所以且,得,所以的取值范圍為 【解析】(1)當(dāng)時(shí),不等式等價(jià)于 當(dāng)時(shí),式化為,無解; 當(dāng)時(shí),式化為,從而; 當(dāng)時(shí),式化為,從而 所以不等式的解集為 (2)當(dāng)時(shí), 所以的解集包含,等價(jià)于當(dāng)時(shí), 又在的最小值必為與之一,所以,得 所以的

8、取值范圍為 【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法,恒成立問題 【點(diǎn)評】零點(diǎn)分段法是解答絕對值不等式問題的常用方法,也可以將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),借助圖像解題 12(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)選修45：不等式選講(10分)已知函數(shù)(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范圍【答案】();() 【解析】（1）因?yàn)樗圆坏仁降葍r(jià)于或或由無解；由；由綜上可得不等式的解集為（2）解法一：先求不等式的解集為空集時(shí)的取值范圍不等式的解集為空集等價(jià)于不等式恒成立記，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以所以不等式的解集為空集時(shí)，所以不等式的解集非空時(shí)，的取值范圍為解法二：原式等價(jià)于存在，使成立，即設(shè)由（1）知

9、 當(dāng)時(shí)，其開口向下，對稱軸所以當(dāng)時(shí)，其開口向下，對稱軸為所以當(dāng)時(shí)，其開口向下，對稱軸為所以綜上所以的取值范圍為【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法【點(diǎn)評】絕對值不等式的解法有三種：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想13(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)選修4-5：不等式選講(10分)已知，證明：(1)；(2)【答案】【命題意圖】不等式證明，柯西不等式【基本解法】（1）解法一：由柯西不等式得：解法二：解法三：又，所以當(dāng)時(shí)，等號成立所以，即（2）解法一：由及得所以解法二：

10、（反證法）假設(shè)，則，兩邊同時(shí)立方得：，即，因?yàn)?，所以，即，矛盾，所以假設(shè)不成立，即解法三：因?yàn)椋裕河?，所? 。所以，即【考點(diǎn)】基本不等式；配方法【點(diǎn)評】利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題若不等式恒等變形后若與二次函數(shù)有關(guān)，可用配方法14(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)選修45:不等式選講已知函數(shù).()當(dāng)時(shí),求不等式的解集;()設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),求的取值范圍.【答案】();().【解析】()當(dāng)時(shí),.解不等式,得.因此,的解集為.()當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)等號成立.所以當(dāng)時(shí),等價(jià)于.

11、當(dāng)時(shí),等價(jià)于,無解.當(dāng)時(shí),等價(jià)于,解得所以的取值范圍是.15(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)(本小題滿分10分)選修45：不等式選講已知函數(shù)，為不等式的解集(I)求；(II)證明：當(dāng)時(shí)，【答案】（1）；（2）見解析【官方解答】（1）當(dāng)時(shí)，由得，解得；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，由，得，解得所以的解集（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，從而因此【民間解答】當(dāng)時(shí)，若；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，若，綜上可得，當(dāng)時(shí)，有即，則，則，即，證畢16(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科)(本小題滿分10分)選修45：不等式選講已知函數(shù)(I)畫出的圖像；(II)求不等式的解集【答案】 (I)見解析 (II)【官方解答】(I)，如圖所示：(II)由

12、得表達(dá)式及圖像，當(dāng)時(shí)，得或當(dāng)時(shí)，得或故的解集為；的解集為，解集為【民間解答】(I)如上圖所示：(II)當(dāng)，解得或當(dāng)，解得或或當(dāng)，解得或 或綜上，或或，解集為17(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)(本小題滿分10分)選修4-5不等式選講設(shè)均為正數(shù)，且，證明：()若，則；()是的充要條件【答案】（）詳見解析；（）詳見解析解析：（）因?yàn)?，由題設(shè)，得因此（）（）若，則即因?yàn)?，所以，由（）得（）若，則，即因?yàn)?，所以，于是因此，綜上，是的充要條件考點(diǎn)：推理證明18(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)(本小題滿分10分)選修45：不等式選講已知函數(shù)()當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；()若的圖像與軸圍成的三角形面積大于6，

13、求的取值范圍【答案】（）（）（2，+）分析：（）利用零點(diǎn)分析法將不等式f（x）>1化為一元一次不等式組來解；（）將化為分段函數(shù)，求出與軸圍成三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出三角形的面積，根據(jù)題意列出關(guān)于的不等式，即可解出的取值范圍解析：（）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）>1化為|x+1|-2|x-1|1，等價(jià)于或或，解得，所以不等式f（x）>1的解集為 （）由題設(shè)可得， 所以函數(shù)的圖像與軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，所以ABC的面積為由題設(shè)得6，解得所以的取值范圍為（2，+） 考點(diǎn)：含絕對值不等式解法；分段函數(shù)；一元二次不等式解法19(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)(本小題滿分10)選

14、修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)=()證明：2；()若，求的取值范圍【答案】解析：（）， 僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以2（）=當(dāng)時(shí)，=，解得當(dāng)時(shí)，=，解得綜上所述，的取值范圍為考點(diǎn)：（1）三角不等式的運(yùn)用（2）分類討論的思想難度：B備注：高頻考點(diǎn)20(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)選修45:不等式選講若,且 (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并說明理由【答案】解析:(1)由,得,且當(dāng)時(shí)等號成立, 故,且當(dāng)時(shí)等號成立, 的最小值為 (2)由,得,又由(1)知,二者矛盾, 所以不存在,使得成立 考點(diǎn):(1)證明不等式的基本方法;(2)反證法的應(yīng)用 難度:B 21(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)設(shè)均為正數(shù)，且，證明：()；()【答案】證明：(1)由得.由題設(shè)得，即.所以，即.(2)因?yàn)椋?，?所以.考點(diǎn)：（1）7.1.1不等式的性質(zhì)；（2）7.1.3不等式性質(zhì)的應(yīng)用；（3）7.3.1利用基本不等式證明簡單不等式難度：C備注：高頻考點(diǎn)22(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)選修45：不等式選講已知函數(shù)=,=()當(dāng)=2時(shí)，求不等式的解集；()設(shè)-1,且當(dāng)，)時(shí)，,求的取值范圍【答案】（1）（2）（-1，解析：當(dāng)=-2時(shí)，不等式化為，設(shè)函數(shù)=，=，其圖像如圖所示，從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，0，原不等式解集是（）當(dāng)，)時(shí)，=