1、第三章 函數(shù)的應(yīng)用3.1 函數(shù)與方程3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家已比較系統(tǒng)地解決了部分方程的我國(guó)古代數(shù)學(xué)家已比較系統(tǒng)地解決了部分方程的求解的問題求解的問題. .如約公元如約公元5050100100年編成的年編成的九章算術(shù)九章算術(shù)，就給出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具體就給出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具體方法方法 1111世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲給出了三次及三次世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲給出了三次及三次以上的方程的解法。以上的方程的解法。 13 13世紀(jì)，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶給出了求任意次世紀(jì)，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶給出了求任意次代數(shù)方程的正根的解法代數(shù)方程的正根的解法今天我們

2、來學(xué)習(xí)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)！今天我們來學(xué)習(xí)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)！1.1.理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系關(guān)系. .（難點(diǎn)）（難點(diǎn)）2.2.掌握函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法并會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)掌握函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法并會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)數(shù). .( (易錯(cuò)點(diǎn)）易錯(cuò)點(diǎn)）3.3.會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn)會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn). .（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）探究：探究：下列一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的下列一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象有何關(guān)系？圖象有何關(guān)系？（1 1）方程）方程x x2 2-2x-3=0-2x-3=0與函數(shù)與函數(shù)y=xy=x2 2-2x-3-2x-3（2

3、2）方程）方程x x2 2-2x+1=0-2x+1=0與函數(shù)與函數(shù)y=xy=x2 2-2x+1-2x+1（3 3）方程）方程x x2 2-2x+3=0-2x+3=0與函數(shù)與函數(shù)y=xy=x2 2-2x+3-2x+3方程方程x x2 2-2-2x x+1=0+1=0 x x2 2-2-2x x+3=0+3=0y y= =x x2 2-2-2x x-3-3y y= =x x2 2-2-2x x+1+1函數(shù)函數(shù)函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象方程的實(shí)方程的實(shí)數(shù)根數(shù)根x x1 1=-1,=-1,x x2 2=3=3x x1 1= =x x2 2=1=1無實(shí)數(shù)根無實(shí)數(shù)根(-1,0)(-1,0)、(3,0)(3,0)

4、(1,0)(1,0)無交點(diǎn)無交點(diǎn)x x2 2-2-2x x-3=0-3=0. . . . . .x xy yO O1 13 32 21 11 12 25 54 43 3y y= =x x2 2-2-2x x+3+3函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象與與x x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn). . . . . .y yx x1 12 21 11 12 2O Ox xy y1 13 32 21 11 12 21 12 23 34 4. . . . .0 0. .方程方程axax2 2+ +bxbx+c+c=0(=0(a a0)0)的根的根函數(shù)函數(shù)y y= =axax+bxbx+ +c c( (a a0)0)的圖的圖象象判別式判

5、別式=b b2 24 4acac0 0=0=00 0函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象與與x x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)有兩個(gè)相等的有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根實(shí)數(shù)根x x1 1= =x x2 2沒有實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根x xy yx x1 1x x2 20 0 x xy y0 0 x x1 1x xy y0 0( (x x1 1,0),(,0),(x x2 2,0),0)( (x x1 1,0),0)沒有交點(diǎn)沒有交點(diǎn)兩個(gè)不相等兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)根x x1 1、x x2 2一般結(jié)論一般結(jié)論 一般地，方程一般地，方程f(x)=0f(x)=0的實(shí)數(shù)根，也就是其對(duì)的實(shí)數(shù)根，也就是其對(duì)應(yīng)函數(shù)應(yīng)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖象與的

6、圖象與x x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). .即方程即方程f(x)f(x)0 0有實(shí)數(shù)根有實(shí)數(shù)根 函數(shù)函數(shù)y yf(x)f(x)的圖象與的圖象與x x軸有交點(diǎn)軸有交點(diǎn) 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(x),y=f(x),我們把使我們把使f(x)=0f(x)=0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)x x叫做叫做函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的零點(diǎn)的零點(diǎn). .函數(shù)零點(diǎn)的定義：函數(shù)零點(diǎn)的定義：注意：注意：零點(diǎn)不是零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)零點(diǎn)指的是一個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)指的是一個(gè)實(shí)數(shù)方程方程f(x)f(x)0 0有實(shí)數(shù)根有實(shí)數(shù)根 函數(shù)函數(shù)y yf(x)f(x)的圖象與的圖象與x x軸有交點(diǎn)軸有交點(diǎn) 函數(shù)函數(shù)y yf(x)f(x)有零點(diǎn)有零點(diǎn)方程

7、方程 的根是函數(shù)的根是函數(shù) 的圖象與的圖象與 軸的軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)交點(diǎn)的橫坐標(biāo). .( )0f x( )yf xx結(jié)論結(jié)論由此可知，求方程由此可知，求方程f(x)=0f(x)=0的實(shí)數(shù)根，就是求函數(shù)的實(shí)數(shù)根，就是求函數(shù)y= f(x)y= f(x)的零點(diǎn)的零點(diǎn). .對(duì)于不能用公式法求根的方程對(duì)于不能用公式法求根的方程f(x)=0f(x)=0來說，可以將它與函數(shù)來說，可以將它與函數(shù)y=f(x)y=f(x)聯(lián)系起來，聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)，從而求出方程的根利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)，從而求出方程的根. .( )0f x函數(shù)零點(diǎn)既是對(duì)應(yīng)方程的根，又是函數(shù)圖象與函數(shù)零點(diǎn)既是對(duì)應(yīng)方程的根，又是函數(shù)圖

8、象與x x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). .零點(diǎn)零點(diǎn)是是對(duì)于函數(shù)而言，根對(duì)于函數(shù)而言，根是是對(duì)于方程而言對(duì)于方程而言例例1 1 函數(shù)函數(shù)f(x)=x(xf(x)=x(x4)4)的零點(diǎn)為（的零點(diǎn)為（ ） A A(0(0，0)0)，(2(2，0)0) B B0 0 C C(4(4，0)0)，(0(0，0)0)， D D4 4，0 0D D由由x(xx(x4)=04)=0得得x=0 x=0或或x=4.x=4.注意：函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)，而不是點(diǎn)注意：函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)，而不是點(diǎn).探究：探究：如何求函數(shù)的零點(diǎn)？如何求函數(shù)的零點(diǎn)？哪一組能說明小明的行程一定曾渡過河？哪一組能說明小明的行程一定曾渡過河？ （1

9、1）（2 2）如何求函數(shù)的零點(diǎn)？如何求函數(shù)的零點(diǎn)？1 12 23 3 4 4 5 51 12 23 34 45 5x xy yO O-1-1-2-2-1-1-4-4-3-3-2-2觀察二次函數(shù)觀察二次函數(shù)f f( (x x) )x x2 22 2x x3 3的圖象：的圖象：在區(qū)間在區(qū)間-2-2，11上有零點(diǎn)上有零點(diǎn)_；f f(-2)=_(-2)=_，f f(1)=_(1)=_，f f(-2)(-2)f f(1)_0(1)_0(填填“”或或“”) )在區(qū)間在區(qū)間(2(2，4)4)上有零點(diǎn)上有零點(diǎn)_；f f(2)(2)f f(4)_0(4)_0（填填“”或或“”） x= =1 14 45 5 x=

10、3=3 1 1 2 2 3 3 4 4 5 51 12 23 34 45 5xyO O-2-2 -1-1-4-4-3-3-2-2-1-1xyOabcd思考：觀察圖象填空，在怎樣的條件下，思考：觀察圖象填空，在怎樣的條件下，函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上存在零點(diǎn)？上存在零點(diǎn)？( )yfx,a d有有 有有 有有 在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)上上,f(a)f(b)_0(,f(a)f(b)_0(填填“”或或“”) )在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)上上,_(,_(填填“有有”或或“無無”) )零零點(diǎn)；點(diǎn)；在區(qū)間在區(qū)間(b,c)(b,c)上上,f(b)f(c) _0(,f(b)f(c) _0(填填“”

11、或或“”) )在區(qū)間在區(qū)間(b,c)(b,c)上上,_(,_(填填“有有”或或“無無”) )零零點(diǎn)；點(diǎn)；在區(qū)間在區(qū)間(c,d)(c,d)上上f(c)f(d) _0(f(c)f(d) _0(填填“”或或“”) )在區(qū)間在區(qū)間(c,d)(c,d)上上,_(,_(填填“有有”或或“無無”) )零點(diǎn)；零點(diǎn)；有有xyOabc【提升總結(jié)提升總結(jié)】如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上的圖象是連續(xù)不斷的上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有一條曲線，并且有f(a)f(b)0f(a)f(b)0，那么，函數(shù)，那么，函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即

12、存在內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a,b),c(a,b),使得使得f(c)=0,f(c)=0,這個(gè)這個(gè)c c也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0的根。的根。例例2 2 判斷正誤，若不正確，請(qǐng)使用函數(shù)圖象舉出反例判斷正誤，若不正確，請(qǐng)使用函數(shù)圖象舉出反例（1 1）已知函數(shù)）已知函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上連續(xù)，且上連續(xù)，且f(a)f(b)0f(a)f(b)0，則，則f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)零點(diǎn). .（ ）（2 2）已知函數(shù)）已知函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上連續(xù)，且上連續(xù)，且f(a)f(b)0

13、f(a)f(b)0，則，則f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)沒有零點(diǎn)內(nèi)沒有零點(diǎn). .（ ）（3 3）已知函數(shù)）已知函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上滿足上滿足f(a)f(b) 0f(a)f(b) 0，則則f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn)內(nèi)存在零點(diǎn). .（ ）解：解：（1 1）已知函數(shù)）已知函數(shù)y=f (x)y=f (x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上連續(xù)，且上連續(xù)，且f(a)f(b) 0f(a)f(b) 0，則，則f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)零點(diǎn). .（ ）abOxy如圖如圖, ,函數(shù)

14、函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)上有上有3 3個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn), ,故故“在區(qū)間在區(qū)間(a,b) (a,b) 內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”的說法是錯(cuò)誤的的說法是錯(cuò)誤的. .（2 2）已知函數(shù)）已知函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上連續(xù)，且上連續(xù)，且f(a)f(b) 0f(a)f(b) 0，則，則f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)沒有零點(diǎn)內(nèi)沒有零點(diǎn). .（ ）a ab bO Ox xy y可知，函數(shù)可知，函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上連續(xù)，且上連續(xù)，且f(a)f(a)f(b)0f(b)0，但，但f(x)

15、f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)內(nèi)有零點(diǎn). .故論斷不正確。故論斷不正確。 如圖如圖, , （3 3）已知函數(shù)）已知函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上滿足上滿足f(a)f(b)0f(a)f(b)0，則則f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn)內(nèi)存在零點(diǎn). .（ ）abOxy雖然函數(shù)雖然函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上滿足上滿足f(a)f(b) 0,f(a)f(b) 0,但是圖象不是連續(xù)的曲線，則但是圖象不是連續(xù)的曲線，則f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)內(nèi)不存在零點(diǎn)不存在零點(diǎn). .如圖如圖, , 若函數(shù)

16、若函數(shù)y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上的圖象上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)是連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在在(a,(a,b)b)內(nèi)有零點(diǎn)，則內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)f(b)f(a)f(b)的值的值( )( )A.A.大于大于0 B.0 B.小于小于0 0 C.C.無法判斷無法判斷 D.D.等于等于0 0C C 【變式練習(xí)變式練習(xí)】由表可知由表可知f(2)0f(2)0f(3)0，由于函數(shù)由于函數(shù)f(x)f(x)在定義域在定義域(0,+)(0,+)內(nèi)是增函數(shù)，所內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個(gè)零點(diǎn)以它僅有一個(gè)零點(diǎn)用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出用

17、計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出x x、f(x)f(x)的對(duì)應(yīng)值表和圖象；的對(duì)應(yīng)值表和圖象；例例3.3.求函數(shù)求函數(shù)f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x6 6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù). .解：解：-4-4-1.306 9-1.306 91.098 61.098 63.386 33.386 35.609 45.609 47.791 87.791 89.945 99.945 912.079 412.079 4 14.197 214.197 2方法一方法一f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x6 6從而從而f(2)f(3)0,f(2)f(3)0,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(2,3)(2,3

18、)內(nèi)有零點(diǎn)內(nèi)有零點(diǎn)10108 86 64 42 2-2-2-4-45 51 1 2 23 34 46 6x xy yO Oy=y=2x+62x+6y=lnxy=lnx6 6Ox x1 1 2 2 3 3 4 4y y即求方程即求方程lnx+2x-6=0lnx+2x-6=0的根的個(gè)數(shù)，即求的根的個(gè)數(shù)，即求lnx=6-2xlnx=6-2x的根的的根的個(gè)數(shù)，即判斷函數(shù)個(gè)數(shù)，即判斷函數(shù)y=lnxy=lnx與函數(shù)與函數(shù)y=6-2xy=6-2x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)如圖可知，只有一個(gè)如圖可知，只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程只有一交點(diǎn)，即方程只有一根，函數(shù)根，函數(shù)f(x)f(x)只有一只有一個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn). .方法二：方

19、法二： 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上的圖象是連上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線續(xù)不斷的一條曲線, ,并且有并且有f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,那么那么, ,函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)內(nèi)有零點(diǎn). .【提升總結(jié)提升總結(jié)】求方程求方程2 2-x-x =x =x的根的個(gè)數(shù)，并確定根所在的區(qū)間的根的個(gè)數(shù)，并確定根所在的區(qū)間nn，n+1(nZ)n+1(nZ) 解：解：求方程求方程 的根的個(gè)數(shù)，即求方程的根的個(gè)數(shù)，即求方程 的根的個(gè)數(shù)，即判斷函數(shù)的根的個(gè)數(shù)，即判斷函數(shù) 與與 的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù). .由圖可由圖可知只有一個(gè)解知只有一個(gè)解. .2xx1( )2xxyx1( )2xyy=x y=x 1 1Ox x1 1 2 2 3 3 4 4y y1( )2xy【變式練習(xí)變式練習(xí)】估算估算f(x)f(x)在各整數(shù)處的取值的正負(fù)：在各整數(shù)處的取值的正負(fù)：1( )()2xf xx令令由上表可知，方程的根所