1、第三節(jié)第三節(jié) 全全 微微 分分一、全微分的定義一、全微分的定義由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數(shù)數(shù) 對對x和和對對y的的偏偏增增量量 二二元元函函數(shù)數(shù) 對對x和和對對y的的偏偏微微分分 全增量的概念全增量的概念全微分的定義全微分的定義 函函數(shù)數(shù)若若在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點點處處處處可可微微分分，則則稱稱這這函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)可可微微分分.事實上事實上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0z

2、yxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx處處連連續(xù)續(xù).二、可微的條件二、可微的條件證證如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某個個鄰鄰域域)( oyBxAz 總成立總成立,當(dāng)當(dāng)0 y時時，上上式式仍仍成成立立，此此時時|x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如例如.000),(222222

3、yxyxyxxyyxf在在點點)0 , 0(處處有有0)0 , 0()0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點點),(yxP 沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(，那那么么 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當(dāng)當(dāng) 時時),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函函數(shù)數(shù)在在點點)0 , 0(處處不不可可微微.說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在，微分存在，證略）證略）習(xí)慣上，記全微

4、分為習(xí)慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理原理全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況例例 1 1 計計算算函函數(shù)數(shù)xyez 在在點點)1 , 2(處處的的全全微微分分. 解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz 所求全微分所求全微分.222dyedx

5、edz 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 例例 3 3 計算函數(shù)計算函數(shù)yzeyxu 2sin的全微分的全微分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)三、小結(jié)三、小結(jié)、多元函數(shù)全微分的概念；、多元函數(shù)全微分的概念；、多元函數(shù)全微分的求法；、多元函數(shù)全微分的求法；、多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系、多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）思考題思考題 函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處可微的充分條件是處可微的充分條件是:（1）),(yxf在點在點),(00yx處連續(xù)；處連續(xù)；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在點在點),(00yx的的 某鄰域存在；某鄰域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 當(dāng)當(dāng)0)()(22