1、近世代數(shù)課件(全)-3-1-環(huán)的定義與性質(zhì)( , )R R 是一個交換群是一個交換群. .其加法單位元常用其加法單位元常用0 0表示表示, ,稱為環(huán)稱為環(huán)的零元的零元. . ,aR aa 設(shè)設(shè)的加法逆元稱為的加法逆元稱為的負(fù)元的負(fù)元. .的零元與的零元與的每個元素的負(fù)元都是的每個元素的負(fù)元都是a, ,記作記作RR唯一的唯一的. .Re,eaaeaaR 定義定義2 2 如果環(huán)如果環(huán)的乘法還滿足交換律的乘法還滿足交換律, ,為交換環(huán)為交換環(huán). .中存在元素中存在元素, ,使得使得則稱則稱為有單位元的環(huán)為有單位元的環(huán), ,并稱并稱為為的的定義定義3 3 如果環(huán)如果環(huán)RRReR單位元單位元. .則稱則

2、稱例例 1整數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法與乘法整數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成有單位元的交換環(huán)構(gòu)成有單位元的交換環(huán).這個環(huán)的零元是數(shù)這個環(huán)的零元是數(shù)0,單位元是數(shù)單位元是數(shù)1.這個環(huán)稱為這個環(huán)稱為整數(shù)環(huán)整數(shù)環(huán).同樣同樣, ,有理數(shù)集有理數(shù)集, ,實數(shù)集實數(shù)集, ,復(fù)數(shù)集關(guān)復(fù)數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成有單位元于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成有單位元的交換環(huán)的交換環(huán)定理定理1R1R設(shè)設(shè)是一個環(huán)是一個環(huán), ,如果如果有單位元有單位元, ,則則單位元是唯一的單位元是唯一的. .的單位元常記作的單位元常記作. .RR(),ababa bR , ,abcacba b cR性質(zhì)性質(zhì)1.1. 規(guī)定減法規(guī)定減法: : ，則有移項法則，則有

3、移項法則: :aR ()()()00nnaaanNnaaaanNn 如如果果如如果果如如果果,a bR m nZ (1)()(2)()(3)()()(4)()()()manamn am abmambm namn am abma ba mb 性質(zhì)性質(zhì)2.2. 規(guī)定倍數(shù)規(guī)定倍數(shù): : 設(shè)設(shè) , , 規(guī)定規(guī)定 則有倍數(shù)法則則有倍數(shù)法則: :對任意對任意 R, a bR (1)000(2)()(3)()()(4)()()aaaaaba bababab 性質(zhì)性質(zhì)3.3. 設(shè)設(shè)為環(huán)為環(huán), , 則對則對, ,有有,aR nN nnaa aa (1)()(2)mnmnmnm naaaaa R()nnna ba

4、b性質(zhì)性質(zhì)4.4. 規(guī)定方冪規(guī)定方冪: : 設(shè)設(shè) , , 規(guī)定規(guī)定, ,則有下列指數(shù)法則則有下列指數(shù)法則: : 注意注意: : 如果環(huán)如果環(huán)不是交換環(huán)不是交換環(huán), , 則等式則等式一般不成立一般不成立. .,1,2, ,1,2,ija a bRin jm 11111111(1)()(2)()(3)()()(4)()()()nniiiinniiiinmnmijijijijaaaaa aaaababma nbmn ab 性質(zhì)性質(zhì)5.5. 廣義分配律廣義分配律: : 設(shè)設(shè) , , 則則RS.SR SR ,a bS 定義定義4 4 若環(huán)若環(huán)的的非空子集非空子集關(guān)于環(huán)關(guān)于環(huán)的加法與乘法也做成環(huán)，稱的加法

5、與乘法也做成環(huán)，稱為為的子環(huán)的子環(huán)定理定理2 2 RSR，記作，記作a,bS abS 有有例例 2 22 |Ra aZ Z 例例 3Kn()nMKn1n 數(shù)域數(shù)域上的全體上的全體階方陣的集合階方陣的集合關(guān)于矩陣的加法與乘法關(guān)于矩陣的加法與乘法上的上的它的零元為零矩陣它的零元為零矩陣, , 單位元為單位矩陣單位元為單位矩陣. .構(gòu)成環(huán)構(gòu)成環(huán). .這個環(huán)稱為數(shù)域這個環(huán)稱為數(shù)域K階階全陣環(huán)全陣環(huán).當(dāng)當(dāng)時時, ,這是一個非交換環(huán)這是一個非交換環(huán), , 例例 4 證明證明 | ,Z iabi a bZ d| ,Zdab d a bZ 數(shù)集數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成有單位元關(guān)于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成有單位元的

6、交換環(huán)的交換環(huán).為非平方整數(shù)為非平方整數(shù), , 則則關(guān)于數(shù)的加法與乘法都構(gòu)成有單位元的交換環(huán)關(guān)于數(shù)的加法與乘法都構(gòu)成有單位元的交換環(huán). .這個環(huán)稱為高斯整環(huán)這個環(huán)稱為高斯整環(huán). .類似地可證類似地可證, , 如果如果| ,Qdab d a bQ Rab0ab 0ba 1. 1. 無零因子環(huán)無零因子環(huán)為環(huán)為環(huán), ,為為的非零元素的非零元素. .，使，使，則稱，則稱的一個左零因子；的一個左零因子；，使，使，則稱，則稱的一個右零因子的一個右零因子. . 定義定義 5 5 設(shè)設(shè)R如果存在非零元如果存在非零元a為為R如果存在非零元如果存在非零元ba為為R左零因子與右零因子統(tǒng)稱為零因子左零因子與右零因子統(tǒng)

7、稱為零因子. .不是左零因子也不是右零因子的元素，不是左零因子也不是右零因子的元素，叫做正則元叫做正則元. . 2( ),MMR 1111,0011AB M0AB ,A B設(shè)設(shè)都是都是的非零元的非零元, ,而而, ,所以所以分別為分別為的左右零因子的左右零因子. .M 一個沒有零因子的環(huán)稱為無零因子環(huán)一個沒有零因子的環(huán)稱為無零因子環(huán). .R, ,0a b cR b abcb babc .ac 定理定理 3 3 無零因子環(huán)無零因子環(huán)中中, ,關(guān)于乘法關(guān)于乘法, ,如果如果或或, ,則則兩個兩個消去律成立消去律成立. .即設(shè)即設(shè)1R10R R定義定義 7 7 一個交換的一個交換的, ,有單位元有單

8、位元且且的無零因子環(huán)的無零因子環(huán)稱為整環(huán)稱為整環(huán). .例例 6 6 整數(shù)環(huán)整數(shù)環(huán), , 高斯整環(huán)高斯整環(huán) 而偶數(shù)環(huán)為而偶數(shù)環(huán)為都是整環(huán)都是整環(huán), , 無零因子環(huán)無零因子環(huán). .R1R(0)aRbR 1Rabba ab1a 11().aa 定義定義 8 8 設(shè)設(shè)為有單位元為有單位元的環(huán)的環(huán), , ,如果存在如果存在, ,使得使得, ,則稱則稱為為的可逆元的可逆元, ,并稱并稱為為的逆元的逆元. .可逆可逆, , 則則的逆元唯一的逆元唯一, , 且且的逆元也可逆的逆元也可逆. .可逆元可逆元的唯一的的唯一的, ,且且Ra若若aaaa逆元記作逆元記作例例 7Z2Z()nAMK | 0.A Z i1,

9、1, , ii 可可逆逆元元只只有有的可逆元僅有的可逆元僅有1, -1;1, -1;由于沒有單位元由于沒有單位元, ,所以它沒有可逆元所以它沒有可逆元. .可逆當(dāng)且僅當(dāng)可逆當(dāng)且僅當(dāng)例例 9 9 試求高斯整環(huán)試求高斯整環(huán) 例例 8 8 解解的可逆元的可逆元.定義定義9 9R10R 設(shè)設(shè)是有單位元的環(huán)是有單位元的環(huán), ,且且. .如果如果中每個非零元都可逆中每個非零元都可逆, ,則稱則稱為除環(huán)為除環(huán). . RR交換的除環(huán)稱為域交換的除環(huán)稱為域. .QCR、 、例例 10 10 都是域都是域. .例例 11 | ,Q iabi a bQ Q i22 ,0,0,abiQ iab 為域為域. .是有單位元的交換環(huán)是有單位元的交換環(huán). . 的每個非零元都可逆的每個非零元都可逆. .證明證明證明證明 可證可證 Q i下證下證,2222 ,abiQ iabab 令令1, 12222, abiQ iabab 故故是是域域F,0a bF b 11abb a 1aabb ,0a bF b aabb abba設(shè)設(shè)為域為域, , 則對任意的則對任意的, ,有有，記作，記作由此可定義域由此可定義域的的 除法除法: : 設(shè)設(shè), ,規(guī)定規(guī)定, ,稱稱為以為以除除的商的商. . F(1)acadbcbd且有下列運算法則且有下列運算法則: :(2)acadbcbd