1、機(jī)械振動與機(jī)械波機(jī)械振動與機(jī)械波習(xí)題討論課習(xí)題討論課一、簡諧振動的表達(dá)式及確定方法：一、簡諧振動的表達(dá)式及確定方法：)(cos tAx然后確定三個特征量：然后確定三個特征量： 、A、 旋轉(zhuǎn)矢量法確定旋轉(zhuǎn)矢量法確定 ：先在：先在X軸上找到相應(yīng)軸上找到相應(yīng)x0，有兩個旋有兩個旋轉(zhuǎn)矢量，由轉(zhuǎn)矢量，由速度的方向速度的方向正負(fù)來確定其中的一個。正負(fù)來確定其中的一個。XOAA0 x , 0, 002, 00, 000000AxAxvvv或或下下半半圓圓，上上半半圓圓，二、簡諧振動的判定：二、簡諧振動的判定：mkxtxkxFtAx dd ) 3( )2()cos( ) 1 (222其中分析步驟：分析步驟：1

2、、找到平衡位置、找到平衡位置O，建立坐標(biāo)系；，建立坐標(biāo)系；2、沿、沿X軸正方向移動一小位移軸正方向移動一小位移x；3、證明證明xtx222dd 三、簡諧振動的能量：三、簡諧振動的能量：22222222121)(sin2121 AmkAEEEtmAmvEpkk動能)(cos2121222tkAkxEp勢能勢能總能量總能量24121kAEEEpk四、簡諧振動的合成：四、簡諧振動的合成：1、同方向、同頻率的兩個簡諧振動的合成：、同方向、同頻率的兩個簡諧振動的合成：2211221112212221coscossinsintg)(cos2 AAAAAAAAA 2、同方向、不同頻率的兩個簡諧振動的合成：、

3、同方向、不同頻率的兩個簡諧振動的合成：12b12 2cos2 拍拍頻頻合合tAA五兩相互垂直的諧振動的合成五兩相互垂直的諧振動的合成當(dāng)兩分振動的頻率相同時，合運(yùn)動軌跡一般為一橢當(dāng)兩分振動的頻率相同時，合運(yùn)動軌跡一般為一橢圓。其具體形狀決定于兩分振動的相位差和振幅。圓。其具體形狀決定于兩分振動的相位差和振幅。當(dāng)兩分振動的頻率不同但為整數(shù)比時，其合運(yùn)動的當(dāng)兩分振動的頻率不同但為整數(shù)比時，其合運(yùn)動的軌跡為李薩如圖。軌跡為李薩如圖。六、阻尼振動六、阻尼振動阻尼振動的微分方程阻尼振動的微分方程 弱阻尼時弱阻尼時 (其中其中)22dtxdmdtdxkx)cos(tAext220七、受迫振動七、受迫振動受迫

4、振動的微分方程受迫振動的微分方程 其穩(wěn)定解為與驅(qū)動力頻率相同的簡諧振動。當(dāng)驅(qū)動力其穩(wěn)定解為與驅(qū)動力頻率相同的簡諧振動。當(dāng)驅(qū)動力的頻率等于振動系統(tǒng)的固有頻率時發(fā)生共振現(xiàn)象。的頻率等于振動系統(tǒng)的固有頻率時發(fā)生共振現(xiàn)象。220cosdtxdmtFdtdxkx一、機(jī)械波的產(chǎn)生及條件：一、機(jī)械波的產(chǎn)生及條件： uuT 或或三、波動表達(dá)式及確定方法：三、波動表達(dá)式及確定方法：先求出波源的振動方程先求出波源的振動方程)(cos uxtAy依依x處的振動與波源比較超前或滯后，寫出波函數(shù)處的振動與波源比較超前或滯后，寫出波函數(shù):波源及彈性介質(zhì)波源及彈性介質(zhì)二、描寫波的物理量二、描寫波的物理量三者之間的關(guān)系三者之

5、間的關(guān)系波速、波長和頻率波速、波長和頻率cos0tAy四、機(jī)械波的能量：四、機(jī)械波的能量：uAuwI22212221 Aw 平均能量密度平均能量密度平均能流密度平均能流密度頻率相同頻率相同 振動方向相同振動方向相同 相位差恒定相位差恒定五、機(jī)械波的合成：五、機(jī)械波的合成： cos2212221AAAAA min21minmax21max1212, ,) 12(, ,22IAAAkIAAAkrr 21)(2 : 121221krrkrr減弱條件加強(qiáng)條件：若TtAyyy 2cosxcos2221 4) 12( 2) 12(2 2 kxkkxkx波波節(jié)節(jié)波波腹腹六、駐波：六、駐波：2 x相相鄰鄰波波

6、節(jié)節(jié)或或波波腹腹間間距距為為七、半波損失：七、半波損失： 入射波在界面處反射時位相發(fā)生突變的現(xiàn)象。入射波在界面處反射時位相發(fā)生突變的現(xiàn)象。八、反射波表達(dá)式的確定：八、反射波表達(dá)式的確定：、先將反射點(diǎn)的坐標(biāo)代入入射波方程，得到入射波在、先將反射點(diǎn)的坐標(biāo)代入入射波方程，得到入射波在反射點(diǎn)的振動方程；反射點(diǎn)的振動方程；、判斷入射波在反射過程中有無半波損失，求出反射、判斷入射波在反射過程中有無半波損失，求出反射波在反射點(diǎn)的振動方程；波在反射點(diǎn)的振動方程；、寫出反射波的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式，將反射點(diǎn)的坐標(biāo)代入，、寫出反射波的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式，將反射點(diǎn)的坐標(biāo)代入，并與中的振動方程比較，確定其反射波表達(dá)式中的初并與中的振動

7、方程比較，確定其反射波表達(dá)式中的初相位即可。相位即可。SSRRvuvu 九、多普勒效應(yīng)：九、多普勒效應(yīng)：一、討論題一、討論題xkkF)(210,)(21222221xmkkdtxddtxdmxkkmkkmkk21212, 解解:(a）由牛頓第二定律：由牛頓第二定律：mk1 k2mab1.如圖所示，求如圖所示，求a、b兩種情兩種情況下的振動的圓頻率。況下的振動的圓頻率。解解: (b) 由于由于L1+L2 = x ，且，且k1L1 = k2L2 所以所以m所受的回復(fù)力所受的回復(fù)力 k1 k2 xmxkkkkLkF212122222121dtxdmxkkkk)(2121kkmkk由牛頓第二定律：由牛

8、頓第二定律：0)(212122xkkmkkdtxd2. 圖中所畫的是兩個簡諧振動的振動曲線圖中所畫的是兩個簡諧振動的振動曲線. . 若這兩個若這兩個簡諧振動可疊加，則合成的余弦振動的初相為簡諧振動可疊加，則合成的余弦振動的初相為A/2-AOxt（A） （B）2/3（D）0（C）2/ 3. 3. 一質(zhì)點(diǎn)作諧振動，周期為一質(zhì)點(diǎn)作諧振動，周期為T T，當(dāng)它由平衡位置向當(dāng)它由平衡位置向 x x 軸正方向運(yùn)動時，從二分之一最大位移處到最大位移軸正方向運(yùn)動時，從二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時間為處這段路程所需要的時間為（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8Tt2326T

9、t xAAOaAbA2Av) s ( tOA12（A）4. 如圖所示一向右傳播的簡諧波在如圖所示一向右傳播的簡諧波在 t = t = 0 0 時刻的波時刻的波形，已知周期為形，已知周期為 2 2 s ，則，則 P P 點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動速度與點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動速度與時間的關(guān)系曲線為：時間的關(guān)系曲線為：yAxOAuP*pyAtOAP P 點(diǎn)振動圖點(diǎn)振動圖) s ( tOA12（C）v（B）) s ( tOA12v) s ( tOA12（D）vyAxOABCuP5. 如圖所示一向右傳播的簡諧波在如圖所示一向右傳播的簡諧波在t t時刻的波形，時刻的波形，BCBC為波密介質(zhì)的反射面，則反射波在為波密介質(zhì)的反射

10、面，則反射波在t t時刻的波形圖為：時刻的波形圖為：答：（答：（B B）P P 點(diǎn)兩振動反相點(diǎn)兩振動反相yAxOAyAOAxuu（C）（D）yAxOAu（A）PPPyAxOAu（B）P6.6. 一平面簡諧波動在彈性介質(zhì)中傳播時，在傳播方一平面簡諧波動在彈性介質(zhì)中傳播時，在傳播方向上介質(zhì)中某質(zhì)元在負(fù)的最大位移處，則它的能量是向上介質(zhì)中某質(zhì)元在負(fù)的最大位移處，則它的能量是（A A）動能為零）動能為零, , 勢能最大勢能最大 （B B）動能為零）動能為零, , 勢能為零勢能為零（C C）動能最大）動能最大, , 勢能最大勢能最大 （D D）動能最大）動能最大, , 勢能為零勢能為零7.7.在駐波中，

11、兩個相鄰波節(jié)間各質(zhì)點(diǎn)的振動在駐波中，兩個相鄰波節(jié)間各質(zhì)點(diǎn)的振動（A A）振幅相同）振幅相同, , 相位相同相位相同（B B）振幅不同）振幅不同, , 相位相同相位相同（C C）振幅相同）振幅相同, , 相位不同相位不同（D D）振幅不同）振幅不同, , 相位不同相位不同8. 判斷下面幾種說法判斷下面幾種說法,哪些是正確的哪些是正確的,那些錯的那些錯的?(1)機(jī)械振動一定能產(chǎn)生機(jī)械波機(jī)械振動一定能產(chǎn)生機(jī)械波;(2)質(zhì)點(diǎn)振動的速度是和波的傳播速度相等的質(zhì)點(diǎn)振動的速度是和波的傳播速度相等的;(3)質(zhì)點(diǎn)振動的周期和波的周期數(shù)值是相等的質(zhì)點(diǎn)振動的周期和波的周期數(shù)值是相等的;(4)波函數(shù)式中的坐標(biāo)原點(diǎn)是一

12、定要選取在波源處波函數(shù)式中的坐標(biāo)原點(diǎn)是一定要選取在波源處.錯錯機(jī)械振動在機(jī)械振動在彈性介質(zhì)彈性介質(zhì)中傳播形成的波中傳播形成的波,叫機(jī)械波叫機(jī)械波錯錯對對錯錯9. 波的干涉的產(chǎn)生條件是什么波的干涉的產(chǎn)生條件是什么?若兩波源所發(fā)出的波的振若兩波源所發(fā)出的波的振動方向相同動方向相同,頻率不同頻率不同,則它們在空間疊加時則它們在空間疊加時,加強(qiáng)和減弱是加強(qiáng)和減弱是否穩(wěn)定否穩(wěn)定?兩波的兩波的相干條件：相干條件：3 3）恒定的相位差）恒定的相位差2 2）相同的振動方向）相同的振動方向兩波源具有：兩波源具有：1 1）相同的頻率）相同的頻率1r2r1S2Sp)(1 )(2 頻率不同頻率不同,就不會有恒定的相就

13、不會有恒定的相位差位差,加強(qiáng)和減弱不會穩(wěn)定加強(qiáng)和減弱不會穩(wěn)定.補(bǔ)充條件：強(qiáng)度相差不太大補(bǔ)充條件：強(qiáng)度相差不太大323N2N0321xxxx0A10. 10. 已知如下的三個簡諧振動，求合振動已知如下的三個簡諧振動，求合振動. .tAxcos11)32cos(22tAx)34cos(33tAx321xxx求求：321AAA已知已知321A2A3AOx323. 3. 一質(zhì)量為一質(zhì)量為M的盤子系于豎直懸的盤子系于豎直懸掛的輕彈簧下端，彈簧的勁度系掛的輕彈簧下端，彈簧的勁度系數(shù)為數(shù)為k?，F(xiàn)有一質(zhì)量為?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的物體自的物體自離盤離盤h高處自由下落，掉在盤上沒高處自由下落，掉在盤上沒有反彈，以物體

14、掉在盤上的瞬時有反彈，以物體掉在盤上的瞬時作為計(jì)時起點(diǎn)，求盤子的振動表作為計(jì)時起點(diǎn)，求盤子的振動表式。式。( (取物體掉入盤子后的平衡位取物體掉入盤子后的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為x軸正軸正方向。方向。) ) kMhm解：與解：與M碰撞前瞬間，物體碰撞前瞬間，物體m的速度的速度ghm20 由動量守恒定律，求得碰撞后的速度由動量守恒定律，求得碰撞后的速度mmMm00)( mMmm00 ghMmm2碰撞時，物體碰撞時，物體m離開平衡位置距離離開平衡位置距離 00 kxmgkmgx0碰撞后，物體系統(tǒng)作簡諧振動，振動角頻率碰撞后，物體系統(tǒng)作簡諧振動，振動角頻率 Mmk 由初

15、始條件，由初始條件，x0=Acos 0， 0=- -A sin 0，得，得 2020)( xAMmkghMmmkmg22)2()(gMmkhkmg)(21 000 xtgMmkkmgghMmm2gMmkh)(2振動表式為振動表式為 )cos(0 tAx gMmkhtgtMmkgMmkhkmg)(2cos)(211 火車的危險速率與軌長火車的危險速率與軌長11. 車輪行駛到兩鐵軌接縫處時，受到一次撞擊，使車車輪行駛到兩鐵軌接縫處時，受到一次撞擊，使車廂受迫振動廂受迫振動 當(dāng)車速達(dá)某一速率時（使撞擊頻率與車廂當(dāng)車速達(dá)某一速率時（使撞擊頻率與車廂固有頻率相同）發(fā)生激烈顛簸，這一速率即為危險速固有頻率

16、相同）發(fā)生激烈顛簸，這一速率即為危險速率率 設(shè)車廂總負(fù)荷為設(shè)車廂總負(fù)荷為 m m = = 5.55.510104 4 kgkg，車廂彈簧每受車廂彈簧每受力力F F = 9.8103 N 被壓縮被壓縮 x x = 0.8 mm= 0.8 mm，鐵軌長鐵軌長 L L = = 12.6 m12.6 m，求求危險速率危險速率 已知：已知：m m = 5.5= 5.510104 4 kgkg；受力受力F F =9.8=9.810103 3 N N；壓縮壓縮 x x = 0.8 mm= 0.8 mm；鐵軌長鐵軌長 L L = 12.6 m= 12.6 mmk解解s 42. 0s108 . 9108 . 0

17、1055222333FxmkmTxFkxkF 長軌有利于高速行車，無縫軌能避免受迫振動長軌有利于高速行車，無縫軌能避免受迫振動11hkm 108sm0 .3042. 06 .12TLv12. 一橫波在沿繩子傳播時的波函數(shù)為一橫波在沿繩子傳播時的波函數(shù)為.50. 2cos20. 0mxty(1)求波的振幅求波的振幅,波速波速,頻率頻率,波長波長(2)求繩上的質(zhì)點(diǎn)振動時的最大速度求繩上的質(zhì)點(diǎn)振動時的最大速度; (3)分別畫出分別畫出t=1s和和t=2s時的波形時的波形,并指出波峰和波谷并指出波峰和波谷,畫出畫出x=1.0m處質(zhì)點(diǎn)的振處質(zhì)點(diǎn)的振動曲線并討論其與波形圖的不同動曲線并討論其與波形圖的不同

18、.解解:mxty50. 2cos20. 0(1)已知波動方程為已知波動方程為與一般表達(dá)式與一般表達(dá)式0)/(cosuxtAy比較比較,得得0,5 . 2,20. 001smumAHZ25. 12/mu0 . 2/(2)繩上的質(zhì)點(diǎn)振動速度繩上的質(zhì)點(diǎn)振動速度SIxtdtdyv5 . 2/5 . 2sin5 . 0/1max57. 1smv(3)t=1s和和t=2s時的波形方程分別為時的波形方程分別為mxy50. 2cos20. 01mxy5cos20. 02波形如圖波形如圖2 . 00mx/my/2 . 00 . 10 . 2st1st2x=1.0m處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程 mty)5 .

19、 2cos(20. 0已知波動方程為已知波動方程為mxty50. 2cos20. 0振動圖形如圖振動圖形如圖2 . 00st /my/2 . 00 . 26 . 0波形圖表示某確定時刻波線上所有質(zhì)點(diǎn)的位移情況波形圖表示某確定時刻波線上所有質(zhì)點(diǎn)的位移情況,振振動圖表示某確定位置的一個質(zhì)點(diǎn)動圖表示某確定位置的一個質(zhì)點(diǎn),其位移隨時間變化的其位移隨時間變化的情況情況.210sin05. 0mxty13 已知一波動方程為已知一波動方程為(1)求波長求波長,頻率頻率,波速波速,周期周期; (2)說明說明x=0時方程的時方程的意義意義,并作圖表示并作圖表示.解解:mxty2/)5/(10cos05. 0已知

20、波動方程改為已知波動方程改為與一般表達(dá)式與一般表達(dá)式0)/(cosuxtAy比較比較,得得,7 .15,1011smusHZ0 . 52/sT2 . 0/1muT14. 3x=0時方程時方程 mty)2/10cos(05. 0表示位于坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程表示位于坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程.05. 00st /my/1 . 02 . 014. 波源作簡諧運(yùn)動波源作簡諧運(yùn)動,周期為周期為0.02s,若該振動以若該振動以100m.s-1的速度沿直的速度沿直線傳播線傳播,設(shè)設(shè)t=0時時,波源處的質(zhì)點(diǎn)經(jīng)平衡位置向正方向運(yùn)動波源處的質(zhì)點(diǎn)經(jīng)平衡位置向正方向運(yùn)動,求求:(1)距波距波源源15.0m和和5.0

21、m處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程和初相處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程和初相;(2)距波源分別為距波源分別為16.0m和和17.0m的兩質(zhì)點(diǎn)間的相位差的兩質(zhì)點(diǎn)間的相位差.解解:mxtAy2/)100/(100cos,100/21sTmuT2(1)由題意知由題意知:T=0.02s,u=100m.s-1,可得可得t=0時時,波源處的質(zhì)點(diǎn)經(jīng)平衡位置向正波源處的質(zhì)點(diǎn)經(jīng)平衡位置向正方向運(yùn)動方向運(yùn)動,質(zhì)點(diǎn)的初相為質(zhì)點(diǎn)的初相為設(shè)波源為坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)波源為坐標(biāo)原點(diǎn)距波源距波源15.0m和和5.0m處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為mtAy5 .15100cos1mtAy5 . 5100cos2它們的初相分別為它們的初相分別為 10=-15.

22、5 和和 20=-5.5 (2)距波源距波源16.0m和和17.0m的兩點(diǎn)間的相位差的兩點(diǎn)間的相位差/21221xx 0=- /2mtyp2/2cos30. 016. 有一平面簡諧波在介質(zhì)中傳播有一平面簡諧波在介質(zhì)中傳播,波速波速u=100m.s-1,波波線上右側(cè)距波源線上右側(cè)距波源o(坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn))為為75.0m處的一點(diǎn)處的一點(diǎn)P的運(yùn)動的運(yùn)動方程為方程為mtyp2/2cos30. 0求求(1)波向波向x軸正方向傳播時的波動方程軸正方向傳播時的波動方程;(2)波向波向x軸負(fù)方向傳播時的波動方程軸負(fù)方向傳播時的波動方程;)(cos),(0uxtAtxy解解波函數(shù)就是普適性的振動方程波函數(shù)就是

23、普適性的振動方程. .把把x=75.0m代入向代入向x軸正方向傳播時波動方程的軸正方向傳播時波動方程的一般形式與一般形式與P點(diǎn)的振動方程進(jìn)行比較點(diǎn)的振動方程進(jìn)行比較)10075(cos)(0tAty得得:mA30. 012s20 mxttxy)100(2cos30.0),(2)波向波向x軸負(fù)方向傳播時的波動方程軸負(fù)方向傳播時的波動方程;mtyp2/2cos30. 0把把x=75.0m代入向代入向x軸負(fù)方向傳播時波動方程的軸負(fù)方向傳播時波動方程的一般形式與一般形式與P點(diǎn)的振動方程進(jìn)行比較點(diǎn)的振動方程進(jìn)行比較)10075(cos)(0tAty得得:mA30. 012s0 mxttxy)100(2c

24、os30.0),(17. 圖示為平面間諧波在圖示為平面間諧波在t=0時的波形圖時的波形圖,設(shè)此簡諧波的頻率為設(shè)此簡諧波的頻率為250Hz,且此時圖中點(diǎn)且此時圖中點(diǎn)P的運(yùn)動方向向上的運(yùn)動方向向上.求求(1)該波的波動方程該波的波動方程;(2)在距原點(diǎn)在距原點(diǎn)7.5m處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程與處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程與t=0時該點(diǎn)的振動速度時該點(diǎn)的振動速度.0mx/my/10. 010. 005. 0m10P)(cos),(0uxtAtxy解解確定坐標(biāo)原點(diǎn)的振動初相確定坐標(biāo)原點(diǎn)的振動初相 0 0由圖得由圖得:mA10. 0m0 .2013100 . 5smu)(50021su u根據(jù)根據(jù)t=0點(diǎn)點(diǎn)P的運(yùn)動方向向上

25、的運(yùn)動方向向上 可知波沿可知波沿Ox軸負(fù)向傳播軸負(fù)向傳播.t=0時位于原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)時位于原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)將沿將沿oy軸的負(fù)方向運(yùn)動軸的負(fù)方向運(yùn)動.yoA/2 mxt3/)5000/(500cos1 .03/0(2)在距原點(diǎn)在距原點(diǎn)7.5m處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程. mty12/13500cos1 .0t=0時該點(diǎn)的振動速度時該點(diǎn)的振動速度0)/(tdtdyv16 .40)12/13sin(50sm18. 平面簡諧波以波速平面簡諧波以波速u=0.50m.s-1沿沿x軸負(fù)向傳播軸負(fù)向傳播,t=2s時時刻的波形如圖所示刻的波形如圖所示,求原點(diǎn)的運(yùn)動方程求原點(diǎn)的運(yùn)動方程.0mx/my/5 . 00

26、 . 1u u0 . 2t=2s解解確定坐標(biāo)原點(diǎn)的振動初相確定坐標(biāo)原點(diǎn)的振動初相 0 0由圖得由圖得:mA5 . 0m0 . 2)(5 . 0/21su根據(jù)根據(jù)t=2s原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)處于平衡原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)處于平衡位置且向上運(yùn)動位置且向上運(yùn)動 =3 /2yot=2 mty5 .05 .0cos5 .02/0 ttt=025 . 0t原點(diǎn)的運(yùn)動方程原點(diǎn)的運(yùn)動方程0mx/my/5 . 00 . 1u u0 . 2t=2st=0 xyo波形平移法波形平移法 mutx0 . 125 . 0根據(jù)根據(jù)t=0原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)處于平衡原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)處于平衡位置且向下運(yùn)動位置且向下運(yùn)動t=02/0解法解法219. 有一波在介質(zhì)中傳播有一波在介質(zhì)中傳播,其波速其波速u=1.0103m.s-1,振幅振幅A= 1.010-4m,頻率頻率= 1.0103Hz,若介質(zhì)的密度為若介質(zhì)的密度為= 8.0102kg.m-3,求求:(