1、8.3直線、平面平行的判定與性質(zhì)第八章立體幾何數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 蘇理）蘇理） 基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 思想方法思想方法感悟提高感悟提高 練出高分練出高分1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件 _結(jié)論ab_aa，b，abaa，a，baab2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件 _，a結(jié)論abaa，b，abP，a，b，a，bu 思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.()(2)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()(3)若直線a

2、與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a.()(4)空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則EF平面BCD.()(5)若，直線a，則a.()題號(hào)答案解析1234 或解析因?yàn)?，a，所以a，在平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線a平行，但不是所有直線都與直線a平行，故命題為真命題，命題為假命題.在平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線a垂直，故命題為假命題.例1 (2019山東改編)如圖，四棱錐PABCD中，ADBC，ABBC AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn).(1)求證：AP平面BEF；題型一直線與平面平行的判題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)定與性質(zhì)解析思維升

3、華證明連結(jié)EC，例1 (2019山東改編)如圖，四棱錐PABCD中，ADBC，ABBC AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn).(1)求證：AP平面BEF；題型一直線與平面平行的判題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)定與性質(zhì)BC綊AE，四邊形ABCE是平行四邊形，O為AC的中點(diǎn).又F是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)OAP，解析思維升華解析思維升華FO平面BEF，AP 平面BEF，AP平面BEF.例1 (2019山東改編)如圖，四棱錐PABCD中，ADBC，ABBC AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn).(1)求證

4、：AP平面BEF；題型一直線與平面平行的判題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)定與性質(zhì)判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(a ，b，aba)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(，a ，aa).例1 (2019山東改編)如圖，四棱錐PABCD中，ADBC，ABBC AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn).(1)求證：AP平面BEF；題型一直線與平面平行的判題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)定與性質(zhì)解析思維升華思維點(diǎn)撥解析思維升華例1(2)求證：GH平面PAD.

5、思維點(diǎn)撥解析思維升華例1(2)求證：GH平面PAD.(2)中可證明平面OHF平面PAD.思維點(diǎn)撥解析思維升華證明連結(jié)FH，OH，F(xiàn)，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，F(xiàn)HPD，F(xiàn)H平面PAD.又O是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，例1(2)求證：GH平面PAD.思維點(diǎn)撥解析思維升華OHAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又 G H 平 面 O H F ，GH平面PAD.例1(2)求證：GH平面PAD.思維點(diǎn)撥解析思維升華例1(2)求證：GH平面PAD.判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(a ，b，aba)；(3)利用面面平

6、行的性質(zhì)定理(，aa)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(，a ，aa).跟蹤訓(xùn)練1(2019福建改編)如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)若M為PA的中點(diǎn)，求證：DM平面PBC；方法一證明如圖，取PB中點(diǎn)N，連結(jié)MN，CN.在PAB中，M是 PA的中點(diǎn)，又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四邊形MNCD為平行四邊形，DMCN.又DM 平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.方法二證明如圖，取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四邊形BCDE為平行四邊形，DEBC，又DE 平面PBC，BC

7、平面PBC，DE平面PBC.又在PAB中，MEPB，ME 平面PBC，PB平面PBC，又在PAB中，MEPB，ME 平面PBC，PB 平面PBC，ME平面PBC，又DEMEE，平面DME平面PBC.又DM 平面DME，DM平面PBC.(2)求三棱錐DPBC的體積.題型二平面與平面平行的判題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)定與性質(zhì)例2(2019陜西)如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是 正 方 形 ， O 為 底 面 中 心 ，A1O平面ABCD，ABAA1 .(1)證明：平面A1BD 平面CD1B1；解析思維升華解析思維升華證明由題設(shè)知，BB1綊DD1，四邊形BB1D1D是平行四

8、邊形，BDB1D1.又BD 平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，BD平面CD1B1.題型二平面與平面平行的判題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)定與性質(zhì)例2(2019陜西)如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是 正 方 形 ， O 為 底 面 中 心 ，A1O平面ABCD，ABAA1 .(1)證明：平面A1BD 平面CD1B1；解析思維升華A1D1綊B1C1綊BC，四邊形A1BCD1是平行四邊形，A1BD1C.又A1B 平面CD1B1，D1C平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.題型二平面與平面平行的判題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)定

9、與性質(zhì)例2(2019陜西)如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是 正 方 形 ， O 為 底 面 中 心 ，A1O平面ABCD，ABAA1 .(1)證明：平面A1BD 平面CD1B1；解析思維升華證明面面平行的方法：(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；題型二平面與平面平行的判題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)定與性質(zhì)例2(2019陜西)如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是 正 方 形 ， O 為 底 面 中 心 ，A1O平面ABCD，ABAA1 .(1)證明：平面A1BD 平面CD1B1

10、；解析思維升華(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行的相互轉(zhuǎn)化.題型二平面與平面平行的判題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)定與性質(zhì)例2(2019陜西)如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是 正 方 形 ， O 為 底 面 中 心 ，A1O平面ABCD，ABAA1 .(1)證明：平面A1BD 平面CD1B1；例2(2)求三棱柱ABDA1B1D1的體積.解A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高例2(2)求三棱柱ABDA1B1D1的體積.1 11ABD A B D

11、V跟 蹤 訓(xùn) 練 2 如 圖 ， 在 正 方 體 A B C D A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點(diǎn)，求證：(1)直線EG平面BDD1B1；證明如圖，連結(jié)SB，E、G分別是BC、SC的中點(diǎn)，EGSB.跟 蹤 訓(xùn) 練 2 如 圖 ， 在 正 方 體 A B C D A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點(diǎn)，求證：(1)直線EG平面BDD1B1；又SB平面BDD1B1，EG 平面BDD1B1，直線EG平面BDD1B1.(2)平面EFG平面BDD1B1.證明連結(jié)SD，F(xiàn)、G分別是DC、SC的中點(diǎn)，F(xiàn)GSD.又SD平面B

12、DD1B1，F(xiàn)G 平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，由(1)知，EG平面BDD1B1，且EG平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如下圖，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD，試問截面在什么位置時(shí)其截面面積最大？思維點(diǎn)撥解析思維升華思維點(diǎn)撥解析思維升華利用線面平行的性質(zhì)可以得到線線平行，可以先確定截面形狀，再建立目標(biāo)函數(shù)求最值.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如下圖，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD，試問截面在什么位置時(shí)其截面面積最大？思維點(diǎn)撥解析思維

13、升華解AB平面EFGH，平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG、EH.ABFG，ABEH，F(xiàn)GEH，同理可證EFGH，截面EFGH是平行四邊形.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如下圖，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD，試問截面在什么位置時(shí)其截面面積最大？思維點(diǎn)撥解析思維升華設(shè)ABa，CDb，F(xiàn)GH (即為異面直線AB和CD所成的角或其補(bǔ)角).又設(shè)FGx，GHy，題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如下圖，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD，試問截面在什么位置時(shí)其截面面積最大？思維點(diǎn)撥解析思維升華題型三平行關(guān)系的

14、綜合應(yīng)用題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如下圖，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD，試問截面在什么位置時(shí)其截面面積最大？S EFGHFGGHsin 思維點(diǎn)撥解析思維升華題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如下圖，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD，試問截面在什么位置時(shí)其截面面積最大？x0，ax0且x(ax)a為定值，當(dāng)且僅當(dāng)xax時(shí)，思維點(diǎn)撥解析思維升華題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如下圖，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD，試問截面在什么位置時(shí)其截面面積最大？即當(dāng)截面EFGH的頂點(diǎn)E、F、G、H為棱AD、

15、AC、BC、BD的中點(diǎn)時(shí)截面面積最大.思維點(diǎn)撥解析思維升華利用線面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對(duì)于最值問題，常用函數(shù)思想來解決.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如下圖，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD，試問截面在什么位置時(shí)其截面面積最大？跟蹤訓(xùn)練3如下圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，在側(cè)面PBC內(nèi)，有BEPC于E，且BE a，試在AB上找一點(diǎn)F，使EF平面PAD.解在平面PCD內(nèi)，過E作EGCD交PD于G，連結(jié)AG，在AB上取點(diǎn)F，使AFEG，EGCDAF，EGAF

16、，跟蹤訓(xùn)練3如下圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，在側(cè)面PBC內(nèi)，有BEPC于E，且BE a，試在AB上找一點(diǎn)F，使EF平面PAD.四邊形FEGA為平行四邊形，F(xiàn)EAG.又AG平面PAD，F(xiàn)E 平面PAD，EF平面PAD.跟蹤訓(xùn)練3如下圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，在側(cè)面PBC內(nèi)，有BEPC于E，且BE a，試在AB上找一點(diǎn)F，使EF平面PAD.F即為所求的點(diǎn).又PA面ABCD，PABC，又BCAB，BC面PAB.PBBC.跟蹤訓(xùn)練3如下圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，在側(cè)面PBC內(nèi)，有

17、BEPC于E，且BE a，試在AB上找一點(diǎn)F，使EF平面PAD.PC2BC2PB2BC2AB2PA2.由PBBCBEPC得：跟蹤訓(xùn)練3如下圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，在側(cè)面PBC內(nèi)，有BEPC于E，且BE a，試在AB上找一點(diǎn)F，使EF平面PAD.跟蹤訓(xùn)練3如下圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，在側(cè)面PBC內(nèi)，有BEPC于E，且BE a，試在AB上找一點(diǎn)F，使EF平面PAD.答題模板系列答題模板系列5 立體幾何中的探索性問題立體幾何中的探索性問題規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒典例：(14分)如圖，在四棱錐SABCD中，已知

18、底面ABCD為直角梯形，其中ADBC，BAD90，SA底面ABCD，SAABBC2.tanSDA .(1)求四棱錐SABCD的體積；答 題 模 板規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒2分分 解SA底面ABCD，tanSDA ，SA2，AD3.由題意知四棱錐SABCD的底面為直角梯形，且SAABBC2，4分分 規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒7分分 規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒(1)立體幾何中的探索性問題主要是對(duì)平行、垂直關(guān)系的探究，對(duì)條件和結(jié)論不完備的開放性問題的探究，解決這類問題一般根據(jù)探索性問題的設(shè)問，假設(shè)其存在并探索出結(jié)論，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，若得到矛盾就否

19、定假設(shè).(2)這類問題也可以按類似于分析法的格式書寫步驟：從結(jié)論出發(fā)“要使成立”，“只需使成立”.規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒答 題 模 板規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒(2)在棱SD上找一點(diǎn)E，使CE平面SAB，并證明.解當(dāng)點(diǎn)E位于棱SD上靠近D的三等分點(diǎn)處時(shí)，可使CE平面SAB.取SD上靠近D的三等分點(diǎn)為E，取SA上靠近A的三等分點(diǎn)為F，連結(jié)CE，EF，BF，9分分 答 題 模 板規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒BC綊EF，CEBF.12分分 答 題 模 板規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒又BF平面SAB，CE 平面SAB，CE平面SAB.14分分 答 題 模 板規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒解決立體

20、幾何中的探索性問題的步驟：第一步：寫出探求的最后結(jié)論.第二步：證明探求結(jié)論的正確性.第三步：給出明確答案.第四步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.答 題 模 板規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒(1)立體幾何中的探索性問題主要是對(duì)平行、垂直關(guān)系的探究，對(duì)條件和結(jié)論不完備的開放性問題的探究，解決這類問題一般根據(jù)探索性問題的設(shè)問，假設(shè)其存在并探索出結(jié)論，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，若得到矛盾就否定假設(shè).(2)這類問題也可以按類似于分析法的格式書寫步驟：從結(jié)論出發(fā)“要使成立”，“只需使成立”.方 法 與 技 巧1.平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系2.直線與平面平行的主要判定方法

21、(1)定義法；(2)判定定理；(3)面與面平行的性質(zhì).3.平面與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)推論；(4)a，a.失 誤 與 防 范1.在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.2.在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維到“高維的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”.3.解題中注意符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范應(yīng)用.234567891011.設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面內(nèi)的兩條不同的直線，l1，l2是平面內(nèi)的兩條相交直線，則的一

22、個(gè)充分而不必要條件是_.m且l1 l1且l2m且n ml1且nl2解析ml1，且nl2，但/ ml1且nl2，“ml1，且nl2是“的一個(gè)充分不必要條件.234567891012 . 若 直 線 a 平 行 于 平 面 ， 則 下 列 結(jié) 論 錯(cuò) 誤 的 是_(填序號(hào)).a平行于內(nèi)的所有直線；內(nèi)有無數(shù)條直線與a平行；直線a上的點(diǎn)到平面的距離相等；內(nèi)存在無數(shù)條直線與a成90角.23456789101解析若直線a平行于平面，則內(nèi)既存在無數(shù)條直線與a平行，也存在無數(shù)條直線與a異面且垂直，所以不正確，、正確.又夾在相互平行的線與平面間的平行線段相等，所以正確.答案234567891013.如下圖，四棱

23、錐PABCD的底面是一直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)，則BE與平面PAD的位置關(guān)系是_.23456789101解析取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、AF；又ABCD，且CD2AB，EF綊AB.四邊形ABEF為平行四邊形.EBAF，又EB 面PAD，AF面PAD，BE面PAD.答案平行234567891014.給出下列關(guān)于互不相同的直線l、m、n和平面、的三個(gè)命題：若l與m為異面直線，l，m，則；若，l，m，則lm；若l，m.n，l，則mn.其中真命題的個(gè)數(shù)為_.23456789101解析中當(dāng)與不平行時(shí)，也可能存在符合題意的l、m；中l(wèi)與m也可能異面；答案15

24、.下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB平面MNP的圖形的序號(hào)是_.23456789101解析中易知NPAA，MNAB，平面MNP平面AAB可得出AB平面MNP(如圖).中，NPAB，能得出AB平面MNP.答案23456789101345678910126.在四面體ABCD中，M，N分別是ACD，BCD的重心 ， 則 四 面 體 的 四 個(gè) 面 中 與 M N 平 行 的 是_.解析如圖，取CD的中點(diǎn)E.則EM MA1 2，EN BN1 2，所以MNAB.所以MN平面ABD，MN平面ABC.平面ABD與平面ABC345678910127.如下

25、圖，ABCDA1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP ，過P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ_.34567891012解析平面ABCD平面A1B1C1D1，MNPQ.M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，345678910128.在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的為_(填序號(hào)).ACBD；AC截面PQMN；ACBD；異面直線PM與BD所成的角為45.34567891012解析PQMN是正方形，MNQP，則MN平面ABC，由線面平行的性質(zhì)知MNAC，則AC截面PQMN，同理可

26、得MQBD，又MNQM，則ACBD，故正確.又BDMQ，異面直線PM與BD所成的角即為PMQ45，故正確.答案345678910129.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC5，BB1BC6，D，E分別是AA1和B1C的中點(diǎn).(1)求證：DE平面ABC；證明取BC中點(diǎn)G，連結(jié)AG，EG.因?yàn)镋是B1C的中點(diǎn)，所以EGBB1，34567891012由直棱柱知，AA1綊BB1，而D是AA1的中點(diǎn)，所以EG綊AD，所以四邊形EGAD是平行四邊形.所以EDAG.又DE 平面ABC，AG平面ABC，所以DE平面ABC.34567891012(2)求三棱錐EBCD的體積.解因?yàn)锳DEG，EG平面B

27、CE，AD 平面BCE，所以AD平面BCE，所以VEBCDVDBECVABCEVEABC，由(1)知，DE平面ABC.10.如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點(diǎn).求證：(1)EG平面BB1D1D；34567891012證明取B1D1的中點(diǎn)O，連結(jié)GO，OB，易證四邊形BEGO為平行四邊形，故OBGE，由線面平行的判定定理即可證EG平面BB1D1D.34567891012(2)平面BDF平面B1D1H.證明由題意可知BDB1D1.如圖，連結(jié)HB、D1F，易證四邊形HBFD1是平行四邊形，故HD1BF.又B1D1HD1D1，BDBFB，所以平面BDF平面B1D1H.234511.對(duì)于平面和共面的直線m，n，下列命題中為真命題的是_.若m，n與平面所成的角相等，則mn；若m，n，則mn；若m，mn，則n