1、黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系數(shù)學(xué)系1302班第五組07樊萌12韓鴻林19蘭星21李鴻燕45王些51武相伶54許小亭57楊莉69趙志陽8黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系黎曼積分和勒貝格積分定義的比較1、黎曼積分定義：設(shè)fX在a,b上有界，對a,b做分割，Tax0為XnbM，其中 yiyi 1ninf f x ,x xi , xixi 1 X ,smi xixi 1i 1bbSdx sdxaa:設(shè)在可測集E上可測，若記f x max f x ,0 ,其中令Misupfx,xxi,minSMixixi1,若有i1則稱fx在a,b上黎曼可積.2、勒貝格積分定義：，0,作my°,yiyn和

2、下界，令Eix,yiifxyi,i1,2,3、一般的可測函數(shù)的積分定義為,M,m分別為fx在E上的上界nn若lim°yi1mEi存在，則fx勒貝格可積.i1fxminfx,0，則有fxfxffx在E上的積分確定且x,若fxdx,f_xdx不同時為，則EEfxdxfxdxfxdx.EEE4、簡單函數(shù)的勒貝格積分定義：設(shè)fx是可測集E上的非負簡單函數(shù)，于是有對E的n劃分Ei,i1,2n,fx在Ei上的取值為G,則fxci日,定義fx的勒貝格積分為i1nfxdmcimEi,若fxdm，則稱fx在E上勒貝格可積.Ei1E5、非負可測函數(shù)的勒貝格積分定義fn x，對任意的:取E上的非負簡單函數(shù)

3、列xE,fnx都收斂于fx,則fx在E上勒貝格可積其積分為limfnxdmfxdm.nEE對一般的函數(shù)由于fxfxfx,則fxdmfxdmfxdm.EEE若左端的兩個積分值都有限時，稱fx在E上勒貝格可積.勒貝格積分是對黎曼積分的推廣，所以黎曼可積的函數(shù)一定勒貝格可積，但勒貝格可積的函數(shù)不一定黎曼可積.黎曼積分與勒貝格積分存在條件的比較黎曼可積的條件黎曼可積的條件必要條件定義在a,b上的fx黎曼可積的必要條件是fx在a,b上有界.注任何黎曼可積白函數(shù)必有界，但有界函數(shù)不一定黎曼可積黎曼可積的充分必要條件1、設(shè)fx是定義在a,b上的有界函數(shù)，則fx黎曼可積的充分必要條件為fx在a,b上的黎曼上積

4、分等于黎曼下積分.即設(shè)f x在a,b上有界，T a x0 x1xn b為對a,b的任一分割，其中令M i sup f x , xxi , mi inf f x ,x xxixi 1 X ,smi xii 1xi 1nSMixixi1,i1,2,n有i1bbSdxsdx.aa2、設(shè)fx是定義在a,b上的有界函數(shù)，則fx黎曼可積的充分必要條件為0,總存在某一分割T,使得WixWiMimi.i13、設(shè)fx是定義在a,b上的有界函數(shù)，則fx黎曼可積的充分必要條件為0,總存在某一分割T,使得STsT成立.4、定義在a,b上的函數(shù)fx黎曼可積的充分必要條件為fx在a,b上的一切間斷點構(gòu)成一個零測度集.注這

5、說明黎曼可積的函數(shù)時幾乎處處連續(xù)的.勒貝格可積條件1、設(shè)fx是定義在可測集E上的有界函數(shù)，則fx在E上勒貝格可積的充要條件為0,總存在E的某一分割D,使得wimEi2、設(shè)fx是定義在可測集E上的有界函數(shù)，則fx在E上勒貝格可積的充要條件為fx在E上勒貝格可測.3、設(shè)fx在a,b上的黎曼反常積分存在，則fx在a,b上勒貝格可積的充要條件為fx在a,b上的黎曼反常積分存在，且有bfxdmfxdx.a,ba4、設(shè)fnx為E上的可測函數(shù)列，fnx在E上的極限函數(shù)幾乎處處存在，且fnxdxM,則fx在E上勒貝格可積.E5、設(shè)fx是是定義在可測集E上的連續(xù)函數(shù)，則fx在E上勒貝格可積的充要條件為fx在E上

6、勒貝格可測.黎曼積分與勒貝格積分的性質(zhì)比較黎曼積分的性質(zhì)1、（線性性）若fx,gX是定義在a,b上黎曼可積函數(shù)，則xgx,fxgx也在a,b上黎曼可積.bbf x g x dx f x dxaabbbb2、（區(qū)域可加性）設(shè)有界函數(shù)f x在a,c , c,b上都黎曼可積，則f x在a,b上也黎曼可積，且有bf x dxacbf x dx f xdx.ac3、（單調(diào)性）若f x ,g x是定義在a,b上黎曼可積，且f x g x ,則bbf xdx g xdx.aa4、（可積必絕對可積）若f x在a,b上黎曼可積，則|f x在a,b上也黎曼可積，且有bf x dxaf x dx.gxdx,但gxf

7、xdxfxdxgxdx.其逆命題不成立.5、若f x在a,b上黎曼可積，則在a,b的任意內(nèi)閉子區(qū)間a, b上也黎曼可積.且其積分值不會超過在a,b上的積分值.16、若fx是a,b上非負且連續(xù)的函數(shù)，若有fxdx0,則fx在a,b上恒等于零.07、若fx,gx是a,b上的黎曼可積函數(shù)，則Mmaxfx,gxmminfx,gx在a,b上也黎曼可積.118、若fx在a,b上黎曼可積,在a,b上有定義且有界，則也在a,b上黎曼可積.勒貝格積分的性質(zhì)Ek, Ek等均可測且兩1、（有限可加性）設(shè)fx是有界可測集E上的可積函數(shù),Ek1兩互不相交，則有fxdxfxdxfxdxfxdx.EEiE2En2、對于給定

8、的可測函數(shù)fx,fx與fx的可積性相同且fxdxfxdx.EE3、（單調(diào)性）若fx,gx在E上勒貝格可積，且fxgx幾乎處處成立，則fxdxgxdx.EE4、fx是E上的非負可積函數(shù)，則fx在E上是幾乎處處有限的.5、fx是E上的非負可測函數(shù)，若fx在E上幾乎處處等于0,則fxdx0.E6、（零測集上的積分）若mE0,則fxdx0.E7、fx是E上的勒貝格可積函數(shù)，fx0在E上幾乎處處成立，則fxdx0.E8、設(shè)fx在E上可測，若存在非負函數(shù)gx在可測集E上勒貝格可積，fxgx幾乎處處成立，則fx在可測集E上勒貝格可積.9、fx在可測集E上勒貝格可積，人是E的可測子集，則fx在A上也勒貝格可積

9、.且其積分值不會超過在E上的積分值.10、設(shè)fx在E上可測，則fxdx0的充要條件是fx0在E上幾乎處處成立.E11、設(shè)fx,gx均在E上勒貝格可積，則Mmaxfx,gx,mminfx,gx也在E上勒貝格可積.12、若fx與gx在E上幾乎處處相等，則gx也可積，且fxdxgxdx.EE13、設(shè)fx在可測集E上勒貝格可積函數(shù)，則其不定積分是絕對連續(xù)函數(shù)14、設(shè)fx為可測集E上勒貝格可積函數(shù)，則存在絕對連續(xù)的函數(shù)gx，使得gx導(dǎo)函數(shù)在E上幾乎處處等于fx.黎曼積分與勒貝格積分相關(guān)定理的比較與黎曼積分相關(guān)的定理L若函數(shù)列fnX在區(qū)間I上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則其極限函數(shù)fX也在I上連續(xù).2 .（

10、可積性）若函數(shù)列fnX在區(qū)間I上一致收斂，且每一項都連續(xù),bblimfnxdxlimfnxdx.nnaa3 .（可微性）設(shè)fnX為定義在a,b上的函數(shù)列若Xoa,b為fnX的收斂點，且fnX的每一項在a,b上都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，fnX在a,b上一致收斂，則ddlimfnxlimfnx.dxnndx4 .有界收斂定理設(shè)fnx是定義在a,b上的黎曼可積函數(shù).（1） fnxMn1,2,xa,b.fx是定義在a,b上的黎曼可積函數(shù).且limfnxfx.則有nbblimfnxdxfxdx.naa與勒貝格積分相關(guān)的定理1 .（勒維定理）設(shè)可測集E上的可測函數(shù)列fnX滿足如下條件：0f1xf2x,limfnxfx，則fnx的積分序列收斂于fx的積分nfxdxlimfnxdx.nEE2 .（勒貝格控制收斂定理）設(shè)可測集E上的可測函數(shù)列fnx滿足如下條件：（1）fnx的極限存在,limfnxfx.n存在可積函數(shù)gX使得fnxg