1、第十五章推理與證明1. （2014 ?北京， 8）學(xué)生的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合 格”“不合格” . 若學(xué)生甲的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門(mén)成績(jī)高于 乙，則稱(chēng) “學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好” . 如果一組學(xué)生中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好， 并且不存在語(yǔ)文成 績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有 （ ）A. 2 人 B.3 人 C.4 人 D.5 人1. B 學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好 , 即學(xué)生甲兩門(mén)成績(jī)中一門(mén)高過(guò)學(xué)生乙 , 另一門(mén)不低于學(xué)生乙 . 一組學(xué)生 中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好， 并且沒(méi)有相同的成績(jī)， 則存在的情況是， 最多有

2、 3 人，其中 一個(gè)語(yǔ)文最好，數(shù)學(xué)最差；另一個(gè)語(yǔ)文最差，數(shù)學(xué)最好；第三個(gè)人成績(jī)均為中等 . 故選 B.2. （2014 ?山東，4）用反證法證明命題“設(shè) a, b為實(shí)數(shù)，則方程 x3 + ax+ b = 0至少有一個(gè) 實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是 （）A. 方程 x3+ ax+ b= 0 沒(méi)有實(shí)根B. 方程 x3+ ax+ b= 0 至多有一個(gè)實(shí)根C. 方程 x3+ ax+ b= 0 至多有兩個(gè)實(shí)根D. 方程 x3+ ax+ b= 0 恰好有兩個(gè)實(shí)根2. A 至少有一個(gè)實(shí)根的否定是沒(méi)有實(shí)根，故要做的假設(shè)是“方程x3 + ax+ b= 0沒(méi)有實(shí)根”.3. （2016 ?全國(guó) H, 15）有三張卡片，分

3、別寫(xiě)有 1 和 2, 1和 3, 2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是 1”，丙說(shuō)： “我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是 .3.1 和 3 由丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是 5”可知，丙為“ 1 和 2”或“1 和 3”，又乙說(shuō)“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是 1”，所以乙只可能為“ 2 和 3”，所以由甲說(shuō)“我 與乙的卡片上相同 的數(shù)字不是 2”，所以甲只能為“ 1 和 3” .4. （2015 ?山東， 11 ）觀察下列各式：C? = 40;C3+C3= 41;

4、C0+d+ C5= 42；C7+0+ C7+ CU 43；照此規(guī)律，當(dāng) n? N 時(shí)，C2n 1 + C2n 1 + C2n 1 + C2n 1 = 4.41 觀察等式，第1個(gè)等式右邊為4 ° 41 -1,第2個(gè)等式右邊為41 = 42-1，第3個(gè)等式右邊為42 = 43-1,第4個(gè)等式右邊為43 = 44-1，所以第n個(gè)等式右邊為4n-1.5. (2015 ?福建，15) 一個(gè)二元碼是由 0和1組成的數(shù)字串 X1X2xn( n? N*)，其中x« k =但在通信過(guò)程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)1,2 , , n)稱(chēng)為第k位碼元.二元碼是通信中常用的碼，誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1

5、變?yōu)?).X4 ? X5? X6? X7= 0 ,已知某種二元碼 X1X2X7的碼元滿(mǎn)足如下校驗(yàn)方程組:X2? X3? X6? X7= 0 ,其中運(yùn)算X1 ? X3? X5? X7= 0 ,定義為 0? 0= 0,0 ? 1 = 1,1 ? 0 = 1,1 ? 1 = 0.現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101 ,那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于 5.5 ( i)X4 ? X5 ? X6 ? X7 = 1 ? 1 ? 0 ? 1 = 1,( ii )X2 ? X3 ? X6 ? X7 = 1 ? 0 ? 0 ? 1 = 0；( iii )X1X3? X5

6、? X7= 1 ? 0 ? 1 ? 1= 1.由(i )( iii)知 X5, X7 有一個(gè)錯(cuò)誤，(ii)中沒(méi)有錯(cuò)誤，X5錯(cuò)誤，故k等于5.6. (2015 ?江蘇，23)已知集合 X= 1,2,3 , Yn= 1,2,3，n( n? N)，設(shè) S= (a, b)| a 整除 b或b整除a, a? X, b? Y，令f (n)表示集合S所含元素的個(gè)數(shù)當(dāng)n>6時(shí),6.解(1) f(6)寫(xiě)出(1)寫(xiě)出f(6)的值;h- 1I 2n n -2_+ + _,n+ 22廠，n= 6t2,當(dāng)n>6時(shí)，f(n)=/h 1(t ? N*).2n.+ 3 ,n°:6t + 3,2+ +市n

7、 1n+ 22 fn+ 2+$,+ 3 n= 6t ,n+ 2+ 專(zhuān),n = 6t +1,n+ 2+-n+ 2 +2+35F面用數(shù)學(xué)歸納法證明:6 6、 當(dāng)n= 6時(shí)，f(6) = 6 + 2 + 2+ 3 = 13,結(jié)論成立;假設(shè)n = k(k> 6)時(shí)結(jié)論成立，那么n= k + 1時(shí)，s+i在S的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1 , k+1) , (2 , k + 1), (3 , k + 1)中產(chǎn)生，分以下情形討論：1)若 k+ 1= 6t，則 k= 6(t -1) + 5,此時(shí)有k 1 k 2k + 1 k +1、人宀、f(k + 1) = f(k) + 3 = k+ 2 + AA +

8、丁 + 3 = (k + 1) + 2+AA + 八一，結(jié)論成立；2322)若k+ 1= 6t +1,貝U k= 6t，此時(shí)有f (k +1) = f ( k) +1 = k+k k2 + + + 1 = ( k+ 1) + 2+23(k+ 1) 1(k+1)33、人.、纟口論成立；3)若k+ 1= 6t +2,貝Uk= 6t + 1,此時(shí)有f (k +1) = f ( k) +2 = k+k 1 k 12 + - 2 + 3 + 2 = (k + 1) +k + 1 + - 2 +(k+1)32/亠、人亠、，纟口論成立;4)若k+ 1= 6t +3,貝Uk= 6t + 2,此時(shí)有f (k +

9、1) = f ( k) +2 = k+k k 22 + 2 + - 3- + 2 = ( k+ 1) + 2+(k +1)21 k+ 1+ ，纟口論成立;5)若 k+ 1 = 6t + 4,貝 U k= 6t + 3,此時(shí)有f (k + 1)=k -:f (x) + 2 = k+ 2 + - 2-1 k+ §+ 2 =k + 1(k+(k+ 1) + 2+-2 +1)31、，纟口論成立；6)若k+仁6t + 5,貝Uk= 6t +4,此時(shí)有k k1(k +1)1(k+1)2 ,、人丄f(k +1)=f(k) + 1 = k+ 2+ 2 + p+ 1 = (k+1) + 2+ -+-，

10、結(jié)論成2323立綜上所述，結(jié)論對(duì)滿(mǎn)足n6的自然數(shù)n均成立.7. (2014 ?陜西，14)觀察分析下表中的數(shù)據(jù):多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F, V, E所滿(mǎn)足的等式是 .7. F+ V E= 2 三棱柱中5+ 6 9 = 2;五棱錐中6+ 6 10= 2;立方體中6+ 8 12= 2,由此 歸納 可得 F+ V E= 2.(2014 ?陜西，21)設(shè)函數(shù) f(x)= In (1 + x) ,g(x)= xf'(x), x>0,其中f(x)是f (x)的導(dǎo)函數(shù).7令 gg= g(x), gn+(x)= g(gn(

11、x) , n? N*,求 gn(x)的表達(dá)式;若f (x) > ag( x)恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍;8.由題設(shè)得,g(x)=#xx1 + x xx(1)由已知,g1(x)二弔,g2(x) = g(g1(x)= 廠二右，g3(x) = j+x,.,+1可得 gn(x) = 1 + nx-F面用數(shù)學(xué)歸納法證明,x 當(dāng) w1 時(shí)，g1(x)=Bx 假設(shè)n = k時(shí)結(jié)論成立，即+gk(x)= 1 + kx.那么，當(dāng) n= k 1 時(shí),x1+ kxgk+1(x)g(gk(x)x+11 + kx1 + gk(gk (x) x)1+( k+ 1) x，即結(jié)論成立 設(shè)n?N*，比較g(1) + g

12、(2) + g(n)與 n f (n)的大小，并加以證明由可知，結(jié)論對(duì) n? N成立.已知f (x) >5設(shè) 0 (x) = In (1ax+ x)ax+ln(1 X)弟恒成立.“a x + 1 a0)，貝 V 0(x) =1 + x (1 + x) 2 2= + x)2,當(dāng) awl 時(shí)，0 '( X) >0(僅當(dāng) x= 0,a= 1時(shí)等號(hào)成立)，? Qx)在0 ,+s)上單調(diào)遞增，又0 (0) = 0,? 0 (x)0 在0，+A )上恒成立,ax1 + x? W 1 時(shí)，ln(1恒成立(僅當(dāng)x = 0時(shí)等號(hào)成立).當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)x?(0a 1: 有 0 '

13、(x) V0,0 (x)在(0 , a 1:上單調(diào)遞減，0 (a 1)< 0 (0) = 0,即卩a>1時(shí)，存在x>0,使0 (x)<0 ,ax 故知In (1+ x) >不恒成立.1 + x綜上可知，a的取值范圍是(一a, 1:n f ( n) = n In ( n+ 1), -1 2 n由題設(shè)知 g(1) + g(2) + g(n)=七+ ?+2 3n+1比較結(jié)果為 g(1) + g(2) + g(n)>n In ( n+1).證明如下：91 1 1法一上述不等式等價(jià)于2+3+nri<In(n+1),X在中取a= 1，可得In (1+ x)>

14、-A, x>0.1十X令 x= n, n? N,貝yn+1 <Inn+1nnF面用數(shù)學(xué)歸納法證明1當(dāng) n= 1 時(shí)，2<ln 2 ,結(jié)論成立11 1假設(shè)當(dāng)n= k時(shí)結(jié)論成立，即：十于十十<ln ( k+ 1)2 3k+1k+ 1)十 In 器=ln ( k + 2),112十3十十弟十2 ( k “十2 ( 那么，當(dāng)n= k+1時(shí)，即結(jié)論成立？ 由可知，結(jié)論對(duì) n? N成立.1 1 1法二 上述不等式等價(jià)于廳十八十十<ln (門(mén)十1)2 3門(mén)十1x>0.X在 中取a= 1，可得In (1十x)>1八,1 *令 x= n, ne N,則1n故有In 2

15、In 1>扌,In 3In 1 2>11In (門(mén)十1) In門(mén)罕十!法三如u，結(jié)論得證 門(mén)十1r n x x-0 xT!dx是由曲線=不,x= n及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，而十n、是圖中所示各矩形的面積和13dx=0 (1X+A1x+A )d x= n In ( n+ 1)2+ 3 +>n+ 1 結(jié)論得證 .9. (2014?重慶,22)設(shè)a1=1,a.+1 =弋a(chǎn)：2an+2 +b(n?N).若b= 1,求a2, as及數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 若b= 1，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n<cva2n+i對(duì)所有n? N*成立？證明你的結(jié)論.9.解(1)法一a2=2,as

16、 =2+ 1 ，再由題設(shè)條件知 (an+11)2=(an1)2+1.從而(an 1)2是首項(xiàng)為0公差為1的等差數(shù)列,故(an 1) 2= n 1，即an=J n 1 +1( n? N). 法二 a2 = 2, a3= 2 + 1,可與為 a1 =1 1 +1, a2= i ；2 1 + 1, a3= 3 1 + 1 .因此猜想 an=、;n 1 + 1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式：當(dāng) n= 1 時(shí)結(jié)論顯然成立 .假設(shè) n= k 時(shí)結(jié)論成立，即 ak = k 1 +1.則 ak+1=(ak 1) 2+ 1+ 1=(k 1)+ 1 +1=( k+ 1) 1 + 1.這就是說(shuō)，當(dāng) n= k+ 1 時(shí)結(jié)

17、論成立 .所以 an= , n 1 + 1( n? N*). 法一 設(shè) f(x) =(x 1) 2+ 1 1, 貝 U an+1 = f (an).- 1令 c= f (c)，即 c =(c 1) + 1 1,解得 c=4.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題a2nvcva2n + 1v1.1當(dāng) n= 1 時(shí)， a2= f(1) = 0, a3= f(0) =2 1, 所以 a2v4va3v1 ，結(jié)論成立 .假設(shè)n= k時(shí)結(jié)論成立，即 a2k<c<a2k+1<1.易知f (x)在(一八，1上為減函數(shù)，從而 c= f(c)>f(a2k+">f(1) = a2, 即

18、卩 1>c>a2k+2>a2.再由 f (x)在(一g, 1 上為減函數(shù)得 c= f (c)<f (a2k+2)< f (a2) = a3<1.故c<a2k+ 3<1，因此a2(k+ 1)<c<a2(k+1)+1<1.這就是說(shuō)，當(dāng)n= k +1時(shí)結(jié)論成立.1綜上，符合條件的 c 存在，其中一個(gè)值為c =-.法二 設(shè) f(x) = _ (x 1) 2+ 1 1，則 an+ 1 = f (an).先證：Ow anW 1(n?N).當(dāng)n= 1時(shí)，結(jié)論明顯成立.假設(shè)n= k時(shí)結(jié)論成立，即 0W akW 1.易知 f(x)在(一 g, 1:上為減函數(shù)，從而 0 = f(1) W f (ak) w f(0) =2 1<1.即0W ak+ 1W 1.這就是說(shuō)，當(dāng)n= k + 1時(shí)結(jié)論成立，故成立.再證：a2n<a2n+ 1( n? N).當(dāng)n= 1時(shí)，a2=f=0,a3=f(a2) =f(o)= 2 1,有a2<a3,即卩n=1時(shí)成立.假設(shè)n= k時(shí)，結(jié)論成立，即a2k<a2k+1,由及 f (x)在(g, 1:上為減函數(shù)，得a2k+i = f (a2k)> f k+i)= a2k+2, a2(k +