1、第第7章章 數(shù)字控制系統(tǒng)的離散化設計數(shù)字控制系統(tǒng)的離散化設計形狀空間法形狀空間法7.1 引言引言 形狀空間法設計系統(tǒng)是基于系統(tǒng)內(nèi)部模型的一類設計方形狀空間法設計系統(tǒng)是基于系統(tǒng)內(nèi)部模型的一類設計方法。法。 本章討論如下幾方面問題：本章討論如下幾方面問題： 系統(tǒng)的能控性與能觀測性，采樣周期與能控性、能觀測性；系統(tǒng)的能控性與能觀測性，采樣周期與能控性、能觀測性；形狀反響極點配置調理系統(tǒng)設計、有輸入的系統(tǒng)設計；形狀反響極點配置調理系統(tǒng)設計、有輸入的系統(tǒng)設計；形狀觀測器設計。對于不是一切形狀均能直接量測的系統(tǒng)，形狀觀測器設計。對于不是一切形狀均能直接量測的系統(tǒng)，觀測器是實現(xiàn)形狀反響必需的環(huán)節(jié)。觀測器是實

2、現(xiàn)形狀反響必需的環(huán)節(jié)。 7.2 能控性與能觀測性能控性與能觀測性7.2.1 能控性能控性controllability系統(tǒng)能控性定義：如能找到一個控制序列系統(tǒng)能控性定義：如能找到一個控制序列u(k)，使得在有限個采樣周期內(nèi)，系統(tǒng)能由，使得在有限個采樣周期內(nèi)，系統(tǒng)能由恣意初始形狀，到達某一恣意形狀，那么稱恣意初始形狀，到達某一恣意形狀，那么稱系統(tǒng)系統(tǒng)A,B是形狀完全能控的，系統(tǒng)具有能是形狀完全能控的，系統(tǒng)具有能控性?？匦?。 )()()()()1(kCxkykBukAxkx已已知知系系統(tǒng)統(tǒng)離離散散狀狀態(tài)態(tài)方方程程 能控性與能觀測性是能控性與能觀測性是20世紀世紀60年代由年代由Kalman提出并予

3、提出并予以處理的動力學系統(tǒng)的兩個根本問題，在現(xiàn)代控制實際中以處理的動力學系統(tǒng)的兩個根本問題，在現(xiàn)代控制實際中占有重要的位置。占有重要的位置。 )1()1()0()0()()1()1()0()0()()0(),(2121nuuuBBABAxAnxnBuBuABuAxAnxxnBAnnnnnn，則則由由遞遞推推法法，初初始始狀狀態(tài)態(tài)為為的的階階次次為為設設系系統(tǒng)統(tǒng)nBBABArankBBABAnnnn :2121即即滿滿秩秩，系系統(tǒng)統(tǒng)的的能能控控性性矩矩陣陣系系統(tǒng)統(tǒng)能能控控的的充充要要條條件件是是。的的秩秩必必須須為為狀狀態(tài)態(tài)都都能能存存在在，無無論論式式左左邊邊取取任任何何為為了了使使控控制制序

4、序列列nBBABAnuuunn)1(,),1(),0(21 空空間間。有有約約束束，則則存存在在能能控控子子若若系系統(tǒng)統(tǒng)對對控控制制向向量量)(ku例例7-2-1 知系統(tǒng)，分析能控性，知系統(tǒng)，分析能控性，T=1s。 )(10)()(368. 0632. 0)(1632. 00368. 0)1(2541,)1(1)(kxkykukxkxsTsssG離離散散狀狀態(tài)態(tài)方方程程為為得得其其，由由例例解解：已已知知ZOH11 ss1)(* tu)(tu)(1tx)()(2tytx ，所所以以系系統(tǒng)統(tǒng)能能控控。，其其秩秩為為2368. 0767. 0632. 02326. 0 BAB )1()0()0()

5、0()0(00)2()(2121uuBABAxxxxnx設設目目標標狀狀態(tài)態(tài)為為原原點點，即即1)( ku例例7-2-2 假設控制量限制為假設控制量限制為 ，對，對7-2-1系統(tǒng)做進一步分析。系統(tǒng)做進一步分析。)1()0()0()2(, 22BuABuxAxn 有有解解：系系統(tǒng)統(tǒng)假設控制量假設控制量u (0) u (0) 、u(1)u(1)無限制，那么無論初始形狀無限制，那么無論初始形狀x(0)x(0)位位于二維空間何處，只需有相應的于二維空間何處，只需有相應的u (0) u (0) 、u(1)u(1)作用于系統(tǒng)，作用于系統(tǒng)，經(jīng)兩個采樣周期，系統(tǒng)就可回到原點。經(jīng)兩個采樣周期，系統(tǒng)就可回到原點。

6、 671. 3671. 4:,718. 0718. 1:)1()0()0(221121BAwBAwuwuwx式式中中1x2x假設控制量有限制，那么系統(tǒng)存在可假設控制量有限制，那么系統(tǒng)存在可控子空間。如在本例中，控子空間。如在本例中，|u(k)|1, 那那么系統(tǒng)初始形狀么系統(tǒng)初始形狀x(0)只需位于只需位于w1、w2兩矢量構成的平行四邊形區(qū)域之內(nèi)時，兩矢量構成的平行四邊形區(qū)域之內(nèi)時，系統(tǒng)形狀才干經(jīng)兩步控制回到原點。系統(tǒng)形狀才干經(jīng)兩步控制回到原點。例例7-2-4 知系統(tǒng)形狀方程，分析其能控性。知系統(tǒng)形狀方程，分析其能控性。)(5 . 01)(025. 011)1(kukxkx 的的。系系統(tǒng)統(tǒng)狀狀態(tài)

7、態(tài)不不是是完完全全能能控控解解： 1)(,25. 05 . 05 . 01ABBrankABB)1(24)0(12)0(0)2()(uuxxnx ，則則可可求求得得設設 可可能能經(jīng)經(jīng)兩兩步步回回到到原原點點。（一一條條直直線線）上上，才才有有所所在在的的子子空空間間在在向向量量可可見見只只有有系系統(tǒng)統(tǒng)初初始始狀狀態(tài)態(tài)12)0( x)1(2)0(25. 05 . 0)1()0()0()2(0)0(2uuBuABuxAxx ，反反之之，若若條條直直線線上上。間間上上，也也就就是是只只能能在在一一所所在在的的子子空空到到達達向向量量可可見見從從原原點點出出發(fā)發(fā)，只只能能T25. 05 . 0 7.2

8、.2 能觀測性能觀測性(observability)性性。的的，稱稱系系統(tǒng)統(tǒng)具具有有能能觀觀測測，則則系系統(tǒng)統(tǒng)為為完完全全能能觀觀測測始始狀狀態(tài)態(tài)能能唯唯一一地地確確定定系系統(tǒng)統(tǒng)的的初初，觀觀測測：內(nèi)內(nèi)，對對系系統(tǒng)統(tǒng)的的輸輸出出進進行行期期開開始始，在在有有限限個個采采樣樣周周采采樣樣點點定定義義：如如果果系系統(tǒng)統(tǒng)從從任任意意)0()1(,),1(),(xniyiyiyiT nCACACrankCACACnn 11滿滿秩秩，即即系系統(tǒng)統(tǒng)能能觀觀測測性性矩矩陣陣：系系統(tǒng)統(tǒng)能能觀觀的的充充要要條條件件是是系系統(tǒng)統(tǒng)完完全全能能觀觀。解解 21632. 010CACrankCAC例例7-2-5 分析分

9、析7 -2-1系統(tǒng)的能觀測性。系統(tǒng)的能觀測性。7.2.3 輸出能控性輸出能控性 為為輸輸出出向向量量的的維維數(shù)數(shù)。，輸輸出出能能控控性性的的條條件件是是：推推出出和和系系統(tǒng)統(tǒng)能能控控性性定定義義，可可由由輸輸出出方方程程：ppBCACABCBrankkCxkyn 1)()(能能控控性性）來來研研究究。其其對對偶偶系系統(tǒng)統(tǒng)的的能能觀觀性性（助助于于控控性性（能能觀觀性性），可可借借那那么么一一個個系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)能能7.2.4 對偶原理對偶原理(duality principle) )()()()()1()()()()()1(2211kvBkwkuCkvAkvSkCxkykBukAxkxST

10、TT：系系統(tǒng)統(tǒng)：系系統(tǒng)統(tǒng)為為對對偶偶原原理理。的的能能控控性性矩矩陣陣相相同同，此此的的能能觀觀測測性性矩矩陣陣與與系系統(tǒng)統(tǒng)系系統(tǒng)統(tǒng)的的能能觀觀測測性性矩矩陣陣相相同同，統(tǒng)統(tǒng)的的能能控控性性矩矩陣陣與與系系互互為為對對偶偶系系統(tǒng)統(tǒng)，系系統(tǒng)統(tǒng)與與系系統(tǒng)統(tǒng)系系統(tǒng)統(tǒng)212121SSSSSS 延續(xù)系統(tǒng)離散化，其系數(shù)矩陣延續(xù)系統(tǒng)離散化，其系數(shù)矩陣A、B均與采樣周期均與采樣周期T有關，有關，即使延續(xù)系統(tǒng)能觀能控，采樣后的離散系統(tǒng)的能控能觀性也即使延續(xù)系統(tǒng)能觀能控，采樣后的離散系統(tǒng)的能控能觀性也不一定能保證，取決于采樣周期不一定能保證，取決于采樣周期T。7.2.5 采樣周期與能控性、能觀測性采樣周期與能控性

11、、能觀測性例例7-2-7 分析如下延續(xù)系統(tǒng)及其離散時間系統(tǒng)的能控性、能分析如下延續(xù)系統(tǒng)及其離散時間系統(tǒng)的能控性、能觀測性。觀測性。 )(01)()()(0)(00)()()(txtCxtytutxtGUtFxtx 系系統(tǒng)統(tǒng)能能控控。，秩秩為為：連連續(xù)續(xù)系系統(tǒng)統(tǒng)能能控控性性矩矩陣陣的的解解： 2002 rankFGGrank系系統(tǒng)統(tǒng)能能觀觀。，能能觀觀測測性性矩矩陣陣的的秩秩為為： 2001 rankCFCrank )(01)()()(sincos1)(cossinsincos)()()1(kxkCxkykuttkxttttkBukAxkx 連續(xù)系統(tǒng)離散化后：連續(xù)系統(tǒng)離散化后： ttCACttt

12、tttttABB sincos01cossin2sinsinsincoscoscos122能能觀觀測測性性矩矩陣陣能能控控性性矩矩陣陣控控性性與與能能觀觀測測性性。時時，離離散散系系統(tǒng)統(tǒng)不不具具有有能能當當 nT 7.3 形狀反響極點配置調理系統(tǒng)設計形狀反響極點配置調理系統(tǒng)設計 調理系統(tǒng)的設計，是在系統(tǒng)初始形狀調理系統(tǒng)的設計，是在系統(tǒng)初始形狀x(0)0，系統(tǒng)輸入，系統(tǒng)輸入為為r(t)=0的情況下，設計控制器。本節(jié)是在假設系統(tǒng)的全部的情況下，設計控制器。本節(jié)是在假設系統(tǒng)的全部形狀變量均可直接丈量的前提下進展系統(tǒng)設計的。形狀變量均可直接丈量的前提下進展系統(tǒng)設計的。7.3.1 設計準那么設計準那么

13、經(jīng)過形狀反響陣的選擇，使閉環(huán)系統(tǒng)極點經(jīng)過形狀反響陣的選擇，使閉環(huán)系統(tǒng)極點處于所希望的一組位置上。系統(tǒng)經(jīng)過形狀反處于所希望的一組位置上。系統(tǒng)經(jīng)過形狀反響可以恣意配置極點的充分必要條件是，系響可以恣意配置極點的充分必要條件是，系統(tǒng)具有能控性。統(tǒng)具有能控性。xy圖圖7-3-1 具有形狀反響的閉環(huán)調理系統(tǒng)具有形狀反響的閉環(huán)調理系統(tǒng)r=0 u_A,BLCZOH輸輸出出方方程程狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋方方程程狀狀態(tài)態(tài)方方程程狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋陣陣 )()()()()()()1(kCxkyLkLxkukBukAxkx 系統(tǒng)設計就是確定形狀反響陣系統(tǒng)設計就是確定形狀反響陣L L，使閉環(huán)極點位于所要，使閉環(huán)極點位于所要求

14、的位置上?？捎砷]環(huán)系統(tǒng)特征方程求求的位置上?？捎砷]環(huán)系統(tǒng)特征方程求L L。 由于系數(shù)矩陣由于系數(shù)矩陣A A、B B均與采樣周期均與采樣周期T T 有關，因此有關，因此L L也與采也與采樣周期樣周期T T有關。有關。0)()()1( BLAzIkxBLAkx閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)特特征征方方程程為為例例7-3-1 知延續(xù)對象特性，用形狀反響設計調理系統(tǒng)。知延續(xù)對象特性，用形狀反響設計調理系統(tǒng)。 )(10)()(11)(110)1(254)1(1)(kxkykueTekxeekxsssGTTTT求求出出：象象狀狀態(tài)態(tài)空空間間表表達達式式由由例例帶帶零零階階保保持持器器的的連連續(xù)續(xù)對對解解：)()()()

15、(2211kxLkxLkLxku 設設狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋為為： 0)1()1()1()1()1(011010002121221 TTTTTTTTTTTeLTeeLezeLeTLezLLeTeeezz：則則閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)特特征征方方程程為為)1137(0)(,2121221221 ppzppzazazpp則則希希望望的的特特征征方方程程為為、設設所所需需配配置置的的極極點點為為 22211212)1()1()1()1()1237()1(1TTTTTTTeTTeeeTaTeeaLeTaaL 。對對應應，點點為為：特特性性，則則所所需需配配置置的的極極之之連連續(xù)續(xù)系系統(tǒng)統(tǒng)，若若希希望望得得到到類類似

16、似于于TnTTjTnnnnneaTeaep 222112, 11cos215 . 02。，可求得：可求得：。代入（。代入（，求得：，求得：次，若取次，若取采樣次數(shù)采樣次數(shù)一周期一周期響應特性聯(lián)系起來，每響應特性聯(lián)系起來，每選擇采樣周期，與閉環(huán)選擇采樣周期，與閉環(huán)921. 0385. 0)1237368. 0786. 011682121 LLaasTN7.3.2 有限拍控制系統(tǒng)設計有限拍控制系統(tǒng)設計 假設由形狀反響配置的希望極點全部位于原點，對于假設由形狀反響配置的希望極點全部位于原點，對于n階系統(tǒng)，閉環(huán)特征方程為：階系統(tǒng)，閉環(huán)特征方程為：zn=0。其物理意義為：假設系統(tǒng)。其物理意義為：假設系統(tǒng)

17、初始形狀初始形狀x(0)0，那么經(jīng)，那么經(jīng)n步，就能將全部形狀驅動至零。步，就能將全部形狀驅動至零。 22122121)1(1)1(1)1237(00)1137(TTTTeTTeeLeTLaapp，求求得得代代入入式式，則則可可知知，若若解解：由由式式 ，時時，當當。，代代入入上上式式，可可得得設設3210005924. 01)(00825. 0825. 2)(11)0(582. 1243. 1121 kkykuxLLsTT例例7-3-2 例例7-3-1對象之有限拍系統(tǒng)設計。對象之有限拍系統(tǒng)設計。7.3.3 采樣周期與形狀反響采樣周期與形狀反響 形狀反響陣形狀反響陣L與采樣周期有關，隨著采與采

18、樣周期有關，隨著采樣周期之減少，將使控制信號最大值增大，樣周期之減少，將使控制信號最大值增大，能夠超出執(zhí)行機構的線性范圍，這是實踐系能夠超出執(zhí)行機構的線性范圍，這是實踐系統(tǒng)中不希望的。因此確定采樣周期的下限，統(tǒng)中不希望的。因此確定采樣周期的下限，應思索執(zhí)行機構之線性任務范圍及實時性。應思索執(zhí)行機構之線性任務范圍及實時性。圖圖7-3-4 系統(tǒng)形狀及調理器輸出系統(tǒng)形狀及調理器輸出L1=1.243、L2=1.582 7.4 形狀觀測器設計形狀觀測器設計 系統(tǒng)在一切形狀均能直接量測的前提下，形狀反響可以系統(tǒng)在一切形狀均能直接量測的前提下，形狀反響可以恣意配置極點。在實踐系統(tǒng)中，形狀變量往往不能完全丈量

19、，恣意配置極點。在實踐系統(tǒng)中，形狀變量往往不能完全丈量，需求由形狀觀測器來重構形狀，得到形狀變量的估計，以便需求由形狀觀測器來重構形狀，得到形狀變量的估計，以便實現(xiàn)形狀反響。本節(jié)引見幾種形狀觀測器的設計。實現(xiàn)形狀反響。本節(jié)引見幾種形狀觀測器的設計。7.4.1 閉環(huán)全階觀測器閉環(huán)全階觀測器或或稱稱狀狀態(tài)態(tài)變變量量的的估估計計。為為重重構構的的狀狀態(tài)態(tài)，式式中中，建建立立開開環(huán)環(huán)狀狀態(tài)態(tài)觀觀測測器器表表達達式式被被控控對對象象離離散散狀狀態(tài)態(tài)空空間間)( )( )( )()( )1( )()()()()1(kxkxCkykBukxAkxkCxkykBukAxkx 才會收斂于零。才會收斂于零。只有對

20、象是穩(wěn)定的，只有對象是穩(wěn)定的，若二者初始狀態(tài)不同，若二者初始狀態(tài)不同設重構誤差：設重構誤差：)()( )()(kxkxkxkx 鑒于上述缺乏，構造閉環(huán)觀測器，使其具有要求的動態(tài)鑒于上述缺乏，構造閉環(huán)觀測器，使其具有要求的動態(tài)特性。特性。1. 預估觀測器預估觀測器 )( )()()( )1( )( )(kykyKkBukxAkxkyky 成成閉閉環(huán)環(huán)觀觀測測器器：之之差差作作為為反反饋饋，構構輸輸出出與與估估計計由由實實測測輸輸出出 )()()()()1()()()()()1()()( kKykBukxKCAkxkxCkyKkBukxAkxkxCky 代代入入上上式式，可可得得將將輸輸出出方方程

21、程)()()()()( )()()()()()( )()()()1( )1()1(kxKCAkKCxkBukxKCAkBukAxkKykBukxKCAkBukAxkxkxkx 重構誤差為：重構誤差為：迅迅速速收收斂斂于于零零。平平面面相相應應的的位位置置，使使測測器器的的極極點點，位位于于的的特特征征值值，也也即即觀觀，使使特特征征方方程程是是選選擇擇況況下下，設設計計觀觀測測器器，就就。在在對對象象特特性性確確定定的的情情、矩矩陣陣之之動動態(tài)態(tài)特特性性取取決決于于系系數(shù)數(shù)可可見見，狀狀態(tài)態(tài)重重構構誤誤差差)(0)(kxZKCAzIKKCAkx 當且僅當當且僅當A,C完全能觀測時，可恣意選擇完

22、全能觀測時，可恣意選擇K，使觀測器，使觀測器具有所要求的極點。具有所要求的極點。 此觀測器由輸入和輸出的量測值生成了系統(tǒng)的形狀，之此觀測器由輸入和輸出的量測值生成了系統(tǒng)的形狀，之所以稱為預估觀測器，是由于第所以稱為預估觀測器，是由于第k個采樣點的輸出個采樣點的輸出y(k)，重構，重構第第k+1個采樣點的形狀個采樣點的形狀 。)1( kx2. 現(xiàn)行觀測器現(xiàn)行觀測器 )( )( )1()1()1()1( )1()1()()( )1(kxCkykykyKkxkxkxCkykBukxAkx則則對其進行改進，設對其進行改進，設上述觀測器具有時延，上述觀測器具有時延，)()1()()1( )()( )1(

23、)()()( )()()( )1()()( )1( kKykuKCBBkxKCAAkxkKykuKCBBkxKCAAkCBukxCAkyKkBukxAkx 或或)1()()( kxKCAAkx重構誤差為：重構誤差為：可見第可見第k個采樣周期重構的形狀，是由本周期的輸出估計的。個采樣周期重構的形狀，是由本周期的輸出估計的。 假設假設A,C能觀測，那么能觀測，那么A,CA也能觀測，可恣意選擇也能觀測，可恣意選擇K，使觀測器具有所要求的極點，以使形狀重構誤差盡快收斂于零。使觀測器具有所要求的極點，以使形狀重構誤差盡快收斂于零。7.4.2 降階觀測器降階觀測器 有些可以直接丈量的形狀變量，可不用重構，

24、以減少計有些可以直接丈量的形狀變量，可不用重構，以減少計算量，為此設計階數(shù)低于對象階數(shù)的降階觀測器。算量，為此設計階數(shù)低于對象階數(shù)的降階觀測器。1. 降階觀測器之一降階觀測器之一 對象的形狀變量可分為可直接觀測的對象的形狀變量可分為可直接觀測的xa(k)與需重構的與需重構的xb(k)兩部分，那么形狀空間描畫可表示為：兩部分，那么形狀空間描畫可表示為： )()()()()()()1()1()1(kxkxCCkykuBBkxkxAAAAkxkxkxbababababbbaabaaba可可以以認認為為是是已已知知的的。式式中中，成成如如下下的的形形式式：）為為需需重重構構的的狀狀態(tài)態(tài)，寫寫其其中中，

25、)()()()()()1()()()()1()()()()1(kuBkxAkuBkxAkxAkxkxkuBkxAkxAkxkuBkxAkxAkxbababababbbbbbbbbababababaaaa )1()()()()()()()1(1 . 4 . 7 kKxkuKBBkxKAAkxKAAkxaabaaabababbbb測測器器：的的形形式式建建立立預預估估降降階階觀觀按按照照)1()()()()()()()1()()(01 kKykuKBBkyKAAkxKAAkxkxkyCCabaabababbbbaba式式描描述述：此此時時降降階階觀觀測測器器可可用用下下，則則，若若0 abbbKA

26、AzI其其特特征征方方程程為為： 由上式可知，由預估全階觀測器推導出的降階觀測器，由上式可知，由預估全階觀測器推導出的降階觀測器，與其不同的是，重構的形狀變量，需由本時辰與前一時辰輸與其不同的是，重構的形狀變量，需由本時辰與前一時辰輸出的采樣值來估計。出的采樣值來估計。2. 降階觀測器之二降階觀測器之二 )( )( )()1()()1( )()( 1 . 4 . 7kxCkykKykuKCBBkxKCAAkx中中介介紹紹的的現(xiàn)現(xiàn)行行觀觀測測器器為為)1()()1()()()()()( )()( )( kxCACKIkxKCAACkxCkxCkCxkykykyky之之差差為為：與與估估計計輸輸出

27、出則則對對象象輸輸出出。構構式式，得得到到降降階階觀觀測測器器個個重重能能從從現(xiàn)現(xiàn)行行觀觀測測器器中中消消去去統(tǒng)統(tǒng)輸輸出出無無誤誤差差。因因此此可可。這這說說明明重重構構系系，則則，使使可可選選擇擇，陣陣，若若為為個個輸輸出出，設設系系統(tǒng)統(tǒng)有有pkxCkyCKIKpCrankppCKIp)( )()()( 例例7-4-1 知延續(xù)對象知延續(xù)對象 ，設計觀測器。，設計觀測器。)1(1)( sssG 10110137 CeeATT，：中中給給出出，其其系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣為為例例已已在在的的離離散散化化狀狀態(tài)態(tài)空空間間描描述述解解：帶帶零零保保的的連連續(xù)續(xù)對對象象 0)1()1()1(01)1(0101

28、10000)1(21222121 KeKezeKzKzeKezKKeezzCAKCAzITTTTTTT，可可得得、，代代入入系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣特特征征方方程程式式為為預預估估全全階階觀觀測測器器 TTTTeaKeeeaaKazaz110122121212，則則如如下下特特征征方方程程給給出出：設設希希望望的的觀觀測測器器特特性性由由 01)1(011010110000)2(221221 TTTTTTTTeKezKeeKzeeKKeezzCAKCAAzI，可可得得、，代代入入系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣特特征征方方程程式式為為現(xiàn)現(xiàn)行行全全階階觀觀測測器器 TTTTTTeaeKeeeeaaKazaz222121

29、212)1(0，則則如如下下特特征征方方程程給給出出：設設希希望望的的觀觀測測器器特特性性由由，因因此此不不能能進進行行設設計計。因因為為本本例例對對象象中中特特征征方方程程為為：降降階階觀觀測測器器之之一一00)3( ababbbAKAAzI)(1)1(0)1()1()1()1(00)1()()(1,)4(112111212kyKkueTKekxkxKeKekxkxKCKIKTTTT 則則現(xiàn)現(xiàn)行行全全階階觀觀測測器器為為。使使選選擇擇降降階階觀觀測測器器之之二二)1()()1()1()1()1()1()()()()(1111122 kykyKkueTKekxeKekxkxkykxTTTT的的

30、狀狀態(tài)態(tài)為為：不不必必重重構構，則則需需重重構構，因因此此狀狀態(tài)態(tài)由由于于7.5 有觀測器的形狀反響調理系統(tǒng)有觀測器的形狀反響調理系統(tǒng) 圖圖7-5-1為由觀測器重構形狀，實現(xiàn)形狀反響配置極點為由觀測器重構形狀，實現(xiàn)形狀反響配置極點的調理系統(tǒng)。的調理系統(tǒng)。 設計調理系統(tǒng)的準那么：在零輸入設計調理系統(tǒng)的準那么：在零輸入r(t)=0及非零初始條件及非零初始條件下，驅動系統(tǒng)的形狀至零，且具有希望的動態(tài)特性。下，驅動系統(tǒng)的形狀至零，且具有希望的動態(tài)特性。7.5.1 分別原理分別原理 )()()()()1(. 1kCxkykBukAxkx象象的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間描描述述為為帶帶零零階階保保持持器器的的連連

31、續(xù)續(xù)對對)( )()()()1()( )()()( )1( . 2kxLkukxKCAkxkxCkyKkBukxAkx 狀態(tài)反饋為狀態(tài)反饋為預估全階觀測器為預估全階觀測器為數(shù)字控制器數(shù)字控制器 )()(0)1()1()()()()()()()( )()()()1(kxkxKCABLBLAkxkxkxBLkBLxkAxkxkxBLkAxkxBLkAxkBukAxkx則則計計。器器可可分分別別獨獨立立地地進進行行設設無無關關，因因此此系系統(tǒng)統(tǒng)與與觀觀測測的的動動態(tài)態(tài)特特性性統(tǒng)統(tǒng)的的動動態(tài)態(tài)特特性性與與觀觀測測器器存存在在分分離離定定理理：閉閉環(huán)環(huán)系系。因因此此極極點點與與觀觀測測器器極極點點組組成

32、成可可見見系系統(tǒng)統(tǒng)的的極極點點由由閉閉環(huán)環(huán)特特征征方方程程為為0 KCAzIBLAzI?？煽梢娨姺址蛛x離定定理理仍仍然然實實用用特特征征方方程程為為統(tǒng)統(tǒng)，其其方方程程組組為為調調節(jié)節(jié)系系、狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋實實現(xiàn)現(xiàn)控控制制的的由由現(xiàn)現(xiàn)行行全全階階狀狀態(tài)態(tài)觀觀測測器器0)1()1(0)()( KCAAzIBLAzIkxkxKCAABLBLAkxkx 由分別定理及調理系統(tǒng)設計準那么，可得系統(tǒng)設計步驟由分別定理及調理系統(tǒng)設計準那么，可得系統(tǒng)設計步驟為：為：1由希望的閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)特性確定形狀反響陣由希望的閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)特性確定形狀反響陣L。2選擇觀測器系數(shù)陣選擇觀測器系數(shù)陣K，使重構形狀誤差迅速收斂于零，

33、使重構形狀誤差迅速收斂于零，閱歷數(shù)據(jù)可?。河^測器的時間常數(shù)小于閉環(huán)系統(tǒng)最小時間常閱歷數(shù)據(jù)可取：觀測器的時間常數(shù)小于閉環(huán)系統(tǒng)最小時間常數(shù)，前者為后者的數(shù)，前者為后者的1/41/2。7.5.2 觀測器對閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)特性的影響觀測器對閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)特性的影響)()0()()0()()()()0()()(zKCXzxzKYzxzXBLKCAzIzXBLzxzXAzIZ 變變換換，經(jīng)經(jīng)整整理理，得得到到：狀狀態(tài)態(tài)方方程程式式的的觀觀測測器器。求求對對象象狀狀態(tài)態(tài)方方程程式式及及以以預預估估全全階階觀觀測測器器為為例例?？梢娍梢姇r，上兩式相減，可得時，上兩式相減，可得當當)( )()()()()()0( )

34、0(kxkxzXKCAzIzXKCAzIxx 由上式可知，只需在系統(tǒng)初始形狀由上式可知，只需在系統(tǒng)初始形狀x(0)與觀測器初始形與觀測器初始形狀一樣時，閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)特性才與能否帶有觀測器無關。狀一樣時，閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)特性才與能否帶有觀測器無關。當二者初始形狀不同時，重構形狀經(jīng)過反響陣當二者初始形狀不同時，重構形狀經(jīng)過反響陣L影響系統(tǒng)形影響系統(tǒng)形狀狀x(k)的動特性，因此只需觀測器的時間常數(shù)小于系統(tǒng)的最的動特性，因此只需觀測器的時間常數(shù)小于系統(tǒng)的最小時間常數(shù)，形狀重構誤差盡快趨于零，才對系統(tǒng)影響較小。小時間常數(shù)，形狀重構誤差盡快趨于零，才對系統(tǒng)影響較小。7.5.3 控制器特性控制器特性)( )

35、()()()1()( )()()( )1( 1 . 5 . 7kxLkukxKCAkxkxCkyKkBukxAkx 狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋為為為為得得到到的的預預估估全全階階觀觀測測器器由由KKCBLAzILzYzUzDZZkuky1)()()()(),()( 傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)為為可可得得控控制制器器的的變變換換并并整整理理對對以以上上三三式式求求，輸輸出出為為其其輸輸入入為為0)()(10)()()()()()(111 BAzICKKCBLAzILzGzDIBAzICzUzYzGdd閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)特特征征方方程程為為特特性性程程予予以以描描述述，已已知知對對象象系系統(tǒng)統(tǒng)特特性性由由閉閉環(huán)環(huán)特特征

36、征方方。，似似于于連連續(xù)續(xù)系系統(tǒng)統(tǒng)環(huán)環(huán)特特性性類類的的調調節(jié)節(jié)系系統(tǒng)統(tǒng)，希希望望的的閉閉具具有有觀觀測測器器與與狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋，設設計計采采樣樣周周期期對對象象特特性性例例15 . 01,)1(1)(157 nsTsssG 。中中求求得得已已在在例例的的確確定定）反反饋饋陣陣解解：（921. 0385. 0137121 LLLL1353. 05 . 04/25 . 011)2(5 . 0/1/00 eeppsTTsTKTTHnH：設設其其具具有有實實極極點點，取取觀觀測測器器時時間間常常數(shù)數(shù)階階系系統(tǒng)統(tǒng)的的時時間間常常數(shù)數(shù)由由連連續(xù)續(xù)系系統(tǒng)統(tǒng)理理論論知知，二二的的確確定定觀觀測測器器系系數(shù)數(shù)

37、陣陣 00183. 0276. 0)1353. 0()(222 zzzpz其特征方程為其特征方程為對于預估全階觀測器，對于預估全階觀測器， )(097. 1086. 0)(368. 0632. 0)( 097. 0632. 0086. 0368. 0)()()( )()1( )847(097. 1086. 0)3947(0183. 0,276. 02121kykukxkKykBukxKCAkxKKKaaTT 得得到到預預估估觀觀測測器器為為：由由式式中中，求求得得代代入入式式將將 273. 031. 0355. 0043. 1097. 1086. 0436. 049. 0668. 01247.

38、 0921. 0385. 0)(436. 049. 0668. 01247. 0)()3(211 zzzzzKKCBLAzILzDzzKCBLAzIzD的的確確定定控控制制器器傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)系系統(tǒng)統(tǒng)是是穩(wěn)穩(wěn)定定的的。單單位位圓圓內(nèi)內(nèi)，故故閉閉環(huán)環(huán)控控制制平平面面，在在、可可求求得得特特征征根根為為閉閉環(huán)環(huán)特特征征方方程程：閉閉環(huán)環(huán)特特征征方方程程的的確確定定ZjzzzzzzzGzDzzzBAzICzGdd4220. 03690. 00804. 02375. 0273. 031. 0355. 0043. 1368. 0368. 1264. 0368. 01)()(1368. 0368. 126

39、4. 0368. 0)()()4(2221 。求得求得望的特征方程：望的特征方程：由觀測器特征方程及希由觀測器特征方程及希，則，則設計降階觀測器，設計降階觀測器，根據(jù)式根據(jù)式368. 001353. 00)632. 0368. 0()1()()1()368. 0632. 0()1()632. 0368. 0()(1)4347(1111111 KzpzKzkykyKkuKkxKkxsT)1()(368. 0)1(497. 0)1(1353. 0)(11 kykykukxkx則則降降階階觀觀測測器器為為 TTxx00)0( 11)0( ，初初始始狀狀態(tài)態(tài)設設為為全全階階觀觀測測器器的的 0)0(1

40、1)0(1 xxT，初初始始狀狀態(tài)態(tài)設設為為降降階階觀觀測測器器的的7.6 有輸入的系統(tǒng)設計有輸入的系統(tǒng)設計 本節(jié)論述在有輸入的情況下，進展系統(tǒng)設計，使其輸出本節(jié)論述在有輸入的情況下，進展系統(tǒng)設計，使其輸出可以跟蹤輸入信號?？梢愿欇斎胄盘?。7.6.1 輸入前饋形狀反響系統(tǒng)輸入前饋形狀反響系統(tǒng) 如下圖，如下圖，L為形狀反響陣，為形狀反響陣，N為對輸入的前饋陣，此時控為對輸入的前饋陣，此時控制量制量u(k)是形狀變量與輸入的是形狀變量與輸入的線性組合。設計系統(tǒng)，就是確線性組合。設計系統(tǒng)，就是確定定L與與N陣，陣，L使閉環(huán)系統(tǒng)具有使閉環(huán)系統(tǒng)具有希望的極點，希望的極點，N使其能跟蹤輸使其能跟蹤輸入信

41、號。入信號。 對于單輸入單輸出系統(tǒng)，對于單輸入單輸出系統(tǒng)，N為一標量。為一標量。1. 形狀變量均能量測的系統(tǒng)形狀變量均能量測的系統(tǒng) )()()()()()()()1()(167kNrkLxkukCxkykBukAxkxa述述為為：所所示示系系統(tǒng)統(tǒng)，狀狀態(tài)態(tài)空空間間描描圖圖BNBLAzICzRzYzHzCXzYzBNRzxzXBLAzIkCxkykBNrkBLxkAxkx1)()()()()()()()0()()()()()()()()1( 及及終終值值定定理理確確定定。節(jié)節(jié)，可可由由陣陣的的確確定定見見。只只改改變變傳傳遞遞矩矩陣陣的的幅幅值值可可見見，0)(lim3 . 7rkyLNk 。之

42、之設設計計結結果果，確確定定取取例例，采采樣樣周周期期對對象象特特性性例例NLttrsTsssG137)(1)(1,)1(1)(167 368. 0786. 0)264. 0368. 0(368. 0632. 0368. 01368. 0632. 0632. 06321. 0368. 010)(921. 0385. 01372121211 zzNzNLzLLLzBNBLAzICzHL設設計計之之解解：例例921. 011368. 0786. 0)264. 0368. 0()1(lim)(lim21 NzzzzNzzkyzk求得：求得：由終值定理：由終值定理：2. 重構形狀實現(xiàn)反響重構形狀實現(xiàn)反

43、響 )()( )()()()( )()1( )()()()()1()( 167kNrkxLkukKykBukxKCAkxkCxkykBukAxkxb則則二二階階觀觀測測器器重重構構狀狀態(tài)態(tài)，所所示示系系統(tǒng)統(tǒng)，設設采采用用預預估估圖圖統(tǒng)統(tǒng)特特性性有有影影響響。）觀觀測測器器是是否否對對閉閉環(huán)環(huán)系系（性性有有影影響響；）輸輸入入是是否否對對觀觀測測器器特特（分分析析如如下下兩兩個個問問題題：21的的重重構構誤誤差差?？煽梢娨娸斴斎肴氩徊挥坝绊戫懹^觀測測器器重重構構誤誤差差：由由上上面面的的狀狀態(tài)態(tài)方方程程推推得得)()()1( )1()1()()()( )( )()1( )()( )()1(kxK

44、CAkxkxkxkKCxkBNrkxBLkxKCAkxkBNrkxBLkAxkx )()(0)()(0)()(0)1()1()()()()()1(kxkxCkykrBNkxkxKCABLBLAkxkxkBNrkxBLkxBLAkx輸輸出出方方程程為為：整整理理可可得得 測測器器相相同同。來來看看，系系統(tǒng)統(tǒng)特特性性與與無無觀觀傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)，從從輸輸入入輸輸出出改改變變閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)的的）相相同同，可可見見觀觀測測器器不不與與式式（傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)為為觀觀測測器器的的閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)由由上上兩兩式式，可可求求得得具具有有567)(0)0(0)(11 BNBLAzICBNKCABLBLAzIC

45、zHZ 由例由例7-6-1求得的閉環(huán)求得的閉環(huán)Z傳送函數(shù)可知，此種方法設計系傳送函數(shù)可知，此種方法設計系統(tǒng)缺乏之處是：統(tǒng)缺乏之處是：1擾動使輸出產(chǎn)生的誤差是不能補償?shù)?；擾動使輸出產(chǎn)生的誤差是不能補償?shù)模?N只影響閉環(huán)系統(tǒng)增益，不改動其零點，零點對系統(tǒng)的只影響閉環(huán)系統(tǒng)增益，不改動其零點，零點對系統(tǒng)的動態(tài)及穩(wěn)態(tài)特性均有影響。動態(tài)及穩(wěn)態(tài)特性均有影響。7.6.2 引入積分器引入積分器 圖圖7-6-2所示系統(tǒng)，是具有形狀反響和輸出反響的系統(tǒng)，所示系統(tǒng)，是具有形狀反響和輸出反響的系統(tǒng)，引入積分器用以提高系統(tǒng)的無差度，且能有效地抑制干擾。引入積分器用以提高系統(tǒng)的無差度，且能有效地抑制干擾。與與設設計計系系統(tǒng)

46、統(tǒng)，就就是是確確定定，則則設設干干擾擾階階，則則新新狀狀態(tài)態(tài)方方程程為為設設對對象象為為于于引引入入一一個個新新的的狀狀態(tài)態(tài)，器器相相當當描描述述時時，考考慮慮引引入入積積分分在在建建立立系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間111111)()()(0)()()()()()()()1( nnnnnnLLkxLkLxkutvkCxkrkxkykrkxkxn)(10)()(1)1()1()()(10)(0)()(10)1()1(111111krkxkxCBLBLAkxkxkukrkuBkxkxCAkxkxnnnnnn ，得，得代入代入階系統(tǒng)之狀態(tài)方程為：階系統(tǒng)之狀態(tài)方程為：引入積分器后，引入積分器后， )(

47、)(0)(1kxkxCkyn輸輸出出方方程程為為。統(tǒng)統(tǒng)，即即階階躍躍輸輸入入，則則是是無無差差系系，對對于于統(tǒng)統(tǒng)，只只要要系系統(tǒng)統(tǒng)是是穩(wěn)穩(wěn)定定的的用用極極點點配配置置法法設設計計此此系系閉閉環(huán)環(huán)特特征征方方程程為為01)()(lim01rkrkyCBLBLAzIkn ) ( )()(010111NAzICzHzHZCCNCBLBLAAn 為為傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)則則閉閉環(huán)環(huán)，設設 )()()()()()()1()()()1(0)()()()(11)()(11111kvkxLkLxkukCxkxkxkBukAxkxtrtvzYzRzLzLXzUnnnnn，此此時時的的響響應應，設設系系統(tǒng)統(tǒng)對對干干擾

48、擾控控制制量量為為)() ( )()()()()(0)()()1()1(1111zVBAzICzYZkvBkxkxAkvBkxkxAkxkxnnn 變變換換為為系系統(tǒng)統(tǒng)對對干干擾擾響響應應的的成成如如下下方方程程組組：以以上上三三式式經(jīng)經(jīng)整整理理，可可寫寫7.6.3 零點配置零點配置)()()()()()()(111122112211zRzHzYZpzzzbzHazazazbzbzbzHZniiniinnnnnnn 變變換換為為輸輸出出或或如如下下形形式式：傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)描描述述，設設具具有有數(shù)數(shù)字字控控制制系系統(tǒng)統(tǒng)，用用 H(z)的極點表征了系統(tǒng)的本身特性，由形狀反響配置希的極點表征了系統(tǒng)

49、的本身特性，由形狀反響配置希望的極點。望的極點。H(z)的零點，表征呼應外作用信號的特性。對于的零點，表征呼應外作用信號的特性。對于有輸入的系統(tǒng)，要求系統(tǒng)的輸出可以跟蹤輸入，本質上是經(jīng)有輸入的系統(tǒng)，要求系統(tǒng)的輸出可以跟蹤輸入，本質上是經(jīng)過在閉環(huán)系統(tǒng)中引入零點予以處理。過在閉環(huán)系統(tǒng)中引入零點予以處理。 這里引見模型跟蹤法配置零點的設計。這里引見模型跟蹤法配置零點的設計。 系統(tǒng)設計準那么：構造希望的閉環(huán)模型，由形狀反響配系統(tǒng)設計準那么：構造希望的閉環(huán)模型，由形狀反響配置極點，引入影響控制量的前饋配置零點，使系統(tǒng)對輸入的置極點，引入影響控制量的前饋配置零點，使系統(tǒng)對輸入的呼應與模型呼應一樣，或誤差很

50、小。呼應與模型呼應一樣，或誤差很小。 )()()()()1(567kxCkykBrkxAkxmmmmmm環(huán)環(huán)模模型型為為所所示示系系統(tǒng)統(tǒng)，設設構構造造的的閉閉圖圖的的輸輸入入端端。饋饋加加到到對對象象象象逆逆模模型型的的輸輸出出作作為為前前組組合合有有可可能能實實現(xiàn)現(xiàn)。將將對對統(tǒng)統(tǒng)模模型型的的實實現(xiàn)現(xiàn)的的，則則與與構構造造的的系系）若若逆逆模模型型是是物物理理不不可可（近近似似模模型型予予以以代代替替。的的，此此時時可可用用一一穩(wěn)穩(wěn)定定的的是是不不穩(wěn)穩(wěn)定定圓圓外外零零點點，則則其其逆逆模模型型）若若對對象象特特性性具具有有單單位位（象象的的逆逆模模型型：引引入入被被控控對對的的特特性性與與模模型型相相同同，需需到到為為了了使使由由21)()(tytr。的的輸輸入入應應是是的的影影響響，因因此此狀狀態(tài)態(tài)反反饋饋態(tài)態(tài)反反饋饋的的模模型型一一致致，需需去去掉掉狀狀為為了了使使閉閉環(huán)環(huán)特特性性與與構構造造)()( kxkxLm )( )()()( )1(