1、題型專項(xiàng)（十一）幾何圖形綜合題題型1與三角形、四邊形有關(guān)的幾何綜合題類型1操作探究題1. （2016 資陽）在RtABC中，Z 0= 90° , RtABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 RtADE的位置，點(diǎn)E在斜邊AB上，連 接BD,過點(diǎn)D作DF，AC于點(diǎn)F.即圖2(1)如圖1,若點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，求證：AC= BC;(2)若/ DAF= Z DBA.如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在線段CA的延長線上時(shí)，判斷線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;當(dāng)點(diǎn)F在線段CA上時(shí)，設(shè)BE= x,請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示線段 AF.解：(1)證明：由旋轉(zhuǎn)得，/ BAC= /BADDF± AC/ CAD= 90

2、6; ./ BAC= / BAD= 45° . / ACB= 90° ,/ ABC= 45° .AC= BC.(2)AF= BE.理由：由旋轉(zhuǎn)得 AD= AB, ./ ABD= / ADB. ./DAF= /ABD 1 / DAF= Z ADB.AF/ BD./.Z BAC= Z ABD. / ABD= / FAD 由旋轉(zhuǎn)得/ BAC= / BAD.，/FAD= /BAC= /BAD= 1X180° =60° .3 由旋轉(zhuǎn)得，AB= AD.ABD是等邊三角形.AD= BD.F=Z BED= 90° , 在AFD和ABED中，彳 / F

3、AD= / EBDAD= BD,.AF® BED(AA$.AF= BE.D如圖，由旋轉(zhuǎn)得/ BAC= Z BAD. / ABD= / F AD= / BAO / BAD= 2/ BAD 由旋轉(zhuǎn)得AD= AB, ./ ABD= Z ADB= 2/BAD. ,/BAt> /ABDF /AD樂 180° ,，/BA>2/BADF2/BAD= 180° ./ BAD= 36° .設(shè)BD= a,作BG平分/ ABD ./ BAD= /GBD= 36° .AG= BG= BD= a.DG= AD- AG= AD- BG= AD- BD. . /

4、BDG= /ADB BD6 ADB.BD DG = AD DBBD AD- BD AD 1 + 的 AcT bd .-beT 2 . / FAD= / EBD / AFD= / BED . AFD BED.AD AFBDT BeAD1 +J5AF - BE= -x.BD22. (2016 南充營山縣一診)如圖1,點(diǎn)O是正方形ABCDK對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長OD到點(diǎn)G, OC到點(diǎn)E,使OG= 2OD OE= 20G然后以 OG OE為鄰邊作正方形 OEFG連接AG, DE.GfD圖2(1)求證：DEL AGa角(0° V a <360° )得到正方形 OE F'

5、 G',如圖 2.(2)正方形ABCDK定，將正方形 OEFGg點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)/ OAG是直角時(shí)，求 a的度數(shù)；若正方形ABCD勺邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中，求 AF'長的最大值和此時(shí) a的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由. 解：(1)證明：延長ED交AG于點(diǎn)H,點(diǎn)O是正方形ABCM對(duì)角線的交點(diǎn)， .OA= OD OAL OD.在4AOG和 DOE中，oa= oqAOG= Z DOE= 90° ,QG= OE, AO3 DOE.1. / AGO / DEO. /AGOF / GAO= 90° , . . / GAG / DEO= 90°

6、.，/AHE= 90° ,即 DEL AG.(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，/ OAG成為直角有兩種情況：(I ) a由0°增大到90°過程中，當(dāng)/ OAG = 90°時(shí),1. 1”. OA= OD= yG= 20G ,一，OA 1 在 RtOAG 中，sin/AG O= OG-=2 ./ AG O= 30° . OAL OD OAL AG', ./ DOG = /AG O= (n) a由90°增大到OD/ AG .30°，即 a =30° .180°過程中，當(dāng)/ OAG = 90°時(shí),綜上所述，當(dāng)

7、/ OAG = 90°時(shí), AF'的最大值為乎+2,此時(shí) 提示：如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A, O,a =30° 或 150° .a =315°F'在一條直線上時(shí)， AF'的長最大,圖3同理可求/ BOG = 30°，.= a =180° 30° =150° . 正方形ABCM邊長為1,.OA= OD= OC= OB=半.,. OG= 2OD OG =O& 2. OF' = 2. . AF = A» OF = "22+ 2.COE = 45° ,此時(shí) a

8、=3153. (2016 福州)如圖，矩形 ABCD43, AB= 4, AD= 3,(1)當(dāng)AN平分/ MAB時(shí)，求 DM的長；(2)連接BN當(dāng)DM= 1時(shí)，求4ABN的面積； 當(dāng)射線BN交線段CD于點(diǎn)F時(shí)，求DF的最大值.M是邊CD上一點(diǎn)，將 ADM沿直線AM對(duì)折，彳#到4 ANM.DAB帝用圖解：(1)由折疊可知 AN陣AADIM ./ MAN= Z DAM. AN平分/ MAB/ MAN= / NAB. ./ DAM= Z MAN= Z NAB. 四邊形ABCD矩形，/ DAB= 90° ./ DAM= 30° .3°1 .DM= AD- tan Z DA

9、M= 3X -«-=3.3,Q.(2)如圖1,延長 MN AB延長線于點(diǎn)2 .四邊形 ABCD矩形,AB/ DC./ DMA= / MAQ.由折疊可知 AN陣AADI/I /DMAf Z AMQ A* AD= 3, MNk MD= 1. / MA/ / AMQ.mq= aq.設(shè) NQ= x,則 AQ= MQ= 1 + x.在 RtAANC, AC2=ANi+ nQ,，(x + 1) 2= 32 + x2.解得 x= 4.NQ=4, AQ=5. . AB= 4, AQ= 5,44 124Sa nab= 5SA NAg 5 X,AN- NQ= y.一 .BH CF如圖2,過點(diǎn) A作AHL

10、BF于點(diǎn)H,則4AB中 BFC，肅R AH< AN= 3, AB= 4,當(dāng)點(diǎn)N, H重合（即AH= AN）時(shí)，DF最大.（AH最大，BH最小，CF最小，DF最大） 此日M F重合，B, N, M三點(diǎn)共線， ABH BFC（如圖3）,CF= BH=AH =業(yè)2 32 =" .DF的最大值為4-7.4. （2016 自貢）已知矩形（1）如圖1,已知折痕與邊圖1使得頂點(diǎn) B落在CD邊上的P點(diǎn)處.Q類型2動(dòng)態(tài)探究題ABCD勺一條邊AD= 8,將矢I形ABC所疊, C內(nèi)B圖】BC交于點(diǎn) O連接AP, OP圖2OA若4OCP與4PDA的面積比為1 ： 4,求邊 CD的長;（2）如圖2,在（

11、1）的條件下，擦去折痕 AQ線段OP連接BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)巳A不重合），動(dòng)點(diǎn)N 在線段AB的延長線上，且 BN= PM連接MN PB于點(diǎn)F,作MELBP于點(diǎn)E.試問當(dāng)動(dòng)點(diǎn) M N在移動(dòng)的過程中，線EF的長度.段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明變化規(guī)律.若不變，求出線段 解：（1）二.四邊形 ABCD矩形，C= /D= 90° . / AP> / DAP= 90° .由折疊可得/ APO= /B= 90° , / APA / CPO= 90° ./ CPO= / DAP.又/A /C, OCP PDA. OC叫 PDA的面積比為1

12、 : 4,OP CP 1 1 PAT DAT 4j 4=3.c4ad-4.2設(shè) OP= x,則 CO= 8-x.在 RtAPCO, Z C= 90° ,由勾股定理得x2= (8 x)2+ 42,解得x= 5.AB= AP 2O之 10. CD= 10.(2)過點(diǎn)M作MQ AN交PB于點(diǎn)Q. AP AB, MQ/ AN, ./ APB= /ABA / MQP.MP MQ. BN= PMBN= QM.八，八八1八 MF MQ ME PQEQ= ,PQ. MQ/ AN,，/ QMF / BNF./ QFM= / NFB在4MFQ和4NFB 中，4/ QMF= / BNF MQ= BN, .

13、 MFQ2 NFB(AA§.，QF= BF= 2qB.EF= EQ+ QF= 1pQ+ 1QB= 1PB. 222由(1)中的結(jié)論可得 PC= 4, BC= 8, Z C= 90° ,PB=陰+42 =4近EF= 1PB= 2 5.，在(1)的條件下，當(dāng)點(diǎn) M N在移動(dòng)過程中，線段 EF的長度不變，它的長度為 245.5. (2016 樂山)如圖，在直角坐標(biāo)系 xOy中，矩形OABM頂點(diǎn)A, C分別在x軸和y軸正半軸上，點(diǎn) B的坐標(biāo)是 (5 , 2),點(diǎn)P是CB邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C, B重合)，連接OP AP,過點(diǎn)O作射線 OE交AP的延長線于點(diǎn) E,交CB 邊于點(diǎn) M,且

14、/AO母/COM令 CP= x, My.(1)當(dāng)x為何值時(shí)，OPL AP?(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x的取值范圍；(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在x,使4OCM的面積與 ABP的面積之和等于 EMP的面積.若存在，請(qǐng)求 x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）由題意知 OA= BC= 5, AB= OC= 2, /B = /OC璃 90° , BC/ OA. OPL AP,Z OPCF / APB= / AP拼 / PAB= 90° ./ OPC= / PAB.OP6 PAB.CP OC a x 2=,即 _=.AB PB'2 5-x解得x1=4, x2

15、 = 1（不合題意，舍去）.當(dāng) x=4 時(shí)，OP!AP.（2） BC/ OA / CPO= Z AOP./AOP= /COM，/ CO降 /CPO. /OCM= /PCQ OCMhAPCO.CM CO 口x y 2,即-=-CO CP 2 x4 . y=x -(2<x<5). x、'存在x符合題意.過點(diǎn) E作EDL OA于點(diǎn)D,交MPT點(diǎn)F,則DE AB= 2.OCMWABP面積之和等于 EMP的面積， CCL11 1 S eoa S 矩形 0ABe- 2 X 5 2 5ED.ED= 4, EF= 2. PM/ OA .EMP" EOA.EF MP 日口 2 y

16、-=-.ED OA 4 5-5斛得y = 2.由(2)y =x -得 x _ =-. x x 2解得玄=邛9,旭=口89(不合題意舍去).5+廂.、一 .，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，存在 x=一M,使OCM與4ABP面積之和等于 EMP的面積. 46. (2015 攀枝花)如圖1,矩形ABC而兩條邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn) D與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，且AD= 8, AB= 6.如圖2,矩 形ABCDgOB方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)也以每秒1個(gè)單位長度的速度沿矩形 ABCD 的邊AB經(jīng)過點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，矩形ABC的點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.圖1圖2當(dāng)t=5

17、時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) D,點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出 PBD的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng) t的取值范圍; 點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作PElx軸，垂足為點(diǎn)E,當(dāng)PEO與4BCD相似時(shí)，求出相應(yīng)的 t值. 解：(1)D( 4, 3) , P(-12, 8).(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，BP= 6-t._11,、C八S= 2BP- AD= 2(6 -1) - 8=- 4t +24.當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，BP= t -6. .S= -BP- AB= l(t -6) - 6= 3t - 18.22、/-4t +24 (0<t<6),- s=

18、9;t 18 (6<t<14)._4348(3)D(-Af,當(dāng)點(diǎn) P在邊 AB上時(shí)，P(-5t-8, 5t).r PE當(dāng)一=二 OE85t 6'48,5解得t = 6.當(dāng)PE8JL 8，46,5解得t = 20.0<t <6,. .t =20時(shí)，點(diǎn)P不在邊AB上，不合題意.13當(dāng)點(diǎn) P在邊 BC上時(shí),P(14+5t, 5t+ 6).PE CD當(dāng)一=一時(shí)OE BC3臥+ 656一7=5解得I 814-t5t = 6.PE BQ右一=一時(shí),OE CD '3-t + 658r=6,解得14 -5190 t =136<t < 14, 19°

19、i .=同時(shí)，點(diǎn)P不在邊BC上，不合題意.當(dāng) t=6 時(shí)， PEOW BCD相似.類型3類比探究題7. (2016 眉山青神縣一診)如圖1,在正方形 ABCD, P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長線上，且 PA= PE, PE交 CD點(diǎn) F.(1)求證：PC= PE;(2)求/CPE的度數(shù)； 如圖2,把正方形ABC改為菱形ABCD其他條件不變，當(dāng)/ ABC= 120°時(shí)，連接CE試探究線段 AP與線段CE 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖2圖U解：(1)證明：在正方形 ABCM, AB= BC, / ABP= Z CBP= 45° ,rAB= BC在ABP和CBP中，S/A

20、BP= Z CBPPB= PB,. .AB眸CBP(SA§.PA= PC.又. PA= PEPC= PE.(2)由(1)知， AB眸 CBP/ BAP= / BCP/. / DAP= / DCP. PA= PE,/ DAP= / E.DCP= / E./ CFR= / EFD對(duì)頂角相等),.180° -Z PFG- /PCF= 180° /DFE- Z E, 即/CPF= Z EDF= 90° . 在菱形 ABGD43, AB= BG, Z ABP= / GBP= 60° ,jAB= BG在ABP和GBP中，4/ABR= / GBPPB= PB

21、,. .AB國GBP(SA§.PA= PC, / BAP= Z BGP. PA= PE, .1. PG= PE.，/DAP= Z DGP. PA= PE,/ DAP= / AEP. ./ DGP= Z AEP. / GFP= / EFD對(duì)頂角相等), .180° /PFG- /PGF= 180° /DFE- Z AEP即/GPF= /EDF= 180° /ADG= 180° 120° =60° .EPG是等邊三角形.PG= GE.AP= GE.8. (2015 成都)已知AG, EG分別為四邊形 ABGD EFGG的對(duì)角線，

22、點(diǎn) E在ABG內(nèi)，/ GA曰Z GBE= 90° .如圖1,當(dāng)四邊形 ABGD EFGG勻?yàn)檎叫螘r(shí)，連接 BF.求證： GA曰AGBF若 BE= 1, AE= 2,求GE的長;(2)如圖2,當(dāng)四邊形ABG訊EFGG勻?yàn)榫匦?廠 AB EF 日.=k時(shí)BG FG k '若 BE= 1, AE= 2, GE= 3,求 k 的值;(3)如圖3,當(dāng)四邊形ABG訊EFGG勻?yàn)榱庑?p三者之間滿足的等量關(guān)系.(直接寫出結(jié)果，C且/ DAB= /GEF=不必寫出解答過程45)時(shí)，設(shè) BE= m, AE= n, GE= p,試探究 m n,圖I解：(1)證明：二.四邊形 ABGDF口 EF

23、GG勻?yàn)檎叫? ./ AGB= 45° , / EGF= 45° . / AGB- / EGB= / EGF- / EGB即 / AGE= / BGF.-AG GE又百GF=也，.GA GBF. ; GA GBF7,Z GAE= Z GBFBF= 2.又/GA4 /GBE= 90° , / GBR / GBE= 90° ,即/ EBF= 90° GU= 2EF2= 2(BE2+ BF2) = 6.解得G口,6.(2)連接BF,AB EF 一 ，八=一=k, Z CFE= Z CBABC FC . CF匕 CBA. / ECF= / ACBCE

24、 ACCFBC. / ACE= / BCF. AC BCF. / CAE= / CBF.90°90°./ CA曰 / CBE= . / CB斗 /CBE=即/ EBF= 90° ,BC： AB： AC= 1 ： k ：k2+1,CF： EF： EC= 1 ： k ：曲+ 1.嚏昔&1.BF=, BF2=2AEk +1o k2+1 o .Cd2 EF2=kk + 1.k +12 o(BE2+BF).k ''32=k2+ 12k(1 +鼻）,解得k=¥.(3)p 2-n2=(2+ 2)m2.9. (2016 成都)如圖,在 RtMBC

25、中, 連接ED, BE.(1)求證： ABD AAEB、“AB 4_(2)當(dāng)肥=3時(shí),求tanE;(3)在(2)的條件下，作/ BAC題型2與圓有關(guān)的幾何綜合題/ ABC= 90° ,以CB為半徑作。C,交 AC于點(diǎn)D,交AC的延長線于點(diǎn) E,的半徑.ABD= 90° -Z DBC.AC= 5k,解：(1)證明：ABG= 90° , ./ DE是直徑， ./ DBE= 90° . ./ E= 90° -Z BDE. BC= CDDBG= Z BDE. ./ ABD= / E. . /BAD= /DAB ABDAAEB.(2) AB： BC= 4

26、 : 3,設(shè) AB= 4k, BC= 3k.AC= Ad+BC?=5k. BC= CD= 3k,AD= AC- CD= 2k.ABW AAEBAB AP BD 一記Ab= BE.l. aB?=ad- AE.(4k) 2=2k - AE.AE= 8k.在 RtDBE中，BD AB 4k 1 tanE= BE=奇 8k = 2.過點(diǎn)F作FMLAE于點(diǎn)M.由(2)知，AB= 4k, BC= 3k, AD= 2k,貝U AE= 8k, DE= 6k. AF 平分/ BACS；A ABF BF AB , ， ，.Sa afe EF AEBF 4k 1一=-.EF 8k 21. tan E=2，l 2.5

27、-5cosE= 5-, sin E= -5-.BE_2 >5 一D5 .12 5BE= -k.52.EF= 3BE=, Sin E=EF5 ,8.M已 5k.1- tanE=2, AM AE- M9 24k. 5 aL=aM + mF, -4=(24k) 2+ (8k)2.1 8 .OC的半徑為3k = 3膽810. (2016 內(nèi)江)如圖，在 RtABC中，/ABC=90° , AC的垂直平分線分別與 AC BC及AB的延長線相交于點(diǎn) D, E, F.。是4BEF的外接圓，/ EBF的平分線交 EF于點(diǎn)G 交。于點(diǎn)H,連接BD, FH.(1)試判斷BD與。0的位置關(guān)系，并說明

28、理由；(2)當(dāng)AB= BE= 1時(shí)，求。0的面積； 在(2)的條件下，求 HG HB的值.C解：(1)直線BD與。0相切.理由：連接 OB. BD是RtABC斜邊上的中線，DB= DC. ./ DBC= /C. .OB= OE ./ OBE= Z OEB.又一/OE& /CED / OBE= Z CED.DF± AC, .CDE= 90° . / C+ /CED= 90° . / DBO /OBE= 90° . BD與。0相切.(2)連接AE.在 RtABE中，AB= BE= 1 , . AE=啦. DF垂直平分 AC,CE= AE=成.BC=

29、1+ 2., /C+ /CAB= 90° , / DFA Z CAB= 90° , / ACB= / DFA.又/ CBA= /FBE= 90° , AB= BE,.CA整 FEB.BF= BC= 1 + 倨EF2=BE'+BF2=12+(1 +. 2)2=4 + 2 2.A及 BE, / ABE= 90° ,，/AEB= 45° . EA= EC, .C= 22.5 ° .，/H= /BEG= /CED= 90° 22.5° = 67.5 BH平分/ CBF ./ EBG= / HB已 45°

30、. ./ BGE= Z BFH= 67.5 ° .BG= BE= 1 , BH= BF= 1 + 2.GH= BH- BG= 2.HB- HG= #X(1 + 艱)=2+渥.11 . (2015 內(nèi)江)如圖，在 ACE中，CA= CEL, Z CAE= 30° , O O經(jīng)過點(diǎn)C,且圓白直徑 AB在線段AE上.(1)試說明CE是。0的切線；(2)若4ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示。0的直徑AB;1設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn).),連接OD當(dāng)2CD+ OD的最小值為6時(shí)，求。0的直徑AB的長.解：(1)證明：連接OC. CA= CE, / CAE= 3

31、0° ,，/E= /CAE= 30° , Z COE= 2/A= 60° ./ OCE= 90° .CE是。0的切線.(2)過點(diǎn)C作CHLAB于點(diǎn)H,由題可得 C+h. 在 RtAOHO, CH= OC- sin / COHh = OC- sin 60 =AB= 2OC=4 ,33h.作OF平分/ AOC交。0于點(diǎn)F,連接AF, CF, DF._ 1 , 一 1則/AOF= /COF= 2/ AOC= 2X(180 60 ) = 60.OA= OF= OC.AOF COF是等邊三角形.AF= AO= OG= FC.，四邊形AOCE菱形.，根據(jù)對(duì)稱性可得

32、DF= DO.過點(diǎn)D作DML OC于點(diǎn)M,. OA= OC，/OCA= /OAC= 30° .，DM= DC- sin /DCM= DC- sin 30 = 2DC.1 _ 2CD OD= DMb FD.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)F, D, M三點(diǎn)共線時(shí),_ J 一Dh FD(!P-CD+ ODX小，此時(shí) FM= OF- sin / FO陣6,則 OF= 4 3, AB= 2OF= 8 3.1當(dāng)2d ODW最小值為6時(shí)，。的直徑AB的長為873.12. (2014 南充)如圖，已知 AB是。0的直徑，BP是。0的弦，弦 CDLAB于點(diǎn)F,交BP于點(diǎn)G, E在CD的反向延 長線上，E

33、P= EG(1)求證：直線 EP為。0的切線；(2)點(diǎn)P在劣弧AC上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，若BG=BF- BO.試證明BG= PG3(3)在滿足(2)的條件下，已知。0 的半徑為3, sin B=-.求弦CD的長.解：(1)證明：連接OP. EP EG / EG曰 / EGP.又 / EG已 / BGF ./ EPG= / BGF. O' OB ./ OPB= Z OBP. CDLAB,，/BG斗/OB已 90° . / EPO /OPB= 90° ,即/ EPO= 90° ,直線EP為。0的切線.(2)證明：連接 OG AP.2BG BF bG=bf- BO .沃T BG又./GBa/OBG， BFS BGO./ BGF= / BOG / BGO= / BFG= 90° . /APB= /OGB= 90° ,OG/ AP.又. Ad BQBG= PG.連接AC BC.213，sin B=,.OB= r=3,OB 3 , OG= 3.由(2)得 / EPO / OPB