1、第四節(jié)數(shù)列求和學習要求-公眾號：新課標試卷:1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.1.等差數(shù)列的前n項和公式Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d.2.等比數(shù)列的前n項和公式Sn=na1,q=1,a1-anq1-q=a1(1-qn)1-q,q1.3.數(shù)列求和的常用方法(1)倒序相加法:如果一個數(shù)列an中,與首、末兩項等“距離”的兩項的和相等,那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導的.(2)錯位相減法:如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的,那么這個數(shù)列的前n項和即

2、可用此法來求,如等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導的.(3)裂項相消法:把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和.(4)分組轉化法:若一個數(shù)列的通項公式由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時可用分組轉化法,分別求和后再相加減.(5)并項求和法:若一個數(shù)列的前n項和可兩兩結合求解,則稱之為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解.知識拓展1.一些常見的前n項和公式(1)1+2+3+4+n=n(n+1)2.(2)1+3+5+7+2n-1=n2.(3)2+4+6+8+2n=n2+n.2.常見的裂項公式(1)1n(n+1)=1n1n+

3、1.(2)1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1.(3)1n+n+1=n+1n.1.判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”).(1)若數(shù)列an為等比數(shù)列,且公比不等于1,則其前n項和Sn=a1-an+11-q.()(2)當n2時,1n2-1=121n-1-1n+1.()(3)求Sn=a+2a2+3a3+nan時,只要把上式等號兩邊同時乘a即可根據(jù)錯位相減法求得.()(4)求數(shù)列12n+2n+3的前n項和可用分組轉化法求和.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教A版選擇性必修第二冊P51練習T2改編)已知數(shù)列an的通項公式為an=1n(n+1),若an的前n項和為2 02

4、12 022,則項數(shù)n為()A.2 018B.2 019C.2 020D.2 021答案D3.(新教材人教A版選擇性必修第二冊P40復習鞏固T3改編)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S3=7,S6=63,則數(shù)列nan的前2 020項和為()A.-3+2 021×22 020B.3+2 019×22 020C.1+2 021×22 020D.1+2 019×22 020答案D4.已知an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4,則數(shù)列an+bn的前n項和為. 答案n2+3n-125.11×4+14&

5、#215;7+1(3n-2)(3n+1)=. 答案n3n+1分組轉化法求和典例1已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2+n2,nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設bn=2an+(-1)nan,求數(shù)列bn的前2n項和.解析(1)當n=1時,a1=S1=1;當n2時,an=Sn-Sn-1=n2+n2(n-1)2+n-12=n.當n=1時,a1=1滿足an=n,故數(shù)列an的通項公式為an=n(nN*).(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn,記數(shù)列bn的前2n項和為T2n,則T2n=(21+22+22n)+(-1+2-3+4-+2n).記A=21+22+22n,B=-1+2-3+4-

6、+2n,則A=2(1-22n)1-2=22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.故數(shù)列bn的前2n項和T2n=A+B=22n+1+n-2.變式在本例(2)中,如何求數(shù)列bn的前n項和Tn?解析由本例(2)知bn=2n+(-1)nn.當n為偶數(shù)時,Tn=(21+22+2n)+-1+2-3+4-(n-1)+n=2-2n+11-2+n2=2n+1+n2-2;當n為奇數(shù)時,Tn=(21+22+2n)+-1+2-3+4-(n-2)+(n-1)-n=2n+1-2+n-12n=2n+1n252.所以Tn=2n+1+n2-2,n為偶數(shù),2n+1-n2-52,n為奇數(shù).名師點評分

7、組轉化法求和的常見類型(1)若an=bn±cn,且bn,cn為等差或等比數(shù)列,則可采用分組轉化法求an的前n項和.(2)通項公式為an=bn,n為奇數(shù),cn,n為偶數(shù)的數(shù)列,其中數(shù)列bn,cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組轉化法求和.提醒某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差,從而求得原數(shù)列的和,注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論.(2020天津河東模擬)已知遞增等差數(shù)列an,等比數(shù)列bn,數(shù)列cn滿足a1=c1=1,c4=9,a1、a2、a5成等比數(shù)列,bn=an+cn,nN*.(1)求數(shù)列an、bn的通項公式;(2)求數(shù)列cn的前n項和Sn.解析(1)設等差數(shù)

8、列an的公差為d(d>0),等比數(shù)列bn的公比為q,則an=1+(n-1)d,a1、a2、a5成等比數(shù)列,a22=a1a5,即(1+d)2=1+4d,解得d=2或d=0(舍去),an=2n-1,nN*.b1=a1+c1=2,且b4=a4+c4=16,2q3=16,解得q=2,bn=2n.(2)cn=bn-an=2n-(2n-1),Sn=c1+c2+cn=2-1+22-3+2n-(2n-1)=2+22+2n-1+3+(2n-1)=2n+1-2-n2.裂項相消法求和角度一an=1n(n+k)型典例2(2020泰安模擬)在Sn=n2+n,a3+a5=16,S3+S5=42,an+1an=n+1

9、n,S7=56這三個條件中任選一個補充在下面的問題中,并解答.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,數(shù)列bn為等比數(shù)列,b1=a1,b2=a1a22,求數(shù)列1Sn+bn的前n項和Tn. 解析選,當n=1時,a1=S1=2,當n2時,an=Sn-Sn-1=2n,又當n=1時,a1=2滿足an=2n,所以an=2n.所以a1=2,a2=4,設bn的公比為q,則b1=a1=2,b2=a1a22=4,所以q=2,所以bn=2n,所以數(shù)列bn的前n項和為2-2n+11-2=2n+1-2.因為1Sn=1n(n+1)=1n1n+1,所以數(shù)列1Sn的前n項和為112+1213+1n1n+1=11n+1,

10、故Tn=2n+1-2+1-1n+1=2n+11n+1-1.選,設an的公差為d,由a3+a5=16,S3+S5=42,得2a1+6d=16,8a1+13d=42,解得a1=2,d=2,所以an=2n,Sn=n2+n.所以a1=2,a2=4,設bn的公比為q,則b1=a1=2,b2=a1a22=4,所以q=2,所以bn=2n,所以數(shù)列bn的前n項和為2-2n+11-2=2n+1-2,因為1Sn=1n2+n=1n(n+1)=1n1n+1,所以數(shù)列1Sn的前n項和為112+1213+1n1n+1=11n+1,故Tn=2n+1-2+1-1n+1=2n+11n+1-1.選,由an+1an=n+1n,得a

11、n+1n+1=ann.所以ann=a11,即an=a1n,所以S7=7a4=28a1=56,所以a1=2,所以an=2n,Sn=n2+n.可知a1=2,a2=4,設bn的公比為q,則b1=a1=2,b2=a1a22=4,所以q=2,所以bn=2n,所以數(shù)列bn的前n項和為2-2n+11-2=2n+1-2,因為1Sn=1n2+n=1n(n+1)=1n1n+1,所以數(shù)列1Sn的前n項和為112+1213+1n1n+1=11n+1,故Tn=2n+1-2+1-1n+1=2n+11n+1-1.角度二an=1(n+k)+n型典例3已知函數(shù)f(x)=xa的圖象過點(4,2),令an=1f(n+1)+f(n)

12、,nN*.記數(shù)列an的前n項和為Sn,則S2 018=. 答案2 019-1解析由f(4)=2可得4a=2,解得a=12,則f(x)=x12,所以an=1f(n+1)+f(n)=1n+1+n=n+1n,所以S2 018=a1+a2+a3+a2 018=(21)+(32)+(43)+(2 0182 017)+(2 0192 018)=2 019-1.名師點評利用裂項相消法求和的注意事項(1)抵消后不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項.(2)將通項裂項后,有時需要調(diào)整前面的系數(shù),如:若an是等差數(shù)列,則1anan+1=1d1an-1an+1,1anan+2=12

13、d1an-1an+2.1.(2020福建福州第一中學高三期末)已知an是等差數(shù)列,a3=7,且a2+a6=18.若bn=1an+an+1,則bn的前n項和Tn=. 答案12(2n+33)解析設等差數(shù)列an的公差為d,由a3=7,a2+a6=18,可得a3=a1+2d=7,a2+a6=2a1+6d=18,解得a1=3,d=2,所以an=3+2(n-1)=2n+1,因此bn=1an+an+1=12n+1+2n+3=12(2n+32n+1),所以bn的前n項和Tn=b1+b2+bn=12(53)+(75)+(2n+32n+1)=12(2n+33).2.(2020山東德州高三二模)給出以下三

14、個條件:若數(shù)列an的首項為2,且滿足Sn+1=4Sn+2;若數(shù)列an的首項為2,且滿足3Sn=22n+1+(R);若數(shù)列an的首項為2,且滿足3Sn=an+1-2.請從這三個條件中任選一個將下面的題目補充完整,并求解.設數(shù)列an的前n項和為Sn,bn=log2a1+log2a2+log2an,cn=n2+nbnbn+1,求數(shù)列cn的前n項和Tn. 解析選,當n2時,an+1=Sn+1-Sn=4(Sn-Sn-1)=4an,當n=1時,S2=4S1+2,因為a1=2,所以2+a2=4×2+2,所以a2=8,滿足a2=4a1,故an是以2為首項,4為公比的等比數(shù)列,所以an=22

15、n-1.則bn=log2a1+log2a2+log2an=1+3+(2n-1)=n2,所以cn=n2+nbnbn+1=n(n+1)n2(n+1)2=1n(n+1)=1n1n+1,所以Tn=c1+c2+cn=1-12+12-13+1n-1n+1=11n+1=nn+1.選,當n2時,3an=3Sn-3Sn-1=22n+1-22n-1=3·22n-1,即an=22n-1,當n=1時,a1=2滿足an=22n-1,故an是以2為首項,4為公比的等比數(shù)列,所以an=22n-1.下同選.選,當n2時,3an=3Sn-3Sn-1=an+1-an,即an+1=4an,當n=1時,3a1=a2-2,由

16、a1=2,得a2=8,滿足a2=4a1,故an是以2為首項,4為公比的等比數(shù)列,所以an=22n-1.下同選.錯位相減法求和典例4(2020課標理,17,12分)設數(shù)列an滿足a1=3,an+1=3an-4n.(1)計算a2,a3,猜想an的通項公式并加以證明;(2)求數(shù)列2nan的前n項和Sn.解析(1)a2=5,a3=7.猜想:an=2n+1.證明:由已知可得an+1-(2n+3)=3an-(2n+1),an-(2n+1)=3an-1-(2n-1),a2-5=3(a1-3).因為a1=3,所以an=2n+1.(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n,所以Sn=3×2+5

17、5;22+7×23+(2n+1)×2n.從而2Sn=3×22+5×23+7×24+(2n+1)×2n+1.-得-Sn=3×2+2×22+2×23+2×2n-(2n+1)×2n+1.所以Sn=(2n-1)2n+1+2.名師點評用錯位相減法求和的3個注意點(1)要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)列的公比為負數(shù)的情形.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”,以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式.(3)在應用錯位相減法求和時,若等比數(shù)列的公比為參數(shù),則應分公

18、比等于1和不等于1兩種情況討論.(2020課標理,17,12分)設an是公比不為1的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項.(1)求an的公比;(2)若a1=1,求數(shù)列nan的前n項和.解析(1)設an的公比為q,由題設得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q1=1(舍去),q2=-2.故an的公比為-2.(2)記Sn為nan的前n項和.由(1)及題設可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2×(-2)+n×(-2)n-1,-2Sn=-2+2×(-2)2+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.可得3S

19、n=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n×(-2)n=1-(-2)n3-n×(-2)n.所以Sn=19(3n+1)(-2)n9.A組基礎達標1.若數(shù)列an的通項公式為an=(-1)n-1·(4n-3),則它的前100項和S100等于()A.200B.-200C.400D.-400答案B2.在數(shù)列an中,a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,nN*,則S60的值為()A.990B.1 000C.1 100D.99答案A3.數(shù)列an的通項公式是an=1n+n+1,前n項和為9,則n等于()A.9B.99C.10D.100答案B4.已知數(shù)列an的通

20、項公式為an=-4n+5,等比數(shù)列bn的公比q=an-an-1(n2)且b1=a2,則|b1|+|b2|+|b3|+|bn|=()A.1-4nB.4n-1C.1-4n3D.4n-13答案B由已知得b1=a2=-3,q=-4,所以bn=(-3)×(-4)n-1,所以|bn|=3×4n-1,即|bn|是以3為首項,4為公比的等比數(shù)列.所以|b1|+|b2|+|bn|=3(1-4n)1-4=4n-1.5.已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2an,n為正奇數(shù),an+1,n為正偶數(shù),則其前6項和是. 答案33解析由已知得a2=2a1=2,a3=a2+1=3,a4=2a3=

21、6,a5=a4+1=7,a6=2a5=14,所以S6=1+2+3+6+7+14=33.6.已知數(shù)列an中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),記Sn為an的前n項和,則S2 018=. 答案-1 009解析由a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得,a2=-2,a3=-1,a4=0,a5=1,a6=-2,a7=-1,故該數(shù)列為周期是4的數(shù)列,所以S2 018=504(a1+a2+a3+a4)+a1+a2=504×(-2)+1-2=-1 009.7.已知數(shù)列an滿足a1=2,且an+1-2an+1=0.(1)求證:數(shù)列an-1為等比數(shù)列;(2)設bn=an+lo

22、g2(an-1),求數(shù)列bn的前n項和Sn.解析(1)證明:由an+1-2an+1=0,得an+1-1=2(an-1).又a1-1=10,故數(shù)列an-1是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知an-1=2n-1,即an=2n-1+1,則bn=2n-1+1+(n-1)=2n-1+n,所以Sn=(b1+b2+b3+bn)=(20+21+2n-1)+(1+2+3+n)=1×(1-2n)1-2+n(n+1)2=2n+n2+n-22.8.(2020山東聊城二模)在等差數(shù)列an中,已知a6=12,a18=36.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若,求數(shù)列bn的前n項和Sn. 

23、在bn=4anan+1,bn=(-1)nan,bn=2an·an這三個條件中任選一個補充在第(2)問中,并解答.解析(1)由題意得a1+5d=12,a1+17d=36,解得d=2,a1=2.an=2+(n-1)×2=2n.(2)選擇條件:由題意得bn=42n·2(n+1)=1n(n+1),則Sn=11×2+12×3+1n(n+1)=11-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.選擇條件:an=2n,bn=(-1)nan,Sn=-2+4-6+8-+(-1)n·2n,當n為偶數(shù)時,Sn=(-2+4)+(-6+8)+-2(

24、n-1)+2n=n2×2=n;當n為奇數(shù)時,n-1為偶數(shù),Sn=(-2+4)+(-6+8)+-2(n-2)+2(n-1)-2n=(n-1)-2n=-n-1.Sn=n,n為偶數(shù),-n-1,n為奇數(shù).選擇條件:an=2n,bn=2an·an,bn=22n·2n=2n·4n,Sn=2×41+4×42+6×43+2n×4n,4Sn=2×42+4×43+6×44+2(n-1)×4n+2n×4n+1,上述兩式相減得-3Sn=2×41+2×42+2×

25、43+2×4n-2n×4n+1=8(1-4n)1-4-2n×4n+1,Sn=89(14n)+2n3·4n+1.B組能力拔高9.已知數(shù)列an的各項均為正數(shù),且滿足a1=2,n2an+12-4(n+1)2an2-2(n+1)an+nan+1=0,設Sn為數(shù)列an的前n項和,則S2 019=()A.2 019×22 020+2B.2 019×22 020-2C.2 018×22 020+2D.2 018×22 020-2答案C因為n2an+12-4(n+1)2an2-2(n+1)an+nan+1=0,所以nan+1+2(

26、n+1)annan+1-2(n+1)an+nan+1-2(n+1)an=0,所以nan+1+2(n+1)an+1nan+1-2(n+1)·an=0,因為數(shù)列an的各項均為正數(shù),所以nan+1-2(n+1)an=0,即an+1n+1=2·ann,又因為a1=2,所以數(shù)列ann是以a11=2為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以ann=2n,所以an=n·2n,所以Sn=1×21+2×22+n·2n,2Sn=1×22+2×23+n·2n+1,-得-Sn=21+22+2n-n·2n+1=2n+1-2-n&#

27、183;2n+1=(1-n)·2n+1-2,所以Sn=(n-1)·2n+1+2,所以S2 019=2 018×22 020+2.10.(2020西安中學高三模擬)已知數(shù)列an的通項公式為an=n+100n,則|a1-a2|+|a2-a3|+|a99-a100|=()A.150B.162C.180D.210答案B由對勾函數(shù)的性質可知,當n10時,數(shù)列an為遞減數(shù)列;當n>10時,數(shù)列an為遞增數(shù)列.所以|a1-a2|+|a2-a3|+|a99-a100|=(a1-a2)+(a2-a3)+(a9-a10)+(a11-a10)+(a12-a11)+(a100-a9

28、9)=a1-a10+a100-a10=1+100-(10+10)+(100+1)-(10+10)=162.11.已知數(shù)列an的通項公式為an=n·sinn2,則a1+a2+a3+a100=()A.-48B.-50C.-52D.-49答案Ban=n·sinn2,a1=sin2=1,a2=2·sin22=0,a3=3·sin32=-3,a4=4·sin42=0,a5=5·sin52=5,a6=0,a7=-7,a8=0,.a4n-3=(4n-3)sin(4n-3)2=(4n-3)·sin2n-32=4n-3,nN*,a4n-2=(

29、4n-2)sin(4n-2)2=(4n-2)·sin(2n-)=0,nN*,a4n-1=(4n-1)sin(4n-1)2=(4n-1)·sin2n-2=-4n+1,nN*,a4n=4nsin4n2=4nsin 2n=0,nN*,a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n=-2,a1+a2+a3+a100=-2×25=-50.12.已知x表示不超過x的最大整數(shù),數(shù)列an滿足an=(-1)n-12n2,則數(shù)列an的前60項和S60等于()A.1 830B.-1 830C.3 660D.-3 660答案D當n=4k-3或n=4k-2,kN*時,(-1)n-12=1;當n

30、=4k-1或n=4k,kN*時,(-1)n-12=-1,所以a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=(4k-3)2+(4k-2)2-(4k-1)2-(4k)2=-32k+12,所以數(shù)列an的前60項和S60=-32+12-32×15+122×15=-3 660.故選D.13.(2020青島模擬)在b2n=2bn+1,a2=b1+b2,b1,b2,b4成等比數(shù)列這三個條件中選擇符合題意的兩個條件,補充在下面的問題中,并求解.已知數(shù)列an中,a1=1,an+1=3an,公差不等于0的等差數(shù)列bn滿足,求數(shù)列bnan的前n項和Sn. 解析因為a1=1,an+1=3a

31、n,所以an是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列,所以an=3n-1.選擇:設數(shù)列bn的公差為d(d0),因為a2=3,所以b1+b2=3,因為b2n=2bn+1,所以當n=1時,b2=2b1+1,解得b1=23,b2=73,所以d=53,所以bn=5n-33.所以bnan=5n-33n.則Sn=b1a1+b2a2+bnan=231+732+1233+5n-33n,所以13Sn=232+733+1234+5n-83n+5n-33n+1,上述兩式相減得,23Sn=23+5132+133+13n5n-33n+1=23+56152·3n+15n-33n+1=3210n+92·3n+1

32、,所以Sn=9410n+94·3n.選擇:設數(shù)列bn的公差為d(d0),因為a2=3,所以b1+b2=3,即2b1+d=3,因為b1,b2,b4成等比數(shù)列,所以b22=b1b4,即(b1+d)2=b1(b1+3d),化簡得d2=b1d,因為d0,所以b1=d=1,所以bn=n,所以bnan=n3n-1,則Sn=b1a1+b2a2+bnan=130+231+332+n3n-1,所以13Sn=131+232+333+n-13n-1+n3n,上述兩式相減得,23Sn=1+131+132+133+13n-1n3n=321-13nn3n=322n+32·3n,所以Sn=942n+34·3n-1.14.(2020山東青島第五十八中學高三一模)已知正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.