1、一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.,),(,)()(0000的增量的增量稱為自變量在點稱為自變量在點內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如果如果函數(shù)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時的極限存在時的

2、極限存在, ,且等于它在且等于它在點點0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù). .:定義定義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng)例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)00000( )(,(0)(),( );f xxxf xf xf xx 若若函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)

3、內(nèi)有有定定義義且且則則稱稱在在點點處處左左連連續(xù)續(xù)定理定理00( )( ).f xxf xx函函數(shù)數(shù)在在處處連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)00000( ),),(0)(),( ).f xxxf xf xf xx 若若函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義且且則則稱稱在在點點處處右右連連續(xù)續(xù)例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) x

4、xf4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點在右端點處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點并且在左端點內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例例3 3.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos

5、(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時時當(dāng)當(dāng)對對任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當(dāng)當(dāng).),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對任意對任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy例例4.4.設(shè)設(shè)f(x)f(x)定義在區(qū)間定義在區(qū)間(,) 上上 ,x y有有()()()fxyfxfy , 假設(shè)假設(shè) f (x) 在在連續(xù)連續(xù),0 x 提示提示:lim()0fxxx lim ()()0fxfxx ()(0)fxf(0)fx()fx 且對任意實數(shù)且對任意實數(shù)證明證明 f (x) 對一切對一切 x 都連續(xù)都連續(xù) .二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點:)(0條

6、件條件處連續(xù)必須滿足的三個處連續(xù)必須滿足的三個在點在點函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點或間斷點的不連續(xù)點的不連續(xù)點為為并稱點并稱點或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件中只xfxxxf1.跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點點如如果果xfxxfxfxxf 例例5 5.0, 0

7、,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點為函數(shù)的跳躍間斷點 xoxy2.可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱稱點點處處無無定定在在點點或或但但處處的的極極限限存存在在在在點點如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)

8、(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, , 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點. .如例如例6中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點. .特點特點.0處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數(shù)在點函數(shù)在點 xoxy1123.第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的的第第二二類類間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點在在右右極極限限

9、至至少少有有一一個個不不存存處處的的左左、在在點點如如果果xfxxxf例例7 7.0, 0, 0,1)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x.斷點斷點這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間例例8 8.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為的的振振蕩蕩間間注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點不要以為

10、函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點. . , 0, 1)(是是無無理理數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)是是有有理理數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)在定義域在定義域R內(nèi)每一點處都間斷內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間且都是第二類間斷點斷點. ,)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時是有理數(shù)時當(dāng)當(dāng)xxxxxf僅在僅在x=0處連續(xù)處連續(xù), 其余各點處處間斷其余各點處處間斷.o1x2x3xyx xfy , 1, 1)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時是有理數(shù)時當(dāng)當(dāng)xxxf在定義域在定義域 R內(nèi)每一點處都間斷內(nèi)每一點處都間斷, 但其絕對值處但其絕對值處處連續(xù)處連續(xù).判斷下列間斷點類型判斷下列間斷點類型:例例9 9：

11、 確定函數(shù)確定函數(shù)間斷點的類型間斷點的類型. .11( )1xxf xe 解解: 間斷點間斷點0,1xx0lim( )xf x, 0 x 為無窮間斷點為無窮間斷點;1,x 當(dāng)當(dāng)時時1xx ,( )0f x1,x 當(dāng)當(dāng)時時1xx ,( )1f x故故1x 為跳躍間斷點為跳躍間斷點. 0,1,x 在在處處( ).f x 連連續(xù)續(xù)( )()(1)xebf xxax 有無窮間斷點有無窮間斷點0 x 及可去間斷點及可去間斷點1,x 解解:為無窮間斷點為無窮間斷點,0 x 0lim()(1)xxebxax 所以所以0()(1)limxxxaxeb 1ab 0 0,1ab為可去間斷點為可去間斷點 ,1x 1

12、lim(1)xxebx x 極限存在極限存在1lim()0 xxeb1limxxbee 例例10.10.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)試確定常數(shù) a 及及 b .例例11. 求求的間斷點的間斷點, 并判別其類型并判別其類型.解解:(1)sin( )(1)(1)xxf xx xx 1(1)sinlim(1)(1)xxxx xx 1sin12 x = 1 為第一類可去間斷點為第一類可去間斷點1lim( )xf x x = 1 為第二類無窮間斷點為第二類無窮間斷點0lim( )1,xf x 0lim( )1,xf x x = 0 為第一類跳躍間斷點為第一類跳躍間斷點三、小結(jié)三、小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點第一類間斷點:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點(見下圖見下圖)可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x思考題思考題思考題解答思考題解答)(x