1、 設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為D，值域為，值域為A. 由由y=f(x) 解得解得x= (y)，若對任意若對任意y A，在在D中都中都有唯一確定的有唯一確定的x值與它對應值與它對應，則稱，則稱x= (y)為為函函數(shù)數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的反函數(shù)，記作，記作x=f -1(y) . 在習慣上，自變量常用在習慣上，自變量常用x表示，而函數(shù)用表示，而函數(shù)用y表示，表示， 這樣把這樣把y=f(x)的反函數(shù)改寫為的反函數(shù)改寫為y=f -1(x) （x A） .一、反函數(shù)的概念一、反函數(shù)的概念思考：思考：y=f( (x) )，x=f -1-1( (y) )和和y=f 11( (x) ) 三者的

2、區(qū)別是什么三者的區(qū)別是什么 ？f D A A Df- -1值值 域域定義域定義域原來函數(shù)的對應法則是原來函數(shù)的對應法則是f，反函數(shù)的對應法則是反函數(shù)的對應法則是f - -1。（一般情況下，對應法則一般情況下，對應法則是不同的）是不同的）)(xfyy= f 1(x) bafabf11.1.函數(shù)的定函數(shù)的定義域，值域義域，值域分別是它的分別是它的反函數(shù)的值反函數(shù)的值域、定義域域、定義域2.函數(shù)函數(shù) y= f(x)與與y= f 1 (x)互為反函數(shù)互為反函數(shù)2221.(1) ( ) ( 0 ) (2) ( )2 ( 0)2(3) ( )2 (3) (4) ( )1 (0)3(5) ( )24(10)

3、 (6) ( )(1)f xxxf xxxf xxxf xxxf xxxf xxx x 例例 求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的反反函函數(shù)數(shù)：yx x(0) 2(2) (2)yxx 36(4)2xyx 1 (1)yxx 24(04)2xyx 1141( )(0)2xfxx 反函數(shù)的求法反函數(shù)的求法 反解：反解：把解析式把解析式y(tǒng)=f( (x) )看作看作x的方程，的方程， 解出解出x=f11( (y) )，即把，即把x用用y表示；表示； 改寫：改寫：將將x=f11( (y) )改寫成改寫成y=f11( (x) )， 即對調(diào)即對調(diào)x=f1(y)中的中的x、y ； 互換：互換：即求出所給函數(shù)的值域并把即求出

4、所給函數(shù)的值域并把 它改換為反函數(shù)的定義域。它改換為反函數(shù)的定義域。 312.( )(2)2xf xxx 例例 求求的的反反函函數(shù)數(shù). .請同學們研究如下問題請同學們研究如下問題: (1) 如果一個函數(shù)是奇函數(shù)如果一個函數(shù)是奇函數(shù),是否一定存是否一定存在反函數(shù)在反函數(shù)?(2) 如果一個函數(shù)是偶函數(shù)是否一定沒有如果一個函數(shù)是偶函數(shù)是否一定沒有反函數(shù)反函數(shù)?(3) 如果一個函數(shù)是單調(diào)函數(shù)如果一個函數(shù)是單調(diào)函數(shù),是否一定有是否一定有反函數(shù)反函數(shù)?(4) 如果一個函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)如果一個函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),是否一定是否一定沒有反函數(shù)沒有反函數(shù)?怎樣的函數(shù)有反函數(shù)？怎樣的函數(shù)有反函數(shù)？ 1.1.對于任意函

5、數(shù)值對于任意函數(shù)值y, ,在定義域中總在定義域中總有唯一確定的有唯一確定的x值與它對應。值與它對應。 2.2.從圖像上看，若直線從圖像上看，若直線 與與的圖像相交，總有唯一的的圖像相交，總有唯一的一個交點，則這個函數(shù)有反函數(shù)。一個交點，則這個函數(shù)有反函數(shù)。()y a aA yf x( ) 3 3.若函數(shù)若函數(shù) 是單調(diào)函數(shù)，則是單調(diào)函數(shù)，則這個函數(shù)有反函數(shù)。這個函數(shù)有反函數(shù)。yf x( ) 2(0)1( )(0)1xxf xxx 5. 求函數(shù)求函數(shù)的反函數(shù)的反函數(shù).311. ( )(2)2xf xxx 練練習習：求求的的反反函函數(shù)數(shù). .43. ( )(3)f xxxx 求求的的反反函函數(shù)數(shù).

6、.34. ( )2()xf xxR 求求的的反反函函數(shù)數(shù). .22. ( )1(1)f xxxx 求求的的反反函函數(shù)數(shù). .互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系 例例3 3：求下列函數(shù)的反函數(shù)，并在同一坐標系：求下列函數(shù)的反函數(shù)，并在同一坐標系內(nèi)畫出該函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象內(nèi)畫出該函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象 1(1)12yx 121(2)()4yxx定理：定理：函數(shù)函數(shù)y= f( (x) )的圖象與它的反函的圖象與它的反函數(shù)數(shù)y= f 11( (x) )的圖象是以直線的圖象是以直線y=x為對為對稱軸的軸對稱圖形。稱軸的軸對稱圖形。 注意：注意：函數(shù)函數(shù)y= f( (x) )與與

7、y= f 11( (x) )的圖象的圖象關于直線關于直線y=x對稱，而函數(shù)對稱，而函數(shù)y= f( (x) )和函和函數(shù)數(shù)x= f 11( (y) )圖象是同一個圖象。圖象是同一個圖象。 推論：推論：函數(shù)函數(shù)y= f( (x) )的圖象上任意一點的圖象上任意一點關于直線關于直線y=x的對稱點，都在它的反函的對稱點，都在它的反函數(shù)數(shù)y= f 11( (x) )的圖象上。反之亦然。的圖象上。反之亦然。 思考：思考：函數(shù)函數(shù)y=f( (x) )與它的反函數(shù)與它的反函數(shù)y=f11( (x) )的單調(diào)性有關系嗎？的單調(diào)性有關系嗎？（1）若）若 有反函數(shù)且它的反有反函數(shù)且它的反 函數(shù)就是本身，求函數(shù)就是本身

8、，求a，b應滿足的條件應滿足的條件.（2）當）當 滿足什么條件時，滿足什么條件時， 函數(shù)函數(shù) 的反函數(shù)是的反函數(shù)是 它本身？它本身？(0)yaxb a a b c d，( )(0 )ax bdf xcxcx dc ，(3) 試找出充分多的函數(shù)試找出充分多的函數(shù)y = f ( x )，使得，使得 y = f ( x )的反函數(shù)是它本身的反函數(shù)是它本身.練習練習11111.(1 2)( ) ( ).12.( )( ).233.( ) 2( )2 ( )2 ( )24.( ) 2 ( )2145.( )()455f xaxbf xxf xfxxf xxxf xfxfxxf xafaxaxf xayx

9、 例例題題：如如果果點點 ， 既既在在函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像上上，又又在在其其反反函函數(shù)數(shù)圖圖像像上上， 求求已已知知，求求的的值值設設， 求求滿滿足足下下列列條條件件的的 的的值值或或范范圍圍. .設設， 若若， 求求的的取取值值范范圍圍. .若若的的圖圖像像關關于于 .xa對對稱稱， 求求求反函數(shù)值求反函數(shù)值已知原函數(shù)的函數(shù)值，求原函數(shù)的自變量已知原函數(shù)的函數(shù)值，求原函數(shù)的自變量解反函數(shù)方程解反函數(shù)方程已知原函數(shù)的自變量，求原函數(shù)的函數(shù)值已知原函數(shù)的自變量，求原函數(shù)的函數(shù)值解反函數(shù)不等式解反函數(shù)不等式已知原函數(shù)的已知原函數(shù)的“定義域定義域”，求原函數(shù)的值，求原函數(shù)的值域域求反函數(shù)值的范圍求反函數(shù)值的范圍已知原函數(shù)的函數(shù)值的范圍，求原函數(shù)的已知原函數(shù)的函數(shù)值的范圍，求原函數(shù)的自變量的范圍，即解原函數(shù)不等式自變量的范圍，即解原函數(shù)不等式.函數(shù)圖像關于直線函數(shù)圖像關于直線y=x對稱對稱原函數(shù)和其反函數(shù)是同一個函數(shù)原函數(shù)和其反函數(shù)是同一個函數(shù)作業(yè)作業(yè): : 13(1)( )2(2)f xxf 已已知知，求求的的值值。2(4)( )( )1(1)( )yg xf xxx xyx g x 若若函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像與與函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像關關于于直直線線對對稱稱， 求求的的表表達達式式。1(5)(2 )2