1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上橢圓方程的有限元法 有限元法是與差分法并駕齊驅(qū)的一套求解偏微分方程的方法。它的基本想法是，首先把微分方程轉(zhuǎn)化成一種變分方程（微分積分方程），從而降低了對解的光滑性和邊值條件的要求；然后，把求解區(qū)域劃分成有限個(gè)單元（有限元），構(gòu)造分片光滑函數(shù)，這個(gè)光滑函數(shù)由其在單元頂點(diǎn)上的函數(shù)值決定；最后，把這個(gè)分片光滑函數(shù)帶入到上述微分積分方程中去，就得到關(guān)于單元頂點(diǎn)函數(shù)值的一個(gè)線性方程組，解之即得有限元解。與差分法相比，有限元法易于處理邊界條件，易于利用分片高次多項(xiàng)式等等來提高逼近精度。 空間 作為例子，我們將考慮區(qū)間上的微分方程。用表示在上勒貝格平方可積函數(shù)的集合，表示本身以及直

2、到階的導(dǎo)數(shù)都屬于的函數(shù)的集合。我們下面用到的主要是。這里所說的導(dǎo)數(shù)準(zhǔn)確地說是應(yīng)該是廣義導(dǎo)數(shù)，對此我們不予詳細(xì)說明，只需知道比如說，連續(xù)的分片線性函數(shù)（折線函數(shù)）就屬于，其廣義導(dǎo)數(shù)是分片常數(shù)函數(shù)。另外，我們還用到空間。（空間=函數(shù)集合。） 變分方程 考慮兩點(diǎn)邊值問題 （1）（2）（3）其中都是區(qū)間上的光滑函數(shù)，并且，是一個(gè)正常數(shù)。 用中任一函數(shù)乘（1）式兩端，并在上積分，得 （4）利用分部積分，并注意和，得 以此代入到（4）得到 （5） 為了方便，定義 （7） （8）則相應(yīng)于微分方程（1）-（3）的變分方程為：求滿足（9）注意在（9）中不出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)。可以證明，滿足微分方程（1）-（3）的光滑解

3、一定滿足變分方程（9）。（9）的解稱之為（1）-（3）的廣義解，它可能只有一階導(dǎo)數(shù)，因此可能不是（1）-（3）的解；但是如果它在通常意義下二階可微，則一定也是（1）-（3）的解。另外，注意在變分方程（9）中，我們強(qiáng)制要求廣義解滿足邊值條件，因而稱之為強(qiáng)制（或本質(zhì)）邊界條件；而對邊值條件，則不加要求。但是可以證明，如果廣義解在通常意義下二階可微，則一定有，即這個(gè)邊界條件自然滿足。這類邊界條件稱之為自然邊界條件。總之，變分方程（9）不但降低了對解的光滑性的要求，也降低了對邊值條件的要求。有限元空間 構(gòu)造有限元法的第一步與差分法一樣，也是對求解區(qū)間作網(wǎng)格剖分。相鄰節(jié)點(diǎn)之間的小區(qū)間稱為第個(gè)單元，其長度

4、為。記。在空間中，按如下原則選取有限元空間：它的元素在每一單元上是次多項(xiàng)式，并且在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上都是連續(xù)的。當(dāng)時(shí)，就得到最簡單的線性元，這時(shí)每個(gè)可表為， （10）其中 。圖1. 一維線性元 線性元的另外一種表示方法是利用以下具有局部支集的基函數(shù)： （11） （12） 圖2. 線性元的基函數(shù)顯然，任一可以表為 （13）有限元方程 將變分方程（9）局限在有限元空間上考慮，就得到有限元方程：求有限元解滿足 （14）注意到和都可以表示成（13）形式，容易看出（14）等價(jià)于如下的線性方程組：求節(jié)點(diǎn)上的近似解滿足 （15）這個(gè)線性方程組是三對角的，可以用追趕法求解?？梢园盐⒎址匠蹋?）、變分方程（9）和有限元

5、方程（15）比喻為確定“好人”的三種標(biāo)準(zhǔn)：他每時(shí)每刻表現(xiàn)都好；大家都說他好；一個(gè)遴選委員會(huì)說他好。誤差估計(jì) 可以證明，微分方程（1）-（3）的解和有限元方程（14）或（15）的解之間的誤差滿足 （16）其中是一個(gè)常數(shù)； 表示范數(shù)，定義為 , （17）二維橢圓方程有限元法 以二維區(qū)域上的Poisson方程第一邊值問題為例： ， （18） （19）其中是以為邊界的一個(gè)二維區(qū)域。利用Green公式，容易推出相應(yīng)的變分方程：求滿足 ， （20）其中空間由在邊界上為零且廣義偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域上勒貝格可積的所有函數(shù)組成， （21） （22） 二維區(qū)域上最常用的剖分是形如下圖的三角剖分：我們可以相應(yīng)地構(gòu)造三角剖分

6、上的線性元。對內(nèi)點(diǎn)集合（例如上圖中3，6，5這三個(gè)點(diǎn)）中每個(gè)節(jié)點(diǎn)，定義其基函數(shù)為一個(gè)分片線性函數(shù)，它在節(jié)點(diǎn)取值為1，而在所有其他節(jié)點(diǎn)為0。這樣，有限元空間中任一元素就可以表示成。把它帶入到變分方程（20）便得有限元方程：求上的近似解滿足 （23）高次元 可以從兩個(gè)途徑來提高有限元法的精度，一個(gè)是加密網(wǎng)格，另一個(gè)是利用高次元。例如對于一維問題，可以使用所謂Hermite三次元，它在每一個(gè)單元上是一個(gè)三次多項(xiàng)式，由兩個(gè)端點(diǎn)上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值總共4個(gè)參數(shù)確定。這時(shí)，相應(yīng)于（16）我們有誤差估計(jì) （24）其中表示階導(dǎo)數(shù)。對于二維問題也可以使用高次元，但是其定義要稍微復(fù)雜一點(diǎn)。習(xí)題1 設(shè)邊值條件為 ，步長為=0.5。寫出相應(yīng)的線性元的各個(gè)基函數(shù)，并圖示。習(xí)題2 假設(shè)如習(xí)題1，并設(shè)，具體寫出線性