1、第1頁(yè)/共17頁(yè)1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的部分和定義級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散內(nèi)容小結(jié)第2頁(yè)/共17頁(yè)性質(zhì)1: 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.性質(zhì)2:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.性質(zhì)3:在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4:收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來(lái)的和.級(jí)數(shù)收斂的必要條件:收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)第3頁(yè)/共17頁(yè)正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);,則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂若若SSn;, 0,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) nun一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法第4頁(yè)/共17頁(yè)定義2

2、、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法審斂法(1) 比較審斂法第5頁(yè)/共17頁(yè)(2) 比較審斂法的極限形式第6頁(yè)/共17頁(yè)第7頁(yè)/共17頁(yè)設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂;1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 1 時(shí)失效時(shí)失效.設(shè)設(shè) 1nnu是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), ,如果如果 nnnulim)( 為數(shù)或?yàn)閿?shù)或 , ,則則1 時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂; ; 1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; ;1 時(shí)失效時(shí)失效. .第8頁(yè)/共17頁(yè)定義 正 、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法第9頁(yè)/共17頁(yè)定義 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).定義定義:

3、 :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 0nnu為絕對(duì)收斂為絕對(duì)收斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法第10頁(yè)/共17頁(yè)第11頁(yè)/共17頁(yè)Example 1.:,1下列級(jí)數(shù)是否收斂下列級(jí)數(shù)是否收斂收斂收斂設(shè)設(shè) nnu.1)3( ;)2( ; )0001. 0()1(1110001 nnnnnnuuuSolution., 00001. 0)0001. 0(lim)1( nnu.)0001. 0(1發(fā)散發(fā)散 nnu,)2(111000同時(shí)斂散同時(shí)斂散與與 nnnnuu.11000收斂收斂 nnu,

4、1lim)3( nnu.11發(fā)散發(fā)散 nnu第12頁(yè)/共17頁(yè)Example 2.判別級(jí)數(shù)的斂散性：).0(11)4( ;2sin)3(11)2( ;)1(1)1(11121 aannnnnnnnn Solution.,11)1(1)1( nnn,111 nn發(fā)散發(fā)散而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù)所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.,111)2(22nn ,112收斂收斂而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù) nn所以原級(jí)數(shù)收斂.第13頁(yè)/共17頁(yè)nn22sin)3( ,21收斂收斂而而 nn 所以原級(jí)數(shù)收斂., 0111lim,1)4( nnaa時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)所以原級(jí)數(shù)發(fā)散., 02111lim,1 nnaa時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.,111,1nnaaa 時(shí)時(shí)

5、當(dāng)當(dāng),)1(1收斂收斂而而 nna所以原級(jí)數(shù)收斂.注意: 比較審斂法中的比較級(jí)數(shù)通常是p-級(jí)數(shù)和幾何級(jí)數(shù).第14頁(yè)/共17頁(yè)Example 3.判別級(jí)數(shù)的斂散性：.2)1(3)4( ; )11ln()3(!3)2( ;)1(41951)1(32852)1(11211 nnnnnnnnnnnnnSolution., 1434132limlim)1(1 nnuunnnn所以原級(jí)數(shù)收斂.!3)1()!1(3limlim)2(111nnnnuunnnnnnnn , 13)1(3lim ennnn所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.第15頁(yè)/共17頁(yè), 011)11ln(limlim)3(22 nnvunnnn,112收斂收斂而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù) nn所以原級(jí)數(shù)收斂.,)1(3)1(3lim21lim)4