1、5 曲面的切平面與法線 若曲面方程為設(shè) 對各個變量有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 為曲面上一點,過點 任作一條在曲線 ,設(shè)其方程為顯然對 求導(dǎo),在 點(設(shè)此時對應(yīng)于 )有前已知道,向量 正是曲線 在 在 點的切向量. 上式說明向量 0),(zyxF),(zyxF),(0000zyxM0Ml),(),(),(tzztyytxx0)(),(),(tztytxFt0M0tt 0)( )()( )()( )(000000tzFtyFtxFMzMyMx)( ),( ),( (000tztytxl0M)( ,)( ,)(000MzMyMxFFFn與切向量正交.由于 的任意性,可見曲面上過 的任一條曲線在該點的切線都與 正

2、交,因此這些切線應(yīng)在同一平面上,這個平面就稱為曲面在 點的切平面,而 就是切平面的法向量.從而即可寫出曲面在 點的切平面方程為 過 點并與切平面垂直的直線,稱為曲面在 點的法線,它的方程是設(shè) 分別為曲面在 的法線與 軸正向之間的夾角,那么在 點的法線方向余弦為l0Mn0M0Mn0)()()()()(00000zZFyYFFMxMyMx0M0M000)()()(000MzMyMxFzZFyYFxX,0Mzyx,),(0000zyxM,)()()()(cos2220000MzMyMxMxFFFF 若曲線方程是它很容易化為剛才討論過的情形于是曲面在點 （這里 ）的切平面方程為法線方程為,)()()(

3、)(cos2220000MzMyMxMyFFFF,)()()()(cos2220000MzMyMxMzFFFF),(yxfz , 0),(),(yxfzzyxF),(000zyx),(000yxfz , 0)()()()()(00),(0),(0000zZyYyzxXxzyxyx 最后，若曲面方程為參數(shù)形式如果由 決定了兩個函數(shù)因此可以將 看為 的函數(shù)，這樣問題就化為剛才已經(jīng)討論過的問題了.因此只要求出 及 .為此,將 分別對 求導(dǎo),并注意到 為 的函數(shù),按隱函數(shù)求導(dǎo)法則有),(),(),(vuzzvuyyvuxx),(),(yxvvyxuu),(),(vuyyvuxxyx,zxzyz),(v

4、uzz vu,zyx,vyyzvxxzvzuyyzuxxzuz由這兩個方程可解出 及 于是,在 點的切平面方程應(yīng)為法線方程為對于曲面方程為顯示表示及參數(shù)表示時,同樣可寫出它們在 點的法線方向余弦,請讀者寫出. 0Mxzyz,),(),(),(),(,),(),(),(),(vuDyxDvuDxzDyzvuDyxDvuDzyDxz0M)(),(),()(),(),(0000yYvuDxzDxXvuDzyDMM, 0)(),(),(00 zZvuDyxDM.),(),(),(),(),(),(000000MMMvuDyxDzZvuDxzDyYvuDzyDxX 例1 求曲面 在點 的切平面及法線方程.通常兩曲線在交點的夾角,是指交點外兩個切向量的夾角;兩曲面在交線上一點的夾角,是指兩曲面在交點的法線的夾角.如果兩曲面在交線的每一點都正交,則稱這兩曲