1、2020屆四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)考(文)數(shù)學(xué)試題一、單選題1 .已知集合 A = x x2 -x-12<0, B=x 2x 5 2 0,則 AU B=()B.A. 1-3,4 1C.2,4D. -5 -【答案】D【解析】解一元二次不等式求得集合A ,解一元一次不等式求得集合B ,由此求得兩個(gè)集合的并集.【詳解】,25由 x x12=(x+3Kx 4)M0,解得-3WxW4.由 2x5 之 0 解得 x 之一.所以A'B = 1-3,+).故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合并集的概念和運(yùn)算，考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.2 .已知復(fù)數(shù)z

2、=幺，則z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于()A.第一象限D(zhuǎn).第四象限C.第三象限【答案】A【解析】 利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡 z,由此求得z對應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】4i 1 -i依題意z =-=2i (1 -i )=2 +2i ,對應(yīng)點(diǎn)為 2,2 ,在第一象限1 i 1-i故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)所在象限，屬于基礎(chǔ)題3 .命題“Vx>1 , ex _2x_7之0”的否定是()A.永0<1 ,ex0_2x _7 <0B.三%<1,ex0 2x07 之0C.%1 ,ex02x07"D.5x0>1,ex°_2x_7<

3、;0【答案】D【解析】 根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題的知識，寫出原命題的否定【詳解】原命題是全稱命題，故其否定是特稱命題，注意到條件不否定、結(jié)論要否定，故 D選項(xiàng)符合.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查全稱命題與特稱命題，考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題 4.下列函數(shù)中，任取函數(shù)定義域內(nèi)x, y,滿足f -Lf(x)f (y ),且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)是(A. f x =x，B. f (x)=log1 x2c.f x = 2D. f x-exe【解析】 對四個(gè)選項(xiàng)逐一分析，結(jié)合l=f (x)-f (y )以及函數(shù)定義域內(nèi)單調(diào)遞減確定正確選項(xiàng).【詳解】1八一1對于A選項(xiàng)，由于函數(shù) f(x) =的

4、定義域?yàn)?-°0,0 2(0,y),所以f(x)=一在xx1-定義域內(nèi)不是單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意.正確的說法是f (x )=在(-8,0 )和x(0,收)上遞減.對于B選項(xiàng),. I x . x .f=iog1 - = iog1 x-iog1 y = f (x)- f (y) yyj.f(x) = logx的定2義域?yàn)?0,收)，且函數(shù)f (x)=log：1 x定義域內(nèi)單調(diào)遞減，符合題意2對于C選項(xiàng),對于D選項(xiàng),X1 y-e #f（x）f（y ），不符合題意 ey綜上所述，B選項(xiàng)符合題意 故選：B.本小題主要考查指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算, 于基礎(chǔ)題.考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和備函數(shù)的單調(diào)性，

5、屬【點(diǎn)睛】“冗A. x =12C. x =一35.函數(shù) f （x ）=sin2x+273cos2x2 的一條對稱軸是（）花B. x =一6汽D. x =2【解析】利用降次公式和輔助角公式化簡函數(shù) f （x ）解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱軸的求法，求得函數(shù)的對稱軸，從而得出正確選項(xiàng)依題意,f x =sin2x 3cos2x3-2 = 2sin2x -.3-23冗冗kit 冗2x+=k：t+一解得x = 十 ,kw Z為函數(shù)的對稱軸，令 k = 0求得函數(shù)的一條對32212冗稱軸為x = .12故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)降次公式和輔助角公式，考查正弦型三角函數(shù)的對稱軸的求法，屬于基

6、礎(chǔ)題.6 .若數(shù)列不）各項(xiàng)不相等的等差數(shù)列，4=5,且a3，a4, a8成等比數(shù)列，則 S =( )B.28D.49A.18C.44【答案】B【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)列方程， 將方程轉(zhuǎn)換為只含 ai，d的表達(dá)式后求得d ,由此求得S7 的值.【詳解】由于 a3, a4，a8 成等比數(shù)列，所以 a42 = a3 ®8,所以(a1 +3d 2 =(a1 +2d X a1 +7d ),即3aid +5d2 = 0 ,依題意“數(shù)列各項(xiàng)不相等的等差數(shù)列"，所以 d #0 ,故由23aid +5d =0得 3a +5d = 0 ,而 a1 = 一5 ,所以 d = 3.所以S7 =7a1

7、21d = -35 63 =28.故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)，考查等差數(shù)列通項(xiàng)的基本量的計(jì)算，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，屬于基礎(chǔ)題 .7 .在平面四邊形 ABCD 中，已知 NA 二，/CDA=25, AD =2, BD=4, DC =5, 23則 BC =()A. -.21B. 3.3C. .23D. 4.3【答案】A 冗 .一,_._【解析】 利用含有一角的直角三角形的性質(zhì)求得 /BDC,在三角形BCD中用余弦定6理求得BC.【詳解】，一，.z ,1.冗.冗由于直角二角形 ABD中AD =- BD ,所以/DBA = ，所以/ADB =一，因?yàn)?63* 2九 冗/CD

8、A = ，所以/BDC =一.在三角形BCD中，由余弦定理得 33BC =$2 +42 2父 5 M 4"osg =歷.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查特殊的直角三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題8.已知函數(shù)f (x )是定義在R上的偶函數(shù)，若函數(shù)f (x )滿足Vx1 , x2之0 ,且x1Ax2 ,f(Xl)_"x2)<0.若a=f(3D, b = f llog21 J, c=f(5),則a, b, c三者 xi -x24的大小關(guān)系為()A. a ：c :二 bB. c ： b ： aC. b : c : aD. c : a : b【答案】A【解析】根

9、據(jù)題意判斷出函數(shù)f(x )的單調(diào)性，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)比較出a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】一f x f x9由于函數(shù)f(x融足Vx1, x2主0 ,且x1 #x2j<0,所以函數(shù)在0,收)x1 一 x22上為單調(diào)遞減函數(shù).而函數(shù)為偶函數(shù)，故 b= f (log2 2 戶f (-2 )= f (2 ),c = f (一5)=f(5).而 2<5<33 <3",所以 a <c <b .故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的奇偶性， 考查利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，考查對數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題9.函數(shù)y =sinx在區(qū)間1-3,0 |J 0,31

10、上的圖象為(Zx c a log 2019 2 -2【答案】B【解析】利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)對選項(xiàng)進(jìn)行排除，由此得出正確選項(xiàng)【詳解】sin x令 f(x 尸;- x . (xe 1-3,0 )IJ(0,3),10g 2019 |2 -2f -x =sin x10g 2019x _ _x2 -2=f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，由此排除A,D兩個(gè)選項(xiàng).sin 3iy63=3時(shí)，y63 ,而3為第二象限角，所以 sin3 >0 ,而10g201g>0,log 201988sin 3y = 0 ，一 ，,_所以y63,由此排除C選項(xiàng).故B選項(xiàng)符合.10g 20

11、19 故選：B.判斷函數(shù)的圖像，屬于基礎(chǔ)本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn),1 .10.右函數(shù)f (x產(chǎn)ax + +2ln x在區(qū)間x1，士一A ,士 田.|-,4上有2個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍為 _2B.A. -1,01i7C. T,I16 J【答案】C【解析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)f (x )在區(qū)間|-1,4 上有2個(gè)極值點(diǎn)列不等式組，解不等式組求得a的取值范圍.2£12 ax 2x-1 口Af (x)=a-+ =2.顯然，當(dāng) a=0時(shí),x x x2x -1只有1個(gè)極值點(diǎn)1“人什一_,一人-,不符合題意.只有C選項(xiàng)符合.22構(gòu)造函數(shù)g x

12、= ax 2x -11 ag x在區(qū)間1一一I ,4上有兩個(gè),2不同的零點(diǎn),故選：C.2a g 2-2 :二 a < -4g 40:01 2-a2 04a 16a 70解得-1 :二a7< 16本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，考查二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題的求解,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題11.已知4ABC的內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,且(a b )sinA =csinC bsinB,若 c = 2)3,則 ABC的周長的最大值為(A. 4 ., 3B. 3 4.3C. 6 .3D.3 6.3【解析】利用正弦定理和余弦定理化簡已知條件，將周長轉(zhuǎn)化

13、為角的形式，利用三角恒等變換進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)最值的求法，求得周長的最大值2 b2 一 2由正弦定理得(a b ) a = c2 -b2, a2 + b2 -c2 = ab,所以 cosC = -2ab因?yàn)? <C < tt,所以C =，由正弦定理求得一-=-=4 .所以3sin A sin B sin Cl . A .2冗 J 八不a+b+c=4sin A+4sin B +2V3 =4sin A + 4sin . A 1 + 2心 13 J= 4，3sin,iA +- 1 + 2向，由于0<A<2，故當(dāng)A =時(shí)，周長取得最大值為 6334.3 2 .3 -6 .3

14、 .故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形內(nèi)角和定理，考查輔助角公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題3 4ln x,x _ 112.己知函數(shù) f (x)=W，若 m=n,且 f (m)+ f (n)=6,則 m + n的x 2,x ： 1取值范圍為B7-4ln3,二C. 2, ,二A. 5 -8ln2,二D/e, 二【答案】A【解析】將m, n分成m<n<1, m <11 <m<n三種情況，結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)和基本不等式求得m + n的取值范圍.當(dāng)m <n <1時(shí),f (m)+ f (n )<6不合題意.f

15、(m)+ f (n )=6得 m+41n n=1,m=14ln nf m = m 2當(dāng)m <1 En ,，由 f n =3 4ln n(n =1時(shí)，m = 1不符合，故n >1),所以m + n = n4ln n+1,構(gòu)造函數(shù)x -4'g (x ) = x4ln x+1(x >1 ), g (x )=,故當(dāng) x= (1,4時(shí) g (x)«0 , g(x)遞減,x當(dāng) xwH," )時(shí)，g'(x)>0, g(x 睡增，故 g(x)min=g(4) = 58ln2,故 m n - 5 -8ln 2 .產(chǎn)f m = 3 4ln m r r,/

16、當(dāng) 1 Mm <n 時(shí)，«，由 f (m )十 f (n ) = 6得 ln mn =0,mn = 1,所f n = 3 4ln n以m n 2而=2.綜上所述，m + n的取值范圍是15 -8ln2,卜故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查方程與不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)求取值范圍，考查基本不等式的運(yùn)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題 二、填空題13 . “ 2x+3E0”是“ 2x-6M0”的 條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【解析】求得兩個(gè)一元一次不等式的解集，根據(jù)兩者的包含關(guān)系填寫出正確結(jié)論.【詳解】不等式2x+3

17、E0的解集為A = ,- 1,不等式2x6W0的解集為B=（笛,3,2由于A B,所以“ 2x+3W0”是“ 2x6E0”的充分不必要條件故答案為：充分不必要.【點(diǎn)睛】 本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查一元一次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題14 .若非零向量 a , b 滿足(a,b)=，a = J3 , a+2b' = J7,則 b=將a+2b="兩邊平方，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算進(jìn)行化簡，由此求得將a+2b="兩邊平方得a2 +4a b+4b2 =7,即(bi+2j(2ibi-n=0,解得，i 故答案為：一.2本小題主要考查平面向量模的運(yùn)算，考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算

18、，屬于基礎(chǔ)題15 .已知Sn為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，且ai =3, an卅=3Sn +1 , nWN"，貝U $5=【答案】1023【解析】將an書=3Sn +1轉(zhuǎn)化為Sn+ +1 =4(Sn +1 ),由此證得+1是等比數(shù)列，由此求得Sn ,進(jìn)而求得S5 .【詳解】由烝4=3a +1得Sn書& =3& +1 ,即Sn書+1 = 4( Sn +1 ),故數(shù)列+1是首項(xiàng)為& +1 =a +1 =4,公比為4的等比數(shù)列，故Sn +1 =4n,Sn =4n -1 ,所以_5S5 =4 -1 =1023.故答案為：1023【點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系式，考查化歸與

19、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.16 .已知函數(shù)f(x)= 2alnx-3x,且不等式f (x + 1 R2ax-3ex在(0,+* )上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為,3【答案】-：-,322ay【斛析】將原不等式f (x+1)之2ax3e轉(zhuǎn)化為 x-ln (x +1 )<e (x + 1).對3 一a分成a W0,a >0兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.不等式 f x , 1 - 2ax -3ex即 2aln x 1 -3x1 - 2ax-3ex,化簡為2ax一 xTn(x+1)Ee x+1 ).根據(jù) y = x, y = In (x +1), y = e ,

20、 y = x +1 的圖像3 一 可知，當(dāng)x>0時(shí)，xIn(x+1)>0, ex (x+1)>0.故當(dāng)aM0時(shí)，式顯然成立當(dāng)a >0時(shí)，由得ex (x+1)2a -x-In(x+1 )>0在(0,+°0 )上恒成立.構(gòu)造函數(shù)gx =ex-x1 號3 一x-ln(x+1)(x>0 )(為方便解題，先令函數(shù)g(x)定義域2ax包才x=0.),注意到 g(0) = 0. g (x)=ex1上，g(0)=0,''x 2a 1''g x 二e 一二 2 , g 0=1-3 x 13 x 1x 4a 1戶e + '3&g

21、t;0,故3 x 1j在0,上單調(diào)遞增.要使在(0,也)上恒成立，則需， 2a 八 八3g (0)=1 之0,即 0<a£一. 32綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求得不等式恒成立問題,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題 三、解答題17. zXABC的內(nèi)角A, b, C的對邊分別為a, b, c,已知tanA = 2, a = 2j5,5<3b =.2(1)求角B的大?。?2)求 ABC的面積S.【答案】（1） b =；（2） 10石+15 34【解析】（1）先根據(jù)tan A求得sin A,利

22、用正弦定理求得 sin B ,根據(jù)三角形大角對大邊，求得角B的大小.（2）求得cosA,cos B的值，利用三角形內(nèi)角和定理以及兩角和的正弦公式求得sinC的值，再由三角形面積公式求得三角形ABC的面積.【詳解】（1） A是 4ABC 的內(nèi)角 tanA = 2 Aw 2 且 sin A =拽又煮"sbB' a = 26 b5、32.-bsin A.3 . sinB=a2一._ 兀又 b < a ,，B < A, 1- B =一3(2)由(1)得 cos A = 5 ,5cosB2sinC = sin A B2 . 5 , 15= sin AcosB cos A s

23、in B =10S>a abc = -ab sin C210 .3 154【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查三角形內(nèi)角和定理以及三角形面積公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.18.如圖，在長方形 ABCD中，AB=4, AD = 2 ,點(diǎn)E是DC的中點(diǎn).將ADE沿 AE折起，使平面 ADE_L平面ABCE,連結(jié)DB、DC、EB . L J J B(1)求證：平面ADE_L平面BDE;(2)點(diǎn)M是線段DA的中點(diǎn)，求三棱錐 D -MEC的體積.【答案】(1)見解析；(2)思3【解析】(1)利用勾股定理證得 ae_l BE，由此根據(jù)面面垂

24、直的性質(zhì)定理，證彳導(dǎo)BE_L平面ADE ,從而證得平面 ADE_L平面BDE . 一，一 1(2)將所求三棱錐 D -MEC的體積，通過等體積法，轉(zhuǎn)化為 一VDuEC.作AE的中點(diǎn) C C2O,連接DO ,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，證得 DO _L平面ABCE ,由此求得Vduec，進(jìn)而求得三棱錐 D -MEC的體積.【詳解】(1)證明：. AD=DE=2, /ADE=90AE = BE =2 .2，又 AB =4AE2 +BE2 = AB2 AE! BE又平面ADE，平面ABCE,平面ADE Pl平面ABCE = AE BE，平面 ADE又BE仁平面BDE ，平面ADE _

25、L平面BDE .(2) M是線段DA的中點(diǎn)/-/_1/_1/VD JMEC -VM -DEC VA-DEC =VDMEC22作AE的中點(diǎn)O ,連接DO ,DA =DE DO 1 AE又平面DAE，平面ABCE . . DO _L平面ABCE一 1一又DO=/2，SAEC = -xAEECsin135° = 2, VD sec = 1 2、2 = 2-233.23VD JMEC【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查錐體體積計(jì)算，考查空間想象能 力和邏輯推理能力，屬于中檔題19.某社會機(jī)構(gòu)為了調(diào)查對手機(jī)游戲的興趣與年齡的關(guān)系，通過問卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)得如下2 M2列聯(lián)表:

26、40歲以下40歲以上合計(jì)很有興趣301545無興趣2035合計(jì)5050100(1)根據(jù)列聯(lián)表，能否有99.9%的把握認(rèn)為對手機(jī)游戲的興趣程度與年齡有關(guān)(2)若已經(jīng)從40歲以下的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取了5名，現(xiàn)從這5名被調(diào)查者中隨機(jī)選取3名，求這3名被調(diào)查者中恰有1名對手機(jī)游戲無興趣的概率2附：k2n ad -bca b cd a c b d參考數(shù)據(jù):P(F > M0.0500.0100.0013s416.63510.82S一. 3【答案】(1)沒有99.9%的把握認(rèn)為手機(jī)游戲的興趣程度與年齡有關(guān)；(2)55【解析】(1)計(jì)算出k2,根據(jù)參考數(shù)據(jù)判斷出沒有 99.9%的把握認(rèn)為手機(jī)

27、游戲的興趣程度與年齡有關(guān).(2)利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，求得所求概率【詳解】2(12 100 1050-300100k10.82850 50 45 5511沒有99.9%的把握認(rèn)為手機(jī)游戲的興趣程度與年齡有關(guān)(2)由題得40歲以下的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取的5名人員中有3名對手機(jī)游戲很有興趣，設(shè)為a、b、c ；有2名對手機(jī)游戲無興趣，設(shè)為 d、e,從a、b、c、d , e中隨 機(jī)選取 3 名的基本事件有 (a,b,c、(a, b,d、(a,b,e、(a,c,d> (a,c,e)、a,d,e、 b,c,d、b,c,e、b,d,e、(c,d,e)共 10個(gè).其中 d ,

28、e恰有 1 個(gè)的有a,b,d、a,b,e、a,c,d、a,c,e、b,c,d、(b,c,e 共6個(gè)這3名被調(diào)查者中恰有1名對手機(jī)游戲無興趣的概率為3 .5【點(diǎn)睛】本小題主要考查 2M2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查古典概型概率計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力， 屬于基礎(chǔ)題.20.已知定點(diǎn)F (1,0 ),定直線l的方程為x = -1 ,點(diǎn)P是l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P與直線l垂直的直線與線段 PF的中垂線相交于點(diǎn) Q,設(shè)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程：(2)點(diǎn)A(a,0 ) (a >0),點(diǎn)B(a,0 ),過點(diǎn)A作直線l1與曲線C相交于G、E兩 點(diǎn)，求證：. GBA=/EBA.【答案】(1) y2=4x

29、； (2)見解析【解析】(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及拋物線的定義，求得曲線C的軌跡方程.(2)設(shè)出直線1i的方程，聯(lián)立直線1i的方程和拋物線方程，消去 X,寫出韋達(dá)定理，通過計(jì)算kBG +kBE = 0,證得kBG = kBE，從而證得NGBA=NEBA.【詳解】(1)由題知 |QF = QP =d ,.點(diǎn)Q的軌跡是以F (1,0)為焦點(diǎn)，直線x = -1為準(zhǔn)線的拋物線，曲線C的方程為y2=4x.(2)設(shè)直線li的方程為x = my+a,G(myi+a,y ), E(my2+a,y2),x = my a 2由 4 2 得 y 4my_4a =0 ,y =4xy1 +y2 =4m , y1y2

30、 = Ma ,又 kBG、, kBE-, my1 2amy2 2akBG kBE 二一my1 2a my2 2a2myy2 +2a(y1 +y?)myi 2a my2 2a2 m -4a 2a 4m=0my 2a my2 2akBG = -kBE NGBA=/EBA【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.21.已知函數(shù) f(x) = exdnx, g (x )= f (x )+(a+ e )ln x +a(a R).(1)求函數(shù)f(x )的單調(diào)區(qū)間；(2)討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1) f (x庵(0,

31、1)上是減函數(shù)，在。什)上是增函數(shù)；(2)見解析【解析】(1)先求得函數(shù)f (x )的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)f (x)求得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.x .1.(2)先由g(x) = 0得e =a(lnx+1 ),判斷x>0且x#后分離常數(shù)a得到 eexex1 .-a =，構(gòu)造函數(shù)h(x) =( x>0且x #一),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) h(x)的ln x 1ln x 1e單調(diào)區(qū)間，畫出h(x)的大致圖像，結(jié)合圖像討論得函數(shù)g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】(1) f (X)的定義域?yàn)?0,+w)x ef X i=e -一 Xf'(x)在(0,+w)上是增函數(shù)，且 f'(1)=0

32、. XW(0,1 隹 f'(x)<0, xW(1,y )時(shí) f'(x)>0f(X施(0,1 )上是減函數(shù)，在(1,收)上是增函數(shù) (2)由 g (X ) = 0得 ex = a(ln X + 1)1 口、1X =e不是該方程的解XA0且X¥qXe- a 二ln x 1人ex1令 h(x) = (XA0 且 X# - )ln x 1eX1e iln x 1x h x )-In x 1-1令 t x =ln x 1 x則t(x而(0,性)上是增函數(shù) 又 t 1 =0xw ：0,工 l'U '1,1 卜寸 h'(x )<0 .e e

33、x (1, +00 )時(shí) h'(x )>0 , .,11 . h(x廟,0,-J, .,1 |是減函數(shù)，在(1,y )上是增函數(shù),又 h(1 )=e , xt 0 時(shí) h(x 尸0 ,r1 丁，-LXT I1 時(shí) h(x 尸-0°, lejXT I 時(shí) h(x 尸 z, eXT + 8 時(shí) h(x Z -Heh(x)的大致圖象如圖所示q<0u a>0時(shí)g(x點(diǎn)一個(gè)零點(diǎn)，0wa<eu e<a E0時(shí) g(x)無零點(diǎn),a = eu a = e時(shí)g (x )有一個(gè)零點(diǎn)，a > e仁 a < e時(shí)g (x)有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上：a < -e時(shí)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，a = -e或a>0時(shí)g(x出一個(gè)零點(diǎn)， 0 wa<e時(shí)g(x)無零點(diǎn),【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性很強(qiáng)，屬于難題-x = 4cos ?22 .在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為(8為參數(shù))，以坐標(biāo)原y = 3sin 點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為P