1、第一節(jié)第一節(jié) 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題第二節(jié)第二節(jié) 平衡微分方程平衡微分方程第三節(jié)第三節(jié) 平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)第四節(jié)第四節(jié) 幾何方程幾何方程 剛體位移剛體位移第五節(jié)第五節(jié) 物理方程物理方程第六節(jié)第六節(jié) 邊界條件邊界條件第二章 平面問題的基本理論第七節(jié)第七節(jié) 圣維南原理及其應(yīng)用圣維南原理及其應(yīng)用第八節(jié)第八節(jié) 按位移求解平面問題按位移求解平面問題第九節(jié)第九節(jié) 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程例例 題題教學(xué)參考資料教學(xué)參考資料習(xí)題的提示和答案習(xí)題的提示和答案第十節(jié)第十節(jié) 常應(yīng)力情況下的簡化常應(yīng)力情況下的簡化 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函

2、數(shù)第二章 平面問題的基本理論21平面應(yīng)力問題和 平面應(yīng)變問題 彈力空間問題共有應(yīng)力、應(yīng)變、位移15個未知函數(shù) ，且均為 ； 有兩類問題可以簡化為平面問題。 zyxf,平面應(yīng)力 wvuui zzyzxyzyyxxzxyx zzyzxyzyyxxzxyx 第二章 平面問題的基本理論等厚度的薄板；所有的外力（體力 ，面力 和約束 均 面，且沿板厚不變。yxff 第一種：第一種：平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題 平面應(yīng)力yxffxyvu圖21第二章 平面問題的基本理論 簡化為平面簡化為平面應(yīng)力應(yīng)力問題：問題： 故只有平面應(yīng)力 存在。. 0,2zzyzxz).( , 0,中在Vzyzxz 由于薄板很薄，應(yīng)力是連

3、續(xù)變化的，又無z向外力，可認為：平面應(yīng)力兩板面上無面力和約束作用，故xyyx, ,第二章 平面問題的基本理論 歸納為平面應(yīng)力問題：歸納為平面應(yīng)力問題：a.應(yīng)力中只有平面應(yīng)力 存在；b.且僅為 。yxf,平面應(yīng)力xyyx, ,由于板為等厚度，外力、約束沿z 向不變，故應(yīng)力 僅為 。yxf,xyyx, ,第二章 平面問題的基本理論弧形閘門閘墩計算簡圖：平面應(yīng)力深梁計算簡圖：Fyfyf第二章 平面問題的基本理論例題1（習(xí)題2-3） 選擇坐標(biāo)系如圖。因表面無任何面力，、 、 = 0,故表面上在近表面很薄一層 接近平面應(yīng)力問題。xfyfzf. 0,zyzxz平面應(yīng)力. 0,zyzxz第二章 平面問題的基

4、本理論第二種：平面應(yīng)變問題第二種：平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變很長的常截面柱體 ；所有的外力（體力 ，面力 和約束 ) 均 面，且沿長度方向不變。yxffyxffxyvuxy第二章 平面問題的基本理論故任何z 面（截面）均為對稱面。（平面位移問題）只有 ; , 0u,vw . , 0,0, 00（平面應(yīng)變問題）只有xyyxzyzxzyzxzw平面應(yīng)變 截面、外力、約束沿z向不變，外力、約束xy面，柱體非常長。簡化為平面應(yīng)變問題：簡化為平面應(yīng)變問題：第二章 平面問題的基本理論 由于截面形狀、體力、面力及約束 沿 向均不變，故應(yīng)力、應(yīng)變、位移 均為 。歸納平面應(yīng)變問題： a.應(yīng)變中只有平面應(yīng)變分量 存在；

5、 b.且僅為yxf,z平面應(yīng)變yxf,xyyx,第二章 平面問題的基本理論從空間問題到平面問題從空間問題到平面問題xyxyxyxyxyyxxyxyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx第二章 平面問題的基本理論例如：平面應(yīng)變管道水壩第二章 平面問題的基本理論例2（習(xí)題（習(xí)題2-42-4）按平面應(yīng)變問題特征來分析，本題中只有 ，且為. 0,0, 0zyzxzyzxz平面應(yīng)變yxf,xyyx,oxyz第二章 平面問題的基本理論2 22 2平衡微分方程平衡微分方程定義平衡微分方程表示物體內(nèi)任一點的微分體的 平衡條件。第二章 平面問題的基本理論 在任一點（x，y）取出一微小的平行六面體

6、 ,作用于微分體上的力：體力： 。應(yīng)力：作用于各邊上，并表示出正面上由坐標(biāo)增量引起的應(yīng)力增量。1dd yxyxff ,定義第二章 平面問題的基本理論)(),(!1)(),(! 21),(),(),(222dxxyxndxxyxdxxyxyxydxxnxnxxxx第二章 平面問題的基本理論 應(yīng)用的基本假定應(yīng)用的基本假定：連續(xù)性假定應(yīng)力用連續(xù)函數(shù)來表示。小變形假定用變形前的尺寸代替變 形后的尺寸。 列出平衡條件列出平衡條件 ： 合力 = 應(yīng)力面積，體力體積； 以正向物理量來表示。 平面問題中可列出三個平衡條件:第二章 平面問題的基本理論其中一階微量抵消，并除以 得： . 01dd1d1)dd(1d

7、1)dd(, 0yxfxxyyyyxxFxyxyxyxxxxxyxdd)(. 0afyxxyxx0yF)(. 0bfxyyxyy，同理可得：平衡平衡條件條件第二章 平面問題的基本理論 , 0cM 當(dāng) 時，得切應(yīng)力互等定理,得,d21d21yyxxyxyxxyxy0d,dyx)(.cyxxy平衡平衡條件條件第二章 平面問題的基本理論說明說明： 代表彈性體V中所有點的平衡條件， （x，y）V； 適用的條件連續(xù)性、小變形； 應(yīng)力不能直接求出幾何、物理關(guān)系； 對兩類平面問題的方程相同。說明說明)(. 0)(. 0bfxyafyxyxyyxyxx第二章 平面問題的基本理論比較: 理力考慮整體 的平衡（只

8、決定整體的 運動狀態(tài)）。 材力考慮有限體 的平衡（近似）。 彈力考慮微分體 的平衡（精確）。VVVd說明說明 當(dāng) 均平衡時，保證 、 平衡；反之則不然。 所以彈力的平衡條件是嚴格的、精確的。 VVVd第二章 平面問題的基本理論理力（ V ）材力（ ）彈力（ ）bxhVd1dddyxVhV dxdy dx第二章 平面問題的基本理論思考題1.試檢查，同一方程中的各項，其量綱 必然相同（可用來檢驗方程的正確性）。2.將條件 ,改為對某一角點的 ，將得出什么結(jié)果？3.微分體邊上的應(yīng)力若考慮為不均勻分布， 將得出什么結(jié)果？0cM0M第二章 平面問題的基本理論 已知坐標(biāo)面上應(yīng)力 ， 求斜面上的應(yīng)力。問題的

9、提出：2 23 3平面問題中一點的平面問題中一點的 應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)問題問題xyyx, ,第二章 平面問題的基本理論斜面應(yīng)力表示：求解：取出一個三角形微分體（x、y、n面圍成） 邊長).,(),(pnnyxpp.,mdsPAldsPBdsAB問題問題mynlxn),cos(),cos(第二章 平面問題的基本理論由平衡條件，并略去高階分量體力項，得(1)求（ , ）xpyp,xyyyyxxxlmpmlp斜面應(yīng)力斜面應(yīng)力l=cos(n,x),m=cos(n,y).第二章 平面問題的基本理論(2)求（ ）將 向法向、切向投影，得nn ,),(yxppp)( .)()(,22222bmllmmplpl

10、mmlmplpxyxyxynxyyxyxn斜面應(yīng)力斜面應(yīng)力第二章 平面問題的基本理論(3)求主應(yīng)力設(shè)某一斜面為主面，則有由此建立方程，求主應(yīng)力主應(yīng)力 兩種推導(dǎo)思路：兩種推導(dǎo)思路：思路（思路（1 1）xyyxyxnxyxyxynlmmlmplplmmllmmplp20)()(2222, 0,nn第二章 平面問題的基本理論思路（思路（2 2）0)()(0 , ,22xyyxyxyyxxyxyxyxyxyxyxyxxyyyyxxxlmlmmlmplmlp一元二次方程一元二次方程第二章 平面問題的基本理論主應(yīng)力公式（26）斜面應(yīng)力斜面應(yīng)力yxxyxxyyxyx21112221)62(.tan,22第二

11、章 平面問題的基本理論將x，y放在 方向，列出任一斜面上應(yīng)力公式，可以得出（設(shè) ）21, 21 (4)求最大、最小應(yīng)力最大、最小應(yīng)力最大、最小應(yīng)力21minmax221222122222122110)()1 (1) 42( , , 0llllmlmlnnnyxxy第二章 平面問題的基本理論發(fā)生在與主應(yīng)力成發(fā)生在與主應(yīng)力成45450 0的斜截面上的斜截面上2 21)()21(41 )()(11)() 52( , , 012minmax1222142122221221時，當(dāng)llllllmllmnnyxxy第二章 平面問題的基本理論幾何方程幾何方程表示任一點的微分線段 上形變與位移之間的關(guān)系。定義定

12、義2 24 4幾何方程剛體位移幾何方程剛體位移第二章 平面問題的基本理論變形前位置： 變形后位置： 各點的位置如圖。 通過點P(x,y)作兩正坐標(biāo)向的微分線段, ,dyPBdxPABAPBAP,定義定義第二章 平面問題的基本理論.tan, 1!21cos,! 3sin23 應(yīng)用基本假定：連續(xù)性；小變形。當(dāng)很小時，假定假定由位移求形變：第二章 平面問題的基本理論.tan.)(xvdxdxxvxudxudxxuux假定假定PA 線應(yīng)變PA 轉(zhuǎn)角第二章 平面問題的基本理論同理同理.yuyvyPB 線應(yīng)變PB 轉(zhuǎn)角xy切應(yīng)變第二章 平面問題的基本理論 適用于區(qū)域內(nèi)任何點，因為（x,y） A；對幾何方程

13、的說明：. , ,yuxvyvxuxyyx平面問題的幾何方程為說明說明 適用條件：a.連續(xù)性；b.小變形。 應(yīng)用小變形假定，略去了高階小量 線性的幾何方程；第二章 平面問題的基本理論 幾何方程是變形后物體連續(xù)性條件 的反映和必然結(jié)果。 形變和位移之間的關(guān)系： 位移確定位移確定 形變完全確定：形變完全確定： 從物理概念看，各點的位置確定，則微分線段上的形變確定 。 說明說明 從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看，位移函數(shù)確定，則其導(dǎo)數(shù)（形變）確定 。第二章 平面問題的基本理論 從物理概念看， 、 確定，物體還可作剛體位移。 從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看， 、 確定，求位移是積分運算，出現(xiàn)待定函數(shù)。形變確定，位移不完全確定形變確定，位移

14、不完全確定 ： 形變與位移的關(guān)系形變與位移的關(guān)系第二章 平面問題的基本理論由 兩邊對y積分，代入第三式由 兩邊對x積分，例：若 ,求位移：0 xyyx)( ,0ayuxvxy形變與位移的關(guān)系形變與位移的關(guān)系0 xxu0yyv).(0),(1yfyxu).(0),(2xfyxv第二章 平面問題的基本理論分開變量， )(. ) ()()( 21bdxxdfdyydf 因為幾何方程第三式對任意的（x，y）均應(yīng)滿足。當(dāng)x（y）變化時，式(b)的左、右均應(yīng)=常數(shù) ，由此解出 。得形變與位移的關(guān)系形變與位移的關(guān)系21, ff)( . , cx vvyuuoo第二章 平面問題的基本理論物理意義：00,vu形

15、變與位移的關(guān)系形變與位移的關(guān)系 表示物體繞原點的剛體轉(zhuǎn)動。 表示x，y向的剛體平移，第二章 平面問題的基本理論結(jié)論：結(jié)論： 形變確定，則與形變有關(guān)的位移可以確定，而與形變無關(guān)的剛體位移 則未定。須通過邊界上的約束條件來確定 。,oovu,oovu第二章 平面問題的基本理論思考題 1.試證明微分體繞z軸的平均轉(zhuǎn)動分量是 ).(21yuxv . , x vvyuuoo第二章 平面問題的基本理論2.當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r， 試求出對應(yīng)的位移分量。,cbaxyyx第二章 平面問題的基本理論2.當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r， 試求出對應(yīng)的位移分量。,cbaxyyxxcbyyxvyaxyxuxcxgyyfcdyydfdxxdg

16、xgbyyxvyfaxyxucyuvbv axu)(),( ),()()( )()()()(),( )(),(x y 10101010第二章 平面問題的基本理論物理方程表示（微分體上）應(yīng)力和形變 之間的物理關(guān)系。,1 ),(1,1 ),(1,1 ),(1xyxyyxzzzxzxxzyyyzyzzyxxGEGEGE定義利用廣義胡克定律：2 25 5物理方程物理方程第二章 平面問題的基本理論 物理方程的說明物理方程的說明：說明說明 正應(yīng)力只與線應(yīng)變有關(guān)；切應(yīng)力只與切 應(yīng)變有關(guān)。 是線性的代數(shù)方程； 是總結(jié)實驗規(guī)律得出的； 適用條件理想彈性體；第二章 平面問題的基本理論 物理方程的兩種形式： 應(yīng)變用

17、應(yīng)力表示，用于 按應(yīng)力求解； 應(yīng)力用應(yīng)變（再用位移表示） 表示，用于按位移求解。)(f)(f說明說明第二章 平面問題的基本理論 平面應(yīng)力問題的物理方程：平面應(yīng)力問題的物理方程： 代入 ，得在z方向0zyzxz)(.)1 ( 2),(1 ),(1aEEExyxyxyyyxx).( , 0yxzzE平面應(yīng)力第二章 平面問題的基本理論 代入 得, 0zyzxz)(.)1 (2),1(1),1(122bEEExyxyxyyyxx平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變在z方向，).(,0yxzz第二章 平面問題的基本理論平面應(yīng)力物理方程平面應(yīng)變物理方程：.1 ,12EE變換關(guān)系變換關(guān)系：.

18、1 ,)1 ()21 (2EE平面應(yīng)變物理方程平面應(yīng)力物理方程：第二章 平面問題的基本理論思考題 1.試證：由主應(yīng)力可以求出主應(yīng)變，且兩者方向一致。 2.試證：三個主應(yīng)力均為壓應(yīng)力，有時可以產(chǎn)生拉裂現(xiàn)象。 3.試證：在自重作用下，圓環(huán)（平面應(yīng)力問題）比圓筒（平面應(yīng)變問題）的變形大。第二章 平面問題的基本理論位移邊界條件位移邊界條件 設(shè)在 部分邊界上給定 位移分量 和 ,則有us定義)(su)( sv邊界條件邊界條件 表示在邊界上位移與約束、 或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系。位移邊界條件 26邊界條件第二章 平面問題的基本理論sus ),()( ),()(svvsuuss（在 上)us在 上給定了面力分

19、量 s).( ),(sfsfyx第二章 平面問題的基本理論 若為簡單的固定邊， 則有位移邊界條件的說明：sus, 0 vu, 0)( , 0)(ssvuus（在 上）。（b） 它是在邊界上物體保持連續(xù)性的條 件，或位移保持連續(xù)性的條件。 它是函數(shù)方程，要求在 上每一點 ， 位移與對應(yīng)的約束位移相等。第二章 平面問題的基本理論在23 中，通過三角形微分體的平衡條件，導(dǎo)出坐標(biāo)面應(yīng)力與斜面應(yīng)力的關(guān)系式，應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件設(shè)在 上給定了面力分 量 , ,xyyyyxxxlmpmlp).( ),(sfsfyxs（在A中）。（c）應(yīng)力邊界條件第二章 平面問題的基本理論將此三角形移到邊界上，并使斜面與

20、邊界面重合，則得應(yīng)力邊界條件)( . ),()(),()(dssflmsfmlysxyyxsyxx上）（在第二章 平面問題的基本理論 它是邊界上微分體的靜力平衡條件；說明應(yīng)力邊界條件的說明： 式（c）在A中每一點均成立，而 式（d）只能在邊界 s上成立； 它是函數(shù)方程，要求在邊界上每一點s 上均滿足，這是精確的條件；第二章 平面問題的基本理論 式（d）中， 按應(yīng)力符號規(guī)定， 、 按面力符號規(guī)定；yfxf 位移、應(yīng)力邊界條件均為每個邊界兩 個，分別表示 、 向的條件；, 0yxffxy說明xyyx, , 所有邊界均應(yīng)滿足，無面力的邊界 （自由邊） 也必須滿足。第二章 平面問題的基本理論若x=a為

21、正x 面，l = 1, m = 0, 則式(d)成為)( .)( ,)(effyxyxaxxax 當(dāng)邊界面為坐標(biāo)面時當(dāng)邊界面為坐標(biāo)面時，坐標(biāo)面yxbaxfyfxxfyfxyxxy第二章 平面問題的基本理論若x=-b為負x 面，l = -1, m = 0 , 則式(d)成為)( )( ,)(fffyxyxbxxbx。yxbaxfyfxxfyfxyxxy第二章 平面問題的基本理論 應(yīng)力邊界條件的兩種表達式：應(yīng)力邊界條件的兩種表達式：兩種表達式 在同一邊界面上，應(yīng)力分量應(yīng)等于對 應(yīng)的面力分量（數(shù)值相等，方向一 致）。即在同一邊界面上,應(yīng)力數(shù)值應(yīng) 等于面力數(shù)值(給定),應(yīng)力方向應(yīng)同面 力方向(給定)。

22、 在邊界點取出微分體，考慮其平衡條 件，得式（d）或（e）、（f ）；第二章 平面問題的基本理論例如：在斜面上， 在坐標(biāo)面上，由于應(yīng)力與面力的符號規(guī)定不同，故式（e）、（f ）有區(qū)別。.)( ,)(yyxsxfpfps兩種表達式第二章 平面問題的基本理論lh/2h/2qyxoyyxxyyyxx例1 列出邊界條件：1q第二章 平面問題的基本理論.)( 0,)(0.)( )(0.)( 0,)(0.)( 0)(01q,2hy,lxq,2hy,lxv,u,x2hyyx2hyy2hyyx2hyylxxylxx0 x0 x 邊邊界界邊邊界界邊邊界界邊邊界界lh/2h/2qyxo第二章 平面問題的基本理論y

23、xoqqqqbbaa例2 列出邊界條件：xyyyxx第二章 平面問題的基本理論顯然，邊界條件要求在 上， 也成拋物線分布。0.)( ,)()(0.)( 0,)(2baxxyaxxbyyxyybyqaxby邊界：邊界：a,x x第二章 平面問題的基本理論 混合邊界條件：混合邊界條件： 部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應(yīng)力邊界條件； 同一邊界上，一個為位移邊界條件，另一個為應(yīng)力邊界條件?；旌线吔鐥l件第二章 平面問題的基本理論例3列出 的邊界條件：ax . 0)(, 0)(,axxyaxuaxyxoa第二章 平面問題的基本理論思考題 oxy(c)(a)(d)(b)qxnyABAxyoAMy

24、g1、若在斜邊界面上，受有常量的法向分布壓力 作用，試列出應(yīng)力邊界條件， (思考題圖中（a）)。q第二章 平面問題的基本理論qyoxy(c)(a)(d)(b)qxnyABAxyoA2、證明在無面力作用的0A邊上,y不等于零（思考題圖中(b)）。yg第二章 平面問題的基本理論oxy(c)(a)(d)(b)qxnyABAxyoAy3、證明在凸角A點附近，當(dāng)無面力作用時，其應(yīng)力為零（思考題圖中 (c)）。g第二章 平面問題的基本理論xyyx, ,oxy(c)(a)(d)(b)qxnyABAxyoAgy4、試導(dǎo)出在無面力作用時，AB邊界上的y、 y、xy 之間的關(guān)系。 （思考題圖中（d）。5、試比較平

25、面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的基本方程和邊界條件的異同，并進一步說明它們的解答的異同。第二章 平面問題的基本理論 彈力問題是微分方程的邊值問題。應(yīng)力、位移等未知函數(shù)必須滿足A內(nèi)的方程和S上的邊界條件。主要的困難在于難以滿足邊界條件。 圣維南原理可用于簡化小邊界上的應(yīng)力邊界條件。 27圣維南原理及其應(yīng)用第二章 平面問題的基本理論 圣維南原理：圣維南原理： 如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對同一點的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變，但遠處所受的影響可以不計。圣維南原理第二章 平面問題的基本理論圣維南原理1、圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界

26、（小邊界，次要邊界或局部邊界）； 圣維南原理的說明：4、遠處 指“近處”之外。3、近處 指面力變換范圍的一、二倍 的局部區(qū)域；2、靜力等效 指兩者主矢量相同，對 同一點主矩也相同；第二章 平面問題的基本理論圣維南原理 圣維南原理表明，在小邊界上進行面力的靜力等效變換后，只影響近處（局部區(qū)域）的應(yīng)力，對絕大部分彈性體區(qū)域的應(yīng)力沒有明顯影響。 圣維南原理推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠處的應(yīng)力可以不計。第二章 平面問題的基本理論例1比較下列問題的應(yīng)力解答：hFF/2 F/2F/2F/2FF/b346542132

27、1 )(bh 6543214321 b第二章 平面問題的基本理論例2比較下列問題的應(yīng)力解答：推廣0 0 0 034112 0 02 01第二章 平面問題的基本理論 圣維南原理的應(yīng)用：圣維南原理的應(yīng)用：1、推廣解答的應(yīng)用；2、簡化小邊界上的邊界條件。應(yīng)用第二章 平面問題的基本理論lx 圣維南原理在小邊界上的應(yīng)用：圣維南原理在小邊界上的應(yīng)用： 如圖，考慮 小邊界， 精確的應(yīng)力邊界條件第二章 平面問題的基本理論上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點，應(yīng)力與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。)(),(),(),(yfyxyfyxylxxyxlxx(a)在同一邊界 上，lx 第二章 平面問題的基本理論圣

28、維南原理的應(yīng)用積分的應(yīng)力邊界條件在小邊界x=l上，用下列條件代替式(a)的條件： 在同一邊界 x=l 上， 應(yīng)力的主矢量 = = 面力的主矢量（給定) 應(yīng)力的主矩(M)= = 面力的主矩（給定）),(yxFF數(shù)值相等方向一致(b)第二章 平面問題的基本理論 右端面力的主矢量、主矩的數(shù)值及方向，均已給定； 左端應(yīng)力的主矢量、主矩的數(shù)值及方向，應(yīng)與面力相同，并按應(yīng)力的方向規(guī)定確定正負號。第二章 平面問題的基本理論)( ).( 1d)(1d)(),(1d)(1d)(),( 1d)(1d)(2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/cFyyfyMyyyfyyFyyfyShhylxhhxyhhxl

29、xhhxNhhxlxhhx具體列出三個積分的條件：第二章 平面問題的基本理論即： 應(yīng)力的主矢量、主矩的數(shù)值 =面力的主矢量、主矩的數(shù)值； 應(yīng)力的主矢量、主矩的方向 =面力的主矢量、主矩的方向。 式中應(yīng)力主矢量、主矩的正方向應(yīng)力主矢量、主矩的正方向的正負號的確定： 應(yīng)力的主矢量的正方向，即應(yīng)力的正方向， 應(yīng)力的主矩的正方向，即（正應(yīng)力） （正的矩臂）的方向。第二章 平面問題的基本理論 討論：討論： 1.如果只給出面力的主矢量、主矩如圖，則式(c)右邊直接代入面力的主矢量、主矩； 2.在負 x 面， ，由于應(yīng)力、面力的符號規(guī)定不同，應(yīng)在式(c)中右端取負號； 3.積分的應(yīng)力邊界條件(b)或(c)雖

30、是近似的，但只用于小邊界，不影響整體解答的精度。lx第二章 平面問題的基本理論 精確的應(yīng)力邊界條件與積分的應(yīng)力邊界條件精確的應(yīng)力邊界條件與積分的應(yīng)力邊界條件方程個數(shù)方程個數(shù) 2 3方程性質(zhì)方程性質(zhì) 函數(shù)方程（難滿足）函數(shù)方程（難滿足） 代數(shù)方程（易滿足）代數(shù)方程（易滿足）精確性精確性 精確精確 近似近似適用邊界適用邊界 大、小邊界大、小邊界 小邊界小邊界比較：比較：第二章 平面問題的基本理論思考題思考題1、為什么在大邊界（主要邊界）上，不能 應(yīng)用 圣維南原理？2、試列出負 面上積分的應(yīng)力邊界條件， 設(shè)有各種面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。 x第二章 平面問題的基本理論 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)

31、變問題，除物理方程的彈性系數(shù)須變換外，其余完全相同。因此，兩者的解答相似,只須將 進行變換。以下討論平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題。 1.平面問題的基本方程及邊界條件,E平面問題2 28 8按位移求解平面問題按位移求解平面問題第二章 平面問題的基本理論 平面應(yīng)力問題)(.0, 0Afxyfyxyxyyxyxx 平面域平面域A內(nèi)的基本方程內(nèi)的基本方程: :平衡微分方程第二章 平面問題的基本理論)(. , ,Ayuxvyvxuxyyx)( .)1 (2),(1),(1AEEExyxyxyyyxx幾何方程物理方程第二章 平面問題的基本理論 S上邊界條件上邊界條件:應(yīng)力邊界條件 位移邊界條件 8個未知函數(shù)

32、必須滿足上述方程和邊界條件。（在 上）（在 上）.)(,)(.)(,)(vvuuflmfmlssysxyyxsyxxs),(vuxyyxxyyxus第二章 平面問題的基本理論 按位移求解（位移法）取 ， 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去形變和應(yīng)力，導(dǎo)出只含 ， 的方程和邊界條件，從而求出 、 ， 再求形變和應(yīng)力。 2.解法消元法 uvu vuv解法第二章 平面問題的基本理論 按應(yīng)力求解（應(yīng)力法）取 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和形變，導(dǎo)出只含應(yīng)力的方程和邊界條件，從而求出應(yīng)力；再求形變和位移。xyyx, 這是彈力問題的兩種基本解法。第二章 平面問題的基本理論 3. 按位移求

33、解按位移求解u vu vu vu v 將其他未知函數(shù)用 ，表示： 形變用 ，表示幾何方程; 應(yīng)力先用形變來表示（物理方程）， 再代入幾何方程，用 ，表示。 取 ，為基本未知函數(shù)；按位移求解第二章 平面問題的基本理論)().()1 (2)1 (2),(1)(1),(1)(12222ayuxvEExuyvEEyvxuEExyxyxyyyxx第二章 平面問題的基本理論 在A中導(dǎo)出求 ，的基本方程將式(a) 代入平衡微分方程， 上式是用 ，表示的平衡微分方程。)( )(.0)2121(1, 0)2121(1222222222222bAfyxuxvyvEfyxvyuxuEyxu vu v第二章 平面問題

34、的基本理論 在S上的邊界條件位移邊界條件 （在 上）(d)（在 上）(c).)(,)(vvuussus.)(21)(1,)(21)(122ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulEs應(yīng)力邊界條件將式(a)代入應(yīng)力邊界條件，第二章 平面問題的基本理論 歸納：歸納： 按位移求解時， 、 必須滿足A內(nèi)的方程(b)和邊界條件(c)、(d)。 式(b)、(c)、(d)是求解 、 的條件，也是校核 、 是否正確的全部條件。u vuvu v第二章 平面問題的基本理論 按位移求解（位移法）的優(yōu)缺點： 適用性廣可適用于任何邊界條件。 求函數(shù)式解答困難，但在近似解法（變分法、差分法、有限單元法）中有

35、著廣泛的應(yīng)用。第二章 平面問題的基本理論例1 考慮兩端固定的一維桿件。圖(a)，只受重力作用， 。試用位移法求解。gffyx , 0 xoyloyxgg(a) (b)第二章 平面問題的基本理論解：為了簡化，設(shè)位移 按位移求解，位移應(yīng)滿足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然滿足，第二式成為, 0).(, 0yvvu.22Egyvxoyloyxgg第二章 平面問題的基本理論解出 均屬于位移邊界條件，代入 ， .22BAyyEgvly, 0, 0)(, 0)(0lyyvv.2;0lEgABv第二章 平面問題的基本理論).2(2),2(2),(22ylgylEgylyEgvyy在 處，2

36、ly. 0y代入 ，并求出形變和應(yīng)力，v第二章 平面問題的基本理論思考題試用位移法求解圖(b)的位移和應(yīng)力。第二章 平面問題的基本理論 1.按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題（1）取 為基本未知函數(shù)；（2）其他未知函數(shù)用應(yīng)力來表示: 相容方程相容方程基本方程xyyx,29按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 第二章 平面問題的基本理論 形變用應(yīng)力表示（物理方程）。)0,(usss按應(yīng)力求解 位移用形變應(yīng)力表示，須通過積分，不僅表達式較復(fù)雜，而且包含積分帶來的未知項，因此位移邊界條件用應(yīng)力分量來表示時既復(fù)雜又難以求解。故在按應(yīng)力求解時，只考慮全部為應(yīng)力邊界條件的問題,即 。 第二章 平面問題的基本理論 在A

37、內(nèi)求解應(yīng)力的方程 平衡微分方程 （2個）。 (a).22222yxxyxyyxvu(b) 從幾何方程中消去位移 、 ，得相容方相容方程（形變協(xié)調(diào)條件）程（形變協(xié)調(diào)條件）： 補充方程從幾何方程，物理方程中消去位移和形變得出 :第二章 平面問題的基本理論 代入物理方程，消去形變，并應(yīng)用平衡微分方程進行簡化，便得用應(yīng)力表示的相容方程 ： )(),)(1 ()(2cyfxfyxyx.22222yx其中 (4) 應(yīng)力邊界條件假定全部邊界上均為 應(yīng)力邊界條件 。)0,(usss第二章 平面問題的基本理論（1）A內(nèi)的平衡微分方程；（2）A內(nèi)的相容方程； 歸納歸納：xyyx, 按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題 ，應(yīng)力

38、必須滿足下列條件：)(.0)(.0bfxyafyxyxyyxyxx)(),)(1 ()(2cyfxfyxyx第二章 平面問題的基本理論（3）邊界 上的應(yīng)力邊界條件；（4）對于多連體，還須滿足位移的單值條件（見第四章）。ss （1）-（4）也是校核應(yīng)力分量是否正確的全部條件。第二章 平面問題的基本理論 2.形變協(xié)調(diào)條件（相容方程）的物理意義形變協(xié)調(diào)對應(yīng)的位移存在位移必然連續(xù)；形變不協(xié)調(diào)對應(yīng)的位移不存在不是物體實際存在的形變微分體變形后不保持連續(xù)。 形變協(xié)調(diào)條件是與形變對應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。 形變協(xié)調(diào)條件是位移連續(xù)性的必然結(jié)果。連續(xù)體位移連續(xù)幾何方程形變協(xié)調(diào)條件。第二章 平面問題的基本理

39、論點共點（連續(xù)），變形后三連桿在 點共點，則三連桿的應(yīng)變必須滿足一定的協(xié)調(diào)條件。例1 三連桿系統(tǒng)，由于物體是連續(xù)的，變形前三連桿在 DD FDD第二章 平面問題的基本理論思考題1.試比較按位移求解的方法和按應(yīng)力求解的 方法，并與結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法和力法作 比較。2.若 是否可能 成為彈性體中的形變？3.若 是否 可能為彈性體中的應(yīng)力？,)(,22xybabxayxyyx, 0, 022xyyxyxbyaxff第二章 平面問題的基本理論 1.常體力情況下按應(yīng)力求解的條件0)(2yx0, 0yxyyxyxxfxyfyx應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)(A) (b) 平衡微分方程 相容方程 (A) (a)按應(yīng)力函數(shù)

40、求解2 21010常體力情況下的簡化常體力情況下的簡化第二章 平面問題的基本理論 應(yīng)力邊界條件 多連體中的位移單值條件。 (d)ss .)( ,)(ysxyyxsyxxflmfml(S) (c)0,(usss第二章 平面問題的基本理論 在 - - 條件下求解 的全部條件(a)、(b)、(c)中均不包含彈性常數(shù)，故 與彈性常數(shù)無關(guān)。 2.在常體力,單連體,全部為應(yīng)力邊界條件（ ）下的應(yīng)力 特征：ss xyyx,xyyx,xyyx,第二章 平面問題的基本理論不同材料的應(yīng)力( )的理論解相 同，用試驗方法求應(yīng)力時，也可以用不 同的材料來代替。xyyx, 結(jié)論結(jié)論：兩類平面問題的應(yīng)力解 相同，試 驗時

41、可用平面應(yīng)力的模型代替平面應(yīng)變的 模型。 xyyx,第二章 平面問題的基本理論 3.常體力下按應(yīng)力求解的簡化)( .0 , ,eyfxfxyyyxx)( . , ,22222fyxxyxyyx 對應(yīng)的齊次微分方程的通解，艾里已求出為 非齊次微分方程(b)的任一特解，如?。?）常體力下平衡微分方程的全解是： 特解+ +通解。第二章 平面問題的基本理論. yxy,fxx,fy2xyy22yx22x滿足平衡微分方程的全解為:(g)第二章 平面問題的基本理論如果，則A、B均可用一個函數(shù)表示，即說明：說明：).()(xfyyfx),()(ByAx. ,xfByfAa.導(dǎo)出艾里（Airy）應(yīng)力函數(shù)，是應(yīng)用

42、偏導(dǎo)數(shù)的相容性，即第二章 平面問題的基本理論b.導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù) 的過程，也就證明了 的存在性，故可以用各種方法去求解 。),(yx ),(xyyxd. 由 再去求應(yīng)力（式（g）,必然滿足平衡微分方程，故不必再進行校核。c. 仍然是未知的。但已將按應(yīng)力 求解轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻?yīng)力函數(shù) 求解，從三個未知函數(shù)減少至一個未知函數(shù) 。第二章 平面問題的基本理論（2）應(yīng)力應(yīng)滿足相容方程（a），將式 （g）代入（a），得 （3）若全部為應(yīng)力邊界條 （ ）， 則應(yīng)力邊界條件也可用 表示。)( .0422hss 第二章 平面問題的基本理論歸納：歸納：（1）A內(nèi)相容方程（h）；（2） 上的應(yīng)力邊界條件；（3）多連體中的位移單

43、值條件連體。ss 求出 后，可由式（g）求得應(yīng)力。 在常體力下求解平面問題 ，可轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻?yīng)力函數(shù)按應(yīng)力函數(shù) 求解求解， 應(yīng)滿足:第二章 平面問題的基本理論1、在常體力、單連體和全部為應(yīng)力邊界條件條件下，對于不同材料和兩類平面問題的、 和均相同。試問其余的應(yīng)力分量、應(yīng)變和位移是否相同？xyxy思考題第二章 平面問題的基本理論2、對于按位移求解、按應(yīng)力（ 、 、 ）求解和按應(yīng)力函數(shù) 求解的方法，試比較其未知函數(shù)，應(yīng)滿足的方程和條件，求解的難易程度及局限性。xyxy第二章 平面問題的基本理論 1例題2例題3例題4例題7例題5例題6例題第二章 平面問題的基本理論例1 試列出圖中的邊界條件。SFMFyx

44、l h/2 h/2q2)(lxq1q) 1,(hl(a)第二章 平面問題的基本理論解: (a)在主要邊界 應(yīng)精確滿足下列邊界條件：. , 0 , 2/; 0 ,)( , 2/12qhylxqhyxyyxyy2/hy第二章 平面問題的基本理論在小邊界x = 0應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分的近似邊界條件，當(dāng)板厚 時，1。sxhhxyxhhxxhhxFyMyyFyd)(,d)(,d)(02/2/02/2/02/2/第二章 平面問題的基本理論在小邊界x = l，當(dāng)平衡微分方程和其它各邊界條件都已滿足的條件下，三個積分的邊界條件必然滿足，可以不必校核。第二章 平面問題的基本理論(b) 在主要邊界x= 0

45、, b，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：。qlxgyxxyxxyx , 0 ; 0 , 0030FOxyqh(b)gy b/2 b/2) 1,(bh第二章 平面問題的基本理論 在小邊界y = 0，列出三個積分的邊界條件，當(dāng)板厚 時，1。2d)(,43d)(,23d)(000000FxbFxxFxybyxybyyby第二章 平面問題的基本理論 注意在列力矩的條件時兩邊均是對原點o 的力矩來計算的。 對于y = h的小邊界可以不必校核。第二章 平面問題的基本理論例2 厚度 的懸臂梁，受一端的集中力F的作 用。已求得其位移的解答是 試檢查此組位移是否是圖示問題的解答。1。EIFlEIFxlEIFxEIFxy

46、vyIGFhEIFlIGFyEIFyEIyFxu3262,)82(662323222332第二章 平面問題的基本理論 h/2 h/2AxylFO) 1,(hl第二章 平面問題的基本理論解： 此組位移解答若為圖示問題的解答，則應(yīng)滿足下列條件:(1) 區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程 (書中式218）;第二章 平面問題的基本理論（2）應(yīng)力邊界條件（書中式219），在 所有受面力的邊界 上。其中在小邊 界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個積 分的邊界條件來代替。（3）位移邊界條件（書中式214）。本 題在x = l的小邊界上，已考慮利用圣 維南原理，使三個積分的應(yīng)力邊界條 件已經(jīng)滿足。S第二章 平面問題的基

47、本理論 因此，只需校核下列三個剛體的約束條件： A點（ x = l及y = 0），.0),(xuvu 讀者可校核這組位移是否滿足上述條件，如滿足，則是該問題之解。第二章 平面問題的基本理論例3 試考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在。CxycCxyyBxAybDyCByAxyaxyyxxyyxxyyx , 0 )(; , , )(; , , )(2223第二章 平面問題的基本理論解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變 相容條件，即 （a）相容； （b）須滿足B = 0, 2A=C ； （c）不相容。只有C = 0，則.22222yxxyxyyx第二章 平面問題的基本理論例4 在無體力情況下，試

48、考慮下列應(yīng)力分 量是否可能在彈性體中存在：; ),( ),( )(; , , )(2222CxyyxByxAbFyExDyCxByAxaxyyxxyyx第二章 平面問題的基本理論解：彈性體中的應(yīng)力，在單連體中必須 滿足： （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）應(yīng)力邊界條件（當(dāng) ）。SS第二章 平面問題的基本理論（a）此組應(yīng)力滿足相容方程。為了滿足平 衡微分方程，必須A=-F, D=-E 此外，還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。（b）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足 A + B = 0。 為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須 滿足 A = B =-C/2。 上兩式是矛盾的，因此此組應(yīng)力分量不可能存在。第

49、二章 平面問題的基本理論例5 若 是平面調(diào)和函數(shù)，即 滿足拉普 拉斯方程 試證明函數(shù) 都滿足重調(diào)和方程， 因 而都可以作為應(yīng)力函數(shù)使用。),( yxf. 02 ffyxyfxff) ( , , ,22),( yxf04第二章 平面問題的基本理論解： 上述函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)，均能滿足相 容方程（重調(diào)和方程），. 04第二章 平面問題的基本理論例6 圖中的梁，受到如圖所示的荷載的作用，試用下列應(yīng)力表達式求解其應(yīng)力，。xChqxyCyCyhqyyxhqxyy2),46(a)第二章 平面問題的基本理論202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqql h/2 h/2第

50、二章 平面問題的基本理論解：本題是按應(yīng)力求解的，在應(yīng)力法中，應(yīng)力分量在單連體中必須滿足（1）平衡微分方程；（2）相容方程 ;（3）應(yīng)力邊界條件（在 上）。 將應(yīng)力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，兩者都能滿足。0)(2yxSS第二章 平面問題的基本理論再校核邊界條件，在主要邊界上，足。將得即代入后滿C，C , 0 ,2.2 得,2)8(2即 , ,2 ; 23 , 0)46( , 0 ,221221331123yyxyhyqCqChChhqqhyhqCChhqxhy第二章 平面問題的基本理論得到應(yīng)力公式，代入，將 ),( 21aCC)() 14(23),22321(),23(2223322

51、3bhyhqxhyhyqyxhqyxyyx。第二章 平面問題的基本理論再將式（b）表達式代入次要邊界條件， . 20d , 0d ,4 , 0 , 0202 /2 /-02 /2 /-33qhyyyhyqxxxhhxxhhxxy）（而主矩為）（其主矢量為第二章 平面問題的基本理論).202(d , 0 ),46 ( .d ),14(23 , 222 /2 /-32302 /2 /-22qhqlyyyylhqqlyhyhqllxlxxhhxxxyhhxy）（而主矩為其主矢量為）（其主矢量為第二章 平面問題的基本理論 由此可見，在次要邊界上的積分邊界條件均能滿足。因此，式（b）是圖示問題之解。第二

52、章 平面問題的基本理論 q(x)xy) 1,(hllo h/2 h/2例7 在材料力學(xué)中，當(dāng)矩形截面梁（厚度 ）受任意的橫向荷載q(x)作用而彎曲時，彎曲應(yīng)力公式為1.)(yIxMx第二章 平面問題的基本理論（a）試由平衡微分方程（不計體力）導(dǎo)出切應(yīng)力 和擠壓應(yīng)力 的公式。yxy （提示：注意關(guān)系式積分后得出的任意函數(shù)，可由梁的上下邊界條件來確定。）qxFFxMssdd dd第二章 平面問題的基本理論（b）當(dāng)q為常數(shù)時，試檢驗應(yīng)力分量是否 滿足相容方程，試在 中加上一項對平衡沒有影響的函數(shù)f (y)，再由相容方程確定f (y),并校核梁的左右邊界條件。x第二章 平面問題的基本理論解：本題引用材

53、料力學(xué)的彎應(yīng)力 的解，作為初步的應(yīng)力的假設(shè)，再按應(yīng)力法求解。應(yīng)力分量必須滿足 （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）應(yīng)力邊界條件（在 上）。xSS 第二章 平面問題的基本理論（a）不計體力，將 代入平衡微 分方程第一式， 得:yIxMx)(, 0yxyxx.ddIyFIyxMysyx兩邊對y積分，得),(212xfIyFsyx第二章 平面問題的基本理論再由上下的邊界條件 , 0)(2/ hyyx得代入得 , ,8 )( 21yxsIhFxf)( ).28 , 22cyhSISFsyx（其中將 代入平衡微分方程的第二式,yx, 0 xyxyy第二章 平面問題的基本理論對y積分，得 ).2

54、8()28(12222yhIqyhIdxdFysy得).()618(232xfyyhIqy由上下的邊界條件，。同樣得得2)( ,)(;224)( , 0)(22/322/qxfqqhIqxf hyyhyy第二章 平面問題的基本理論由此得)().22321()61824(33323dhyhyqyyhhIqy 上述解答 及式(c),(d)已經(jīng)滿足平衡微分方程及 的邊界條件；但一般不滿足相容方程，且尚未校核左右端的小邊界條件。x2hy第二章 平面問題的基本理論（b）若q為常數(shù)，則 ，得 代入相容方程，為了滿足相容方程，)(2222lxlxqlM).22321( ,)(6332232hyhyqylxl

55、xhqlyx. 024 )(32yhqyx ),()(62232yfylxlxhqlx令第二章 平面問題的基本理論 此式 和式（c）、（d）的一組應(yīng)力分量仍然滿足平衡微分方程；再代入相容方程，得積分得x, 0d)(d24)(2232yyfyhqyx.4)(33BAyyhqyf第二章 平面問題的基本理論由次要邊界條件。得滿足。得，hqAyyyyBylxxhhxhhxlxhhx53 , 0d)( , 0d)(; 0 , 0d)(02/2/02/2/2/2/由此得)( ,534)(6332232eyhqyhqylxlxhqlx第二章 平面問題的基本理論 讀者可檢測，式（c）、（d）、（e）的一組應(yīng)力

56、已滿足無體力，且q為常數(shù)情況下的平衡微分方程，相容方程，和應(yīng)力邊界條件（在x =0, l小邊界上的剪力即為 的主矢量）， 因而是該問題之解。lxxy, 0)(第二章 平面問題的基本理論21 是22 是23 按習(xí)題21分析。24 按習(xí)題22分析。25 在 的條件中，將出現(xiàn)二、 三階微量。當(dāng)略去三階微量后，得 出的切應(yīng)力互等定理完全相同。0M第二章 習(xí)題的提示與答案第二章 平面問題的基本理論26 同上題。在平面問題中，考慮到二 階微量的精度時，所得出的平衡微 分方程都相同。其區(qū)別只是在三階 微量（即更高階微量）上，可以略 去不計。27 應(yīng)用的基本假定是：平衡微分方程 和幾何方程連續(xù)性和小變形，物

57、理方程理想彈性體。第二章 平面問題的基本理論28 在大邊界上，應(yīng)分別列出兩個精確 的邊界條件；在小邊界（即次要邊 界）上，按照圣維南原理可列出三 個積分的近似邊界條件來代替。第二章 平面問題的基本理論29 在小邊界OA邊上，對于圖215 （a）、（b）問題的三個積分邊界 條件相同，因此，這兩個問題為靜 力等效。210 參見本章小結(jié)。211 參見本章小結(jié)。212 參見本章小結(jié)。第二章 平面問題的基本理論213 注意按應(yīng)力求解時，在單連體中應(yīng)力分量 必須滿足 （1）平衡微分方程， （2）相容方程， （3）應(yīng)力邊界條件（假設(shè) )。 xyyx , ,SS 所以（a）和（b）問題中的應(yīng)力雖然滿足了平衡微

58、分方程和應(yīng)力邊界條件，但都不滿足相容方程，因而不是該兩個問題之解。第二章 平面問題的基本理論214 見教科書。215 見教科書。216 見教科書。217 取 它們均滿足平衡微分方程，相容方程及x=0 和 的應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答。).4(6 ,12 , 0 2233yhhFbIQSxyhFyIMxyxy2hy第二章 平面問題的基本理論218 見教科書。219 提示：求出任一點的位移分量u 和 v，及轉(zhuǎn)動量 ，再令x=y=0,便可得出。第二章 平面問題的基本理論 （一）本章學(xué)習(xí)要求及重點 本章系統(tǒng)地介紹了平面問題的基本理論：基本方程和邊界條件，及兩種基本解法。這些內(nèi)容在彈性力

59、學(xué)中具有典型性和代表性。因此，學(xué)好平面問題的基本理論，就可以方便地學(xué)習(xí)其他各章。為此，我們要求學(xué)生深入地理解本章的內(nèi)容，掌握好以下幾點：第二章 教學(xué)參考資料第二章 平面問題的基本理論1、兩類平面問題的定義。2、在平面區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方 程和物理方程的建立。3、在平面邊界上的位移和應(yīng)力邊界條件的 建立，及圣維南原理的應(yīng)用。4、按位移求解方法和按應(yīng)力求解方法。5、關(guān)于一點應(yīng)力狀態(tài)的分析。第二章 平面問題的基本理論 為了牢固地理解和掌握平面問題的基本理論，要求學(xué)生做到:（1）清楚地了解上述有關(guān)問題的提出和分 析的方法；（2）自己動手推導(dǎo)公式，以加深理解；（3）對上述內(nèi)容進行總結(jié)，掌握其要點

60、。第二章 平面問題的基本理論 （二）本章內(nèi)容提要1、平面問題包括平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。它們的特征是： 平面應(yīng)力問題，（1） 只有平面應(yīng)力 存在；（2）應(yīng)力和應(yīng)變均只是x,y的函數(shù)。, 0zyzxzxyyx , ,第二章 平面問題的基本理論 平面應(yīng)變問題，（1） 只有平面應(yīng)變 存在；（2） 應(yīng)力、應(yīng)變和位移只是x,y的函數(shù)。, 0zyzxzxyyx , ,第二章 平面問題的基本理論 平面應(yīng)力問題對應(yīng)的彈性體通常為等厚度薄板，而平面應(yīng)變問題對應(yīng)的彈性體通常為常截面長柱體。這兩類平面問題的平衡微分方程、幾何方程、應(yīng)力和位移邊界條件都完全相同，只有物理方程的系數(shù)不同。第二章 平面問題的基本理論