1、第1章 誤差 計(jì)算方法計(jì)算方法董麗麗董麗麗大連海事大學(xué)信息工程學(xué)院 高等學(xué)校工科電子類教材高等學(xué)校工科電子類教材第1章 誤差 計(jì)算方法28學(xué)時：講課學(xué)時：講課22學(xué)時、實(shí)驗(yàn)學(xué)時、實(shí)驗(yàn)2學(xué)時、學(xué)時、 考試考試 2 學(xué)時、放假學(xué)時、放假2學(xué)時學(xué)時考試：考試：70%實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)：20%平時課堂作業(yè)：平時課堂作業(yè)：10%第1章 誤差 計(jì)算方法 第一章第一章 誤差誤差 （2） 第二章第二章 一元非線性方程的解法一元非線性方程的解法 （4） 第三章第三章 線性代數(shù)計(jì)算方法線性代數(shù)計(jì)算方法 （6） 第四章第四章 插值法插值法 （4） 第五章第五章 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分 （2） 第六章第六章 常微分方程數(shù)值解法常微

2、分方程數(shù)值解法 （4）目目 錄錄第1章 誤差 計(jì)算方法第第1章章 誤差誤差1 計(jì)算方法的概念、意義及特點(diǎn)計(jì)算方法的概念、意義及特點(diǎn)2 誤差誤差3 算術(shù)運(yùn)算結(jié)果的誤差算術(shù)運(yùn)算結(jié)果的誤差4 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性第1章 誤差 計(jì)算方法什么是計(jì)算方法？用用計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)求求數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題的的數(shù)值解數(shù)值解的理論和方法的理論和方法工具工具對象對象目標(biāo)目標(biāo)計(jì)算機(jī)的能力：計(jì)算機(jī)的能力：加減乘除算術(shù)運(yùn)算加減乘除算術(shù)運(yùn)算記憶、判斷、交換、存儲記憶、判斷、交換、存儲科學(xué)研究科學(xué)研究工程技術(shù)工程技術(shù) 1 計(jì)算方法的概念、意義及特點(diǎn)計(jì)算方法的概念、意義及特點(diǎn)第1章 誤差 計(jì)算方法 理論分析、科學(xué)實(shí)驗(yàn)和科學(xué)計(jì)

3、算理論分析、科學(xué)實(shí)驗(yàn)和科學(xué)計(jì)算(計(jì)算的方法計(jì)算的方法)是現(xiàn)代科學(xué)是現(xiàn)代科學(xué)的三個組成部分的三個組成部分天氣預(yù)報(bào)天氣預(yù)報(bào) 航天航空航天航空地殼運(yùn)動地殼運(yùn)動 地質(zhì)勘探地質(zhì)勘探汽車制造汽車制造 橋梁設(shè)計(jì)橋梁設(shè)計(jì)第1章 誤差 計(jì)算方法計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的步驟計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的步驟建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型選擇數(shù)值方法選擇數(shù)值方法編寫程序編寫程序上機(jī)計(jì)算上機(jī)計(jì)算第1章 誤差 計(jì)算方法數(shù)學(xué)模型l 是通過科學(xué)實(shí)驗(yàn)或者觀察分析一系列數(shù)據(jù)是通過科學(xué)實(shí)驗(yàn)或者觀察分析一系列數(shù)據(jù)后，用數(shù)學(xué)作為工具近似地描述客觀事物的一后，用數(shù)學(xué)作為工具近似地描述客觀事物的一種數(shù)學(xué)表達(dá)式。種數(shù)學(xué)表達(dá)式。l 在數(shù)學(xué)模型中，往往包含了若干

4、參量如物在數(shù)學(xué)模型中，往往包含了若干參量如物體比重、阻力系數(shù)、熱交換系數(shù)等，這些物理體比重、阻力系數(shù)、熱交換系數(shù)等，這些物理參數(shù)通常由實(shí)驗(yàn)儀器測得。參數(shù)通常由實(shí)驗(yàn)儀器測得。第1章 誤差 計(jì)算方法選擇數(shù)值方法-1 在建立了數(shù)學(xué)模型之后，并不能立刻用計(jì)算機(jī)在建立了數(shù)學(xué)模型之后，并不能立刻用計(jì)算機(jī)直接求解，還必須尋找用計(jì)算機(jī)計(jì)算這些數(shù)學(xué)模型直接求解，還必須尋找用計(jì)算機(jī)計(jì)算這些數(shù)學(xué)模型的數(shù)值方法，即將數(shù)學(xué)模型中的連續(xù)變量離散化，的數(shù)值方法，即將數(shù)學(xué)模型中的連續(xù)變量離散化，轉(zhuǎn)化成一系列相應(yīng)的轉(zhuǎn)化成一系列相應(yīng)的算法算法步驟，編制出正確的計(jì)算步驟，編制出正確的計(jì)算程序，再上機(jī)計(jì)算得出滿意的數(shù)值結(jié)果。程序，再

5、上機(jī)計(jì)算得出滿意的數(shù)值結(jié)果。第1章 誤差 計(jì)算方法選擇數(shù)值方法-2算法：從給定的已知量出發(fā)，經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及規(guī)算法：從給定的已知量出發(fā)，經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及規(guī) 定的運(yùn)算順序，最后求出未知量的數(shù)值解，這樣定的運(yùn)算順序，最后求出未知量的數(shù)值解，這樣 構(gòu)成的完整計(jì)算步驟稱為算法。構(gòu)成的完整計(jì)算步驟稱為算法。評價算法的標(biāo)準(zhǔn)：評價算法的標(biāo)準(zhǔn)： 計(jì)算速度和計(jì)算精度，此外，還有計(jì)算存貯量等。計(jì)算速度和計(jì)算精度，此外，還有計(jì)算存貯量等。第1章 誤差 計(jì)算方法1: 構(gòu)造計(jì)算機(jī)能用的算法構(gòu)造計(jì)算機(jī)能用的算法(1) 數(shù)值代數(shù)求解數(shù)值代數(shù)求解: 求解線性方程組的解法（分直接方法和求解線性方程組的解法（分直接方法和

6、間接方法），求矩陣的特征值與特征向量。間接方法），求矩陣的特征值與特征向量。(2) 數(shù)值逼近：插值和數(shù)值逼近，數(shù)值微分和數(shù)值積分。數(shù)值逼近：插值和數(shù)值逼近，數(shù)值微分和數(shù)值積分。(3) 方程求解：非線性方程、常微分方程、偏微分方程數(shù)值方程求解：非線性方程、常微分方程、偏微分方程數(shù)值解法。解法。學(xué)習(xí)內(nèi)容第1章 誤差 計(jì)算方法2:研究算法的計(jì)算速度、計(jì)算精度和存儲量等研究算法的計(jì)算速度、計(jì)算精度和存儲量等 -怎樣計(jì)算才能既快又準(zhǔn)又省3:數(shù)值穩(wěn)定性數(shù)值穩(wěn)定性-怎樣計(jì)算才可靠?學(xué)習(xí)內(nèi)容第1章 誤差 計(jì)算方法2、計(jì)算速度和存儲量、計(jì)算速度和存儲量4320.6250.4251.2151.9122.1296x

7、xxx直接計(jì)算需要多少次乘法和加法？(0.6250.425)1.215)1.912)2.1296xxxx這次需要多少次乘法和加法？第1章 誤差 計(jì)算方法120121( )nnnnnp xa xa xa xaxa 直接計(jì)算直接計(jì)算: 更好的方法更好的方法:需乘法需乘法n次，加法次，加法n次次 若 有有k次乘法次乘法,則計(jì)算則計(jì)算kkax( )p x(1)112n nnn 次乘法和次乘法和n次加法次加法0121( )()nnp xa xa xaxaxa0011,2,( )kkknbabaxbknp ab 秦九韶算法第1章 誤差 計(jì)算方法求解一個20階線性方程組11 11221121 1222221

8、 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb/kkxDD按克萊姆按克萊姆(Cramer)法則法則:用克萊姆法則要進(jìn)行此運(yùn)算，如用每秒用克萊姆法則要進(jìn)行此運(yùn)算，如用每秒1億次乘法億次乘法運(yùn)算的計(jì)算機(jī)要運(yùn)算的計(jì)算機(jī)要30萬年。萬年。 用消元法需用消元法需3000次乘法運(yùn)算；次乘法運(yùn)算；第1章 誤差 計(jì)算方法3、數(shù)值穩(wěn)定性、數(shù)值穩(wěn)定性123123123111123611113234121114734560 xxxxxxxxx系數(shù)保留系數(shù)保留2位小數(shù)位小數(shù),方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?1231231230.500.331.80.500.330.251.10.330.2

9、50.200.78xxxxxxxxx1236.222,38.25,33.65xxxx1=1x2=1x3=1第1章 誤差 計(jì)算方法計(jì)算方法的特點(diǎn)計(jì)算方法的特點(diǎn)u 理論性理論性u 實(shí)用性實(shí)用性構(gòu)造算法、分析算法需要堅(jiān)實(shí)的構(gòu)造算法、分析算法需要堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：- 逼近、離散化、迭代等逼近、離散化、迭代等- 保證算法的收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性保證算法的收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性- 對算法進(jìn)行誤差分析對算法進(jìn)行誤差分析構(gòu)造算法要在計(jì)算機(jī)上實(shí)際可行構(gòu)造算法要在計(jì)算機(jī)上實(shí)際可行第1章 誤差 計(jì)算方法計(jì)算方法的特點(diǎn)計(jì)算方法的特點(diǎn)u 應(yīng)用性應(yīng)用性u 實(shí)踐性實(shí)踐性科學(xué)、工程技術(shù)領(lǐng)域的廣泛需求科學(xué)、工

10、程技術(shù)領(lǐng)域的廣泛需求需要有效地學(xué)習(xí)和實(shí)踐需要有效地學(xué)習(xí)和實(shí)踐需要大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)需要大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)掌握編程語言具有編程能力掌握編程語言具有編程能力第1章 誤差 計(jì)算方法學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法1.注意掌握各種方法的基本原理注意掌握各種方法的基本原理2.注意各種方法的構(gòu)造手法注意各種方法的構(gòu)造手法3.重視各種方法的誤差分析重視各種方法的誤差分析4.做一定量的習(xí)題，注意上機(jī)實(shí)踐做一定量的習(xí)題，注意上機(jī)實(shí)踐5.注意與實(shí)際問題相聯(lián)系注意與實(shí)際問題相聯(lián)系第1章 誤差 計(jì)算方法2 誤差誤差1. 來源與分類來源與分類模型誤差模型誤差觀測誤差觀測誤差 從實(shí)際問題建立的數(shù)學(xué)模型往往都忽略了許多次要的因素，從實(shí)際問題建立的

11、數(shù)學(xué)模型往往都忽略了許多次要的因素，因此產(chǎn)生的誤差稱為模型誤差因此產(chǎn)生的誤差稱為模型誤差. 一般數(shù)學(xué)問題包含若干參數(shù)一般數(shù)學(xué)問題包含若干參數(shù),他們是通過觀測得到的他們是通過觀測得到的,受觀測受觀測方式、儀器精度以及外部觀測條件等多種因素，不可能獲得精確方式、儀器精度以及外部觀測條件等多種因素，不可能獲得精確值，由此而來產(chǎn)生的誤差稱為觀測誤差。值，由此而來產(chǎn)生的誤差稱為觀測誤差。第1章 誤差 計(jì)算方法 例例 設(shè)某金屬棒在溫度設(shè)某金屬棒在溫度t時的長度為時的長度為lt（0時金屬棒的長度為時金屬棒的長度為 l0），則），則: ltLt=l0(1+t+t2) 這里這里l01，、為參數(shù)，可估計(jì)為為參數(shù)，

12、可估計(jì)為 =0.00125310-6 =0.00006810-6 于是知，于是知，lt-Lt為模型誤差，為模型誤差，10-6是觀測是觀測、而產(chǎn)生的誤而產(chǎn)生的誤差，因此為量測誤差。差，因此為量測誤差。第1章 誤差 計(jì)算方法截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 舍入誤差舍入誤差 在求解過程中，往往以近似替代，化繁為簡，這樣在求解過程中，往往以近似替代，化繁為簡，這樣產(chǎn)生的誤差稱為截?cái)嗾`差。產(chǎn)生的誤差稱為截?cái)嗾`差。 在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算時受機(jī)器字長的限制，一般必須在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算時受機(jī)器字長的限制，一般必須進(jìn)行舍入，此時產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。進(jìn)行舍入，此時產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。第1章 誤差 計(jì)算方法截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差:第1章

13、 誤差 計(jì)算方法實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型(數(shù)值)算法編程計(jì)算結(jié)果抽象：“去偽存真，去粗取精”模型誤差模型誤差,觀測誤差觀測誤差第1章 誤差 計(jì)算方法 絕對誤差絕對誤差 假設(shè)某一量的準(zhǔn)確值為假設(shè)某一量的準(zhǔn)確值為x，近似值為，近似值為x * ，則，則x與與x *之差之差 的絕對誤差的絕對誤差(簡稱誤差簡稱誤差)，記為，記為(x)，即，即 (x)=x-x* (x)的大小標(biāo)志著的大小標(biāo)志著x*的精確度。的精確度。 一般地，在同一量的不同近似值中，一般地，在同一量的不同近似值中，(x)越小，越小，x*的精確度越高。的精確度越高。 1.2 絕對誤差和絕對誤差限絕對誤差和絕對誤差限絕對誤差限絕對誤差限指定一個適當(dāng)小

14、的正數(shù)指定一個適當(dāng)小的正數(shù),使得使得 |(x)|=x-x* （x=x*）為近似值為近似值x*的絕對誤差限。的絕對誤差限。第1章 誤差 計(jì)算方法 絕對誤差一般是有量綱的絕對誤差一般是有量綱的 例如測得某一物件的長度為例如測得某一物件的長度為5m，其誤差限為，其誤差限為0.01m,通常將通常將準(zhǔn)確長度準(zhǔn)確長度s記為記為 s=50.01 即：準(zhǔn)確值在即：準(zhǔn)確值在5m左右左右,但不超過但不超過0.01m的誤差限。的誤差限。第1章 誤差 計(jì)算方法 相對誤差相對誤差 1.3 相對誤差和相對誤差限相對誤差和相對誤差限 把絕對誤差與準(zhǔn)確值之比 稱為x*的相對誤差。 由于準(zhǔn)確值x往往是不知道的,因此在實(shí)際問題中

15、,常取 *( )( ),0rxxxxxxx*( )( )rxxx第1章 誤差 計(jì)算方法 1.3 相對誤差和相對誤差限相對誤差和相對誤差限相對誤差限相對誤差限 存在一個適當(dāng)小的正數(shù),使 稱為近似值x*的相對誤差限。 ( )rxx相對誤差比絕對誤差更能反映準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)的差異相對誤差比絕對誤差更能反映準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)的差異例例: 1 x =10, x*=11 e=-1 er=-0.1 2 x =1000, x*=1001 e=-1 er=-0.001第1章 誤差 計(jì)算方法 1.4 有效數(shù)字有效數(shù)字定義：定義：將近似數(shù)將近似數(shù)x*寫成寫成x*=10m+1(110-1+210-2+310-3+n10-n

16、) 在工程等實(shí)際應(yīng)用中，對于一個近似值，還引入在工程等實(shí)際應(yīng)用中，對于一個近似值，還引入“有效有效數(shù)字?jǐn)?shù)字”的概念，來描述它的準(zhǔn)確程度。的概念，來描述它的準(zhǔn)確程度。 若其絕對誤差限滿足若其絕對誤差限滿足 則稱近似數(shù)則稱近似數(shù)x*具有具有n位有效數(shù)字。這里位有效數(shù)字。這里m為整數(shù)為整數(shù),1、2、n是是0到到9中的一個數(shù)字且中的一個數(shù)字且10。11102m nxx 第1章 誤差 計(jì)算方法 1.4 有效數(shù)字有效數(shù)字例如:設(shè)x1=1.73, x2=1.7321, x3=1.7320是其近似值,問它們分別有幾位有效數(shù)字?221| |31.73 |0.0020508.0.20508. 100.5 10 x

17、x433| | 3 1.7320| 0.0000508.0.508. 100.5 10 xx442| |31.7321| 0.0000491.0.491. 100.5 10 xx3x 故故 有三位有效數(shù)字有三位有效數(shù)字1x1x故故 有五位有效數(shù)字有五位有效數(shù)字2x故故 有四位有效數(shù)字有四位有效數(shù)字3x第1章 誤差 計(jì)算方法 1.4 有效數(shù)字有效數(shù)字 定理定理1 若已知某近似數(shù)有若已知某近似數(shù)有n位有效數(shù)字，整數(shù)位有位有效數(shù)字，整數(shù)位有m+1位，則可位，則可得到近似數(shù)的絕對誤差限為得到近似數(shù)的絕對誤差限為 例如例如,設(shè)設(shè)x*=5367.32有有6位有效數(shù)字，由于位有效數(shù)字，由于m=3，n=6，于

18、是有，于是有 由于由于n越大，越大，10m-n+1的值越小，所以，有效數(shù)字位越多，絕對誤的值越小，所以，有效數(shù)字位越多，絕對誤差限就越小。差限就越小。 11102m n 12115367.32101022m nx 第1章 誤差 計(jì)算方法 定理定理2 若近似數(shù)x*具有n位有效數(shù)字,則其相對誤差為 其中10是x*的第一位有效數(shù)字。(1)11( )102nrxa 定理定理3 近似數(shù)x *，若其相對誤差滿足 則x*至少有n位有效數(shù)字。(1)11( )102(1)nrxa第1章 誤差 計(jì)算方法 從上面幾個結(jié)論可知：有效數(shù)字位數(shù)可刻畫近似數(shù)的精確度；絕對誤差與小數(shù)點(diǎn)后的有效數(shù)字位數(shù)有關(guān)；相對誤差與有效數(shù)字

19、的位數(shù)有關(guān)。第1章 誤差 計(jì)算方法3 算術(shù)運(yùn)算結(jié)果的誤差算術(shù)運(yùn)算結(jié)果的誤差 3.1 加減法 設(shè)x*1、x*2分別為準(zhǔn)確值x1、x2的近似值，則由絕對誤差的定義 (x1+x2)=(x1+x2)-(x*1+x*2) =(x1)+(x2) |(x1+x2)|=|(x1)+(x2)|(x1)|+|(x2) |絕對誤差絕對誤差絕對誤差限絕對誤差限此結(jié)論可推廣至有限個近似數(shù)，此結(jié)論可推廣至有限個近似數(shù)，即即:和或差的絕對誤差限不超過各近似數(shù)絕對誤差限之和和或差的絕對誤差限不超過各近似數(shù)絕對誤差限之和.第1章 誤差 計(jì)算方法相對誤差相對誤差12121212121212()( )()( )()()rrrrxx

20、xxuxxxxxxxxxx相對誤差限相對誤差限121212, ()max ( ) ,() rrrxxxxxx設(shè) ， 同號時則1212121212()()()rrrxxxxxxxxxx結(jié)論結(jié)論: :和的相對誤差限不超過各數(shù)相對誤差限中的最大者和的相對誤差限不超過各數(shù)相對誤差限中的最大者. . 即即: :和的相對誤差不增長和的相對誤差不增長第1章 誤差 計(jì)算方法 當(dāng)|x1|和x2相差很大，不失一般性，我們假設(shè) |x1|x2|，則x1/(x1+x2)接近于1，而x2/(x1+x2)的絕對值相當(dāng)小,于是 r(x1+x2)r(x1)當(dāng)兩者異號時：第1章 誤差 計(jì)算方法 3.2 乘、除法 設(shè)某數(shù)x的近似值

21、為x+(x)，絕對誤差(x)近似地等于x的微分,即(x)dx,則兩數(shù)積的絕對誤差為絕對誤差絕對誤差相對誤差相對誤差 (x1x2)d(x1x2) =x2dx1+x1dx2乘第1章 誤差 計(jì)算方法 3.2 乘、除法121122222()(0)xx dxx dxxxx除絕對誤差絕對誤差相對誤差相對誤差結(jié)論結(jié)論: :積的相對誤差等于相對誤差的和積的相對誤差等于相對誤差的和, ,商的相對誤差等于相對誤商的相對誤差等于相對誤 差的差。差的差。第1章 誤差 計(jì)算方法4 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性 數(shù)值方法中參加運(yùn)算的數(shù)一般是近似值，計(jì)算時會出現(xiàn)問數(shù)值方法中參加運(yùn)算的數(shù)一般是近似值，計(jì)算時會出現(xiàn)問題解嚴(yán)

22、重失真。原因有二：題解嚴(yán)重失真。原因有二：1. 問題本身的條件很壞，不管用什么方法都無法得到好結(jié)果；問題本身的條件很壞，不管用什么方法都無法得到好結(jié)果；1. 由于使用的算法不當(dāng)，產(chǎn)生了數(shù)值不穩(wěn)定。由于使用的算法不當(dāng)，產(chǎn)生了數(shù)值不穩(wěn)定。算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性: 一個算法如果初始數(shù)據(jù)有誤差，而在一個算法如果初始數(shù)據(jù)有誤差，而在計(jì)算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是計(jì)算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱此算法是否則稱此算法是不穩(wěn)定的不穩(wěn)定的。第1章 誤差 計(jì)算方法 例1一元二次方程 x2+2px-q=0 的兩個根分別為 2122xppqxppq 第1章 誤差 計(jì)

23、算方法 當(dāng)p=-0.5105,q=-1時,方程的兩個根取11位有效數(shù)字為 x1=99999.999990 x2=0.000010000000001 而在字長為8的計(jì)算機(jī)上直接用上述公式計(jì)算的結(jié)果為 x1=100000.00 x2=0 結(jié)果結(jié)果x1很好，而很好，而x2很不理想。這說明直接用上述公式計(jì)很不理想。這說明直接用上述公式計(jì)算第二個根是不穩(wěn)定的。算第二個根是不穩(wěn)定的。 第1章 誤差 計(jì)算方法但是若用根與系數(shù)的關(guān)系，因?yàn)?x1x2=-q=1 則 x2=1/x1 因此,如果仍用前述方法算出x1，然后用公式計(jì)算x2便得到 x1=100000.00 x2=0.000010000000該結(jié)果是非常好

24、的。這就說明后一種算法有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。該結(jié)果是非常好的。這就說明后一種算法有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。 第1章 誤差 計(jì)算方法 例2 計(jì)算積分 11011 1110011,1,2,912,3,91/nxnnxnxnnnEx edx nEx enxedxEnEnEe 利用分部積分法可得從而有遞推公式 第1章 誤差 計(jì)算方法 表 11 0.0916第1章 誤差 計(jì)算方法E2=1-2(E1+)=(1-2E1-2) =1-2E1-2!1112,3,91/nnEnEnEe 誤差在計(jì)算中對以后各項(xiàng)的影響E3=1-3(1-2E1-2!) =1-3(1-2E1)+3!E4=1-41-3(1-2E1)+3! =1-41-3(1-2E1)-4!第1章 誤差 計(jì)算方法 這樣，計(jì)算E9時所產(chǎn)生的誤差約為 9!=9!4.41210-70.1601誤差的傳播與積累誤差的傳播與積累蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)第1章 誤差 計(jì)算方法如果采用新的算法,把上述遞推關(guān)系改寫成11,3,2nnEEnn 從后向前計(jì)算，則En中的誤差下降為原來的1/n。所以, 若取n足夠大，誤差逐步減小，其影響愈來愈小。為了得到出發(fā)值，可考慮關(guān)系 111001/(1)nxnnEx