1、“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)及應用,X25,問題引入：求函數(shù)y5的最小值.問題分析：將問題采用分離常數(shù)法處理得,x14XT.x24X24如果利用均值不等式，即yXx41廣為2,等式成立的條件為X24X241,而Jx24,1顯然無實數(shù)解，所以“”不成立，因而最小值,x24.x24不是2,遇到這種問題應如何處理呢？這種形式的函數(shù)又具有何特征呢？是否與我們所熟知的函數(shù)具有相似的性質(zhì)呢？帶著種種疑問，我們來探究一下這種特殊類型函數(shù)的相關性質(zhì).一、利用“二次函數(shù)”的性質(zhì)研究“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)1 .“雙勾函數(shù)”的定義k-我們把形如f(x)x(k為常數(shù)，k0)的函數(shù)稱為“雙勾函數(shù)”.因為函數(shù)x一k一f(x)x(k為常

2、數(shù)，k0)在第一象限的圖像如，而該函數(shù)為奇函數(shù)，其圖x像關于原點成中心對稱，故此而得名.2 .類比“二次函數(shù)”與“雙勾函數(shù)”的圖像二次函數(shù)圖像“雙勾函數(shù)”圖像3 .類比“二次函數(shù)”的性質(zhì)探究“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)(1) “二次函數(shù)”的性質(zhì)當a0時，在對稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而增大；當x-b-時，函數(shù)2a24acby有最小值4a當a0時，在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，y隨著xb4acb的增大而減小.當x時，函數(shù)y有最大值.2a4a(2) “雙勾函數(shù)”性質(zhì)的探究當x0時，在xJk左側(cè)，y隨著x的增大而減??；在xJk的右側(cè)，y隨著x的增大

3、而增大；當xJk時，函數(shù)y有最小值2jk.當x0時，在xJk的左側(cè)，y隨著x的增大而增大；在xJk的右側(cè)，y隨著x的增大而減小.當xJk時，函數(shù)y有最大值2衣.綜上知，函數(shù)f(x)在(，衣和亦，)上單調(diào)遞增，在衣,0)和(0,4上單調(diào)遞減.下面對“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)作一證明.證明：定義法.設為，x2R,且x1x2，則ak(x1x2)(xx2k),、，,k、f(xi)f(x2)xi-x2(xix2)(1)x1x2為羽x1x2以下我們怎樣找到增減區(qū)間的分界點呢？首先x0,x0就是一個分界點，另外我們用相等分界法”，令x1x2x0,1與0可得到xJk,因此又找到兩個分界點Vk,Vk.這樣就把f(x)的

4、定義域x。分為(，Jk,衣,0),(0,Jk,Jk,)四個區(qū)間，再討論它的單調(diào)性.設0x1x2灰，則x1x20,x1x20,0x1x2k,x1x2k0.f(xi)f(x2)xiKx2K(X1-k)0,即f(xi)f(x2).f(x)在(0,Jk上單調(diào)遞減.同理可得，f(x)在Jk,)上單調(diào)遞增；在(，Jk上單調(diào)遞增；在4,0)上單調(diào)遞減.故函數(shù)f(x)在(,內(nèi)和匹)上單調(diào)遞增，在",0)和(0,衣上單調(diào)遞減.k,性質(zhì)啟發(fā)：由函數(shù)f(x)x(k0)的單調(diào)性及f(x)在其單調(diào)區(qū)間的端點處取值的x趨勢，可作出函數(shù)yf(x)的圖像，反過來利用圖像可形象地記憶該函數(shù)的單調(diào)性及有關性質(zhì).此性質(zhì)是

5、求解函數(shù)最值的強有力工具，特別是利用均值不等式而等號不成立時，更彰顯其單調(diào)性的強大功能.4.“二次函數(shù)”與“雙勾函數(shù)”在處理區(qū)間最值問題上的類比設f(x)ax2bxc(a(1) “二次函數(shù)”的區(qū)間最值0),求f(x)在xm,n上的最大值與最小值.分析：將f(x)配方，得對稱軸方程x,2a當a0時，拋物線開口向上.4b若m,n必在頂點取得最小值，離對稱軸較遠端點處取得最大值；2a較遠端2a4b右m,n,此時函數(shù)在m,n上具有單倜性，故在離對稱軸x2a點處取得最大值，較近端點處取得最小值.當a0時，拋物線開口向下.4b若m,n必在頂點取得最大值，離對稱軸較遠端點處取得最小值；2aHb右m,n,此時

6、函數(shù)在m,n上具有單倜性，故在離對稱軸x2a點處取得最小值，較近端點處取得最大值.以上，作圖可得結(jié)論.當a0時，f(m),f(x)max-b較遠端2ab2a1-(mn)(如圖1)2b1f(n),-(mn)(如圖2)2a2f(x)minf(n),-n(如圖3)2abbf(),m<&n(如圖4).2a2a當a0時,f(x)maxf(x)minf(n)'豆n(如圖6)f(),m<旦0n(如圖7)；2a2af(m),b-m(如圖8)b、1f(m),>(mn)(如圖9)2a2b1f(n),-(mn)(如圖10)2a2圖6圖10(2) “雙勾函數(shù)”的區(qū)間最值k設f(x)x

7、(k0),求f(x)在xm,n上的最大值與最小值.x分析：當x0時，其圖像為第一象限部分.若人m,n,則函數(shù)必在界點xJk處取得最小值，最大值需比較兩個端點處的函數(shù)值；若樂m,n,此時函數(shù)在m,n上具有單調(diào)性，故在離直線x尿較遠端點處取得最大值，較近端點處取得最小值.當x0時，其圖像為第三象限部分.若尿m,n,則函數(shù)必在界點xJk處取得最大值，最小值需比較兩個端點處的函數(shù)值；若Jkm,n,此時函數(shù)在m,n上具有單調(diào)性，故在離直線x«較遠端點處取得最小值，較近端點處取得最大值.以上，作圖可得結(jié)論.當x0時，f(m),.kn(如圖11),f(x)maxmaxf(m),f(n),尿m,n(

8、如圖12),f(n),.km(如圖13).f(n)，Vkn(如圖11),當x0時,f(x)maxf(n),-Vkn(如圖14),f(瓜),尿m,n(如圖15),f(m),->/km(如圖16).f(x)minf(m),-Vkn(如圖14),minf(m),f(n),Vkm,n(如圖15),f(n),-km(如圖16).二、實踐平臺例1某化工廠生產(chǎn)的某種化工產(chǎn)品，當年產(chǎn)量在150噸至250噸之間時,本y（萬元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的函數(shù)關系式近似地表示為其生產(chǎn)的總成2xy30x4000.問:10（1）年產(chǎn)量為多少噸時，每噸的平均成本最低？并求出最低成本;潤.(2)每噸平均出廠價為16萬元，

9、年產(chǎn)量為多少噸時，可獲得最大利潤？并求出最大利分析：將問題歸結(jié)為“雙勾函數(shù)”問題，利用“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)，可使問題輕松獲解.解：(1)由題意可知，每噸平均成本為gys萬兀.xyxx1040003040000)x30,因為函數(shù)在區(qū)間(0,200上為減函數(shù)，在區(qū)間200,)上為增函數(shù).所以當x200時，函數(shù)S2工您0x10x3040000)30有最小值為xSt小1(2001040000200)3010(萬元)，10萬元.所以當年產(chǎn)量為200噸時，每噸的平均成本最低，最低成本為(2)設年獲得總利潤為Q萬元，L-x212則Q16xy16x-30x4000(x230)21290,1010當x230(15

10、0,250),Q最大1290,故當年產(chǎn)量為230噸時，可獲得最大利潤1290萬元.評注：本題的關鍵是用年產(chǎn)量x噸把每噸平均成本及利潤表示出來，然后再求其最值，在求解最值時我們要用到“雙勾函數(shù)”的單調(diào)性，記住這個結(jié)論可以簡化計算過程.函數(shù)的單調(diào)性除一些理論上的應用外，它還可以靈活有效地解決現(xiàn)實生活中與之相關的實際問題.例2甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm/h,已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)，由可變部分和固定部分組成；可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元.(1)把全程運輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函

11、數(shù)的定義域.(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大的速度行駛.分析：要計算全程的運輸成本ys(abv2)(-bv)s(0v<c),而已知每小vv時的運輸成本，只需計算全程的時間，由題意不難得到全程運輸成本a一bv何時取最小值，顯vs,.2、，ay-(abv)(一bv)s(0v<c),所要解決的問題是求vv然要對c的大小進行討論，討論的標準也就是c與.-的大小.bs解：(1)依題意知：汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為士，因此全程運輸成本為vs2ay-(abv2)(-bv)s,又據(jù)題意0v<c,故所求函數(shù)及其定義域分別為：vv,ays(bv),v(0,c.v(2)設uf(v

12、)abvb(v),vvu在(0a上是減函數(shù)，在j,)上是增函數(shù).b,a若Ja<c,結(jié)合“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)知，b當vJa時運輸成本y最小.,b若Jbc,函數(shù)在(0,c上單調(diào)遞減，所以當vc時，全程運輸成本最小.評注：解應用題時，首先要訓練讀題能力，成功地完成對數(shù)學文字語言、符號語言、圖形語言的理解、接受和轉(zhuǎn)換，繼而對題中各元素的數(shù)量關系進行加工和提煉，分清主次，并建立數(shù)學模型解決實際問題.例3(2006安徽高考)已知函數(shù)f(x)在R上有定義，對任意實數(shù)a0和任意實數(shù)X,都有f(ax)af(x).(I)證明f(0)0；(n)證明f(x)kx,x>0,其中卜和h均為常數(shù);hx,x0.(m

13、)當(n)中的k0,設g(x)1f(x)f(x)(x0),討論g(x)在(0,的單調(diào)性并求最值.分析：承接第(n)問的結(jié)論，將問題歸結(jié)為“雙勾函數(shù)”的單調(diào)性與函數(shù)最值的求解問題.證明：(I)令x0,貝Uf0af0,.a0,f00.(n)令xa,a0,x0,貝Ufx2xfx.假設x0時，f(x)kx(kR),則fx2kx2,而xfxxkxkx2,.fx2xfx,即f(x)kx成立.令xa,.a0,x0,fx2xfx假設x0時，f(x)hx(hR),則fx2hx2,而xfxxhxhx2,.2kx,x01fxxfx,即f(x)hx成立.fx成立.hx,x01112（出）當x0時，gxfx-kxk（x

14、）,fxkxx11由雙勾函數(shù)性質(zhì)知在（0,上為減函數(shù)，在,）上為增函數(shù)，kk1.所以當x憶時，g（x）min2.評注：數(shù)學高考試題注重“考基礎、考能力、考思想”.所以熟悉數(shù)學化歸的思想，有意識地運用數(shù)學變換的方法去靈活解決有關的數(shù)學問題，將有利于強化在解決數(shù)學問題中的應變能力，有利于提高解決數(shù)學問題的思維能力和技能、技巧.適當進行化歸、轉(zhuǎn)化能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口，是分析問題中思維過程的主要組成部分.本題就是轉(zhuǎn)化思想應用的一個典型，通過轉(zhuǎn)化將本來抽象的問題歸結(jié)到“雙勾函數(shù)”區(qū)間最值的求解，讓我們有一種豁然開朗的感覺.例4（2001廣東高考）設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為48

15、40cm2,畫面的寬與高的比為（1）,畫面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白.怎樣確定畫面的高與23寬尺寸，能使宣傳回所用紙張面積最??？如果要求2,3,那么為何值時，能使宣傳34畫所用紙張面積最小？分析：設定變元x,尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系（等量關系），選用恰當?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的這種聯(lián)系，建立函數(shù)模型，將問題歸結(jié)為“雙勾函數(shù)”區(qū)間最值問題，并運用“雙勾函數(shù)”性質(zhì)進行求解.解：設畫面高為xcm,寬為xcm,則x24840設紙張面積為Scm2,則有S(x16)(x10)x2(1610)x160,58-)22，10將x0-代入上式得，S5000352a/10(15所以當t，時,S取最小值,此時|（|1）,高：x蜉88cm,寬：x5.88855cm.8令1t（t0）,則S（t）5000352布（t：）（t0）,函數(shù)S在（0,J5上為減函數(shù)，在g）上為增函數(shù)，),如果所以函數(shù)S在，2,J3上為增函數(shù)，故當tJ2時，S取最小值，此時2.評注：函數(shù)描述了自然界中量的依存關系，是對問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征