1、胡不歸問(wèn)題【胡不歸問(wèn)題背景介紹】從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無(wú)反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說(shuō)，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”(“胡”同“何”)而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會(huì)不會(huì)更早些到家？【模型建立】如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1,在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2,且V1AC.(3)要領(lǐng)：在動(dòng)點(diǎn)P所在直線BM的異側(cè)(相對(duì)定點(diǎn)A)作MBN，使sinMBNk【典型問(wèn)題】【例1】(20152017武侯初二

2、上期末)如圖，已知RtABC中，ACB90,BAC30，延長(zhǎng)BC至D使CDBC,連接AD.(1)求證：4ABD是等邊三角形；(2)若E為線段CD的中點(diǎn)，且AD4,點(diǎn)P為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EP,BP.1求EPAP的最小值；22BPAP的最小值.備用圖解：(1)證明：/ACB=90o,/BAC=30ACBD,ZB=60vDC=CB,.AD=AB,vZB=60,.BD是等邊三角形。(2)如圖1中，作PFLAB于F,EF如AB于F交AC于P.力dzCB圖L/PAF=30。,/PFA=900,.PFPA,2Di.PE+1PA=PE+PF,2當(dāng)E、P、F共線時(shí)， 即EFLAB時(shí),PE+PF最短,最小值

3、為線段EF；在RtAEFB+,.ZB=60O,EB=3,.EFEB&in60o=M3,2EP+2AP的最小值為2L.如圖2中，作PFLAD于F,EFAD于F交AC于P.圄2/PAF=30,ZPFA=90,.PF=1PA,212BP+AP=2(PB+PA)=2(PB+PF),當(dāng)B.P、F共線時(shí)，即BFAD時(shí),PB+PF最短,最小值為線段BF在RtADFB中，/D=60O,DB=4,.BFDB&in60o=2出，.2BP+AP的最小值為40【變式1(2015內(nèi)江改)如圖在CE中，CA=CE,/CAE=30,O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,直徑AB在線段AE上，設(shè)D是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接

4、OD,當(dāng)1且圓的CD+ODNM1、,3c-CD+OD=DNODDMr622所以r4.3所以。O的直徑AB的長(zhǎng)8曲?！咀兪?】(2014成都中考28)k,(x2)(x4)(k為常數(shù)，且k0)與x軸從左到右依次交于8B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線yXb與拋物線的另一交點(diǎn)為Do3(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若在拋物線的第一象限上存在一點(diǎn)P,使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似，求k的值；(3)在(1)的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接AF。一動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,在沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止

5、。當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？(2)分析：因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限的拋物線上，所以顯然有/ABP為鈍角，所以AABC中一定有一個(gè)角是鈍角，且只能是/ACB,所以/ABP=/ACB;_一k一一由題可得：A(2,0),B(4,0),C(0,k),設(shè)P(mJ(m2)(m4)；8由兩點(diǎn)間的距離可得：ACk24,BC.k216,AB6.以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似有兩種情況：第一種：/PAB=ZABC如圖，已知拋物線yA,解：(1)yARkBC有AP/BC，所以kk(m2)(m4).-.8m2,m=6,R(6,2k),由 相 似得:ACBRBC44k24,k244k24BP

6、1,k2AB166x軸對(duì)稱,因?yàn)閗0,解得k122；第二種：/PAB=/BAC一OC.C(0,k),又AOk.(m2)(m.k82m24),m=8,P2(8,5k),BP20,解得k2延,綜上所述，k的值為我或逅。55(3)F(2,2J3),提示：如圖。由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線AF+DF,運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=AF+lDF.如答圖3,作輔助線，將AF+IDF轉(zhuǎn)化為AF+FG;再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點(diǎn)，即為所求的F點(diǎn).【變式3】(2017廣州中考改)如圖，矩形ABCD中，AB=6cm,BC=J5cm,對(duì)角線AC、1BD相交于點(diǎn)O,ACOD關(guān)于CD的對(duì)稱圖形為4CED.若點(diǎn)P為

7、線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，連接OP,一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段OP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再以1.5cm/s的速度沿線段PA勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)， 當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間最短時(shí)，求AP的長(zhǎng)和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間.,POPA2cA、t()s(PO-PA)s11.53|過(guò)點(diǎn)E作EFAD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F解：由題意可得，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到帶你A的時(shí)間為則EF=3cm,AF=35cm2 AE=JEF2AF29cm,從而sinZEAF=EF-=-2EA3過(guò)點(diǎn)P作PGLAD于點(diǎn)G,則有PG=2PA3過(guò)點(diǎn)O作OHLAD于點(diǎn)H,則OH=1CD=322而OP+2PA

8、=PO+PGOH,所以t最小=3s3顯然AH=1AF,所以AP=1AE=|cm綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間.最短時(shí)，AP的長(zhǎng)為號(hào)cm,點(diǎn)Q走2完全程所需的時(shí)間為3s.【變式4】2019長(zhǎng)沙中考如圖，ABC中，AB=AC=10tanA=2,BEXAC于點(diǎn)E,D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為CD+DH最小值，故C、D、H共線時(shí)值最小，此時(shí)CD+DH二CH二既二475【分析】本題關(guān)鍵在于處理“&M,考慮tanA=2,ABE三邊之比為1:2:75sinZABE=,故作DHLAB交AB于H點(diǎn)，則。二二80CDI即的最小值是5【小結(jié)】本題簡(jiǎn)單在于題目已經(jīng)將BA線作出來(lái)，只

9、需分析角度的三角函數(shù)值，作出垂線DH,即可解決問(wèn)題，若稍作改變，將圖形改造如下：則需自行構(gòu)造”，如下圖，這一步正是解決“胡不歸”問(wèn)題關(guān)鍵所在.【變式5】2019南通中考如圖，平行四邊形，心的最小值等于ABCD中，/DAB=60,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則B【分析】考慮如何構(gòu)造“已知/A=60,且sin60=里，故延長(zhǎng)AD,作PH,AD延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，即可得產(chǎn)閆=巫叨，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求PB+PH最小值.當(dāng)B、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，可得PB+PH取至IJ最小值，即BH的長(zhǎng)，解直角ABH即可得BH長(zhǎng).【變式6】2018重慶中考拋物線】,=_巫/.逋1+/與x軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)h3P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，PF,x軸于點(diǎn)F,PF與線段AC交于點(diǎn)E；將線段OB沿x軸左右平移，線段OB的對(duì)應(yīng)線段是O1B1,當(dāng)PE+EC的值最大時(shí)，求四邊形PO1B1C周長(zhǎng)的最小值，并求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)O1的坐2【分析】根據(jù)拋物線解析式得A卜3后,0）、B&,obqo,ja），直線AC的解析式為：HIy-AcJb,可知AC與x軸夾角為30。.根據(jù)題意考慮，P在何處時(shí)