1、3-3 貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解n用級(jí)數(shù)解法來(lái)求貝塞爾方程在用級(jí)數(shù)解法來(lái)求貝塞爾方程在x=0的鄰域中的的鄰域中的級(jí)數(shù)解級(jí)數(shù)解222()0 x yxyxy貝塞爾方程：貝塞爾方程：將方程改寫(xiě)為：將方程改寫(xiě)為：221(1)0yyyxx1( )p xx22( )1q xx 可知：可知：x=0是是p(x)的一階極點(diǎn)，是的一階極點(diǎn)，是q(x)的二階極點(diǎn)，故的二階極點(diǎn)，故x=0是方程的正那么奇點(diǎn)。是方程的正那么奇點(diǎn)。在正那么奇點(diǎn)鄰域內(nèi)求方程級(jí)數(shù)解的普通步驟：在正那么奇點(diǎn)鄰域內(nèi)求方程級(jí)數(shù)解的普通步驟：第第1步：對(duì)方程系數(shù)做變換，使其解析，將其展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)方式；步：對(duì)方程系數(shù)做變換，使其解析，將其

2、展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)方式；第第2步：寫(xiě)出第一解方式，將其代入系數(shù)寫(xiě)為泰勒級(jí)數(shù)方式的方程；步：寫(xiě)出第一解方式，將其代入系數(shù)寫(xiě)為泰勒級(jí)數(shù)方式的方程；第第3步：比較系數(shù)，得到斷定方程和系數(shù)之間的遞推關(guān)系：步：比較系數(shù)，得到斷定方程和系數(shù)之間的遞推關(guān)系： 由最低次冪項(xiàng)系數(shù)得到斷定方程；由普通次冪項(xiàng)系數(shù)得到系數(shù)間遞推關(guān)系。由最低次冪項(xiàng)系數(shù)得到斷定方程；由普通次冪項(xiàng)系數(shù)得到系數(shù)間遞推關(guān)系。第第4步：根據(jù)斷定方程和遞推關(guān)系求出方程第一解；由斷定方程兩個(gè)根即步：根據(jù)斷定方程和遞推關(guān)系求出方程第一解；由斷定方程兩個(gè)根即 和和 的關(guān)系，寫(xiě)出方程第二解方式，根據(jù)不同方式分別求解。的關(guān)系，寫(xiě)出方程第二解方式，根據(jù)不同方式分

3、別求解。第第1步：對(duì)方程系數(shù)做變換，使其解析，將其展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)方式；步：對(duì)方程系數(shù)做變換，使其解析，將其展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)方式；本例中，本例中，( )( )1P xp xx222( )( )Q xq xxx 所以，這兩個(gè)函數(shù)曾經(jīng)展成了泰勒級(jí)數(shù)，其中系數(shù)所以，這兩個(gè)函數(shù)曾經(jīng)展成了泰勒級(jí)數(shù)，其中系數(shù)02021, 0 (1), 1, 0 (0,2)nnPPnQQQn 按正那么奇點(diǎn)鄰域中級(jí)數(shù)解法的有關(guān)定理，方程的解應(yīng)具有按正那么奇點(diǎn)鄰域中級(jí)數(shù)解法的有關(guān)定理，方程的解應(yīng)具有第第2步：寫(xiě)出第一解方式，將其代入系數(shù)寫(xiě)為泰勒級(jí)數(shù)方式的方程；步：寫(xiě)出第一解方式，將其代入系數(shù)寫(xiě)為泰勒級(jí)數(shù)方式的方程；設(shè)第一解為：設(shè)第

4、一解為：求出：求出：1210002000( )()()( )()()nnnnnny xxxaxxyxxxb xx或：或：1210002010000 ( )()()( )( )ln()()()nnnnnny xxxaxxyxc y xxxxxb xx00( )0nnny xxc xa10()nnnycn x 20()(1)nnnycnnx 代入貝塞爾方程代入貝塞爾方程222()0 x yxyxy得：得：22122000()(1)()()0nnnnnnnnnxcnnxxcn xxxc x 22200()0nnnnnnnc xc x 00( )0nnny xxc xa10()nnnycn x 20(

5、)(1)nnnycnnx 220000()(1)()0nnnnnnnnnnnncnnxcn xc xc x 2200()(1)()0nnnnnnnnnc xc x22200()0nnnnnnnc xc x求斷定方程：令求斷定方程：令n=0，得到最低次冪項(xiàng)的系數(shù)為：，得到最低次冪項(xiàng)的系數(shù)為：22令其等于令其等于0，得：，得：220斷定方程斷定方程第第3步：比較系數(shù)，得到斷定方程和系數(shù)之間的遞推關(guān)系：步：比較系數(shù)，得到斷定方程和系數(shù)之間的遞推關(guān)系：求系數(shù)之間遞推關(guān)系：由普通次冪項(xiàng)求系數(shù)之間遞推關(guān)系：由普通次冪項(xiàng) 系數(shù)求得系數(shù)求得kx222 22()0kkkkkc xcx 222()0kkkkccx

6、222()0kkkcc2221()kkcck 遞推公式遞推公式22200()0nnnnnnnc xc x第第4步：根據(jù)斷定方程和遞推關(guān)系求出方程第一解和第二解。步：根據(jù)斷定方程和遞推關(guān)系求出方程第一解和第二解。它的兩個(gè)根分別是：它的兩個(gè)根分別是：12 兩根之差為：兩根之差為：122由此可見(jiàn)，參數(shù)由此可見(jiàn)，參數(shù) 將決議方程兩個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立解的方式。將決議方程兩個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立解的方式。斷定方程：斷定方程：將第一個(gè)根將第一個(gè)根 代入方程，并利用遞推關(guān)系式，便可求出方程的第一解；代入方程，并利用遞推關(guān)系式，便可求出方程的第一解；而方程的第二解與斷定方程的兩根之差有關(guān)。而方程的第二解與斷定方程的兩根之差有關(guān)。下

7、面，根據(jù)方程兩根之差的不同情況，討論兩個(gè)解的求解過(guò)程。下面，根據(jù)方程兩根之差的不同情況，討論兩個(gè)解的求解過(guò)程。22011. 整數(shù)、半整數(shù)時(shí)的解整數(shù)、半整數(shù)時(shí)的解此時(shí)，此時(shí)， 整數(shù)。整數(shù)。12根據(jù)定理可知，兩個(gè)根的方式為根據(jù)定理可知，兩個(gè)根的方式為121(2)kkcckk 先求第一解。先求第一解。第一解對(duì)應(yīng)斷定方程的第一個(gè)根：第一解對(duì)應(yīng)斷定方程的第一個(gè)根：將其代入遞推關(guān)系式：將其代入遞推關(guān)系式：得：得：可見(jiàn)，待定系數(shù)可見(jiàn)，待定系數(shù) 將可以依次類(lèi)推，用將可以依次類(lèi)推，用 表示；表示；2kc0c21kc可用可用 表示。表示。1c1210002000( )()()( )()()nnnnnny xxxa

8、xxyxxxb xx2221()kkcck 下面求用下面求用 表示表示 的公式。由遞推公式可得：的公式。由遞推公式可得：0c2kc200112(22)2 2(1)ccc 422114(24)2 2 2(2)ccc 22242411(22)(222)2(1) 2(1)kkkccckkkk 22222112 (22 )22()kkkccckkkk 將以上等式的左右兩邊分別相乘，消去一樣因子，即可得：將以上等式的左右兩邊分別相乘，消去一樣因子，即可得：2021( 1)2!(1)(2).()kkkcckk 21(2)kkcckk 將將 代入，得：代入，得：下面求用下面求用 表示表示 的公式。重寫(xiě)系數(shù)關(guān)

9、系式：的公式。重寫(xiě)系數(shù)關(guān)系式：21(2)kkcckk 1c21kc由由 的系數(shù)，得：的系數(shù)，得：1x221(1)0c由于級(jí)數(shù)從由于級(jí)數(shù)從 次項(xiàng)開(kāi)場(chǎng)，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為次項(xiàng)開(kāi)場(chǎng)，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為 ，之前，之前的系數(shù)均為的系數(shù)均為0。因此第二項(xiàng)舍去。因此第二項(xiàng)舍去1(21)0c因此，有：因此，有： 10c x0c222()0kkkcc21(2)kkcckk 21212311(21)(221)11 (21)(221) (21)(221) .11 ( 1).(21)(221)3 (23) 0kkkkcckkckkkkckk 由遞推公式可得：由遞推公式可得：得到方程第一解為：得到方程第一解為：2100( 1)(

10、)( )!(1)(2).() 2kkkxy xc xkk將將 和和 代入第一解代入第一解2021( 1)2!(1)(2).()kkkcckk 210kc100( )nknknky xxc xc x(1)( )(1) (1). (1)(1)!nn 通常將通常將 取為：取為：0c012(1)c 函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì)：當(dāng)當(dāng) n為整數(shù)時(shí)：為整數(shù)時(shí)：n把這樣的把這樣的 記作記作1yJ ( ) x210( 1)J ( )( )( )! (1) 2kkkxxy xkk稱(chēng)為稱(chēng)為+ 階貝塞爾函數(shù)階貝塞爾函數(shù)J ( ) x此時(shí)，另一個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的解應(yīng)對(duì)應(yīng)此時(shí)，另一個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的解應(yīng)對(duì)應(yīng)2 2200( 1)( )( )!

11、(1)(2).() 2kkkxyxc xkk2100( 1)( )( )!(1)(2).() 2kkkxy xc xkk將其代入第二解方式與第一解方式一樣，可得：將其代入第二解方式與第一解方式一樣，可得：(1)1得到得到 階的貝塞爾函數(shù)階的貝塞爾函數(shù) 為：為：通常也將通常也將 取為：取為：0c012(1)c 220( 1)J( )( )( )! (1) 2kkkxxyxkk J( )x最后，非整數(shù)半整數(shù)階的貝塞爾方程的通解就是最后，非整數(shù)半整數(shù)階的貝塞爾方程的通解就是 和和 的線(xiàn)性組合。的線(xiàn)性組合。J( )xJ ( ) x12( )J ( )J( )y xcxcx2. =整數(shù)時(shí)的解整數(shù)時(shí)的解判

12、別方程的兩根之差為判別方程的兩根之差為12()2nnn 第一個(gè)解只需將第一個(gè)解只需將 里的里的 換成換成n 210( 1)J ( )( )( )! (1) 2kkkxxy xkk即為：即為：210( 1)J ( )( )( )! (1) 2knknkxxy xknk由于由于(1)()!nknk所以正整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)可寫(xiě)成所以正整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)可寫(xiě)成201J ( )( 1)( )!()! 2knknkxxk nk當(dāng)當(dāng)n=1，2，3時(shí)，察看第二個(gè)解時(shí)，察看第二個(gè)解 ：220( 1)J( )( )( )! (1) 2knknkxxyxknk n 當(dāng)當(dāng)n=0時(shí)，很明顯，只給出了同一個(gè)解。時(shí)，很明顯

13、，只給出了同一個(gè)解。前前k=0,1,2,n-1各項(xiàng)的系數(shù)均為各項(xiàng)的系數(shù)均為0，這是由于，這是由于x=0,-1,-2,都是都是 函數(shù)的一階極點(diǎn)。函數(shù)的一階極點(diǎn)。對(duì)對(duì)k之求和實(shí)踐上從之求和實(shí)踐上從k=n開(kāi)場(chǎng)，即開(kāi)場(chǎng)，即2( 1)J( )( )! (1) 2knkk nxxknk 令令m=k-n，將求和目的從，將求和目的從k換成換成m(m=0,1,2,)，那么有，那么有20201J( )( 1)( )()! (1) 21 ( 1)( 1)( )!()! 2 ( 1) J ( )m nnmnmnmnmmnnxxmnmxm mnx 與第一解線(xiàn)性相關(guān)。與第一解線(xiàn)性相關(guān)。因此另一個(gè)解要取含對(duì)數(shù)項(xiàng)的方式。因此

14、另一個(gè)解要取含對(duì)數(shù)項(xiàng)的方式。這個(gè)解稱(chēng)為諾依曼函數(shù)這個(gè)解稱(chēng)為諾依曼函數(shù) ：N ( )nx120221(1)!N ( )ln( /2)J ( )( )!21( 1)1111 1.1.( )!()!222nnknnkk nnkk nnkxxxCxkxk knknk 其中，其中，C為歐拉常數(shù)，為歐拉常數(shù)，C=0.577216最后，最后， =整數(shù)時(shí)的貝塞爾方程的通解應(yīng)是整數(shù)時(shí)的貝塞爾方程的通解應(yīng)是12( )J ( )N ( )nny xcxcx 和和 有個(gè)重要性質(zhì)：有個(gè)重要性質(zhì)：J( )xN ( )nx當(dāng)當(dāng)x-0時(shí)，有時(shí)，有J( ) x N ( )nx 因此，假設(shè)在解貝塞爾方程時(shí)帶有邊境條件：要求解在因

15、此，假設(shè)在解貝塞爾方程時(shí)帶有邊境條件：要求解在x=0處有限，那么在兩種情處有限，那么在兩種情況下，應(yīng)分別舍去況下，應(yīng)分別舍去 和和 ，只取，只取 和和 。JN ( )nxJJn2( )yx原那么上，將原那么上，將 代入貝塞爾方程，即可定出系數(shù)。代入貝塞爾方程，即可定出系數(shù)。Nn(x)函數(shù)也可用以下定義求得：函數(shù)也可用以下定義求得：( )cos( ) ()sin( )( )cos( )lim ()sinJxJxYxJxJx不等于整數(shù)等于整數(shù)( )cos( )( )limsinnnJxJxNx綜上所述，貝塞爾函數(shù)的通解可表示為：綜上所述，貝塞爾函數(shù)的通解可表示為：( )( )( )y xAJxBY

16、x( )( )JxYx：第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)：第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)3. =半整數(shù)時(shí)的解半整數(shù)時(shí)的解判別方程的兩根之差為：判別方程的兩根之差為： ，也是整數(shù)，方程的方式同樣要取，也是整數(shù)，方程的方式同樣要取122在此只研討在此只研討 的特例。的特例。12此時(shí)方程為：此時(shí)方程為：222(1/2) 0 x yxyxy這個(gè)方程的解可用初等函數(shù)表示，所以不用級(jí)數(shù)解法，可直接求解。這個(gè)方程的解可用初等函數(shù)表示，所以不用級(jí)數(shù)解法，可直接求解。對(duì)方程作如下變換：對(duì)方程作如下變換：1/2( )(2/)( )y xxu x代入原方程，化簡(jiǎn)得：代入原方程，化簡(jiǎn)得：0uu其通解為：其通解為：( )sincosu xAxBx1

17、210002010000 ( )()()( )( )ln()()()nnnnnny xxxaxxyxc y xxxxxb xx將原方程的兩個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立解分別記作將原方程的兩個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立解分別記作 和和 ，1/2J( )x1/2J( )x1/21/2J( )(2/)cosxxx1/21/2J( )(2/)sinxxx方程的通解是這兩個(gè)解的線(xiàn)性組合：方程的通解是這兩個(gè)解的線(xiàn)性組合：1/21/21/21/2J( )J( ) (2/)sin(2/)cosyAxBxAxxBxx可知：可知：由由1/2( )(2/)( )y xxu x和和( )sincosu xAxBx總結(jié)總結(jié)n常點(diǎn)和正那么奇點(diǎn)的概念常點(diǎn)和正

18、那么奇點(diǎn)的概念n用冪級(jí)數(shù)解法解二階線(xiàn)性微分方程用冪級(jí)數(shù)解法解二階線(xiàn)性微分方程n常點(diǎn)鄰域常點(diǎn)鄰域n將系數(shù)展開(kāi)為常點(diǎn)鄰域的泰勒級(jí)數(shù)方式；將系數(shù)展開(kāi)為常點(diǎn)鄰域的泰勒級(jí)數(shù)方式；n將方程常點(diǎn)鄰域內(nèi)的解展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，將方程常點(diǎn)鄰域內(nèi)的解展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，代入微分方程；代入微分方程；n比較系數(shù)，得到系數(shù)之間的遞推關(guān)系；比較系數(shù)，得到系數(shù)之間的遞推關(guān)系；n反復(fù)利用遞推關(guān)系，求出系數(shù)的普遍表達(dá)式，反復(fù)利用遞推關(guān)系，求出系數(shù)的普遍表達(dá)式，最后得出級(jí)數(shù)解；最后得出級(jí)數(shù)解；總結(jié)總結(jié)q正那么奇點(diǎn)鄰域正那么奇點(diǎn)鄰域q將系數(shù)展開(kāi)為正那么奇點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)方式；將系數(shù)展開(kāi)為正那么奇點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)方式；q將第一種級(jí)數(shù)方式不包含對(duì)數(shù)部分的解代入方將第一種級(jí)數(shù)方式不包含對(duì)數(shù)部分的解代入方程；程；q比較最低次項(xiàng)指數(shù)為零，得到斷定方程目的比較最低次項(xiàng)指數(shù)為零，得到斷定方程目的方程；比較普通次項(xiàng)系數(shù)，得到遞推公式；方程；比較普通次項(xiàng)系數(shù)，